Corrections - XMaths

Exercice 08
●
L'équation e 2x+1 - 1 = 0 est définie pour tout réel x.
e 2x+1 - 1 = 0 ⇔ e 2x+1 = 1 ⇔ e 2x+1 = e0 ⇔ 2x + 1 = 0
(la fonction exponentielle est strictement croissante sur IR)
Donc e 2x+1 - 1 = 0 ⇔ 2x = -1 ⇔ x = - 1
2
1
L'équation e 2x+1 - 1 = 0 a pour solution - .
2
●
L'équation e x+1 - e 2x-3 = 0 est définie pour tout réel x.
e x+1 - e 2x-3 = 0 ⇔ e x+1 = e 2x-3 ⇔ x + 1 = 2x - 3
(la fonction exponentielle est strictement croissante sur IR)
Donc e x+1 - e 2x-3 = 0 ⇔ x + 1 = 2x - 3 ⇔ x = 4
L'équation e x+1 - e 2x-3 = 0 a pour solution 4 .
●
L'équation e x-1 x e 3x+5 = 1 est définie pour tout réel x.
e x-1 x e 3x+5 = 1 ⇔ e x-1+3x+5 = 1 ⇔ e 4x+4 = e0 ⇔
(la fonction exponentielle est strictement croissante sur IR)
Donc e x-1 x e 3x+5 = 1 ⇔ 4x = - 4 ⇔ x = -1
L'équation e x-1 x e 3x+5 = 1 a pour solution -1 .
●
●
4x + 4 = 0
L'équation e 2x + e x - 2 = 0 est définie pour tout réel x.
2
e 2x + e x - 2 = 0 ⇔ (e x) + e x - 2 = 0
Si on pose X = e x , l'équation devient X2 + X - 2 = 0
On obtient alors une équation du second degré.
Cette équation a pour solution évidente X = 1, on peut obtenir la deuxième solution en factorisant le
trinôme X2 + X - 2 sous la forme X2 + X - 2 = (X - 1)(X + 2)
L'équation X2 + X - 2 = 0 a donc pour solutions X1 = 1 et X2 = -2
On en déduit que :
e 2x + e x - 2 = 0 ⇔ e x = 1 ou e x = -2
On sait que la fonction exponentielle est strictement positive, donc l'équation e x = -2 n'a pas de solution
D'autre part e x = 1 ⇔ e x = e0 ⇔ x = 0
L'équation e 2x + e x - 2 = 0 a pour solution 0 .
x
L'équation 2e + 1 = 2e3 + e-x est définie pour tout réel x. (On sait que e x ≠ 0 )
ex
x
2e + 1 = 2e3 + e-x ⇔ 2e x + 1 = e x(2e3 + e-x)
⇔
2e x + 1 = 2e x+3 + ex-x
ex
⇔ 2e x + 1 = 2e x+3 + e0 ⇔ 2e x + 1 = 2e x+3 + 1 ⇔ 2e x = 2e x+3
⇔ e x = e x+3 ⇔ x = x + 3
x+1
2e
L'équation
= 2e3 + e-x n'a pas de solution .
ex
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