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Calcul différentiel
Applications
pour les
nouvelles technologies
Édition, recherche et réalisation: Sophie Descoteaux; Idéation et mise en pages: Jean-Sébastien Bouchard
Révision: Gilles Ouellet
Il est interdit de reproduire le présent ouvrage, en tout ou en partie, sous quelque forme que ce soit,
sans la permission écrite des éditions Le Griffon d’argile ou d’une société de gestion dûment mandatée.
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Calcul différentiel. Applications pour les nouvelles technologies
ISBN 2-89443-118-X
Nous reconnaissons l’aide financière du gouvernement du Canada par l’entremise du
Programme d’aide au développement de l’industrie de l’édition (PADIE) pour nos activités d’édition.
Dépôt légal
Bibliothèque nationale du Canada
Bibliothèque nationale du Québec
er
1 trimestre 2000
Imprimé au Canada
,QWURGXFWLRQ
&DOFXOGLIIpUHQWLHO$SSOLFDWLRQVSRXUOHVQRXYHOOHVWHFKQRORJLHV
3RXUTXRLQHSDVDYRLULQWpJUpOHVDSSOLFDWLRQVSRXUOHVQRXYHOOHVWHFKQRORJLHVjO·LQWpULHXUGHODTXD
WULqPHpGLWLRQGXYROXPH&DOFXO"
Parce que l’utilisation des nouvelles technologies dans les cours de mathématiques est en émergence et qu’il
n’existe pas encore de consensus quant au choix de l’approche pédagogique à exploiter et quant au type d’outil
technologique à favoriser. Nous avons choisi de produire un guide qui pourra être mis à jour de façon périodique
pour s’adapter aux besoins des enseignants de mathématiques et pour tenir compte de l'évolution des technologies.
3RXUTXRLDYRLUFKRLVLODFDOFXODWULFHJUDSKLTXH7,HWOHORJLFLHO0DSOH9"
Parce que ces deux outils sont ceux pour lesquels il nous a le plus souvent été demandé de développer des applications. De plus, d’un logiciel à l’autre et d’une calculatrice graphique à l’autre, les règles d’écriture de base
restent à peu près les mêmes. Notre guide peut donc servir de point de départ quant aux pistes à suivre lors de
l’adoption d’autres types de technologies. En ce qui concerne plus particulièrement la calculatrice graphique, les
fonctions et commandes ici présentées pour la calculatrice TI-83 sont toutes disponibles sur les versions TI-82 et
TI-80.
&RPPHQWXWLOLVHUFHJXLGH"
En parallèle avec le volume, au fil des chapitres et des apprentissages. Visant une initiation aux nouvelles technologies tout en faisant des mathématiques, notre guide se veut aussi un point de départ à une utilisation pertinente et réfléchie des outils technologiques aujourd’hui disponibles dans les milieux d’éducation.
&HJXLGHHVWRIIHUWJUDWXLWHPHQWORUVGHO¶DFKDWGXPDQXHO&DOFXOSXEOLpHQDX[pGLWLRQV/H
*ULIIRQG¶DUJLOHHWHVWSURWpJpSDUXQFRS\ULJKW,OHVWLQWHUGLWGHUHSURGXLUHFHJXLGHHWGHO¶XWLOLVHU
JUDWXLWHPHQWHQDFFRPSDJQHPHQWG¶XQDXWUHPDQXHO
7DEOHGHVPDWLqUHV
,QWURGXFWLRQ &KDSLWUH5pVROXWLRQG·LQpTXDWLRQV &KDSLWUH(VWLPDWLRQHWpYDOXDWLRQGHOLPLWHV &KDSLWUH$QDO\VHGHODFRQWLQXLWp &KDSLWUH(VWLPDWLRQHWpYDOXDWLRQGHGpULYpHV &KDSLWUH$QDO\VHGHIRQFWLRQVHWWUDFpGHFRXUEHV &KDSLWUH &KDSLWUH 5pIpUHQFHVXWLOHVSRXUV·LQLWLHUDX[ORJLFLHOV0DSOH9HWjODFDOFXODWULFHJUDSKLTXH 1
&KDSLWUH5pVROXWLRQG·LQpTXDWLRQV
6HFWLRQVG·H[HUFLFHVRO·RQGRLWUpVRXGUHGHVLQpTXDWLRQVHW
$SSOLFDWLRQ0DSOH9
Le logiciel de calcul symbolique Maple V permet de résoudre une inéquation, c’est-à-dire d’en trouver l’ensemble solution.
9RLFLFRPPHQWSURFpGHU
1.
Lancer le logiciel Maple V. Une feuille de travail s’ouvre et le symbole > est affiché dans le coin supérieur gauche de
la feuille. C’est à partir de là qu’il faut écrire la commande que l’on souhaite effectuer.
2.
Écrire « solve » suivi d’une parenthèse ouverte. La macro-commande VROYH permet de résoudre des équations, des
ensembles d’équations et des inéquations.
1RWH : Toute macro-commande nécessite ce que l’on appelle des paramètres obligatoires. C’est-à-dire que les informations contenues dans toute ligne de commande doivent suivre un ordre et une syntaxe particuliers. Ici VROYH nécessite
que soient tapées à l’écran, dans l’ordre, l’équation à résoudre et la variable pour laquelle on résout.
3.
Écrire l’inéquation à résoudre en respectant le langage particulier de Maple V. Voici les principales règles d’écriture à
suivre sur Maple V afin que le logiciel accepte l’opération qui lui est demandée :
2SpUDWLRQ
6\PEROH
eTXDWLRQ
¬WDSHUGDQV0DSOH9
Multiplication
*
3[
3*x
Division
/
3
[
3/x
Exposant
^ (accent circonflexe)
ou **
[4
x^4
Plus petit
<
[2 < 81
x^2<81
Plus petit ou égal
<=
7-3[ ≤ 2[-6
7-3*x<=2*x-6
Plus grand
>
Plus grand ou égal
>=
( [ − 1)
>5
[
(2 [ − 2)( [ − 5)
≥0
( [ − 3)
(x-1)/x>5
(2x-2)*(x-5)/(x-3)>=0
4.
Faire suivre l’inéquation d’une virgule. Cette virgule annonce la fin de l’inéquation.
5.
Écrire la variable pour laquelle l’inéquation doit être résolue. Cette variable est [ dans les quatre inéquations présentées
ci-haut.
6.
Refermer la parenthèse qui avait été ouverte après la macro-commande VROYH.
7.
Terminer la commande par un point-virgule (;). Ce que l’on nomme « commande » est tout ce qui est inscrit entre le
« > » et le « ; » sur la feuille de travail. Le point-virgule doit être inscrit à la fin de chaque commande si l’on souhaite
que Maple V effectue l’opération demandée et affiche le résultat. Il existe certains cas où l’on peut utiliser les deux
points (:). Le cas présenté dans ce guide se trouve à l’étape 1 de l’application Maple V, à la partie sur le chapitre 4.
2
1RWH : Si Maple V détecte une erreur de « syntaxe » ou s’il ne comprend pas l’instruction demandée, le logiciel affiche un
message d’erreur indiquant la nature de l’erreur et, dans certains cas, indique où elle se situe en amenant le curseur là où a
été détectée la première irrégularité rencontrée.
([HPSOHG·DIILFKDJHGDQVOHORJLFLHO0DSOH9
Les trois exemples ci-haut correspondent respectivement aux exemples 1.2, 1.5 et 1.6 aux pages 7 et 9 de votre livre &DO
FXO. Il est facile de remarquer que le langage utilisé par Maple V pour décrire la solution à une inéquation est différent de
celui utilisé dans les volumes de mathématique, en plus d’être en anglais.
Ici, « RealRange » signifie « intervalle des réels » et quand un point critique n’est pas une solution d’une inéquation, le mot
« Open » (Ouvert) précède cette valeur. Une telle situation correspond à un point ouvert sur un axe des réels.
&KDSLWUH(VWLPDWLRQHWpYDOXDWLRQGHOLPLWHV
6HFWLRQVG·H[HUFLFHVRO·RQGRLWFDOFXOHUGHVOLPLWHVHW
$SSOLFDWLRQ7L
La calculatrice graphique généralement utilisée au niveau collégial ne permet pas de calculer directement une limite. Cependant, il est possible d’étudier le comportement d’une fonction dans les environs d’une valeur D de la variable [. La valeur vers laquelle semble tendre la fonction étudiée lorsque l’on s’approche de Dconstitue une bonne approximation de la
limite.
Soit la limite à calculer dans l’exemple 2.29 de la page 70 du livre &DOFXO : lim
[ →0
tan [
[
9RLFLFRPPHQWSURFpGHU
1.
Allumer la calculatrice. Le curseur est à gauche d’une ligne sur l’écran.
3
2.
Appuyer sur la touche o. Inscrire à la première ligne la fonction dont on veut trouver la limite. Les règles d’écriture de
la calculatrice graphique TI sont plus intuitives que les règles du logiciel Maple V.
9RLFLXQWDEOHDXSUpVHQWDQWOHVSULQFLSDOHVUqJOHVG·pFULWXUHGHOD7,
2SpUDWLRQ
eTXDWLRQ
Multiplication
3[
Division
3
[
sin [
(1 − [)
3[ 2
Exposant
5[3
[
Inégalité
Dans le cas de notre fonction,
3.
2( [ − 5) ≥ 0
§ö
(1RWH : le Θ et le n ne sont pas présents
dans toutes les versions de la TI)
§Šö
îö‰Š
ˆ¥žö‰
§ö†
y † œ ö ÷ ÷ ² ‰
öý›
¦ˆöžœ‰
y›¯
tan [
, les étapes à effectuer sont : èö‰Šö
[
Construire un tableau des valeurs de [ et de \ pour des valeurs de [ s’approchant de la valeur D donnée dans l’énoncé du
problème. Voici les étapes à suivre pour faire un tel tableau :
•
Premièrement, sélectionner l’écran TABLE SETUP en faisant y [TBLSET]. À la ligne TblStart, inscrire
une valeur proche mais inférieure à la valeur vers laquelle doit tendre [. Cette valeur sera la première valeur à
être affichée dans le tableau de valeurs que l’on est en train de construire. Dans notre exemple, puisque la limite tend vers 0, un tableau débutant à −0,1 est un bon choix.
•
Toujours dans l’écran TABLE SETUP, à la ligne ∆Tbl, inscrire une valeur de pas (pour [) suffisamment petite
pour qu’il soit facile d’observer le comportement de la fonction dans les environs de la valeur [. Cette valeur
doit être assez petite pour que l’approche à la limite se fasse doucement. Dans le cas des fonctions habituellement utilisées dans le livre &DOFXO, un intervalle ∆ de 0,01 ou de 0,005 (utiliser le point ° et non la virgule
‡ sur la TI pour les décimales) constitue un bon choix pour une première tentative. Ici, la valeur de 0,005 est
retenue. L’écran TABLE SETUP est maintenant complété.
•
4
4
¬WDSHUjO¶pFUDQGHOD7,
Appuyer sur y [TABLE] pour afficher le tableau des valeurs de \ pour les valeurs de [ sélectionnées dans
TABLE SETUP. Il ne reste plus qu’à utiliser les boutons } et ÷ pour étudier le comportement de la fonction
et identifier la valeur vers laquelle tend \ dans les environs de la valeur D choisie. Si la fonction décroît ou
croît trop rapidement dans les environs de D demandé, retourner à la ligne ∆Tbl de l’écran TABLE SETUP et
demander un pas plus petit. Dans le cas de notre fonction, à mesure que [ s’approche de 0, \ s’approche de 1.
C’est la valeur de la limite recherchée. Le message d’erreur (ERROR) est affiché pour [ = 0 car le calcul de
la limite fait intervenir une indétermination à cette valeur. Il faut garder en tête que le tableau de valeurs ne
permet pas de calculer directement une limite mais bien d’en estimer la valeur par l’observation du comportement de la fonction dans les environs d’un D donné.
1RWH : Si la limite recherchée est l’infini, la calculatrice affiche également ERROR lorsque la valeur que prend la fonction
est trop grande (c’est-à-dire en réalité si la valeur qui doit être affichée égale ou dépasse 10100 ).
$SSOLFDWLRQ0DSOH9
Le logiciel Maple V calcule directement la limite d’une fonction si certaines règles d’écriture sont respectées. Il existe différentes façons de demander au logiciel de calculer une limite. Nous vous en proposons une (avec une variante). Cette méthode permet d’afficher l’équation dont on veut trouver la limite suivie de la réponse.
9RLFLFRPPHQWSURFpGHU
Dans Maple V, pour calculer une limite et faire afficher la YDOHXU de la limite seulement, il faut utiliser la macro-commande
OLPLW. Par contre, si l’on désire faire écrire seulement l’H[SUHVVLRQ dont on veut trouver la limite, il faut utiliser la forme
inerte de la macro-commande en écrivant /LPLW avec le « / » majuscule. Les paramètres obligatoires de OLPLW sont la fonction elle-même et la valeur vers laquelle tend la variable.
Regarder la ligne d’instruction suivante :
Seule l’expression est affichée. Pour calculer la valeur de cette limite tout en conservant l’affichage, il faut ajouter une instruction à la suite de la première commande et utiliser la macro-commande OLPLW:
5
La macro-commande YDOXH est ici très utile car elle permet de ne pas écrire deux fois l’expression dans la ligne
d’instruction. Voici comment l’utiliser :
&KDSLWUH$QDO\VHGHODFRQWLQXLWp
6HFWLRQVG·H[HUFLFHVRO·RQGRLWDQDO\VHUGHVFRQWLQXLWpV
$SSOLFDWLRQ7L
La calculatrice graphique peut nous aider à faire l’étude de la continuité d’une fonction dans la mesure où elle permet de
tracer la courbe représentant la fonction et d’en afficher le tableau des valeurs. Ce dernier permet surtout d’observer le comportement d’une fonction à l’approche d’un point de discontinuité appréhendé. De son côté, le graphique peut fournir des
informations quant à la présence d’une discontinuité et quant au type de discontinuité rencontré.
Soit la fonction de l’exercice 23 de la section 3.5 à la page 127 dont on veut étudier la continuité :
3[ + 1
\=
2[ − 5
9RLFLFRPPHQWSURFpGHU
1.
6
Écrire la fonction dont on veut étudier la continuité à la ligne Y1 de l’écran obtenu en faisant o.
2.
Appuyer sur p. Cet écran permet d’établir les valeurs extrêmes des axes du graphique de la fonction à construire.
Xmin, Xmax, Ymin et Ymax sont les valeurs limites inférieures et supérieures que l’on souhaite utiliser pour le graphique.
Des valeurs sont déjà suggérées par la calculatrice mais pour les fonctions à l’étude dans &DOFXO, il peut être plus rapide de commencer par des valeurs minimales de −50 et maximales de 50, autant pour l’axe des [ que pour l’axe des \,
quitte à devoir revenir sur ses pas et choisir de nouvelles valeurs plus petites ou plus grandes.
Xscl et Yscl sont les graduations sur l’axe des [ et sur l’axe des \. Ici, la valeur 5 pour les lignes de graduation apparaît
suffisante. La dernière ligne, Xres, contrôle la résolution de la courbe à tracer. On laisse la valeur de ce paramètre à 1 par
défaut.
3.
Appuyer sur r. La fonction est tracée automatiquement. À l’écran, sont aussi affichées la fonction Y1 et les coordonnées [ et \ du curseur clignotant. Ce dernier apparaît lorsqu’il est déplacé avec les flèches | et ~. Dans le cas de la
fonction à l’étude ici, les valeurs des axes choisies à l’étape 2 sont trop grandes. Il faut retourner modifier les valeurs
limites des axes dans p afin de pouvoir mieux étudier la fonction. Voici l’écran p présentant les valeurs
optimales à choisir pour les axes, de même que le nouveau tracé :
4.
Analyser la continuité de la fonction. Si un (ou des) point de discontinuité existe et qu’on veut en déterminer la nature,
il peut être pratique de faire un tableau des valeurs de la fonction (en complétant l’écran TABLE SETUP et en consultant ensuite l’écran TABLE) dans les environs du point de la même façon qu’à l’étape 3 de la partie sur le chapitre 2 de
ce guide. Dans le cas de la fonction ici à l’étude, il y a une discontinuité essentielle infinie en [ = 2,5 .
1RWH : Il n’est pas possible de tracer des fonctions à deux ou plusieurs paliers (aussi appelées fonctions définies par parties)
sur la calculatrice graphique. Il faut s’en remettre à Maple V pour étudier de telles fonctions.
$SSOLFDWLRQ0DSOH9
C’est la macro-commande SLHFHZLVH qui permet d’écrire et de tracer des fonctions à plusieurs parties (ou paliers).
9RLFLFRPPHQWSURFpGHU
Soit la fonction de l’exercice 17 de la section 3.5 à la page 127 de &DOFXO
 [2 + 4[
si [ < −1

I ( [) =  −12 [
si [ ≥ −1

 [ −3
7
Pour la tracer dans Maple V, il faut d’abord écrire les instructions suivantes :
Il faut ensuite utiliser la macro-commande SORW afin de faire tracer le graphique de la fonction I([) :
La commande ci-dessus comprend les valeurs limites des axes [ et \ du graphique. Il est toujours possible de retourner
changer ces valeurs directement à l’écran. Cela permet, par exemple, de s’approcher d’un présumé point de discontinuité
afin d’en estimer la nature le plus précisément possible. On peut aussi augmenter les valeurs des graduations afin de mieux
voir le tracé de la fonction dans son ensemble. Il s’agit en fait de choisir les graduations du graphique en fonction de ses
besoins!
8
&KDSLWUH(VWLPDWLRQHWpYDOXDWLRQGHGpULYpHV
6HFWLRQVG·H[HUFLFHVRO·RQGRLWFDOFXOHUGHVGpULYpHVHWj
$SSOLFDWLRQ7L
La calculatrice graphique, avec la commande Q'HULY permet d’estimer la valeur d’une dérivée d’une fonction en un point
quelconque (pourvu que cette dérivée existe), en calculant la pente de la tangente en ce point.
Voici l’exercice 35 de la section 4.17 de la page 196 de &DOFXO, l’énoncé de cet exercice est :
2[2 −1
Trouver la pente de la tangente de la courbe \ =
au point (2, 7 11) .
3[ + 5
9RLFLFRPPHQWSURFpGHUjO·DLGHGHODFDOFXODWULFH
1.
Afficher la commande Q'HULY en faisant ’. Cette commande doit contenir les informations quant à l’équation à
dériver, la variable de dérivation, la valeur donnée à cette variable et la valeur de l’intervalle ∆[ sur lequel est calculée
la pente.
2.
Écrire l’équation de la courbe en respectant les règles d’écriture de la calculatrice, suivie d’une virgule (‡).
3.
Écrire la variable par rapport à laquelle est calculée la pente de la tangente, ici [, suivie d’une seconde virgule.
4.
Écrire la coordonnée [ du point indiqué dans l’énoncé, ici « 2 », suivie d’une troisième virgule.
5.
Écrire une valeur de ∆[ (appelée ε dans le guide d’utilisation de la TI) assez petite, par exemple, 0,001. Plus la valeur
de l’intervalle ∆[ dont on se sert pour calculer la pente de la tangente à la courbe est petite, plus la réponse obtenue
s’approche de la valeur exacte de la dérivée.
6.
Fermer la parenthèse ‰ et faire ². La valeur estimée de la dérivée, 0,553 718 9 … est affichée à l’écran. La réponse donnée dans &DOFXO est 67/121, qui est égale à 0,553 719 0 … L’approximation est donc assez bonne.
1RWH : Si la dérivée n’existe pas au point choisi, la TI peut afficher une valeur fausse de la dérivée. Il s’agit d’être prudent et vigilant!
$SSOLFDWLRQ0DSOH9
Tout comme dans le cas de la limite, il n’y rien de plus simple que de calculer une dérivée à l’aide d’un logiciel de calcul
symbolique tel Maple V. Il peut être pratique d’utiliser un tel outil dans le cas où la dérivée à faire nécessite de trop longs
calculs.
9
Deux types de dérivation sont ici réalisés ; la dérivation de fonctions explicites et la dérivation implicite.
$'pULYDWLRQGHIRQFWLRQVH[SOLFLWHV
La macro-commande GLII et sa version inerte 'LII permettent de dériver des fonctions dites H[SOLFLWHV c’est-à-dire présentées
sous la forme \ = I ( [ ) . Soit la fonction de l’exercice 12 de la section 4.17 à la page 195 de &DOFXO :
\ = 4[2 [2 −1
9RLFLFRPPHQWSURFpGHUGDQV0DSOH9SRXUFDOFXOHUODGpULYpHSUHPLqUHGHFHWWHIRQFWLRQ
Il suffit donc en réalité d’effectuer trois étapes :
1.
Donner un nom (f1, g, y(x), eq, etc.) à la fonction et faire suivre ce nom de « := ». Ensuite, écrire la fonction, toujours
selon les règles d’écriture de Maple V. Si la première ligne est terminée par un « ; », Maple V transcrit l’équation à
l’écran à la ligne suivante. Si le point-virgule est remplacé par un deux-points « : », le logiciel amène le curseur sur la
ligne suivante sans avoir écrit l’équation dont on veut calculer la dérivée.
2. Utiliser la macro-commande GLII afin de faire effectuer la dérivée. Cette macro-commande nécessite les paramètres QRP
GRQQpjODIRQFWLRQ et YDULDEOHGHGpULYDWLRQ.
1RWH : Si l’on souhaitait calculer la GpULYpHVHFRQGH, voici comment cette deuxième ligne serait écrite, avec son résultat :
10
3.
Simplifier l’expression dérivée obtenue à l’aide de la macro-commande VLPSOLI\. Rappelons que le symbole « % »
indique à Maple V de reprendre le dernier résultat affiché. Cette troisième étape n’est pas nécessaire dans la mesure où
l’expression de la dérivée première obtenue au début de l’étape 2 est mathématiquement correcte. La version simplifiée
de la dérivée devrait normalement s’approcher ou correspondre exactement à la forme donnée dans le corrigé à la fin de
votre volume &DOFXO.
L’utilisation de la forme inerte de la macro-commande GLII est utile lorsque l’on souhaite voir s’afficher l’expression de la
dérivée. Voici un second exemple qui utilise la forme inerte 'LII :
Soit la fonction \ = ( [3 − 8)3 2 de l’exercice 17 de la section 4.17 à la page 195 de &DOFXO. Trouver sa dérivée seconde.
Bien entendu, la macro-commande VLPSOLI\ pourrait être ajoutée à la suite de ce calcul. On doit toujours tenter de présenter
un résultat mathématique dans sa forme la plus simplifiée possible.
%'pULYDWLRQLPSOLFLWH
La macro-commande LPSOLFLWGLII permet de dériver des fonctions décrites sous forme LPSOLFLWH c’est-à-dire des fonctions
écrites sous la forme I ( [, \ ) = 0 . Soit la fonction de l’exemple 4.36 de la page 181 de &DOFXO:
[2 \2 + [ + \ = 3
11
9RLFLFRPPHQWSURFpGHUGDQV0DSOH9SRXUHIIHFWXHUODGpULYpHG·XQHWHOOHIRQFWLRQ
G\
Il s’agit ici de trouver
G[
Voici maintenant une description plus détaillée de chacune des trois étapes effectuées ci-haut pour la dérivation implicite :
1.
Donner un nom à l’équation écrite sous forme implicite (par exemple, HT) et écrite l’équation tout au long selon les
règles d’écriture de Maple V.
2.
Utiliser la macro-commande VXEV permettant de faire une substitution dans une équation donnée. Dans le cas de la
dérivation implicite, pour que le logiciel reconnaisse \ comme une variable, il faut lui indiquer que \ est en fait une valeur dépendant de [. C’est pourquoi on doit écrire y=y(x) comme premier paramètre de VXEV et le nom de l’équation à
modifier comme deuxième paramètre de la macro-commande.
3.
Effectuer la dérivation implicite. La partie importante de cette troisième étape est celle qui contient la macrocommande LPSOLFLWGLII qui doit avoir comme paramètres le nom de l’équation à dériver, la variable dépendante (ici \) et
la variable indépendante (ici [). L’ajout de la forme inerte 'LII au début de la troisième ligne fait ajouter l’équivalent de
G\ G[ devant la réponse.
1RWH : La notation ∂\ ∂[ utilisée par Maple V dans cette partie est appelée GpULYpHSDUWLHOOH. Ce nom fait référence au fait
que la fonction est dérivée par rapport à une seule de ses deux variables.
&KDSLWUH$QDO\VHGHIRQFWLRQVHWWUDFpGHFRXUEHV
6HFWLRQVG·H[HUFLFHVRO·RQGRLWDQDO\VHUXQIRQFWLRQRXHQWUDFHUODFRXUEHj
La résolution de problèmes nécessitant l’utilisation de techniques de dérivation est souvent rendue plus facile par la construction et l’analyse de la courbe de la fonction décrivant le problème à l’étude. La recherche des maximums, des minimums
et des points d’inflexion d’une fonction, la détermination de la concavité d’une courbe, etc., sont autant d’éléments nécessaires à la construction d’une courbe.
La calculatrice graphique permet de construire des courbes, d’en trouver les zéros, les maximums et les minimums assez
facilement, malgré que les manipulations peuvent devenir longues. Le logiciel de calcul symbolique Maple V permet
d’obtenir les mêmes résultats que la calculatrice graphique, en plus de calculer plus directement les points d’inflexion.
12
$SSOLFDWLRQ7L
La commande r de la TI-83 a déjà été utilisée à l’étape 3 de la partie sur le chapitre 3 de ce guide (page 7). En utilisant
la commande y[CALC] sur un tracé de courbe à l’écran de la calculatrice, il est possible de trouver les MIN et les MAX
(absolus ou relatifs), ainsi que les zéros d’une fonction.
Soit la fonction de l’exercice 58 de la section 5.12 à la page 258 dont on souhaite tracer la courbe :
\ = [3 − 6 [ 2 − 63[
Voici comment procéder pour tracer cette fonction et pour en débuter l’analyse :
1.
Écrire cette équation à la ligne Y1 de l’écran obtenu en faisant o.
5DSSHO : Pour mettre au cube la variable [, il suffit de faire § ou ÷÷².
2.
Aller à l’écran p afin de déterminer les valeurs limites des axes du tracé de courbe à construire. Choisir des valeurs appropriées pour chacun des sept paramètres de cet écran.
1RWH : Revoir l’étape 2 de la partie sur le chapitre 3 à la page 7 sur la définition des paramètres de l’écran p.
3.
Appuyer sur r. Le tracé de courbe s’effectue.
4.
Ici, le choix des valeurs limites pour les axes du graphique ne permettent pas de voir toute la courbe. Voici les valeurs
optimales pour lesquelles la portion « intéressante » de la courbe est tracée.
5.
Afin de trouver les MIN et les MAX, il faut faire y[CALC], ce qui fait apparaître une liste de choix. Les options
« 3:minimum » et « 4:maximum » sont celles qui permettent de trouver les MIN et les MAX de la fonction à l’étude.
Commencer par un MAX.
6.
Choisir l’option « 4:maximum ». La calculatrice revient au tracé de courbe. Les mots « Left bound? » (limite à gauche)
sont affichés au bas de l’écran. Les prochaines étapes servent à indiquer à la calculatrice dans quelle région de la courbe
se situe le MAX recherché.
13
7.
Déplacer le curseur clignotant un peu à gauche du maximum relatif de la courbe tracée.
Appuyer sur ². Les mots « Right bound? » (limite à droite) sont affichés au bas de l’écran.
8.
Déplacer le curseur clignotant un peu à droite du maximum relatif.
Appuyer sur ². Le mot « Guess? » affiché au bas de l’écran, invite à déplacer le curseur sur la position correspondant à la meilleure approximation quant à l’emplacement du MAX recherché.
9.
Déplacer le curseur le plus possible sur le MAX dont on cherche la valeur et appuyer sur ². La TI calcule un
maximum à [ = −3 et \ = 108 . Cela correspond à la valeur recherchée.
Il faut recommencer la procédure à partir de l’étape 6 pour trouver un MIN. C’est le choix « 3:minimium » dans l’écran
y[CALC]. Il est aussi possible d’estimer la valeur des zéros de la fonction en faisant le choix « 2:zero ».
$SSOLFDWLRQ0DSOH9
La puissance d’un logiciel de calcul symbolique tel que Maple V permet de faire l’analyse d’une fonction et de son tracé de
courbe de façon plus rapide. L’approche ici utilisée correspond beaucoup plus à l’application des tests de la dérivée première et de la dérivée seconde vus aux pages 229 et 250 du volume &DOFXO.
Soit la fonction utilisée pour la section sur la calculatrice ci-haut : \ = [3 − 6 [ 2 − 63[ .
Les MIN et les MAX d’une fonction se déterminent en effectuant la dérivée première de la fonction et en trouvant les valeurs de [ pour lesquelles la dérivée première est égale à 0. Les points d’inflexion se déterminent en effectuant la dérivée
seconde de la fonction et en trouvant les valeurs de [ pour lesquelles la dérivée seconde est égale à 0. Ces informations sont
suffisantes pour compléter l’analyse de la fonction à l’étude.
14
9RLFLFRPPHQWGpEXWHU
1.
Nommer la fonction à étudier et écrire cette fonction. Dériver une fois. Le nom donné à la première dérivée est d1f.
2.
Trouver les valeurs critiques de la fonction et nommer ces valeurs. Ici, l’ensemble solution de d1f est appellé A. C’est
la macro-commande VROYH qui permet de résoudre une équation. Le symbole « % » signifie que la commande s’effectue
en utilisant le dernier résultat affiché.
Les valeurs pour lesquelles la dérivée première s’annule, ici −3 et 7, sont les coordonnées en [ des points critiques de
la fonction. Nous verrons comment trouver les coordonnées en \ de ces points critiques à l’étape suivante.
3.
Donner à chacune des valeurs critiques données à l’étape 2 une appellation simple, ici A1 et A2.
4.
Trouver la coordonnée \ de chaque valeur critique. La macro-commande VXEV (pour substitution) permet d’insérer une
valeur donnée dans une fonction déjà écrite. Les paramètres obligatoires de VXEV sont la variable à substituer avec la valeur qu’on souhaite lui donner, suivie de la fonction dans laquelle la substitution doit se faire.
15
Les coordonnées des points critiques sont donc complètes. On a ici un point critique à ( −3 , 108) et un autre à (7, −392 ).
Il ne reste qu’à déterminer s’il s’agit de MAX ou de MIN. On peut le faire en considérant le signe de la dérivée première
de part et d’autre de ces points critiques ou en utilisant la dérivée seconde comme dans l’étape qui suit.
5.
Trouver la dérivée seconde et vérifier le signe de la dérivée seconde en chacun des points critiques.
Puisque la dérivée seconde est négative au point critique ( −3 , 108), on en conclut qu’il s’agit d’un MAX relatif. Puisque
la dérivée seconde est positive au point critique (7, −392 ), on en conclut qu’il s’agit d’un MIN relatif.
6.
16
Refaire les étapes 2 à 4 avec la dérivée seconde afin de trouver les valeurs pour lesquelles elle s’annule. Les coordonnées ainsi calculées donnent les points critiques pour la dérivée seconde.
Ici, il y a un point d’inflexion à (2, −142 ). Il est facile de constater que la dérivée seconde change de signe en passant
d’un côté à l’autre de ce point.
Toutes les informations de base utiles à la poursuite de l’analyse de cette fonction sont donc disponibles. Il s’agit
d’interpréter les résultats en fonction de la tâche qui est demandée! Bien entendu, il peut s’avérer très pratique de faire tracer
la fonction I à l’aide de la macro-commande SORW dont on connaît maintenant les paramètres. (voir la section Maple V dans
la partie sur le chapitre 3 à la page 7 de ce guide)
&KDSLWUH
Ce chapitre, sur les fonctions transcendantes, est le lieu parfait pour la pratique de méthodes et techniques de calcul étudiées
dans ce guide sur l’utilisation des nouvelles technologies en mathématiques. Dérivation, tracé de courbe, limites, etc., tous
les apprentissages réalisés aux chapitres 2 à 5, sont mis à profit dans le sixième chapitre mais avec un nouveau groupe de
fonctions : les fonctions transcendantes. Il faut oser essayer les techniques apprises, que ce soit sur la calculatrice TI ou sur
Maple V!
&KDSLWUH
Ce chapitre, sur la différentielle, présente des techniques de calcul utiles pour réaliser des approximations en l’absence de
technologie. L’utilisation de la calculatrice ou d’un logiciel de calcul symbolique n’est donc pas pertinente ici!
5pIpUHQFHVXWLOHVSRXUV·LQLWLHUDXORJLFLHO0DSOH9HWjODFDOFXOD
WULFHJUDSKLTXH
0DSOH9SRXUOHVVFLHQFHV. M. Lemelin
Éditions Le Griffon d’argile / 1998 / 242 p. / 24,95$ / ISBN 2-89443-052-3
/DERUDWRLUHV0DSOH9)RQFWLRQQDOLWpVGHEDVH P.-A. Lalancette
Éditions Le Griffon d’argile / 1999 / 36 p. / 7,95$ / ISBN 2-89443-089-2
/DERUDWRLUHV0DSOH9&DOFXOGLIIpUHQWLHO P.-A. Lalancette
Éditions Le Griffon d’argile / 1999 / 40 p. / 7,95$ / ISBN 2-89443-090-6
Le site Web de la compagnie Texas Instruments contient beaucoup d’informations utiles à propos de l’utilisation des calculatrices TI. http://www.ti.com
Le site Web de la compagnie Waterloo Maple contient beaucoup d’informations utiles à propos de l’utilisation du logiciel
Maple V. http://www.maplesoft.com
N’hésitez pas à faire vos propres recherches sur Internet, vous pourrez presque toujours y trouver réponse à vos questions.
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Calcul différentiel
Applications
pour les
nouvelles technologies
ISBN 2-89443-118-X
9 782894 431184
www.griffondargile.com