Terminale ES Bac blanc de Mathématiques Année 2015. Exercice 1 :

Terminale ES
Bac blanc de Mathématiques
Année 2015.
Lycée Jacques Monod
22 février 2015
Exercice 1 :
Voici les graphiques des questions 1. et 2. .
3
b
2
A
1
2
1
1
2
3
−1
1
2
4
b
A
3
−2
Graphique Question 2.
Graphique Question 1.
1. Le graphique ci-dessus donne une représentation graphique d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0; 3]
ainsi que la tangente à celle-ci au point A d’abscisse 1. En x = 1, le nombre dérivé de f est :
(a) −2e ;
(b) 3 ;
(c)
1
(d) − ?
e
1
;
e
2. Le graphique ci-dessus donne la courbe représentative d’une fonction g définie et dérivable sur l’intervalle [0; 5] ainsi
que la tangente à celle-ci au point A d’abscisse 3. Le signe de la fonction g ′ dérivée de g est :
(a) négatif sur [0; 1] ;
(b) positif sur [3; 4] ;
3. La fonction h définie sur R par : h (x) = e−
(a) h′ (x) = e−
x2
2
;
x2
2
(c) négatif sur [1; 4] ;
(d) change en x = 4 ?
a pour fonction dérivée la fonction h′ définie sur R par :
(b) h′ (x) = e−x ;
(c) h′ (x) = −x × e−
x2
2
;
(d) h′ (x) = −2x × e−
1
4. Pour tout réel a non nul, le nombre réel e− a est égal à :
1
(a) −e a ;
(b)
1
1
ea
;
(c)
5. L’ensemble des solutions réelles de l’inéquation : e−3x+1 ≤
(a) −∞; 23 ;
(b)
3 ; +∞ ;
2
1
1
e
1
ea
;
est :
i
i
1− 1
(c) −∞; 3 e ;
(d) ea ?
(d)
h
1− 1e
3
h
; +∞ ?
x2
2
?
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Lycée Jacques Monod, 22 février 2015
Exercice 2 : Exercice de spécialité mathématiques.
Partie A :
Une entreprise fabrique deux types de téléviseurs, « premier prix » et « haute technologie ». Pour fabriquer un téléviseur
« premier prix » il faut 1 unité du bureau d’étude, 1, 5 unité de main-d’œuvre et 3 unités de composants électroniques
et pour un téléviseur « haute technologie », il faut 2 unités du bureau d’étude, 2 unités de main-d’œuvre et 6 unités de
composants électroniques. Les coûts des unités sont les suivants :
• 40 euros pour une unité du bureau d’étude ;
• 20 euros pour une unité de main-d’œuvre ;
• 25 euros pour une unité de composants électroniques.
L’entreprise doit fournir 90 téléviseurs « premier prix
« haute technologie ».
 » et 30 téléviseurs

1
2
90
On donne les matrices : P = 40 20 25 ; B =  1, 5 2  et C =
.
30
3 6
Calculer les produits de matrices suivants et interpréter le résultat :
1. U = P × B ;
2. V = B × C ;
3. W = P × B × C.
Partie B :
On note S le système d’équations :


a+b+c = 0
4a + 2b + c = 3 .

4a + b = 5


a
1. Déterminer les matrices A et B telles que S se traduise par l’égalité : AX = B avec : X =  b .
c
2. Déterminer A−1 et en déduire l’unique solution du système S.
3. Déterminer la fonction f définie sur R par : f (x) = ax2 + bx + c dont la courbe représentative passe par les points
M (1 ; 0) et N (2 ; 3) et telle que sa tangente au point N ait pour coefficient directeur 5.
Exercice 2 : Exercice hors spécialité mathématiques.
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du
midi ainsi que sur les rythmes scolaires. L’enquête révèle que 55% des élèves sont favorables à une pause plus longue le
midi et parmi eux, 95% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire. Parmi ceux qui ne veulent
pas de pause plus longue le midi, seulement 10% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire. On
choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les événements suivants :
• L : l’élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi ;
• C : l’élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
2. Calculer la probabilité P (L ∩ C) de l’événement L ∩ C.
3. Montrer que : P (C) = 0, 5675.
4. Calculer : PC (L), la probabilité de l’événement L sachant que l’événement C est réalisé.
2
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5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l’établissement.
Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d’élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l’année
scolaire. Le nombre d’élèves étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale.
(a) Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
(b) Calculer la probabilité qu’aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus
étalée sur l’année scolaire.
(c) Calculer la probabilité qu’exactement deux des quatre élèves interrogés soient favorables à une répartition des
cours plus étalée sur l’année scolaire.
Exercice 3 :
Le service commercial d’une société possédant plusieurs salles de sport dans une grande ville a constaté que l’évolution
du nombre d’abonnés était définie de la manière suivante :
• chaque année, 40% des abonnements de l’année précédente ne sont pas renouvelés ;
• chaque année la société accueille 400 nouveaux abonnés.
En 2010 cette société comptait 1500 abonnés.
a0 = 1500
On considère la suite (an )n∈N définie par :
.
an+1 = 0, 6 × an + 400 , n ∈ N
1. Justifier que la suite (an )n∈N modélise le nombre d’abonnés pour l’année 2010 + n.
2. On considère la suite (vn )n∈N définie pour tout entier naturel n par : vn = an − 1000.
(a) Montrer que la suite (vn )n∈N est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
(b) Fournir la formule explicite du terme général vn de la suite (vn )n∈N en fonction de l’entier n.
(c) En déduire que, pour tout entier naturel n : an = 1000 + 500 × 0, 6n .
3. En 2010, le prix d’un abonnement annuel dans une salle de sport de cette société était de 400 euros. Chaque année le
prix de cet abonnement augmente de 5%. On note Pn le prix en euros de l’abonnement annuel pour l’année 2010 + n.
(a) Quelle a été la recette de cette société en 2010 ?
(b) Indiquer la nature de la suite (Pn )n∈N en justifiant la réponse. En déduire une expression de la quantité Pn en
fonction de l’entier naturel n.
(c) Montrer que, pour l’année 2010 + n la recette totale annuelle Rn (en euros) réalisée par la société pour l’ensemble
de ses salles de sport est : Rn = (500 × 0, 6n + 1000) × (400 × 1, 05n ).
(d) On souhaite déterminer l’année où, pour la première fois, la recette de cette société dépassera celle obtenue en 2010.
Ci-dessous, une version incomplete d’un algorithme permettant de déterminer cette année. Recopier et compléter
cet algorithme.
Ligne
1
Varables :
2
3
n est un entier.
Initialisation :
Affecter à R la valeur : . . . . . . . . .
Affecter à n la valeur : 0.
Traitement :
Tant que : R ≤ . . . . . . . . , faire :
Affecter à n la valeur : n + 1.
4
5
6
7
Affecter à R la valeur : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fin de la boucle "Tant que".
8
9
R est un réel.
Sortie :
Afficher : 2010 + n.
3
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Exercice 4 :
Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue.
L’entreprise peut fabriquer entre 0 et 3600 poulies par semaine. On note x le nombre de milliers de poulies fabriquées et
vendues en une semaine. (x varie donc dans l’intervalle [0 ; 3, 6]). Le bénéfice hebdomadaire est noté B (x), il est exprimé
en milliers d’euros. L’objet de cet exercice est d’étudier cette fonction B.
Partie A : étude graphique
Voici la représentation graphique (CB ) de la fonction B :
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−1
(CB )
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8
1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 13000 e.
2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l’entreprise ? Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues
semble-t-il être réalisé ?
Partie B : étude théorique
Le bénéfice hebdomadaire, noté B (x) est exprimé en milliers d’euros vaut : B (x) = −5 + (4 − x) × ex .
1. On note B ′ la fonction dérivée de B.
(a) Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle I = [0 ; 3, 6] : B ′ (x) = (3 − x) × ex .
(b) Déterminer le signe de B ′ (x) sur l’intervalle I.
(c) Dresser le tableau de variation de la fonction B. On indiquera les valeurs de la fonction B aux bornes de l’intervalle.
2. Justifier que l’équation : B (x) = 13 admet deux solutions x1 et x2 , l’une dans l’intervalle [0 ; 3] et l’autre dans l’intervalle
[3 ; 3, 6]. Fournir les valeurs approchées au centième.
3. On admet que, pour tout réel x de l’intervalle I, on a : B ′′ (x) = (2 − x) × ex
(a) Étudier la convexité de la fonction B sur l’intervalle I.
(b) Combien de poulies faut-il fabriquer par semaine pour que le bénéfice marginal soit maximal ?
4