Déformations et élasticité

v 7.1
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Déformations et élasticité
cisaillement
compression
Types de déformations
On peut soumettre les corps rigides à 3 types d'effort
qui provoquent des déformations
traction
compression
cisaillement
N.B. : torsion ≡ cisaillement
Régimes de déformation
Considérons le cas d'un objet solide soumis à traction, p. ex. un cylindre
de métal de longueur d et section droite A. Il est fixé au mur sur un côté
et on applique une force F de traction sur l'autre.
Si la force n'est pas trop forte, on observe un allongement δ qui est
proportionnel à d et à F: c'est le régime linéaire.
Au- delà, la proportionnalité n'est pas respectée.
Si l'on relâche la traction et le cylindre revient à sa forme de départ,
la déformation était élastique, plastique sinon.
Si la force est trop forte le corps peut se casser (corps cassant, p. ex. du verre) ou
s'allonger très rapidement (corps ductile) avant de se casser.
On a:
d
δ
F
δ∝F
δ∝d
On tient compte de la proportionnalité de
δ avec d en introduisant la déformation
(relative) ε (sans dimension) : ε = δ / d
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Relation force - déformation
Considérons le cas d'un objet solide soumis à traction, fixé au mur sur un côté et
on applique une force F de traction sur l'autre. On observe un allongement δ.
On constate que la force nécessaire pour obtenir le même δ sur une barre de
section droite identique, mais de forme circulaire ou carrée ou autre, est
essentiellement la même.
En effet seulement la section entre dans le calcul de déformations par traction et
compression.
On est amenés à introduire l'effort: σ = F/A
d
δ
F
A
[σ] = N/m2
Relation force - déformation .2
On tient compte de la proportionnalité de δ avec d, δ ∝ d , en introduisant
la déformation (relative) ε (sans dimension) :
ε=δ/d
La proportionnalité entre déformation élastique et effort s'exprime
par le module d'Young E (N/m2) :
ε = σ/Ε
1 F
δ=
d
Donc:
EA
Dans le cas de corps homogènes (ex. : les métaux),
E est le même pour traction et compression.
traction
B
€
Figure:
dans la région AB le régime est linéaire
et le module de Young E correspond à 1/pente
de la droite.
Exemples:
Al: E = 7 x 1010 Nm−2
acier: 20,
brique: 2
ε
cassure
σ
A
compression
La constante d'élasticité
Hooke avait étudié la proportionnalité entre force F et la déformation δ
pour les objets élastiques (en particulier les ressorts). La loi d'Hooke pour
un objet de constante d'élasticité (ou du ressort) k:
F=kδ
On peut relier k au module de Young E.
De la définition d'effort σ = F/A et déformation ε = δ/d on tire:
σ = F/A = kδ/Α = (d/d)kδ/A = (kd/A) δ/d = (kd/A)ε
=> σ/ε = kd/A
de la définition E = σ/ε :
Ε = kd/A
d
δ
et
k = EA/d
F
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La flexion
Barre rigide de section a × b et longueur d, appuyée sur les bords
et soumise à son poids w.
z
y
a
b
x
d
R
Après flexion, on a approximativement
un arc de cercle de rayon R
R →∞ quand w →0
N=w/2
N=w/2
w
On observe que la partie supérieure de la barre est en compression,
celle inférieure en traction
z
y
x
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La flexion .2
Le système est symétrique par rapport au centre (la barre est homogène).
Considérons la moitié gauche. La surface supérieure est plus petite qu' en
l'absence de flexion, la surface inférieure est dilatée. A l'intérieur du
corps il existe la surface neutre, qui n'a pas changé de valeur.
La partie droite exerce des forces sur la partie gauche comme
qualitativement indiqué sur la figure.
On a la présence d'un moment de forces
internes qui cherche à mettre en rotation
antihoraire la partie gauche (horaire la droite).
N=w/2
On trouve que le rayon de courbure R
et le moment des forces τ sont liés par:
z
w/2
y
x
τ = E Is / R
E module d'Young, Is est le "moment
d'inertie de la section"
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Moment d'inertie de la section
...à ne pas confondre avec le moment d'inertie
z
a/2
I=
2
r
∫ dm
!!
Exemple: section rectangulaire de hauteur a et largeur b
calcul de IS par rapport à l'axe z.
a
€
[Is]=cm4
y
-a/2
b
a/2
a/2
3
3
a/2
z
a
b
2
2
2
I s = ∫ z dS = ∫ z (bdz) = b ∫ z dz = b
=
3 −a/2 12
−a / 2
−a / 2
Cylindre plain
€
Tube
πR
Is =
4
4
a b
π(a 4 − b 4 )
Is =
4
La flexion .3
La connaissance de la forme de la section droite (et pas seulement sa surface)
est donc nécessaire pour définir le comportement en cas de flexion.
De la formule τ = E Is / R on déduit que, si l'on fixe τ, il faut augmenter Is
pour diminuer augmenter la courbure R.
Dans le cas de la section rectangulaire:
a
b
a 3b
Is =
12
Considérons une planche de section 1x10 cm2, posée sur deux supports,
soumise uniquement à son poids.
a)
Dans le cas a) où elle est posée à plat,
€
Is = 13x10/12 = 0.83 cm4
Par contre, si elle est placée sur
la tranche b) Is = 1x103/12 = 83 cm4.
b)
Puisque le poids est le même dans les deux cas, le moment des forces internes
doit être le même. On en déduit pour les rayons de courbure:
Rb/Ra = 100
On s'attend donc à une déformation moindre dans b).
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Cisaillement
Le parallélépipède de la figure subit un cisaillement qui incline les faces
latérales d'un angle α:
δc
A
A
+F
α
h
-F
h
A
L'effort de cisaillement est
La déformation due au cisaillement
Le module de cisaillement
σc = F/A
εc = δc/h = tan α
G = σc / εc
N/m2
(pas de dim.)
N/m2
Exemples:
Al: G = 2,4
1010 N m−2
Acier:
8,4
W:
11,4
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Torsion
Le cylindre de rayon R et longueur h est soumis à un couple de forces,
de moment τ = 2RF. Il subit une torsion d'angle α:
-F
α
+F
h
h
Chaque couche de rayon r et épaisseur δr se déplace
d'une longueur ~αr.
Il y a donc un cisaillement entre couches: δc ~ α δr.
On s'attend à une liaison avec le module de
cisaillement G. En effet on trouve l'expression: τ = GI p
α
h
Ici Ip est le moment d'inertie polaire. Dans le cas du
cylindre plein on trouve: Ip = πR4/2
€
(unité m4)
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