DES SOLLICITATIONS AUX CONTRAINTES…

DES SOLLICITATIONS AUX CONTRAINTES…
Fiche n°3
Tout bâtiment, structure, subit des sollicitations (traction, compression, cisaillement, flexion, torsion…). En réponse à ces
sollicitations, les éléments d'une structure résistent et se déforment. On nomme contrainte, la résistance à l'effort subie par
un matériaux. Pour correspondre avec la terminologie des sollicitations, on parlera de contrainte normale (par exemple pour
la compression ou la traction), de contrainte tangentielle (par exemple pour le cisaillement). Une contrainte est définie par le
rapport entre une force et la surface d'une section.
La contrainte σ = Force (sollicitation) / unité de surface, [par exemple pour une contrainte normale :
Unité usuelle :
daN/mm2
ou
daN/cm2
[rappel : 1 daN ≈ 1 kg poids]
= n = N / S]
Unité légale : le Pascal [1 Pa = 1 Newton/m2]
En pratique, on utilise le méga Pascal : 1 Mpa = 10 Bar = 10 daN/cm2 ≈ 10 kgp/cm2 [1kgp = 9,81 N
P = mg]
CONTRAINTES NORMALES (TRACTION / COMPRESSION)
Si on étire un élément de structure en lui appliquant une sollicitation de
traction croissante (N et -N), on observe une évolution de la distance
entre A et B (∆L en m [ou ∆L/L en %]) avec les phénomènes suivants :
−
entre 0 et A, une zone de déformation élastique (l'élément
retrouvera sa forme initiale quand N=0).
−
entre A et D, une zone de déformation plastique (l'élément ne
retrouvera pas sa forme initiale quand N=0, zone de déformation
permanente quand on étire au dessus de Nélastique).
−
puis une rupture en B quand on étire à Nmax.
Déformations par traction / Déformations par compression
Pour prédimensionner un élément quand on connaît les sollicitations qui s'exercent sur lui (c-à-d. les forces et les moments)
on utilise les inéquations d'équarrissage. À chaque matériau correspondent des résistances admissibles (R a) par type
de sollicitation (Ra en compression, R a en traction, etc. cf. tableau des matériaux). On se fixe (ou la réglementation nous fixe)
ensuite les limites admissibles de déformation (∆L ou ∆L/L).
La section minimale de matériau doit être celle qui satisfait toutes les inéquations d'équarrissage.
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• Résistance
• Traction
• Si pas de concentration de contrainte : n = N / S
• Si concentration de contrainte : n = N / S
• Compression
•n=N/S
• Déformation
Ra
(homogène dans toute la section)
Ra avec nmax = k.n
Ra
ne
(ex. pour un filetage, k = 2,5)
(homogène dans toute la section)
• Application de la loi de Hooke
n = E L/L
• Traction ou compression
L = n.L / E Valeur fixée
(par l'architecte, la réglementation)
CONTRAINTES TANGENTIELLES (CISAILLEMENT)
Quand on applique sur un élément des forces T et -T tangentiellement à une section, la résistance à l'effort subie par le
matériaux est nommée contrainte de cisaillement : σ = t. La contrainte de cisaillement n'est pas répartie uniformément dans
toute la section (à chaque petite zone de la section, on a une contrainte de cisaillement t = dT / dS, on travaille donc sur un
tmoyen). Lorsqu'il existe en un point une contrainte de cisaillement t dans un plan transversal d'un élément, il existe la même
contrainte t dans le plan longitudinal. C'est ce qui explique un déplacement relatif dans les deux plans dans le cas d'une
déformation. Pour le cisaillement, on a besoin que d'une seule inéquation d'équarrissage.
• Résistance
• On définit une contrainte ou une résistance admissible au glissement : Rag
Pour l'acier de construction Rag ≈ 100 MPa, le bois de charpente, cisaillement transversal aux fibres Rag ≈ 1,5 MPa, sinon Rag ≈ 1,2 Mpa
Pour le béton et la maçonnerie, la résistance au cisaillement est très faible. (Le béton armé est un cas particulier et plus complexe)
• tmax = k T / S
Rag
Section de forme :
k=3/2
k=4/3
k = 1 (S = Sâme d'une section en
H)
CONTRAINTES DE FLEXION (SIMPLE)
Dans une zone de déformation élastique, on remarque :
Une sollicitation de flexion provoque des contraintes :
−
Une flèche f proportionnelle aux forces F càd. à Mf
−
Pour des mêmes forces F, la flèche est plus grande si on
se rapproche de l'axe de symétrie (Mf augmente)
−
Pour des mêmes forces F et une hauteur de poutre h, la
flèche est inversement proportionnelle à la largeur b, on a
alors f1 / f2 = b2 / b1 → f1.b1 = f2.b2 = f.b = constante
−
À largeur de poutre égale, on remarque que f.h3 = cste, et
donc que f1.h31 = f2.h32
−
La hauteur d'une poutre a beaucoup plus d'importance
que sa largeur pour résister à la sollicitation de flexion.
• normales n aux sections droites
• de traction d'un côté du plan neutre
• de compression de l'autre côté du plan neutre
• de cisaillement t longitudinales et par réciprocité transversales
En résumé, pour connaître n et t, on simplifie en ne vérifiant que les extrêmes. On utilise les inéquations d'équarrissage :
• nmax = Mf / (I / V)
avec
Ra
et
I : moment d'inertie de la section / à l'axe neutre, unité m4
I / V : module d'inertie, unité
I = b.h3 / 13 et I / V = b.h2 / 6
• (tmax = T.W0 / I.L0 ≤ Rag)dans le cas général
tmax = k T / S
Rag
(profilé) I = S.h2
m3
[cf. catalogues]
(V : distance entre le bord et l'axe neutre) [cf. catalogues]
/ 2 et I / V = S.h (h hauteur, S surface section d'une aile)
Mais en pratique, pour les section simples, on utilise :
Section de forme :
k=3/2
k=4/3
k = 1 (S = Sâme d'une section en H)
nmax et tmax, se situent respectivement au niveau de Mfmax et de Tmax pour un élément de section constante.
• On vérifie que la flèche maximale est inférieure à une flèche donnée (réglementation) : f
1/N
N = 150 pour les parties d'ouvrage en console sans circulation
N = 200 pour des éléments supportant directement des éléments de couverture
N = 300 pour des éléments supportant des matériaux verriers, pour les pannes, les consoles avec circulation
N = 400 pour les solives
N = 500 pour les poutres maîtresses, les ouvrages autres que les consoles supportant une circulation ou un remplissage
Cours et schémas in P. Lavigne, Approche scientifique des structures, EAG & in J.E. Gordon, Structures et matériaux, Éd. Pour la Science, 1994.
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