VI CISAILLEMENT SIMPLE 1. Définition

VI
CISAILLEMENT SIMPLE
Il existe de nombreux dispositifs utilisant la sollicitation de cisaillement (outils, cisailles,
poinçons …). Le cisaillement simple correspond dans la pratique à une sollicitation
d’extension - compression biaxiale.
1. Définition
a).
Cisaillement pur
G
L’état de cisaillement pur est caractérisé en tout point d’une section (S) de normale n par une
contrainte normale nulle et une répartition uniforme de la contrainte tangentielle :
σ =0
∀ M ∈(S) :  n
τ
nt
 = Cste
Remarque : Cette définition s’applique à une section droite et non à l’ensemble de la poutre
b).
Cisaillement simple
Une poutre subit une sollicitation de cisaillement simple lorsque les actions mécaniques de
liaison de réduisent dans une section droite (S) à deux résultantes directement opposées et
perpendiculaires à l'axe de la poutre.
La section (S) est alors appelée « section de cisaillement » ou « section cisaillée »
G
G
Remarque : Sous l’action des deux résultantes F et − F la poutre (P) tend à se séparer en
deux tronçons (P1) et (P2) glissant l’un par rapport à l’autre dans le plan de (S) (action de
couteaux d’une cisaille)
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c).
Sollicitations
En réalité, les plans de coupe (SA) et (SB) de chaque cisaille ne peuvent se placer
rigoureusement dans le même plan.
Considérons une section droite (S) de la poutre comprise entre (SA) et (SB).
G
Soit (P1) le tronçon de la poutre sur lequel est appliquée la résultante F de l’effort de coupe
supérieur en A.
G GG
Soit G le centre de la section (S) et (G, x, y, z ) le repère de définition des sollicitations.
Le torseur des efforts de cohésion dans la section (S) s’écrit :
G
G
G
G
G
 G R = −F G


R
G
[Tcoh ] =  M  avec  M = −GA ∧ F où F = − F yG et GA = −∆x xG
 G
 G
GGG
En projection sur les axes de (G, x, y, z ) on a :
G
G
/ y : F = T = Effort tranchant en valeur algébrique
G
G
/ z : − F ∆x = M f
≈0
= Moment de flexion
dans le cas du cisaillement simple ( ∆x très petit)
G
G
G
G
⇒ R = T y et M G = 0
2. Essai de cisaillement
L’étude expérimentale est réalisée avec une poutre de section rectangulaire parfaitement
encastrée, sur laquelle on applique un effort variable uniformément réparti dans le plan de
(S).
G
On note F la résultante en un point A à uns distance très petite ∆x de la section
d’encastrement (S).
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a).
Modélisation
Considérons le tronçon (P1) de (P). La réduction au centre de surface G de (S) du torseur des
G
G G
G
forces de cohésion s’écrit : [Tcoh ]=G R = −F, M G = GB ∧ F
{
}

 0G
G GG
Soit, en projection dans le repère R = (G, x, y, z ) : [Tcoh ] =  F
 0−
G

0 
0 
G 
F ∆x
R
Remarque : Pour que cette modélisation soit conforme à la définition du cisaillement de la
section (S), il est nécessaire que ∆x soit nul, ce qui n’est pas possible expérimentalement.
On peut par contre réaliser l’essai avec un ∆x très petit (≈0), ce qui permettra de négliger le
moment fléchissant suivant z.
b).
Résultats
Au cours de l’essai, la section droite (SA) glisse transversalement de ∆y par rapport à (S). On
admet que ce glissement se fait sans déformation interne de (S) et (SA).
G
La courbe enregistrée au cours de l’essai donne la relation entre l’intensité de la force F et le
glissement transversal ∆y de la section (SA) par rapport à (S).
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c).
Déformations
Dans la zone de déformation élastique, il y a proportionnalité entre le glissement transversal
G
G
∆y et l’effort de cisaillement F : F = k ∆y .
La valeur de k dépend des dimensions de l’éprouvette.
Si on représente un graphique avec :
-
en abscisse, le rapport ∆y ∆x appelé glissement relatif ou déviation γ (sans unité)
G
en ordonnée, le rapport F S appelé effort unitaire de cisaillement ( en MPa)
On obtient alors des courbes identiques qui ne dépendent que du matériau de l’éprouvette.
G
F
∆y
=G
(*)
On note :
S
∆x
où G est le module d’élasticité transversale ou module de Coulomb (en MPa)
Propriété : Pour la plupart des métaux, on a G = E avec υ = 0.3 , soit G = 3 E ≈ 0.4 E
8
1 +ν
3. Contraintes
a).
Contrainte moyenne de cisaillement
La contrainte en tout point M d’une poutre soumise au cisaillement, par rapport à une surface
G
(S) orientée suivant sa normale extérieure n , vérifie :
G
G
G
G
C(M, n ) = τ xy y ( + τ xz z ) ( σ x = 0 )
Démonstration : Equilibre du tronçon (P1) de la poutre soumise au cisaillement
Remarque : Dans la section cisaillée, la contrainte est tangentielle, mais on ignore la façon
dont elle est répartie.
→ Valeur moyenne : τ moy =
T
S
( τ xy en un point peut être supérieure à τ moy )
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b).
Loi de Hooke
Dans la relation (*) exprimant la proportionnalité entre l’effort de cisaillement et le glissement
relatif, le premier terme représente la contrainte moyenne τ moy .
On en déduit une relation plus générale :
τ = Gγ
avec
τ = Contrainte tangentielle du cisaillement ( en MPa)
G = Module de Coulomb (en MPa)
γ = Glissement relatif = ∆x ∆y (sans unité)
c).
Condition de résistance
La courbe de l’essai de cisaillement permet de définir las caractéristiques du matériau :
τ e = Fe S : Contrainte tangentielle moyenne limite élastique
τ r = Fmax S : Contrainte tangentielle moyenne de rupture
On peut alors définir une contrainte tangentielle pratique : τ p =
τe
s
Où s = coefficient de sécurité (> extension ou compression, compris entre 5 et 8)
On obtient alors la condition de résistance au cisaillement :
τ moy ≤ τ p
Remarque :
En pratique, on prend :
τe =
0.5 Re pour les aciers doux
0.7 Re pour les aciers mi-durs
0.8 Re pour les aciers durs et fontes
(où Re est la limite élastique du matériau)
Condition de non-matage (clavettes)
Lorsque la pression de contact Pc = F S dépasse une certaine limite appelée pression de
matage (écrasement permanent du matériau) → accentuation du jeu de fonctionnement
(Pmat=30 MPa pour l’acier doux)
⇒ Condition de non-matage :
Pc ≤ Pmat
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