sollicitation de cisaillement - Hervé JARDIN

Terminale S.T.I.
SOLLICITATION DE CISAILLEMENT
Jardin-Nicolas Hervé
Résistance des matériaux
http://perso.orange.fr/herve.jardin-nicolas/
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cisaillement
SOLLICITATION DE CISAILLEMENT
IV. CISAILLEMENT.
4.1. Définition.
Une poutre subit une sollicitation de cisaillement pur lorsqu'elle est soumise à
deux forces de liaison égales et directement opposées dont le support est contenu dans
un plan (P) perpendiculaire à la ligne moyenne.
(P)
(E)
A
F
F'
B
Sous l'action de ces deux forces la poutre tend à se séparer en deux morceaux E1 et
E2 glissant l'un par rapport à l'autre dans le plan de section droite (P).
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y
(E1)
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cisaillement
(S)
F
E1
T
E2
x
G
z
F'
(P)
Les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion s'expriment DANS
LA SECTION CISAILLEE par :
⎧ 0 0⎫
{Tcoh ( E 2 → E1)} = ⎪⎨Ty 0⎪⎬
⎪Tz 0 ⎪
⎭R
G ⎩
remarques :
∗ on peut toujours remplacer les composantes d'effort tranchant (Ty et Tz) par
une unique composante T.
Tz
T
avec T = Ty 2 + Tz 2
Ty
4.2 Etude expérimentale.
Il est physiquement impossible de réaliser du cisaillement pur au sens de la définition
précédente. En effet, dans la réalité, il est absolument impossible d’appliquer deux
forces opposées situées exactement dans le même plan.
Considérons une poutre G(E) parfaitement encastrée dans un « mur »et appliquons-lui
un effort de cisaillement F le plus prêt possible du plan (P).
G
Cet effort F sera malgré tout situé à une distance Δx du plan (P) d'encastrement
(voir fig.).
On se rapproche des conditions du cisaillement réel, avec Δx très petit.
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Si l'on isole (E1), pour un plan de coupure confondu avec le plan (P) on trouve alors le torseur
de cohésion suivant :
Ty (Effort tranchant)
⎧
⎪ 0JG
{Tcoh ( E 2 → E1)} = ⎪⎨− F
⎪
⎪ 0
G ⎩
⎫
⎪
⎪
0 ⎬
JG ⎪
−Δx. F ⎪
⎭R
0
MFz (Moment de Flexion)
Conclusion :
En réalité, la poutre subit une sollicitation composée CISAILLEMENT ET FLEXION.
Cette sollicitation est appelé CISAILLEMENT SIMPLE.
JG
Seulement Δx étant très petit, les effets induits par le moment de flexion MFz = Δx. F
JG
seront négligeables devant l’importance de l’effort tranchant Ty = F
C’est pourquoi nous ignorerons complètement MFz considérant ainsi que la poutre est
sollicitée à du cisaillement pur.
4.3 Contraintes
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Chaque élément de surface ΔS supporte une contrainte de cisaillement «
section cisaillée (S).
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cisaillement
τ » contenu dans la
Section (S)
G
+
τ
T
Il y a répartition uniforme des contraintes de cisaillement «
(même valeur de
τ
(S)
τ
τ »dans la section droite.
τ en chaque point de la section cisaillée)
On définit la contrainte moyenne
τ dans la section droite cisaillée (S) par la relation :
T
τ=
S
avec : τ : contrainte tangentielle de cisaillement en MPa (valeur moyenne).
T : effort tranchant en Newton.
S : aire de la section droite (S) en mm2.
4.4 Caractéristiques mécaniques d'un matériau.
Nous avons vu qu’un essai de traction appliqué à une éprouvette permet de
déterminer, entre autre, deux propriétés majeures du matériau.
•
•
La résistance limite élastique à la traction σ e
La résistance à la rupture à la traction σ r
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Il existe aussi des essais de cisaillement permettant de déterminer deux autres
propriétés.
•
•
La résistance limite élastique au cisaillement notée τ e
La résistance à la rupture au cisaillement notée τ r
En effet les matériaux ne réagissent pas avec la vigueur au cisaillement qu’à la
traction.
Nous avons constaté que l’acier avait une résistance élastique au cisaillement
deux fois plus faible qu’à la traction.
D’où la relation
De même
τ e = 0.5σ e
POUR L’ACIER
τ e = 0.8σ e
POUR LES FONTES
4.5 Résistance pratique au cisaillement.
Comme pour les pièces sollicitées à la traction ou à la compression, on défini une
RESISTANCE PRATIQUE AU CISAILLEMENT notée τp.
Cette résistance permet de prendre en compte un coefficient de sécurité « s ».
τp est donné par la relation suivante :
τp=
τp : Résistance pratique au cisaillement en Mpa
τe : Résistance élastique au cisaillement du matériau
S : Coef. de sécurité (sans unité).
τe
s
en Mpa
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4.6 Condition de résistance.
Pour vérifier si la pièce étudiée qui soumise à des forces de cisaillement est
compatible avec le matériau prévu (qui résiste dans le domaine élastique), il
faut comparer deux valeurs :
•
τ m oyen
qui dépend des forces, des dimensions de la pièce et de sa
forme.
•
τp
qui dépend de la résistance élastique au cisaillement
τe
et du
coef. de sécurité.
Pour que la pièce résiste face aux sollicitations de cisaillement il faut vérifier la
condition de résistance suivante.
τ m oyen ⊆ τ p
τ max i
τ =
Avec p
τp
τe
0
4.7 Déformations élastiques.
τr
τe
s
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L’étude ne pourra être menée que pour une déformation située dans le domaine
élastique du matériau.
Après déformation la poutre prend la forme suivante.
Sections droites sollicitées au cisaillement.
y
γ
x
S2
S1
Le morceau « S1 » subit un déplacement latéral par rapport à « S2 » d’une valeur Δy
Description du phénomène.
Chaque section droite de la poutre d’épaisseur infiniment petite (situées dans la zone
cisaillée) subit un glissement latéral par rapport à sa voisine.
La ligne moyenne s’incline donc d’un angle
γ appelé angle de glissement relatif.
Dans le domaine élastique du cisaillement, il existe aussi une proportionnalité entre les
contraintes et les déformations.
Le coefficient de proportionnalité est noté « G »
« G » s’appel : MODULE D’ELASTICITE TRANSVERSAL.
ou : MODULE DE COULOMB.
Ce module dépend du module d’Young « E ».
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Le module de Coulomb « G » est donné par la relation suivante.
G = 0.4 E
Exemple :
Matériau
G (MPa)
Fontes
40000
Aciers
80000
Laiton
34000
Duralumin
32000
Plexiglas
11000
Loi de Hooke.
La loi de proportionnalité entre la contrainte τ et l’angle de glissement
relatif γ, appelée LOI DE HOOKE est la suivante.
MPa
MPa
Elle s’écrit :
τ = G. γ
Radian
ou
sans unité
avec
mm
γ=
Δy
Δx
mm
Ou « G » est appelé MODULE D’ELASTICITE TRANSVERSAL
(Ou encore MODULE DE COULOMB).
D’où la relation suivante :
F
Δy
=G
S
Δx
Unités :
F : effort de cisaillement en Newton
S : section cisaillée en mm2
G : Module de Coulomb en MPa
Δy et Δx en mm