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Correction du devoir 5
Exercice 1 : Juliette mesure l'angle entre l'horizontale et le haut du réservoir d'un
château d'eau grâce à un théodolite placé à 1,70 m du sol. Elle trouve un angle de
38°
1) Je calcule la hauteur du château d'eau arrondie au mètre près.
Dans le triangle
ABC rectangle en B , on a
BC = 30 m et
̂
ACB=38° et on cherche AB.
Comme on travaille avec les côtés de l'angle droit on utilise la tangente de l'angle.
tan
̂
ACB =
Tan 38° =
AB
BC
AB
30
d'où AB =
30×tan 38≃23,4
avec tan 58 on trouve environ 48
La hauteur est : 23,4 m + 1,7 m = 25,1 m
ou 49,7 m si les calculs sont faits avec 58°
2)
La contenance de ce dernier est de 500 m3 d'eau. Je alcule le diamètre de sa
base en considérant que le château d'eau est cylindrique. Le résultat sera arrondi au décimètre.
On sait que V = π R² h
donc R²=
R²=
V
(π×h)
500
≃6,34
(π×25,1)
R= √6,34≃2,5
Le diamètre est 5 m
le diamètre est égal à
: 2,5×2=5
Exercice2 : Les champs ont-ils même aire
Objectif être capable de bâtir une démarche
de raisonnement
Paul et pierre ont reçu de leur père un champ
rectangulaire. Ils le partagent de la manière
suivante :
Paul reçoit la partie triangulaire CKH et Pierre
reçoit le quadrilatère ABHK.
Pierre dit à son frère : « nos deux champs sont de même aire »
Est-ce vrai ?
On sait que CH = 12 hm, HB = 3 hm , AH = 6 hm et les droites (HK) et (AB) sont parallèles.
Je cherche si les aires sont égales.
Je calcule l'aire du triangle ABC
aire ABC =
BC× AH
2
Aire ABC=
15×6
= 45
2
L'aire de ABC est de 45 hm².
Pour que les aires soient égales il faut que l'aire de CHK soit égale à
45
2
soit 22,5 hm².
Je calcule l'aire de CHK
Comme je n'ai pas la hauteur il faut que je prouve que le triangle CHK est rectangle.
Je sais que les droites (AB) et (HK) sont parallèles.
Si le triangle ABC est rectangle en A, je vais pouvoir montrer que le triangle CHK est
rectangle en K
Je vais essayer de prouver que le triangle ABC est rectangle en A. Comme je n'ai que le côté
BC, je vais calculer AB et AB
Je calcule AB
Dans le triangle ABH rectangle en H, on a AH = 6 hm et BH = 3 hm
D'après la propriété de Pythagore on a : AB² = AH² + HB²
AB² = 6² + 3²
AB² = 36 + 9
AB² = 45
AB=√ 45= √ 9×5=3 √ 5 sortir le carré du radical
Je calcule AC
Dans le triangle AHC rectangle en H, on a AH = 6 hm et CH = 12 hm
D'après la propriété de Pythagore on a : AC² = AH² + HC²
AC² = 6² + 12²
AC² = 36 + 144
AC² = 180
AC =√ 180=√ 36×5=6 √ 5 sortir le carré du radical
Le triangle ABC est-il rectangle en A?
Dans le triangle ABC on a :
AB² + AC² = 45 + 180 = 225
BC² = ( 12+3)² = 15² = 225 On a :BC² = AB² + AC² d'après la réciproque de la propriété de Pythagore
le triangle ABC est rectangle en A
[BC] et K un point de [AC]
les droites (HK) et (AB) sont parallèles
Je montre que le triangle CHK est rectangle en K
On sait que les droites (HK) et (AB) sont parallèles et que (AB) est perpendiculaire à (AC) et que le
point H est sur [CB] et K est sur [AC]
or si deux droites sont parallèles et qu'une troisième droite est perpendiculaire à l'une alors elle est
perpendiculaire à l'autre.
donc (HK) est perpendiculaire à (AC) et le triangle HKC est rectangle en K.
Aire HKC =
HK ×KC
2
Il faut calculer HK et KC
Dans le triangle ABC, on a H un point de [BC] , K un point de [AC] et les droites (HK) et (AB) sont
parallèles
d'après la propriété de Thalès on a :
D'où
CK 12 HK
= =
6 √ 5 15 3 √ 5
Donc
CK 12
=
6 √ 5 15
On a aussi:
L ' aire de HKC=
Aire HK C =
Aire de HKC =
12×6 √ 5
15
CK =
12 HK
=
15 3 √ 5
CK CH HK
=
=
CA CB AB
donc HK =
=
3×4×3 √ 5
6×5
12×3 √5
15
=
24 √5
5
4×3×3 √ 5
12 √ 5
=
3×5
5
=
HK ×CK
2
1
5
5
×12 √ ×24 √
2
5
5
2
=
12×24×( √5)
2×5×5
=
6×2×24×5
2×5×5
6×24
= 28,8
5
L'aire est de 28,8 hm² or 28,8 > 22,5
donc les aires ne sont pas égales
On pouvait aussi calculer l'aire de HKAB en utilisant la formule:
( HK + AB)× AK
2