CORRECTION DEVOIR MAISON N° 6 EXERCICE 1 : a) L`aire

CORRECTION
DEVOIR MAISON N° 6
EXERCICE 1 : a) L'aire grisée est égale à l'aire du grand disque de diamètre 10 moins l'aire des deux petits disques
2
10 x 2
x
ayant pour diamètre x et 10 – x. Ainsi l’aire grisée A(x) = ×5² – (
+
) =
2
2
x2
100 20 x x 2
x2
x2
x2
25 – (
+
) = 25 –
– (25 – 5x +
) = (5x –
).
4
4
4
4
2
b) L'ensemble de définition de la fonction A est l'intervalle [0; 10] puisque x est le diamètre d'un des petits disques.
x2
c) En développant
[25 – (x – 5)²], on obtient
[25 – x² + 10x – 25] =
[– x² + 10x] = (5x –
) = A(x).
2
2
2
2
d) Le maximum de la fonction A est 25
puis 25 – (x – 5)²
2
car le maximum de 25 – (x – 5)² est 25 ( car (x – 5)²
0 et – (x – 5)²
0
25) et ce maximum est atteint pour x = 5.
EXERCICE 2:
d)
1) a) On a AB² = 9, BC² = 16 et AC² = 25 ; d’où AB² + BC² = AC², et par la
réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B ;
donc la base ABC du tétraèdre SABC est un triangle rectangle.
b) La droite (SA) est orthogonale au plan (ABC), donc à toutes les droites de
ce plan, donc (SA) est orthogonale à (AB) ; ainsi le triangle SAB est
rectangle en A.
2) a) b) Le plan P est orthogonal à (AB), donc (IM) et (KM) sont
orthogonales à (AB). Dans le plan (SAB), (IM) (AB) et (SA) (AB) ; or,
deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles ; donc (IM)
et (SA) sont parallèles. Les plans P et (SAC) contiennent deux droites
parallèles, ils se coupent donc suivant la droite (JK) parallèle aux deux
autres ; donc (JK) // (IM).
c) On a vu que (KM) et (AB) sont orthogonales ; et comme (AB) et (BC)
sont orthogonales, dans le plan (ABC), on a (KM) // (BC). Les plans P et
(SBC) contiennent deux droites parallèles, ils se coupent donc suivant la droite (IJ) parallèle aux deux autres ;
donc (IJ) // (KM).
e) Le quadrilatère IMKJ est un parallélogramme, puisque (JK) // (IM) et (IJ) // (KM). De plus, (SA) et (IM) étant
parallèles et (SA) orthogonale au plan (ABC), alors (IM) est aussi orthogonale au plan (ABC), donc à toutes les droites
de ce plan ; donc (IM) et (KM) sont orthogonales et donc IMKJ est un rectangle.
BM IM
4
3) b) Dans le triangle SAB, (IM) // (SA) ; on applique le théorème de Thalès ; d’où
=
d’où IM =
x.
BA SA
3
Dans le triangle ABC, (KM) // (BC) ; on applique le théorème de Thalès ;
AM
KM
4
d’où
=
d’où MK =
(3 – x).
AB
BC
3
c) M est sur [AB] donc x = BM [ 0 ; 3].
4
4
16
L’aire du rectangle IMKJ = IM × MK =
x
(3 – x) =
(3x – x² ).
3
3
9
Le maximum de f est 4 atteint pour x = 1,5.
Le minimum est 0 atteint pour x = 0 et x = 3.
4
4
d) IMKJ est un carré si IM = MK soit
x =
(3 – x) , soit
3
3
x = 3 – x , soit 2x = 3, soit x = 1,5 et dans ce cas, aire(IMKJ) = 4.
Donc, le maximum de l'aire est atteint lorsque IMKJ est un carré.