Master 1 Mathématiques Calcul différentiel et intégral sur des
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Master 1 Mathématiques Calcul différentiel et intégral sur des
Master 1 Mathématiques Calcul différentiel et intégral sur des variétés Nicolas Louvet et Tilmann Wurzbacher Examen Juin 2007 : Durée 3 heures Aucun document n’est admis. — La couleur rouge est réservée à la correction. I. “Atlas, variétés et difféomorphismes” Soit (M, T ) un espace topologique et {Uα | α ∈ A} un recouvrement ouvert de M . Si pour chaque α il existe une application φα : Uα → Rm telle que φα est un homéomorphisme sur son image φα (Uα ), on appelle la famille A = {(Uα , φα ) | α ∈ A} un “atlas topologique” sur M. (I.a) Question de cours: Donner la définition d’un “atlas différentiable”. (I.b) Soient M = M at(n × n, R) et G = GL(n, R) = {M ∈ M | M est inversible}. Pourquoi est-ce que G est ouvert dans M? P∞ (I.c) Posons Ψ = exp : M → G, M 7→ eM = k=0 (1/k!)M k . Montrer que Ψ est biendefinie (c’est-à-dire Ψ(M ) ∈ G pour tout M ) et différentiable. (I.d) Montrer que la différentielle (DΨ)0 est égale à IdM . (I.e) En déduire qu’il existe des voisinages ouverts V de 0 dans M et U de In (matrice unitaire de taille n) dans G tels que Ψ|V : V → U est un difféomorphisme. (I.f ) Soit B dans G. Montrer que LB : M → M, M 7→ B · M est un difféomorphisme. (I.g) Soient B dans G, ΨB = LB ◦ Ψ et UB = LB (U ) ⊂ G. Montrer que ΨB : V → UB est un difféomorphisme. Posons ΦB = Ψ−1 B : UB → V . (I.h) Soient B1 , B2 ∈ G et UB1 ∩ UB1 non-vide. Déduire de (I.g) que ΦB1 ◦ Φ−1 B2 : ΦB2 (UB1 ∩ UB2 ) → ΦB1 (UB1 ∩ UB2 ) est de classe C ∞ . (I.i) Expliquer pourquoi A = {(UB , ΦB ) | B ∈ G} est un atlas différentiable pour G. II. “Champs de vecteurs et leurs flots” (II.a) Soient M une variété et X un champ de vecteurs sur M . Donner la définition du “flot de X”. 1 0 2 (II.b) Soit M = R , A = et XA le champ linéaire associé à la matrice A: 0 −1 2 X ∂ XA (x) = aij xj . ∂x x i i,j=1 1 XA Calculer le flot φA de XA . t := φt (II.c) Calculer LXA (dx1 ). (II.d) Calculer LXA (Ω), où Ω = dx1 ∧ dx2 . d ∗ [Indication: Rappelons que (LX ω)p = dt ((φX t ) ω)p .] t=0 III. “Une algèbre commutative” (III.a) Soient E un espace vectoriel réel de dimension finie et t ∈ Λk E ∗ , s ∈ Λl E ∗ . Donner la définition de s ∧ t. (III.b) Soient M une variété différentiable et ω une k-forme, ainsi que η une l-forme sur M . Donner la définition de ω ∧ η. (III.c) Montrer que A := ⊕j≥0 E 2j (M ) avec l’addition habituelle et la multiplication donnée par “∧” est une R-algèbre commutative. [Indication: vous pouvez ici utiliser -sans démonstration- les propriétés de ∧ dans Λ∗ E ∗ pour E un espace vectoriel réel de dimension finie.] IV. “Le théorème de Stokes” Soient M une variété différentiable orientée de dimension m, D ⊂ M un domaine régulier (i.e. D est ouvert et ∂D est soit vide soit une sous-variété orientée de codimension un dans M ) et ω une (m−1)-forme “à support compact dans M ”. (IV.a) Donner la définition du “support d’une forme différentielle”. Rappelons l’énoncé du théorème de Stokes: Z Z dω = j ∗ ω , où j : ∂D → M est l’injection canonique. D ∂D (IV.b) Soient V ouvert dans Rk Ret η = f (u)du1 ∧ ... ∧ duk une k-forme à support compact dans V . Donner la définition de V η. (IV.c) Soient M = Rm , D = {x ∈ M | x1 < 0} et ω une (m−1)-forme à support compact dans M . Montrer les points suivants (i.e. montrer Stokes dans ce cas): (i) Donner la forme générale de ω. (ii) Calculer dω. R (iii) Donner D dω et simplifier en utilisant le fait qu’il existe R > 0 tel que supp(dω) ⊂ [−R, R]m et le théoréme fondamental du calcul intégral dans une variable. (iv) CalculerR j ∗ ω sur ∂D = {0} × RRm−1 ∼ = Rm−1 . ∗ (v) Donner ∂D j ω et comparer à D dω. 2