a la Théorie de la mesure géométrique 2011

Université Paris Diderot - Paris 7
Une introduction à la Théorie de la mesure géométrique
Master 2
2011-2012
Partie 2 – Travaux Dirigés no. 1
Lemmes de recouvrement, Dérivation
Exercice 1
(Mesurabilité, Application Lipschitzienne, Lemmes de recouvrement)
1. Soit µ une mesure extérieure. Montrer que tout ensemble de mesure nulle est µmesurable.
2. Soit f : Rn → Rn une fonction localement Lipschitzienne.
2.a. Montrer que si A ⊂ Rn est tel que L n (A) = 0, alors on a encore L n (f (A)) = 0.
(Indication : considérer un voisinage ouvert A ⊂ V , utiliser un recouvrement de Besicovitch de boules centrées en A incluses dans V et utiliser le fait que f ne grossit pas trop
les boules.)
2.b. En déduire que l’image par f de tout ensemble L n -mesurable est L n -mesurable.
(Indication : approcher un mesurable par une suite de compacts).
Exercice 2
Trouver un contre-exemple au Lemme de Besicovitch lorsque l’on ne suppose pas que les
boules Bx soient centrées en x.
Exercice 3
Théorème de Steinhaus
En utilisant le théorème de densité de Lebesgue, montrer l’énoncé suivant : Soit A ⊂
Rn un ensemble L n -mesurable tel que L n (A) > 0. Alors l’ensemble des différences
{x − y; x, y ∈ A} contient une boule de rayon ε > 0.
(Indication : montrer que si 0 ∈ A est un point de densité, alors il existe ε > 0 tel que
pour tout |x| ≤ ε, (A + x) ∩ A est non vide. )
Exercice 4
Conservation des points de densité par Lipéomorphisme.
Soit E ⊂ Rn un ensemble L n -mesurable, et soit E ∗ l’ensemble des points de densité non
nuls, c’est à dire
L n (B(x, r) ∩ E)
E ∗ := {x ∈ Rn ; lim
> 0}.
r→0
L n (B(x, r))
Montrer que si f : Rn → Rn est un Lipéomorphisme, alors f (E ∗ ) = f (E)∗ .
Remarque : Si maintenant E ⊂ Rn et f : E → F est un Lipéomorphisme définit uniquement sur E (et pas tout Rn ), c’est beaucoup plus délicat, voir par exemple [2].
Exercice 5
(Version élementaire du théorème de Sard)
Soit Ω ⊂ Rn un ouvert et f : Ω → Rn une fonction de classe C 1 . On considère
Z = {x ∈ Ω ; Df (x) n’est pas injective}.
Le but est de montrer que, L n étant la mesure de Lebesgue sur Rn ,
L n (f (Z)) = 0 .
1. Soit x ∈ Z fixé. Montrer qu’il existe Cx telle que pour tout ε > 0 on peut trouver
ρx,ε ∈ (0, 1) tel que si r < ρx,ε , f (B(x, r)) peut-être recouvert par moins que Cx ε1−n
boules de rayon εr. (Indication : Ecrire la définition de différentiabilité de f en x,
montrer que si |y − x| ≤ r alors f (y) est distance ≤ ε.r de f (x) + Df (x)(Rn ). On pourra
valuer le nombre de cubes semi-disjoints de côté ε nécessaires pour recouvrir la partie
intéressante de ce sous-espace affine de Rn ).
2. Montrer que pour tout choix de x ∈ Z, τ > 0 et η ∈ (0, 1), on peut trouver rx > 0 tel
que rx < P
τ , B(x, rx ) ⊂ Ω et f (B(x, rx )) peut être recouvert d’un nombre fini de cubes
Dj , avec j (diam Dj )n < ηrxd .
3. Pour R > 0, recouvrir Z ∩ B(0, R) par des boules B(x, rx ) comme ci-dessus. En
appliquant le lemme de Besicovitch, montrer que
L n (f (Z ∩ B(0, R))) ≤ CηL n (B(0, 2R))
et conclure
Exercice 6
(Préliminaire à l’exercice suivant)
Soit f : Rn → R une fonction. Pour tout x ∈ Rn on note
|f (y) − f (x)|
δ→0 y∈B(x,δ)
|y − x|
Lip f (x) := inf
sup
(2)
et si K ⊂ Rn on note
LipK f (x) := inf
sup
δ→0 y∈B(x,δ)∩K
|f (y) − f (x)|
.
|y − x|
1. Soit K un borelien de Rn et soit x0 un point de densité (i.e. limr→0 L n (B(x0 , r) ∩
K)/L n (B(x0 , r)) = 1).
a) Montrer que pour tout ε > 0 il existe r0 > 0 tel que pour tout r ≤ r0 et pour tout
x ∈ B(x0 , r) il existe un y ∈ K vérifiant |x − y| ≤ ε|x − x0 |.
b) En déduire que si f : Rn → R est Lipschitzienne et x0 ∈ K est un point de densité
de K, alors
LipK f (x0 ) = Lip f (x0 ).
2. En utilisant la question précédente, montrer que pour toute fonction Lipschitzienne
f : Rn → R on a
L n ({x ∈ Rn ; f (x) = 0 et Lip f (x) 6= 0}) = 0.
3. (Bonus) Vérifier que les arguments précédents sont valides dans tout espace métrique
mesuré doublant.
Page 2
Exercice 7
(Théorème de Stepanov d’après la preuve de Maly [3] ou [1])
Le but de cet exercice est de montrer que toute fonction f : Rn → R est différentiable
L n -presque partout sur l’ensemble
L(f ) := {x ∈ Rn ; Lip f (x) < +∞},
où Lip f (x) est définit par (2).
Soit {Ui }i∈N une énumération de toutes les boules ouvertes à centre de coordonnées
rationnelles et de rayon rationnel telles que f |Ui est bornée.
1) Vérifier que les Ui recouvrent L(f )).
2) A chaque i on associe deux fonctions ai et bi définies sur Ui par :
ai (x) := sup{g(x); g est i-Lipschitz sur Ui et g ≤ f |Ui }
bi (x) := inf{h(x); h est i-Lipschitz sur Ui et h ≥ f |Ui }.
Vérifier que ai et bi sont des fonctions i-Lipschitz sur Ui et ai ≤ f ≤ bi . (Remarque :
notez que les sup et inf dans la définition de ai et bi sont pris sur des ensemble non vides
puisque f est bornée sur Ui ).
3) Soit Fi l’ensemble des x ∈ Ui tels que ai ou bi n’est pas différentiable en x, et soit
Ai l’ensemble des points x ∈ Ui tels que ai et bi sontStous deux différentiables en x,
ai (x) = bi (x) mais Dai (x) 6= Dbi (x). On considère Z = i∈N (Fi ∪ Ai ). Montrer que
L n (Z) = 0.
4) Conclure en montrant que pour tout x ∈ L(f ) \ Z il existe un i ∈ N tel que x ∈ Ai et
ai (x) = bi (x).
References
[1] Zoltán M. Balogh, Kevin Rogovin, and Thomas Zürcher. The Stepanov differentiability
theorem in metric measure spaces. J. Geom. Anal., 14(3):405–422, 2004.
[2] Zoltán Buczolich. Density points and bi-Lipschitz functions in Rm . Proc. Amer. Math.
Soc., 116(1):53–59, 1992.
[3] J. Maly. A simple proof of the Stepanov theorem on differentiability almost everywhere.
Exposition. Math., 17(1):59–61, 1999.
Page 3