Université Grenoble 1 Institut Fourier Cours de maitrise enseigné

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Université Grenoble 1
Institut Fourier
Cours de maitrise enseigné par Yves Carrière de 1994 à 1996.
I- Variétés et applications différentiables
12345678-
Définitions
Espaces tangents et différentielles
Inversion locale et immersions
Submersions
Transversalité
Théorème de Sard
Homotopie et stabilité
Plongements de variétés
II- Transversalité et intersection
123456-
Variétés à bord
Variétés de dimension 1 et degré modulo 2
Transversalité
Intersection modulo 2
Indice modulo 2 et théorème de séparation de Jordan-Brouwer
Le théorème de Borsuk-Ulam
III- Théorie de l’intersection orientée
1234-
Orientation
Nombre d’intersection orienté
Nombre de Lefchetz
Indice d’un champ de vecteurs
1
I- Variétés et applications différentiables
1- Définitions. — Soit U un ouvert de Rm on dit qu’une application
f : U ⊂ Rm → Rn est lisse ou différentiable si elle a des dérivées partielles de
tous les ordres (f est C ∞ ).
Si maintenant X est un sous-ensemble de Rm , f : X ⊂ Rm → Rn est encore
dite lisse ou différentiable si pour tout x ∈ X il existe un ouvert U de Rm , x ∈ U et
F : U ⊂ Rm → Rn lisse telle que la restriction de f à X ∩ U notée f|X∩U coı̈ncide
avec F|X∩U . Ceci revient à dire que f est lisse si elle est localement la restriction à X
d’une fonction lisse et f a alors les deux propriétés suivantes : elle est continue sur X
et pour tout Z ⊂ X la restriction f|Z est lisse.
Une application f : X ⊂ Rm → Y ⊂ Rn est un difféomorphisme si elle est
bijective et si f et f −1 sont lisses. Comme ces deux applications sont alors continues,
on constate que f est en particulier un homéomorphisme entre X et Y .
Soient X ⊂ Rm , Y ⊂ Rn , Z ⊂ Rp et f : X → Y et g : Y → Z lisses, on
vérifie facilement que la composée g ◦ f : X → Z est lisse.
On dit que X ⊂ Rm est une variété lisse ou différentiable de dimension k
si X est localement difféomorphe à un ouvert de Rk , autrement dit si pour tout
x ∈ X il existe un ouvert V de X, x ∈ V difféomorphe à un ouvert U ⊂ Rk . Un
difféomorphisme ϕ : U → V est une paramétrisation, ϕ−1 : V → U est un système de
coordonnées locales ou une carte de V ; on écrit ϕ−1 = (x1 , · · · xk ) et on dit qu’ on a
choisi des coordonnées locales autour de x ∈ X.
Si X et Z sont des variétés dans Rm et Z ⊂ X, alors Z est une sous-variété
de X. En particulier, X est elle-même une sous-variété de Rm . Tout ouvert de X est
une sous-variété de X.
Exercice 1 : Montrer que dans l’espace des matrices réelles 2 × 2 identifié à R4 le
groupe SL2 de celles qui ont 1 pour déterminant est une variété de dimension 3.
0
0
Pour la suite X ⊂ Rm , Y ⊂ Rn , X 0 ⊂ Rm , Y 0 ⊂ Rn sont des sous-ensembles :
Exercice 2 : Si f : X → X 0 et g : Y → Y 0 sont lisses, on définit l’application produit
f × g par f × g : (x, y) ∈ X × Y 7→ (f (x), g(y)) ∈ X 0 × Y 0 .
a) Montrer que f × g est lisse et que si f et g sont des difféos, f × g en est un aussi.
b) En déduire que si X et Y sont des variétés, alors X × Y ⊂ Rm+n est une variété
de dimension dim X + dim Y .
Exercice 3 : Montrer que la projection (x, y) ∈ X × Y 7→ x ∈ X est lisse.
Exercice 4 : La diagonale ∆ ⊂ X × X est l’ensemble des points de la forme (x, x).
Montrer que ∆ est difféomorphe à X et donc ∆ est une variété si X en est une.
Exercice 5 : Le graphe d’une application f : X → Y est le sous-ensemble de X × Y
Γ(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ X}. Soit Φ l’application Φ : x ∈ X 7→ (x, f (x)) ∈ Γ(f ).
Montrer que si f est lisse, Φ est un difféomorphisme et donc que Γ(f ) est une variété
si X en est une. (Noter que ∆ = Γ(id).)
2
2- Espaces tangents et différentielles. — Pour définir la notion de
différentielle ou application linéaire tangente dfx pour une application lisse f : X ⊂
Rm → Y ⊂ Rn entre variétés, on associe d’abord à chaque x ∈ X un sousespace Tx (X) ⊂ Rm de dimension k = dim X appelé l’espace tangent à X en x.
La différentielle dfx sera alors une application linéaire entre Tx (X) et Tf (x) (Y ). Les
éléments de l’espace vectoriel Tx (X) sont appelés les vecteurs tangents à X en x.
Intuitivement, on pense x + Tx (X) comme étant le sous-espace affine de Rm
approximant le mieux X au voisinage de x et à dfx comme la partie linéaire de la
transformation affine approximant le mieux f .
La définition de la différentielle qu’on va donner doit coı̈ncider avec celle que
l’on connait dans le cas spécial où X et Y sont des ouverts U ⊂ Rm et V ⊂ Rn . Dans
ce cas, l’espace tangent Tx (U ) est Rm tout entier (de même Ty (V ) = Rn ) et pour
toute application lisse f : U → V la différentielle :
dfx : Rm → Rn
est définie par la formule
f (x + th) − f (x)
t
pour x ∈ U, h ∈ Rm , (dfx (h) est la dérivée de f en x dans la direction h). On
sait (cf. cours de calcul différentiel) que dfx (h) est linéaire en h et a pour matrice
∂fi (x)/∂xj (la matrice jacobienne). De plus, si g : V → W est une autre application
lisse à valeurs dans un ouvert W ⊂ Rl , on a la règle de composition suivante :
dfx (h) = lim
t→0
d(g ◦ f )x = dgf (x) ◦ dfx .
Rappelons enfin que si f est linéaire, alors dfx = f pour tout x ∈ U . En particulier,
si U = V et f = id l’application identique, on a dfx = id pour tout x ∈ U .
Exercice 1 : Montrer que si un ouvert U ⊂ Rm est difféomorphe à un ouvert V ⊂ Rn ,
alors m = n.
Soit maintenant le cas général d’une variété X ⊂ Rm , choisissons une
paramétrisation ϕ : U → X où U est un ouvert de Rk , et supposons pour simplifier
que ϕ(0) = x. La meilleure approximation affine de ϕ en 0 est l’application
u 7→ ϕ(0) + dϕ0 (u) = x + dϕ0 (u).
On définit alors l’espace tangent à X en x comme l’image de l’application linéaire
dϕ0 : Rk → Rm . Donc l’espace tangent Tx (X) = dϕ0 (Rk ) qui est un sous-espace
vectoriel de Rm et x + Tx (X) est la meilleure approximation de X en x par un sousespace affine. Par définition, un vecteur tangent v à X en x est un élément de Tx (X)
qu’on voit fréquemment comme le vecteur joignant les points x et x + v.
Exercice 2 : Vérifier que cette définition de Tx (X) est cohérente, à savoir que
l’espace obtenu est indépendant de la paramétrisation choisie. Vérifier de plus que
dim Tx (X) = k = dim X.
Exercice 3 : Si h : Rm → Rn est lisse et h est constante sur X que peut-on dire de
Tx (X) et de ker dhx pour tout x ∈ X ? En déduire, par exemple, une description de
l’espace tangent en un point d’une sphère.
3
Il nous reste maintenant à définir ce qu’est la différentielle d’une application
lisse entre variétés f : X ⊂ Rm → Y ⊂ Rn en un point x. Si f (x) = y, ce doit
être d’abord une application linéaire entre espaces tangents dfx : Tx (X) → Ty (Y ) qui
dans le cas où X et Y sont des ouverts d’espaces numériques doit coı̈ncider avec la
différentielle usuelle. De plus, on veut que la règle de composition marche encore. A
cause de ces deux exigences, il n’y a qu’une définition possible. En effet, supposons
que ϕ : U → X paramétrise X autour de x et ψ : V → Y paramétrise Y autour de y
avec U ⊂ Rk et V ⊂ Rl et pour simplifier ϕ(0) = x et ψ(0) = y. Si U est suffisamment
petit, on peut considérer l’application lisse h : U → V définie par h = ψ −1 ◦ f ◦ ϕ. Les
différentielles dϕ0 , dψ0 et dh0 étant déjà définies de manière usuelle, si on veut que
la règle de composition marche, comme f = ψ ◦ h ◦ ϕ−1 ,la seule définition acceptable
pour dfx est donnée par la formule :
dfx = dψ0 ◦ dh0 ◦ dϕ−1
0
Exercice 4 : Vérifier que cette définition de dfx est cohérente, à savoir que
l’application linéaire obtenue est indépendante des paramétrisations choisies. Vérifier
de plus que si g : Y ⊂ Rn → Z ⊂ Rp est une autre application lisse entre variétés,
on a bien la règle de composition :
d(g ◦ f )x = dgf (x) ◦ dfx .
Exercice 5 : Si X est une sous-variété de Y , on note souvent i : X ,−→ Y l’application
inclusion.
a) Vérifier que dix est l’application inclusion entre Tx (X) et Tx (Y ).
b) Si U est un ouvert de la variété X, en déduire que Tx (U ) = Tx (X) pour x ∈ U .
Exercice 6 : Si E ⊂ Rm est un sous-espace vectoriel, alors Tx (E) = E, ∀ x ∈ E.
Exercice 7 : Si f : X → Y est un difféo entre variétés, vérifier que pour tout x ∈ X,
dfx est un isomorphisme des espaces tangents.
Exercice 8 : Soit X ⊂ Rm une variété, son fibré tangent T (X) est défini par
T (X) = {(x, y) ∈ Rm × Rm : x ∈ X, y ∈ Tx (X)}
a) Vérifier que T (X) est une variété dans Rm × Rm .
b) Vérifier que si Y ⊂ Rn est une autre variété, alors T (X × Y ) est difféomorphe à
T (X) × T (Y ).
c) Montrer qu’une application lisse f : X → Y induit naturellement une application
différentielle (globale) df : T (X) → T (Y ) qui est encore lisse.
d) Montrer que si ∆ est la diagonale dans X × X, T (∆) est la diagonale dans
T (X) × T (X).
e) Montrer que T (S1 ) est difféomorphe à S1 × R et T (S3 ) à S3 × R3 (utiliser les
quaternions).
4
3- Inversion locale et immersions. — Si X et Y sont des variétés de même
dimension, le meilleur comportement local que l’on puisse attendre d’une application
lisse f : X → Y c’est de réaliser un difféomorphisme entre un voisinage ouvert de
x et un voisinage ouvert de y = f (x). On dit alors que f est un difféomorphisme
local en x. Une condition nécessaire pour cela est que dfx : Tx (X) → Ty (Y ) soit un
isomorphisme (vu en exercice). En fait, cette condition est suffisante :
Théorème d’inversion locale. — Si f : X → Y est une application lisse
et dfx est un isomorphisme, alors f est un difféomorphisme local en x.
Exercice 1 : Montrer ce résultat à partir du cas particulier où X et Y sont des
ouverts U et V d’espaces numériques.
On dit que f : X → Y est un difféomorphisme local s’il l’est en tout point
de X. Un tel difféomorphisme local n’est pas toujours un difféomorphisme comme le
montre l’exemple f : t ∈ R → eit ∈ S1 (le vérifier).
Deux applications f : X → Y et f 0 : X 0 → Y 0 sont dites équivalentes (i.e.
les mêmes à difféomorphismes près) s’il existe des difféomorphismes α et β rendant
commutatif le carré :
f
X
x

α
−→
X0
−→ Y 0
Y
x
β

f0
On peut reformuler le théorème en disant que si dfx est un isomorphisme, f est
équivalente autour de x à l’identité. Plus précisément, il existe des paramétrisations
ϕ et ψ autour de x et y telles que :
X
x

ϕ
U
f
−→ Y
x
ψ

id
U
−→
U
est commutatif. Autrement dit encore, f est localement équivalente en x à l’identité
d’un ouvert U d’un espace numérique Rk . Une application linéaire est équivalente à
l’identité ssi elle est un isomorphisme. On peut donc finalement reformuler de façon
encore plus concise le théorème en disant que f est localement équivalente en x à
l’identité exactement lorsque dfx l’est.
Quel est maintenant le meilleur comportement que l’on puisse espérer de
f : X → Y lisse lorsque dim X < dim Y ? Pour ce qui est de la différentielle
dfx : Tx (X) → Ty (Y ), le mieux qu’on puisse demander est qu’elle soit injective.
On dit alors que f est une immersion en x. Si f est une immersion en tout point,
on dit simplement que f est une immersion. L’immersion canonique est l’application
d’inclusion habituelle de Rk dans Rl pour k ≤ l, où :
(x1 , · · · , xk ) ∈ Rk 7→ (x1 , · · · , xk , 0, · · · , 0) ∈ Rl
En fait, c’est localement et à difféomorphismes près, la seule immersion possible :
5
Théorème d’immersion locale. — Si f : X → Y est une immersion en x
(i.e. dfx est injective) et y = f (x), alors il existe des coordonnées locales autour de x
et y telles que :
f (x1 , · · · , xk ) = (x1 , · · · , xk , 0, · · · , 0).
Autrement dit, f est en x localement équivalente à l’immersion canonique.
Démonstration. — On choisit pour commencer ϕ et ψ des paramétrisations
locales rendant le diagramme suivant commutatif
k
f
X
x

ϕ
−→
U
−→
g
Y
x
ψ

V
l
où U ⊂ R et V ⊂ R sont des ouverts et ϕ(0) = x et ψ(0) = y. Ainsi on remplace
f par g qui lui est équivalente mais qui est une application entre ouverts d’espaces
numériques. Comme dg0 : Rk → Rl est injective, par un changement de base de Rl
(ce qui revient à modifier le choix de ψ), on peut supposer que dg0 est l’immersion
canonique. Définissons maintenant G : U × Rl−k → Rl par : G(x, z) = g(x) + (0, z).
On vérifie que dG0 est l’identité de Rl et donc par le théorème d’inversion
locale, G est un difféo local en 0 ∈ Rl . Comme on a choisi G de façon à ce que
g = G ◦ (immersion can.), on obtient que g est localement (en 0) équivalente à
l’immersion canonique. Pour finir, quitte à diminuer U et V on a le diagramme
commutatif suivant où les flèches verticales sont des paramétrisations
X
x

ϕ
U
f
−→
imm.can.
−→
Y
x
ψ◦G

V
qui établit le théorème. t
u
Comme corollaire, on obtient que si f est une immersion en x, elle est une
immersion injective dans un voisinage ouvert de x.
Exercice 2 : Supposons que X soit une sous-variété de Y , et x ∈ X. Montrer qu’il
existe un système de coordonnées locales {y1 , · · · , yl } définies dans un voisinage ouvert
U de x dans Y tel que X ∩ U est défini par les équations yk+1 = 0, · · · , yl = 0. En
déduire qu’une sous-variété est toujours localement fermée dans la variété où on la
considère.
Il est important de constater que le fait d’être une immersion a un caractère
strictement local. Par exemple, si dim X = dim Y , une immersion entre X et Y est
un difféomorphisme local, pour que ce soit un difféomorphisme, il faut ajouter la
propriété globale d’être bijectif.
Dans le cas général où dim X ≤ dim Y , quelle est la propriété globale qu’il faut
imposer à une immersion f : X → Y pour que son image f (X) soit une sous-variété
de Y ?
Théorème. — L’image f (X) d’une immersion f : X → Y est une sousvariété de Y (de même dimension que X) ⇐⇒ f est ouverte sur son image (i.e. si
U est ouvert dans X, f (U ) l’est dans f (X)).
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Exercice 3 : Le démontrer.
Une application f : X → Y est dite propre si l’image réciproque d’un compact
quelconque de Y est un compact de X. Une immersion qui est à la fois injective et
propre est appelée un plongement. Remarquons que si X est compacte, f est toujours
propre et donc dans ce cas, il suffit que f soit une immersion injective pour être un
plongement.
Théorème. — Soit f : X → Y un plongement. Alors f (X) est une sousvariété de Y et f : X → f (X) est un difféomorphisme.
Exercice 4 : Le démontrer (avec ce qui précède, il suffit de démontrer que f est
ouverte sur son image).
Remarque terminologique : Noter que se donner une courbe régulière, c’est se
donner une immersion α : I → Rm où I ⊂ R est un intervalle. Se donner une courbe
fermée régulière, c’est se donner une immersion α : S1 → Rm et dire de plus que cette
courbe fermée est simple revient à dire que α est un plongement.
Dans le cas où X n’est pas compacte, l’injectivité ne suffit pas en général à une
immersion f : X → Y pour être un plongement :
Exercice 5 : Soit f : t ∈ R 7→ (e2πit , e2πiαt ) ∈ S1 × S1 où α est irrationnel. Montrer
que f est une immersion injective, mais que f (R) est dense dans S1 × S1 et donc
n’est pas une sous-variété (cf. exercice 2).
Exercice 6 : Un difféo local f : R → R est toujours un difféo entre R et f (R).
Par contre, donner un exemple de difféo local surjectif f : R2 → R2 qui n’est pas un
difféo.
Exercice 7 : Si f et g sont des immersions, alors f ×g en est une ainsi que la composée
f ◦ g (quand elle a un sens). La restriction d’une immersion à une sous-variété est
encore une immersion.
√
√
Exercice 8 : Soit h : (x, y, z) ∈ R3 7→ (−x2 , 2xy, 2xz, y 2 − z 2 , 2yz) ∈ R5
a) Montrer que h induit une immersion de S2 dans S4 .
b) Montrer que h(S2 ) est une variété homéomorphe au plan projectif P 2 (R).
c) En déduire que P 2 (R) peut être réalisé comme sous-variété de R4 .
Exercice 9 : a) Soit (x1 , · · · , xm ) les fonctions coordonnées habituelles sur Rm et X
une sous-variété de dimension k. Montrer que tout point x ∈ X a un voisinage sur
lequel les restrictions de k fonctions coordonnées bien choisies (xi1 , · · · , xik ) forment
un système de coordonnées locales.
b) Pour simplifier, supposons que (x1 , · · · , xk ) forment un système de coordonnées
locales dans un voisinage V de x dans X. Montrer qu’il existe une fonction lisse
g : U → Rm−k où U est un ouvert de Rk telle que V est le graphe de g (toute variété
est localement le graphe d’une fonction lisse).
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Devoir no1 à rendre avant le 5/01/94
-IOn notera |.| la norme euclidienne de Rn , Sn = {x ∈ Rn+1 , |x| = 1} et
Pn (R) = Sn /x ∼ −x l’espace projectif réel de dimension n. Le but du problème est de
réaliser Pn (R) comme variété lisse dans R2n si n est pair et dans R2n−1 si n est impair
(Plongements de Hopf-James). On notera r la projection radiale définie sur Rn \ {0} par
r(x) = x/|x|. Dans ce qui suit, h désigne une application bilinéaire symétrique
h : Rn+1 × Rn+1 → Rn+k+1
telle que :
(∗) h(x, y) 6= 0 si x 6= 0 et y 6= 0.
on pose alors q(x) = h(x, x) et on définit g : Sn → Sn+k par g(x) = r(q(x)).
1) Montrer que si x, y ∈ Sn , alors g(x) = g(y) ⇔ x = ±y.
2) Vérifier que g est une immersion.
3) Montrer que g(Sn ) est une sous-variété de Sn+k homéomorphe à Pn (R).
4) Soit h(x, y) l’application bilinéaire symétrique définie par :
X
h(x0 , · · · , xn , y0 , · · · , yn ) = (z0 , · · · , z2n ) avec zk =
xi yj .
i+j=k
n
Montrer que h vérifie la condition (∗). En déduire que P (R) peut être réalisé comme
variété lisse dans R2n .
5) Dans le cas n impair, que doit-on modifier pour remplacer R2n par R2n−1 ?
-II1) Soient ϕ± : S \ {(0, 0, ±1} → R ' R2 × {0} les projections stéréographiques où
ϕ± (x) est défini comme étant l’intersection de la droite joignant (0, 0, ±1) et x avec le
2
2
plan R2 × {0}. Ecrire la formule décrivant ϕ+ ◦ ϕ−1
− : R \ {0} → R \ {0}.
2) Soient f, g : S1 → S1 continues et f g leur produit ((f g)(z) = f (z)g(z)). Montrer que
deg(f g) = deg(f ) + deg(g).
On se propose de montrer qu’il n’existe pas de champ de vecteurs tangents continu
sans zéro sur S2 (c’est-à-dire qu’il n’existe pas X : S2 → R3 \ {0} application continue
telle que X ∈ Tx (S2 )).
Si un tel champ existait, on obtiendrait deux champs continus sans zéro sur R2 ,
2
X± = (dϕ± )ϕ−1 (y) (X(ϕ−1
± (y))), y ∈ R . On peut supposer ces deux champs de norme 1
2
2
±
et regarder leurs restrictions à S1 ⊂ R2 , ce qui donne deux applications f± : S1 → S1 .
3) Montrer que deg(f+ ) = 0 = deg(f− ).
4) Montrer que f+ (z)f− (z) = −z 2 , z ∈ S1 , et conclure.
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4- Submersions. — Si f : X → Y est lisse et dim X ≥ dim Y le mieux
qu’on puisse demander à la différentielle dfx : Tx (X) → Ty (Y ) est d’être surjective.
On dit alors que f est une submersion en x. Si f est une submersion en tout
point, on dit simplement que f est une submersion. La submersion canonique est
la projection (x1 , · · · , xk ) ∈ Rk 7→ (x1 , · · · , xl ) ∈ Rl , k ≥ l. En fait, comme
dans le cas des immersions, c’est localement et à difféomorphismes près, la seule
submersion possible :
Théorème de submersion locale. — Si f : X → Y est une submersion
en x (i.e. dfx est surjective) et y = f (x), alors il existe des coordonnées locales
autour de x et y telles que f (x1 , · · · , xk ) = (x1 , · · · , xl ). Autrement dit, f est en
x localement équivalente à la submersion canonique.
Démonstration. — On procède comme dans le cas des immersions en
choisissant d’abord un diagramme commutatif de paramétrisations locales :
k
f
X
x

ϕ
−→
U
−→
g
Y
x
ψ

V
l
où U ⊂ R et V ⊂ R sont des ouverts et ϕ(0) = x et ψ(0) = y. Comme
dg0 : Rk → Rl est surjective, quitte à changer de base dans Rk (ce qui revient
à modifier le choix de ϕ), on peut supposer que dg0 est la submersion canonique.
Définissons maintenant G : U → Rk par : G(x) = (g(x), xl+1 + · · · + xk ).
On vérifie que dG0 est l’identité de Rk et donc, par le théorème d’inversion
locale, G est un difféo local en 0 ∈ Rk . Comme G a été choisi de façon à ce que
g = (submersion can.) ◦ G, on obtient que g est localement (en 0) équivalente à la
submersion canonique. Pour finir, quitte à diminuer U et V , on a le diagramme
commutatif suivant où les flèches verticales sont des paramétrisations :
X
x

ϕ◦G−1 
U
f
−→
sub.can.
−→
Y
x
ψ

V
d’où le théorème. t
u
Ces différents théorèmes (inversion, immersion et submersion locales) peuvent se résumer en disant que si dfx est de rang maximal, alors f est localement
équivalente (en x) à dfx . Comme corollaire de celui-ci, on obtient que si f est une
submersion en x, elle est une submersion et est ouverte dans un voisinage ouvert
de x (parce que ces propriétés sont vérifiées pour la submersion canonique).
L’aspect le plus intéressant de ce théorème est de permettre de définir des
variétés à l’aide d’équations. Si f : X → Y n’est qu’une application lisse, l’image
réciproque f −1 (y) où y ∈ Y est un fermé de X qui n’est en général pas une variété.
Par contre, si f est une submersion en x, dans les coordonnées locales en x données
par le théorème, f −1 (y) est défini par les équations x1 = · · · = xl = 0 , et les
fonctions xl+1 , · · · , xk forment un système de coordonnées locales d’un voisinage
9
ouvert de x dans f −1 (y). Pour résumer, f −1 (y) est une variété dans un voisinage
ouvert de x.
On dit que y ∈ Y est une valeur régulière si f est une submersion en tout
point x de f −1 (y). D’après ce qui vient d’être fait, f −1 (y) est alors une variété en
tout point, d’où le
Théorème de l’image réciproque. — Si y est une valeur régulière de
f : X → Y , alors l’image réciproque f −1 (y) est une sous-variété de dimension
dim X − dim Y .
Un point y ∈ Y qui n’est pas une valeur régulière de f est appelé valeur
critique. L’image réciproque d’un tel point peut être assez compliquée. Il convient
de remarquer que lorsque dim X < dim Y tout point de f (X) est une valeur
critique, les valeurs régulières de f sont alors celles qui ne sont pas atteintes par
f.
Il est souvent plus facile de vérifier qu’un sous-ensemble est une sousvariété en le voyant comme image réciproque d’une valeur régulière d’une certaine
fonction que d’avoir à construire suffisamment de paramétrisations locales, ce qui,
en pratique, devient vite impossible. Ainsi la sphère Sn = f −1 (1) où f est la
fonction f : x ∈ Rn+1 7→ x21 + · · · + x2n+1 ∈ R dont on vérifie que la seule valeur
critique est 0, par le théorème, Sn est une sous-variété de Rn+1 de dimension n.
Si un sous-ensemble Z d’une variété X est défini par l équations
f1 = 0, · · · , fl = 0 où les fi : X → R sont lisses, quelle est la condition à vérifier
sur les fi pour que Z soit une sous-variété ? Pour répondre à cette question, il
suffit de considérer l’application f : X → Rl définie par f = (f1 , · · · , fl ). Puisque
Z = f −1 (0), Z est une sous-variété de X si 0 est valeur régulière de f . Comme
il est clair qu’en un point x ∈ X, on a dfx = (d(f1 )x , · · · , d(fl )x ), la condition de
régularité se traduit par l’indépendance des formes linéaires (d(f1 )x , · · · , d(fl )x ),
on dit alors que les f1 , · · · , fl sont indépendantes en x. On peut retraduire dans
ce langage le théorème de l’image réciproque :
Proposition. — Si les fonctions lisses à valeurs réelles f1 , · · · , fl définies
sur une variété X sont indépendantes en les points où elles s’annulent toutes, le
lieu Z de leurs zéros communs est une sous-variété de dimension dim X − l.
Il est commode d’introduire ici la codimension codim Z = dim X − dim Z
d’une sous-variété Z d’une variété X. La proposition nous dit que l fonctions
indépendantes sur X déterminent une sous-variété de codimension l. Est ce que la
réciproque est vraie ? C’est-à-dire, une sous-variété Z de X peut-elle toujours être
déterminée par des fonctions indépendantes ? La réponse est non en général, mais
on a la réciproque dans au moins deux cas particuliers :
Exercice 1 : a) Si y est une valeur régulière de f : X → Y , alors la sous-variété
f −1 (y) peut être déterminée par des fonctions indépendantes.
b) Toute sous-variété de X peut être localement déterminée par des fonctions
indépendantes.
10
Pour finir, le lecteur démontrera la proposition utile suivante :
Proposition. — Soit Z = f −1 (y) l’image réciproque d’ une valeur
régulière y d’une application lisse f : X → Y , alors en tout point x ∈ Z, le
noyau ker dfx est exactement l’espace tangent Tx (Z).
Dans la suite, on notera Mn l’espace des matrices carrées d’ordre n (identi2
fiable à l’espace Rn ) et I ∈ Mn la matrice identité.
Exercice 2 : a) Soit SLn le groupe des matrices de Mn de déterminant +1.
Montrer que SLn est une sous-variété de Mn et en fait un groupe de Lie (i.e. les
opérations de groupe sont lisses).
b) Vérifier que l’espace tangent à SLn en I est constitué par les matrices de trace
nulle.
Exercice 3 : Si X est compacte et Y connexe, montrer que toute submersion
f : X → Y est surjective. En déduire qu’il n’existe pas de submersion d’une
variété compacte dans un espace numérique.
Exercice 4 : (Théorème de la pile de disques) Soit y une valeur régulière de
f : X → Y , avec X compacte et dim X = dim Y . Montrer que f −1 (y) est un
ensemble fini {x1 , · · · , xN } et qu’il existe un voisinage ouvert U de y tel que
f −1 (U ) est la réunion disjointe V1 ∪ · · · ∪ VN , où Vi est un voisinage ouvert de
xi difféomorphe par f avec U .
Exercice 5 : Soit y une valeur régulière de f : S1 → R, montrer que le nombre
d’éléments de f −1 (y) est pair.
Exercice 6 : On note Sn l’espace des matrices symétriques, et on considère
l’application (lisse) f : Mn → Sn définie par f (A) = AAt où At est la transposée
de la matrice A.
a) Montrer que I est une valeur régulière de f et donc que le groupe orthogonal
On = f −1 (I) est une variété (compacte et qui en fait est un groupe de Lie). Préciser
la dimension de On .
b) Déterminer l’espace tangent à On en I.
Exercice 7 : Dans R2 muni des coordonnées x, y, on note γ1 , · · · , γg , g cercles
d’équations respectives :
(x − ai )2 + (y − bi )2 = ri2 (1 ≤ i ≤ g et ri > 0)
et vérifiant que chaque cercle γi est intérieur au disque unité et que 2 cercles γi et
γj (i 6= j) sont extérieurs l’un à l’autre (et non tangents). On pose :
f (x, y, z) = (1 − x2 + y 2 )
g
Y
((x − ai )2 + (y − bi )2 − ri2 ) − z 2 .
i=1
Montrer que f
−1
(0) est une sous-variété homéomorphe à une surface de genre g.
11
5- Transversalité. — Nous avons vu que la condition pour que l’image
réciproque f −1 (y) soit une sous-variété est que y soit une valeur régulière de
l’application lisse f : X → Y . Si Z est maintenant, au lieu d’un point, une
sous-variété de Y , quelle condition assure que f −1 (Z) est une sous-variété ? Cette
question va nous amener à définir la notion de transversalité comme une extension
toute naturelle de celle de régularité.
Le fait que f −1 (Z) soit une sous-variété est une question locale, ce qui veut
dire qu’il suffit de vérifier qu’en chaque point x ∈ f −1 (Z), il existe un voisinage
ouvert U de x dans X tel que f −1 (Z) ∩ U soit une variété. Cette remarque nous
permet de nous ramener au cas où Z est réduite à un point. En effet, si y = f (x),
on peut écrire Z dans un voisinage de y comme le lieu des zéros communs de l
fonctions indépendantes g1 , · · · , gl où l = codim Z. Alors, au voisinage de x, l’image
réciproque f −1 (Z) est le lieu des zéros communs des fonctions g1 ◦ f, · · · , gl ◦ f . Si
on note g = (g1 , · · · , gl ) la submersion sur un ouvert de Rl définie au voisinage de
y, f −1 (Z) peut s’écrire au voisinage de x comme l’image réciproque (g ◦ f )−1 (0)
qui est une variété si 0 est une valeur régulière de g ◦ f .
On va traduire cette condition en termes de f et Z seulement. Comme
d(g ◦ f )x = dgy ◦ dfx , l’application linéaire d(g ◦ f )x : Tx (X) → Rl est surjective ssi
dgy envoie l’image de dfx sur Rl tout entier. Mais dgy : Ty (Y ) → Rl est surjective
et a pour noyau Ty (Z). Donc dgy envoie un sous-espace de Ty (Y ) sur Rl tout
entier ssi ce sous-espace engendre avec Ty (Z) tout Ty (Y ). En conclusion, g ◦ f est
une submersion en un point x ∈ f −1 (Z) ssi :
Image(dfx ) + Ty (Z) = Ty (Y ).
Si cette condition est réalisée, on dit que f est transverse à Z en x et si elle est
réalisée pour tout x ∈ f −1 (Z) on dit simplement que f est transverse à Z, ce
qu’on notera f >
∩ Z. On remarquera que si f −1 (Z) = ∅ alors f >
∩ Z. Nous avons
démontré le
Théorème. — Soit f : X → Y une application lisse et transverse à une
sous-variété Z ⊂ Y . Si l’image réciproque f −1 (Z) est non vide, elle est alors une
sous-variété de X de codimension codim Z.
Lorsque Z est réduite à un seul point, son espace tangent est trivial et donc
l’hypothèse de transversalité revient à la surjectivité de dfx pour tout x ∈ f −1 (y)
et donc à la régularité de la valeur y.
La situation particulière correspondant le plus à l’intuition que nous avons
de la notion est celle de la transversalité de l’inclusion i d’une sous-variété X ⊂ Y
avec une autre sous-variété Z ⊂ Y . Dire que le point x ∈ X appartient à l’image
réciproque i−1 (Z) revient à dire que x ∈ X ∩ Z. Comme on sait (vu en exercice)
que dix est l’inclusion de Tx (X) dans Tx (Y ), son image est Tx (X) et donc on a :
i>
∩ Z ⇔ ∀ x ∈ X ∩ Z, Tx (X) + Tx (Z) = Ty (Y ).
Cette relation est symétrique en X et Z. Quand elle a lieu, on dit que les deux
sous-variétés X et Z sont transverses et on écrit X >
∩ Z (si X ∩ Z = ∅ alors X >
∩ Z).
Dans ce cas particulier important, le théorème prend la forme suivante :
12
Théorème. — Soit X et Z des sous-variétés transverses d’une variété Y .
Si l’intersection X ∩ Z est non vide, elle est alors une sous-variété de Y et
codim(X ∩ Z) = codim X + codim Z.
Exercice 1 : a) Soit A : Rk → Rn une application linéaire et V un sous-espace
vectoriel de Rn . Vérifier que A >
∩ V revient à dire que A(Rk ) + V = Rn .
b) Si V et W sont des sous-espaces vectoriels de Rn , alors V ∩
> W signifie que
V + W = Rn .
Exercice 2 : Si X >
∩ Z, montrer que ∀ x ∈ X ∩ Z, Tx (X ∩ Z) = Tx (X) ∩ Tx (Z).
( L’intersection des espaces tangents est l’espace tangent de l’intersection.)
Exercice 3 : De manière plus générale, si f : X → Y est transverse à la sousvariété Z de Y , alors W = f −1 (Z) est une sous-variété de X. Montrer que
Tx (W ) = (dfx )−1 (Tf (x) (Z)). (L’espace tangent de l’image réciproque de Z est
l’image réciproque de l’espace tangent à Z.) Comment retrouve-t-on l’exercice
précédent?
Exercice 4 : Pour quelles valeurs de a > 0 l’hyperboloı̈de x2 +y 2 −z 2 = 1 intersecte
transversalement la sphère x2 + y 2 + z 2 = a? A quoi ressemble l’intersection pour
les différentes valeurs de a?
Exercice 5 : Soit V un espace vectoriel et ∆ la diagonale de V × V . Etant donné
A : V → V linéaire, considérons son graphe W = {(v, Av) : v ∈ V }. Montrer que
W>
∩ ∆ ⇐⇒ +1 n’est pas valeur propre de A.
Exercice 6 : Soit f : X → X une application lisse et x un point fixe de f . Si +1
n’est pas valeur propre de dfx : Tx (X) → Tx (X), on dit que x est un point fixe
Lefchetz de f . On dit que f est Lefchetz si tous ses points fixes le sont. Montrer
que f est Lefchetz ssi ∆ >
∩ Γ(f ) où Γ(f ) est le graphe de f . En déduire que si X
est compacte et f Lefchetz, f n’a qu’un nombre fini de points fixes.
Exercice 7 : Soit X et Y deux sous-variétés transverses de dimension 1 (i.e.
deux courbes régulières fermées et simples) de S2 . Montrer que X ∩ Y possède un
nombre pair de point. En déduire que S2 n’est pas difféomorphe au tore S1 × S1 .
13
6- Théorème de Sard. — On notera vol(A) la mesure de Lebesgue d’un
ensemble mesurable A ⊂ Rk . Soit X ⊂ Rm une variété de dimension k, on dira que
A ⊂ X est de mesure nulle ou négligeable si pour toute paramétrisation ϕ : U → X, où
U ⊂ Rk d’un ouvert V = ϕ(U ) de X : vol(ϕ−1 (A ∩ V )) = 0. Il suffit de vérifier ceci pour
un système de paramétrisations (que l’on peut supposer dénombrable) recouvrant X. Ce
sera alors vrai pour toute autre paramétrisation, grâce à la formule de changement de
variable qui assure que les négligeables de Rk restent négligeables quand on les transforme
par difféomorphisme (intégrer un jacobien sur une partie négligeable donne 0).
Théorème de Sard. — Soit f : X → Y lisse, C l’ensemble de ses points
critiques. Alors l’ensemble f (C) de ses valeurs critiques est de mesure nulle dans Y .
Conséquences : 1) Si dim X < dim Y, C = X ⇒ f n’est pas surjective.
2) f (C) a un intérieur vide ⇒ l’ensemble f (C)c des valeurs régulières est dense.
Il suffit de démontrer le théorème pour X = U ⊂ Rk et Y = V ⊂ Rl . On admettra
la propriété suivante découlant de la régularité de la mesure de Lebesgue :
Propriété. — Soit A ⊂ Rk , alors A est négligeable équivaut à : ∀ ε > 0, ∃
une famille Bi,i∈IPau plus dénombrable de boules centrées en des points de A avec
A ⊂ ∪i∈I Bi et
i∈I vol(Bi ) < ε.
Exercice 0 : : Soit un ouvert U ⊂ Rk et f : U → Rk lisse, alors si A ⊂ U est négligeable,
f (A) l’est aussi. (Montrer d’abord qu’on peut se ramener au cas A borné et donc supposer
que f dilate les boules dans un rapport ≤ K fixe).
Exercice 1 : (Mini-Sard k < l) : En déduire que si f : U ⊂ Rk → V ⊂ Rl , avec k < l,
alors f (U ) est négligeable. (Construire une fonction F d’un ouvert de Rl dans Rl et un
ensemble négligeable A ⊂ Rl tel que F (A) = f (U )).
Soit f : U ⊂ Rk → V ⊂ R1 lisse, on note Cn = {pts tq. ∂ i f /∂xi = 0, ∀ i =
(i1 , · · · , ik ), |i| = i1 + · · · + ik ≤ n} (Cn est le lieu où toutes les dérivées partielles
d’ordre ≤ n s’annulent). On remarquera que C = C1 et on utilisera la décomposition :
C = (C1 \ C2 ) ∪ (C2 \ C3 ) · · · ∪ (Ck−1 \ Ck ) ∪ Ck .
Exercice 2 : (Cas l = 1, récurrence sur k) :
1) Montrer que si A ⊂ Rk est borné, ∃ une constante M telle que : ∀ ε > 0, ∃
une famille (finie)PBi,i∈I de boules de rayons ri < ε et centrées en des points de A avec
A ⊂ ∪i∈I Bi et
i∈I vol(Bi ) ≤ M.
2) On suppose de plus que A ⊂ Ck . Montrer qu’il existe une constante N telle que
pour toute boule B de rayon r, centrée en un point de A, f (A ∩ B) est contenu dans un
intervalle I de rayon r0 ≤ N rk+1 (utiliser la formule de Taylor).
3) Déduire de 1) et 2) que si A est borné et A ⊂ Ck , alors f (A) est négligeable.
Conclure que f (Ck ) est négligeable et donc le théorème si k = 1.
4) Montrer que (Cn \Cn+1 ) est inclus dans une union finie de variétés de dimension
k − 1. En déduire avec 3) la preuve par récurrence du théorème dans le cas l = 1.
Exercice 3 : Par une récurrence sur l déduire de ce qui précède le théorème dans le cas
général d’une application lisse f : U ⊂ Rk → V ⊂ Rl .
14
7- Homotopie et stabilité. — On va s’intéresser aux propriétés d’une application
lisse qui ne sont pas altérées par une déformation lisse. De telles propriétés seront dites
stables. Intuitivement, f1 : X → Y est une déformation lisse d’une application lisse
f0 : X → Y entre variétés si on peut joindre f0 et f1 par un chemin différentiable
d’applications lisses ft : X → Y . De façon précise, I étant l’intervalle [0, 1], on dit que
f0 est homotope à f1 , ce qu’on note f0 ∼ f1 , s’il existe une application lisse F : X × I → Y
telle que F (x, 0) = f0 (x) et F (x, 1) = f1 (x). L’application F est une homotopie entre f0 et
f1 . On écrit souvent ft (x) = F (x, t).
Exercice 0 : La relation d’homotopie est une relation d’équivalence entre applications lisses
de X dans Y .
Dans la réalité physique, les propriétés d’une application qui ont un sens sont celles qui
restent vraies lorsqu’on déforme légèrement l’application (légers changements des conditions
d’expérience ou erreurs de mesure). De telles propriétés sont dites stables et on parle d’une
classe stable d’applications pour désigner une collection d’applications possédant une même
propriété stable. De façon précise, une propriété est stable si chaque fois que f0 : X → Y
possède cette propriété et que ft : X → Y est une homotopie, alors pour un certain ε > 0,
chaque ft , t < ε a encore cette propriété.
Par exemple, donnons-nous une courbe dans le plan, c’est-à-dire une application lisse
f0 : R → R2 . Le fait de passer par l’origine n’est pas une propriété stable ; par contre, le
fait de couper l’axe des x transversalement en est une.
Théorème de Stabilité. — Les classes suivantes d’applications lisses d’une
variété compacte X dans une variété Y sont stables :
(a) les difféomorphismes locaux; (b) les immersions; (c) les submersions
(d) les applications transverses à une sous-variété fermée donnée Z ⊂ Y
(e) les plongements; (f) les difféomorphismes.
Démonstration. — Pour (a),(b),(c), il suffit de remarquer que le fait pour d(ft )x
d’être de rang maximal (et pour (f) d’être transverse à Z) est une condition ouverte dans
X × I. Si cette condition est réalisée sur X × {0}, elle sera donc réalisée sur un voisinage
ouvert de X × {0}, qui grâce à la compacité de X, contient un voisinage ouvert produit
X × [0, ε[ pour un certain ε > 0. (La compacité de X est fondamentale ici, construire des
contre-exemples si X n’est pas supposée compacte).
Pour (e) (et donc (f)), il suffit de vérifier en plus que l’injectivité est stable. Dans le cas
contraire, on aurait une suite tn → 0 et xn 6= x0n ∈ X avec ftn (xn ) = ftn (x0n ). On considère
alors l’application G : (x, t) ∈ X × I 7→ (f (x), t) ∈ Y × I. G(xn , tn ) = G(x0n , tn ). Comme X
est compacte et f0 injective, on peut supposer que xn et x0n convergent vers un même point
x0 . Mais G est une immersion et donc injective au voisinage de (x0 , 0). Contradiction. t
u
Exercice 1 : Une variété X est dite contractible si l’identité id : X → X est homotope à une
application constante X → {x} où x est un point de X. Vérifier que si X est contractible,
toute les applications d’une variétés quelconque Y dans X sont homotopes entre elles (et
réciproquement). Montrer que Rk est contractible.
Exercice 2 : a) Si k < l, toute application Sk → Sl est homotope à une application
constante. En déduire que si l > 1, Sl est simplement connexe.
b) Si k est impair, l’antipodie x ∈ Sk 7→ −x ∈ Sk est homotope à l’identité.
15
8- Plongements de variétés. — Une variété différentiable abstraite de dimension n est un espace topologique M séparé muni d’un recouvrement dénombrable
d’ouverts Ui,i∈I , sur lesquels sont définis des cartes ou coordonnées locales ϕi : Ui → Rn ,
où ϕi est un homéomorphisme entre Ui et l’ouvert ϕi (Ui ) dans Rn . On demande que
si Ui ∩ Uj 6= ∅ , alors l’homéomorphisme changement de cartes ou de coordonnées gij
rendant le diagramme
ϕi
Ui ∩
x Uj

id
−→
ϕi (Uix∩ Uj )
gij

Ui ∩ Uj
−→ ϕj (Ui ∩ Uj )
ϕj
commutatif soit en fait un difféomorphisme (si on n’imposait rien aux gij , M serait seulement une variété topologique). La donnée des (Ui , ϕi , gij )i∈I avec les gij différentiables
est un atlas différentiable.
Si M et N sont deux variétés différentiables abstraites, et f : M → N est une
application, cela a un sens de dire que f est différentiable, est une immersion, une
submersion, toutes ces propriétés se vérifiant en coordonnées locales. Un plongement
est encore une immersion injective et propre.
Théorème. — Soit M une variété différentiable abstraite compacte. Alors il
existe un plongement de M dans Rq pour un certain q.
Démonstration. — On garde les notations du début. On note Dn (ρ) ⊂ Rn la
boule fermée de rayon ρ et de centre 0. Il est facile de voir (exercice) que l’on peut modifier
l’atlas initial de façon que l’ensemble d’indice I soit fini, I = {1, · · · , m} (compacité de
M ) et que l’on ait les deux propriétés suivantes :
n
∀ i, Dn (2) ⊂ ϕ(Ui ) et M = ∪Intϕ−1
i (D (1)).
Soit λ : Rn → [0, 1] une fonction lisse égale à 1 sur Dn (1) et 0 sur Rn \ Dn (2) (en
construire une). On définit les applications λi : M → [0, 1] par :
λ ◦ ϕi sur Ui
λi =
0
sur M \ Ui
Les ensembles
Bi = λ−1
i (1) ⊂ Ui
recouvrent M . Définissons maintenant les applications fi : M → Rn par :
λi (x)ϕi (x) si x ∈ Ui
fi (x) =
0
si x ∈ M \ Ui
Posons
gi = (fi , λi ) : M → Rn × R = Rn+1 ,
et
g = (g1 , · · · , gm ) : M → Rn+1 × · · · × Rn+1 = Rm(n+1) .
Si x ∈ Bi , gi et donc g est une immersion en x. Comme les Bi recouvrent M , g est une
immersion. Pour voir que g est injective, prenons x 6= y avec y ∈ Bi . Si x ∈ Bi alors
g(x) 6= g(y) puisque f = ϕ sur Bi . Si x ∈
/ Bi , alors λi (y) = 1 6= λi (x) donc g(x) 6= g(y).
Donc g est une immersion injective, comme M est compacte, g est un plongement. t
u
16
Soit X ⊂ Rq une variété de dimension n, rappelons que son fibré tangent
T (X) = {(x, y) ∈ Rq × Rq : x ∈ X, y ∈ Tx (X)}
est une variété de dimension 2n. Le théorème suivant peut être amélioré en remplaçant dans la conclusion 2n + 1 par 2n (Whitney), mais c’est beaucoup plus difficile...
Théorème de Whitney. — Toute variété X de dimension n peut être
plongée dans R2n+1 .
La démonstration de ce résultat (cf. Exercice 1) n’est qu’une modification
technique du
Petit théorème de Whitney. — Toute variété X de dimension n peut
être immergée injectivement dans R2n+1 .
Démonstration. — En fait, il nous suffit de montrer que si X ⊂ Rq et
q > 2n + 1, il existe alors une projection linéaire f : Rq → Rq−1 dont la restriction
à X est une immersion injective. Appelons v ∈ Sq−1 un vecteur unitaire donnant la
direction de projection de f , c’est-à-dire engendrant ker f . Pour que f satisfasse la
condition souhaitée, il suffit que les images des applications
y
g : (x, y) ∈ T ∗ (X) = {(x, y) ∈ T (X), y 6= 0} 7−→
∈ Sq−1
|y|
et
x1 − x2
h : (x1 , x2 ) ∈ X × X \ ∆ 7−→
∈ Sq−1
|x1 − x2 |
ne contiennent pas ±v. Mais comme les variétés T ∗ (X) et X×X\∆ sont de dimension
2n < q − 1, d’après Sard (cas facile), l’ensemble C ⊂ Sq−1 des points atteints par
g ou h est négligeable. Pour que f soit une bonne projection, il suffit de choisir le
vecteur de projection v dans C c , ce qui est possible car C c 6= ∅. (en toute rigueur,
il faudrait partir d’une immersion injective i : X ,−→ Rq et voir la condition pour
que f ◦ i soit une immersion injective... remplacer y par dix (y) dans la définition de
g et x1 et x2 par i(x1 ) et i(x2 ) dans celle de h... tout fonctionne pareil.) t
u
Dans ce qui suit on continue à considérer la variété X de dimension n :
Exercice 1 : a) Montrer l’existence sur X d’une fonction lisse et propre ρ : X → R
(on a besoin d’une partition de l’unité...).
b) Soit i : X → R2n+1 une immersion injective (dont l’existence est assurée par le
petit théorème). Que peut-on dire de j : x ∈ X 7→ (i(x), ρ(x)) ∈ R2n+2 ?
c) Montrer qu’il existe une projection linéaire f : R2n+2 → R2n+1 telle que f ◦ j est
un plongement.
Exercice 2 : Montrer que le fibré unitaire tangent
T 1 (X) = {(x, y) ∈ T (X) : |y| = 1}
est une variété de dimension 2n − 1 (compacte si X l’est). En déduire que X peut
être immergée dans R2n .
Exercice 3 : On suppose X compacte. Montrer qu’il existe une application
X → R2n−1 qui est une immersion sauf en un nombre fini de points.
17
II- Transversalité et intersection
1- Variétés à bord. — Soit H k = {(x1 , . . . , xk ) ∈ Rk | xk ≥ 0}. Le bord de
H est l’ensemble ∂H k = {x ∈ H k | xk = 0}.
La définition d’une variété X ⊂ Rn à bord de dimension k est la même que celle
d’une variété (sans bord) à ceci près qu’on autorise les paramétrisations locales à être
définies sur des ouverts de H k . Le bord de X, noté ∂X, est l’ensemble des points qui
ont des coordonnées locales dans ∂H k . L’intérieur Int X = X \ ∂X est une variété sans
bord de dimension dim X. Le produit de deux variétés à bord non vide n’est pas une
variété à bord (c’est une variété à “coins”), mais on a :
k
Proposition. — Soient X une variété sans bord et Y une variété à bord. Alors
X × Y est une variété à bord de bord ∂(X × Y ) = X × ∂Y .
On définit encore l’espace tangent Tx (X) en un point x ∈ X comme l’image de
Rk par la différentielle d’une paramétrisation en x. Cet espace est de dimension k même
lorsque x ∈ ∂X ! On peut alors définir comme dans le cas sans bord la différentielle
d’une application lisse entre variétés à bord.
Proposition. — Si X est une variété de dimension k à bord alors ∂X est une
variété sans bord de dimension k − 1.
Démonstration. — Le point essentiel est de montrer que le fait pour un point
d’être dans ∂X ne dépend pas des coordonnées locales choisies. Il est clair qu’il suffit
pour ça de montrer que si g : U → V est un difféomorphisme entre ouverts de H k , alors
g(∂U ) = ∂V ou ce qui revient au même g(Int U ) = Int V . Mais x ∈ Int U veut dire
qu’il existe un voisinage U 0 ⊂ H k de x ouvert dans Rk . La différentielle dgx étant un
isomorphisme, le théorème d’inversion locale nous dit qu’il existe un voisinage ouvert
U 00 ⊂ U 0 de x tel que g(U 00 ) ⊂ H k est un ouvert de Rk ⇒ g(x) ∈ Int V . Si les
ϕi : Ui → X sont des paramétrisation locales de X leurs restrictions ∂ϕi : ∂Ui → ∂X
fournissent des paramétrisations faisant de ∂X une variété sans bord de dimension k−1.
u
t
Remarquons que si x ∈ ∂X, l’espace tangent Tx (∂X) est de codimension 1 dans
Tx (X). Pour toute application lisse f définie sur X, on notera ∂f la restriction de
f à ∂X. La différentielle de ∂f en x est la restriction de dfx à Tx (∂X). Toutes les
définitions qui ont été formulées en termes de différentielles d’applications dans le cas
sans bord gardent un sens dans le contexte à bord. C’est le cas pour la définition de
la transversalité. On remarquera cependant que pour avoir une bonne conclusion au
théorème de l’image réciproque, il faut renforcer l’hypothèse f >
∩ Z en exigeant de plus
que ∂f >
∩Z :
Théorème de l’image réciproque. — Soit f une application lisse de la
variété à bord X dans la variété sans bord Y . Soit Z une sous-variété sans bord de
Y . Si f et ∂f sont transverses à Z alors f −1 (Z) est une variété à bord de bord
∂{f −1 (Z)} = f −1 (Z) ∩ ∂X,
et la codimension de f −1 (Z) dans X est égale à la codimension de Z dans Y .
18
Démonstration. — La démonstration du même théorème dans le cas sans bord
nous a appris que l’on peut se ramener au cas où Z est réduite à un point y régulier.
D’autre part, la démonstration étant de nature locale, il suffit de traiter le cas où
X = H k et Y = Rl avec y = 0 valeur régulière de f : H k → Rl .
On sait déjà (cas sans bord) que f −1 (0) ∩ (H k \ ∂H k ) est une variété sans bord.
Il reste à examiner f −1 (0) en un point u ∈ f −1 (0) ∩ ∂H k . Dire que f est lisse revient
à dire que f est la restriction à H k d’une application lisse F définie dans un voisinage
U de H k dans Rk . L’hypothèse de régularité de u pour ∂f revient à dire que dFu est
surjective en restriction à Tu (∂H k ) et donc, en particulier, surjective. Par conséquent
l’intersection S de F −1 (0) avec un voisinage assez petit de u dans Rk est une sous
variété (sans bord) de codimension l.
Il reste à montrer que S ∩ H k est une variété à bord. Notons π la restriction
à S de la projection x ∈ H k 7→ xk ∈ R. On a S ∩ H k = {s ∈ S, π ≥ 0}. Le sousespace Tu (S) = (dFu )−1 (0) n’est pas inclus dans Tu (∂H k ). Sinon, en effet, l’application
linéaire dFu qui est déjà surjective en restriction à Tu (∂H k ) aurait même noyau que sa
restriction, ce qui est impossible. Or ker dπu = Tu (S) ∩ Tu (∂H k ) donc dπu 6= 0 ⇔ 0 est
valeur régulière de π. Par le théorème de submersion locale, on peut donc prendre des
coordonnées locales autour de u dans S telles que π est la submersion canonique. Il est
alors évident que {s ∈ S, π ≥ 0} est une variété à bord de la dimension de S. t
u
Le théorème de Sard se généralise au cas à bord sans aucune difficulté :
Théorème de Sard. — Si f est une application différentiable de la variété à
bord X dans la variété sans bord Y , alors l’ensemble des valeurs critiques de f et de
∂f est de mesure nulle dans Y .
2- Variétés de dimension 1 et degré modulo 2. — C’est le théorème suivant, ou plutôt son corollaire, qui rendra possible la définition d’un nombre d’intersection
modulo 2.
Théorème. — Toute variété compacte, connexe de dimension 1 à bord est
difféomorphe à [0, 1] ou au cercle S1 .
Comme toute variété compacte de dimension 1 a un nombre fini de composantes
connexes, on a le
Corollaire. — Le bord d’une variété compacte de dimension 1 contient un
nombre pair de points.
Une première conséquence de ce corollaire où est déjà sous-jacente l’idée d’un
nombre d’intersection modulo 2 est la suivante :
Théorème. — Soit X une variété compacte à bord non vide. Alors il n’existe
aucune application lisse g : X → ∂X telle que ∂g : ∂X → ∂X soit l’identité. Autrement
dit, il n’existe pas de rétraction différentiable de X sur son bord.
19
Démonstration. — Supposons qu’il existe une telle application g. Grâce à Sard,
on peut choisir une valeur régulière z ∈ ∂X. Alors g −1 (z) est une variété à bord de
codimension dim ∂X d’après le théorème de l’image réciproque. Donc g −1 (z) est une
variété de dimension 1 et compacte. Mais comme ∂g est l’identité,
∂g −1 (z) = g −1 (z) ∩ ∂X = {z},
ce qui contredit le corollaire. t
u
L’application la plus connue de ce résultat est le
Théorème de Brouwer. — Soit f une application lisse de la boule unité
fermée B n ⊂ Rn dans elle-même, alors f a un point fixe.
Avant de donner d’ici peu une définition générale, nous allons introduire ici le
degré modulo 2 qui est un nombre d’intersection modulo 2 particulier. On note #A le
nombre de points d’un ensemble fini A.
Lemme d’homotopie. — Soient f, g : X → Y deux applications homotopes
entre variétés de même dimension où X est compacte sans bord. Si y ∈ Y est une valeur
régulière à la fois pour f et g, alors
#f −1 (y) = #g −1 (y) mod 2 .
Démonstration. — Soit H : X × [0, 1] → Y une homotopie entre f et g.
Supposons d’abord que y est aussi valeur régulière pour H. Alors le théorème de l’image
réciproque dit que H −1 (y) est une variété compacte de dimension 1 de bord
H −1 (y) ∩ (X × {0} ∪ X × {1}).
dont le nombre de points est #f −1 (y) + #g −1 (y) qui est donc pair.
Si y n’est pas valeur régulière pour H, on peut cependant trouver un voisinage
ouvert V de y constitué encore de valeurs régulières pour f et g et tel que #f −1 (z)
et #g −1 (z) soient constants pour z ∈ V (théorème de la pile de disques). Choisissons
(Sard) une valeur régulière de H. Alors :
mod 2
#f −1 (y) = #f −1 (z) = #g −1 (z) = #g −1 (y). t
u
Définition. — Une isotopie ht : X → X est une homotopie où ht est un
difféomorphisme ∀ t ∈ I.
Lemme d’homogénéı̈té. — Si y et z sont deux points de Y supposée connexe,
il existe un difféomorphisme h de Y isotope à l’identité avec h(y) = z.
Démonstration. — On démontre facilement que la relation d’isotopie est une
relation d’équivalence. Il suffit donc de traiter le cas où y et z sont suffisamment proche.
En passant en coordonnées locales, il suffit alors de montrer qu’il existe des isotopies
ht : Rl → Rl avec h0 = id et ht = id en dehors d’une boule ouverte centrée B
en 0 et telles que les ht (0) atteignent tous les points d’un petit voisinage de 0. Soit
20
λ : Rl → R lisse valant 1 près de 0 et 0 en dehors de B (voir II-8), pour t assez petit,
ht (x) = x + tλ(x)v, où v est un vecteur non nul donné, convient (en faisant varier v).
On peut aussi intégrer le champ de vecteurs λ(x)v. t
u
Théorème-Définition. — Soit f : X → Y une application lisse d’une variété
compacte X dans une variété connexe Y . Si y et z sont des valeurs régulières de f , alors
#f −1 (y) = #f −1 (z) mod 2 .
L’élément de Z/2Z ainsi défini est le degré de f modulo 2 et noté deg2 (f ).
Démonstration. — Soit h isotope à l’identité avec h(y) = z. Alors z est encore
valeur régulière de h ◦ f . Puisque h ◦ f est homotope à f , le lemme d’homotopie assure
que
#(h ◦ f )−1 (z) = #f −1 (z) mod 2 .
Mais
(h ◦ f )−1 (z) = f −1 h−1 (z) = f −1 (y)
et donc
#f −1 (y) = #(h ◦ f )−1 (z) = #f −1 (z) mod 2 . t
u
Exercice 4 : Soit f : X → X un difféomorphisme. Que vaut deg2 (f ) ? En déduire que
f n’est pas homotope à une application constante.
Exercice 5 : Soit f : Sn → Sn lisse. On suppose que deg2 (f ) = 0. Montrer que f a un
point fixe.
21
3- Transversalité. — Nous avons vu que la propriété de transversalité f>
∩Z
où f : X → Y avec X compacte et Z sous-variété de Y est stable. Nous allons voir
maintenant que, grâce à Sard, cette propriété est générique dans le sens que, si f n’est
pas transverse à Z on peut la rendre transverse moyennant une petite perturbation.
En particulier, f sera toujours homotope à une application transverse à Z.
Théorème de transversalité. — Soit F : X × S → Y une application
lisse entre des variétés telles que seule X ait un bord. Soit Z une sous-variété sans
bord de Y . Si F et ∂F sont transverses à Z, alors pour presque tout s ∈ S les
applications fs et ∂fs sont transverses à Z.
Démonstration. — L’image réciproque W = F −1 (Z) est une sous-variété de
X × S de bord ∂W = W ∩ ∂(X × S). Soit π : W → S la restriction à W de la
projection X × S → S. Nous allons montrer que si s ∈ S est valeur régulière de
π alors fs >
∩ Z et de même, si s ∈ S est valeur régulière de ∂π alors ∂fs >
∩ Z. Le
théorème suit alors immédiatement puisque, d’après Sard, presque tout s ∈ S est
valeur régulière à la fois de π et de ∂π.
Dire que s est valeur régulière de π revient à dire que ∀ (x, s) ∈ W , on a :
∀ e ∈ Ts (S), ∃ (v, e) ∈ T(x,s) (W ) = (dF(x,s) )−1 (Tz (Z))
où z = fs (x) = F (x, s).
Ceci se traduit par ∀ (u, e) ∈ T(x,s) (X × S) ∃ v ∈ Tx (X) tel que :
(dF(x,s) (u, e) − dF(x,s) (u − v, 0)) ∈ Tz (Z).
Comme
dF(x,s) (u − v, 0) = (dfs )x (u − v)
on peut dire que tout vecteur de Image dF(x,s) est un vecteur de Image(dfs )x à un
vecteur de Tz (Z) près ou encore
Image dF(x,s) + Tz (Z) = Image(dfs )x + Tz (Z)
d’où, sous la condition s valeur régulière de π,
F>
∩ Z ⇒ fs >
∩ Z.
On montrerait de même que sous la condition s valeur régulière de π,
∂F >
∩ Z ⇒ ∂fs >
∩ Z. t
u
Le théorème de transversalité a pour conséquence facile que la propriété f >
∩Z
est générique dans le cas où Y = Rn . Si f : X → Rn est lisse, prenons pour S une
boule ouverte de Rn et posons F (x, s) = f (x)+s. A x fixé, F est une translation de la
boule S, donc une submersion. Donc a fortiori F : X ×S → Rn et ∂F : ∂X ×S → Rn
sont des submersions et par conséquent transverses à n’importe quelle sous-variété Z
de Rn . D’après le théorème de transversalité, pour presque tout s ∈ S, l’application
fs (x) = f (x) + s est transverse à Z. Donc f peut être déformée en une application
transverse par simple addition d’un vecteur s arbitrairement petit.
22
Lorsque la variété Y est quelconque, elle est tout de même sous-variété d’un
espace numérique Rn . Nous venons de voir comment déformer f : X → Y en une
application transverse à Z de X dans Rn aussi proche de f que l’on veut. Tout
le problème est maintenant de pouvoir projeter les points proches de Y par une
submersion sur Y .
Théorème du ε-voisinage. — Soit Y une variété compacte et sans bord
de Rn et ε > 0. Soit Y ε = {w ∈ Rn t.q. ∃ y ∈ Y, |w − y| < ε}. Si ε est assez petit,
pour tout point w ∈ Y ε il existe un unique point dans Y qui est le plus proche noté
π(w). Alors π : Y ε → Y est une submersion. Lorsque Y n’est pas compacte, la même
conclusion est vraie en autorisant une épaisseur ε variable dans la définition de Y ε .
La démonstration de ce théorème sera esquissée plus loin.
Corollaire. — Soit f : X → Y une application lisse avec Y sans bord.
Alors il existe une boule ouverte S d’un espace Rm et une application lisse
F : X ×S → Y telles que F (x, 0) = f (x) et pour tout x fixé l’application s 7→ F (x, s)
soit une submersion de S dans Y . En particulier F et ∂F sont des submersions.
Démonstration. — Soit S la boule unité ouverte de Rn dans lequel est réalisé
Y , posons :
F (x, s) = π f (x) + ε(f (x))s
où ε est la fonction lisse “épaisseur” du voisinage Y ε . Puisque π : Y ε → Y
est l’identité en restriction à Y , on a F (x, 0) = f (x). A x fixé, l’application
s → f (x) + ε(f (x))s est une submersion. Donc s → F (x, s) est une submersion
comme composée de deux submersions. Il est alors évident que F et ∂F sont des
submersions. t
u
Le caractère générique de la transversalité est formulé dans le
Théorème d’homotopie à une application transverse. — Soit f :
X → Y une application lisse. Soit Z une sous-variété sans bord de la variété sans
bord Y , alors il existe g : X → Y différentiable, homotope à f telle que g et ∂g
soient transverses à Z.
Démonstration. — Le théorème de transversalité s’applique au F du corollaire et donne que fs >
∩ Z et ∂fs >
∩ Z pour presque tout s ∈ S. Mais chaque fs est
homotope à f par l’homotopie (x, t) ∈ X × I 7→ F (x, ts). t
u
Pour démontrer le théorème du ε-voisinage, on a besoin d’introduire le fibré
normal à Y . Pour y ∈ Y on définit Ny (Y ) l’espace normal à Y en y comme
l’orthogonal de Tx (X) dans Rn . Le fibré normal à Y est défini par
N (Y ) = {(y, v) ∈ Y × Rn | v ∈ Ny (Y )}.
Proposition. — Le fibré N (Y ) est une variété de dimension n et la
projection σ : N (Y ) → Y définie par σ(y, v) = y est une submersion.
Démonstration du théorème du ε-voisinage. — Considérons l’application
h : (y, v) ∈ N (Y ) 7→ (y + v) ∈ Rn . On remarque d’abord que h est régulière en tout
23
point de Y × {0} ⊂ N (Y ) car par (y, 0) passent deux sous-variétés complémentaires
de N (Y ) à savoir Y × {0} et {y} × Ny (Y ). La différentielle dh(y,0) envoie les espaces
tangents respectivement à Y × {0} et {y} × Ny (Y ) en (y, 0) sur Ty (Y ) et Ny (Y ).
Ceci prouve que dh(y,0) est surjective car Ty (Y ) + Ny (Y ) = Rn . On applique alors
le théorème d’inversion locale de façon entièrement analogue à ce qui a été fait en
cours dans le cas où Y est une courbe dans le plan. t
u
Nous aurons besoin de la version plus forte suivante (que nous admettrons)
du théorème d’homotopie à une application transverse. On dira que f : X → Y est
transverse à Z sur un sous-ensemble C de X si la condition de transversalité
Image(dfx ) + Tf (x) (Z) = Tf (x) (Y )
est satisfaite en tout point x ∈ C ∩ f −1 (Z).
Théorème de prolongement. — Soient Y une variété sans bord et Z
une sous-variété fermée sans bord de Y . Soient f : X → Y une application lisse et
C un fermé de X. Si f et ∂f sont transverses à Z sur C et C ∩ ∂X respectivement
alors il existe une application lisse g : X → Y homotope à f telle que g et ∂g soient
transverse à Z et que sur un voisinage de C on ait g = f .
Puisque ∂X est fermé dans X on a le
Corollaire. — Si f : X → Y est telle que ∂f : ∂X → Y soit transverse à
Z, alors il existe g : X → Y homotope à f telle que ∂f = ∂g et que g soit transverse
à Z.
La conséquence la plus utile de ce corollaire est que si h : ∂X → Y est
transverse à Z et peut se prolonger en une application lisse définie sur tout X, alors
h peut se prolonger en une application lisse définie sur tout X et transverse à Z.
Exercice 6 : Soit X et Y deux sous-variétés de RN . Montrer que pour presque tout
a ∈ RN , la sous-variété translatée X + a coupe Y transversalement.
Exercice 7 : Supposons qu’une sous-variété compacte X de Y ait une intersection
non vide avec une autre sous-variété Z mais dim X + dim Z < dim Y . Montrer que
X peut être rendue disjointe de Z par une déformation arbitrairement petite : étant
donné un ε > 0, il existe une déformation Xt = it (X) telle que Xt ∩ Z = ∅ et
|x − it (x)| < ε pour tout x ∈ X (on demande que Xt soit une sous-variété).
Exercice 8 : Soit f : Rn → Rn une application lisse, n > 1, et soit K ⊂ Rn un
compact et un ε > 0. Montrer qu’il existe une application f 0 : Rn → Rn telle que
dfx0 n’est jamais nulle mais |f − f 0 | < ε sur K. Montrer que ce résultat est faux
si n = 1. (Indication : soit Mn l’espace des matrices carrées d’ordre n, considérer
l’application F : (x, A) ∈ Rn × Mn 7→ (dfx + A) ∈ Mn . Pourquoi peut-on choisir un
A tel que FA >
∩ {0}? En déduire le résultat. Où est utilisé l’hypothèse n > 1 ?)
24
4- Intersection modulo 2. — On dit que deux sous-variétés X et Z de Y
ont des dimensions complémentaires si dim X + dim Z = dim Y . Si de plus X >
∩ Z,
on dira que X et Z sont complémentaires. Dans le cas où X est compacte et Z
fermée, X ∩ Z est alors une variété de dimension 0 et compacte, donc un ensemble
fini. On peut dans un premier temps penser au “nombre d’intersection” de X et Z
comme étant #(X ∩ Z). La question est maintenant de pouvoir encore définir
un nombre d’intersection de la sous-variété compacte X et d’une sous-variété
fermée Z de dimension complémentaire qui n’est pas nécessairement transverse
à X. Le théorème de transversalité nous dit qu’on peut toujours déformer X pour
la rendre transverse à Z, mais alors il faut que le nombre d’intersection obtenu
soit indépendant de la déformation choisie. Le nombre d’intersection modulo 2 est
le seul à pouvoir satisfaire à cette contrainte, dans le cas où X >
∩ Z, il est défini
comme étant I2 (X, Z) = #(X ∩ Z) mod 2.
De manière plus générale, soit X une variété compacte et f : X → Y une
application lisse. Soit Z une sous-variété fermée de Y qui vérifie dim X + dim Z =
dim Y . Si f est transverse à Z, l’ensemble f −1 (Z) est fini, on définit alors le nombre
d’intersection modulo 2 de f avec Z comme le cardinal modulo 2 de cet ensemble.
On le note I2 (f, Z).
Théorème. — Si f0 , f1 : X → Y sont homotopes et transverses à Z, alors
I2 (f0 , Z) = I2 (f1 , Z).
Démonstration. — Soit F : X × I → Y une homotopie lisse de f0 à
f1 . Grâce au théorème de prolongement, on peut supposer que F ∩
> Z. Comme
∂(X × I) = (X × {0} ∪ X × {1}) et ∂F = f0 sur X × {0} et f1 sur X × {1},
on a ∂F >
∩ Z. Par le théorème de l’image réciproque, F −1 (Z) est une variété de
dimension 1 dont le bord est :
∂F −1 (Z) = F −1 (Z) ∩ ∂(X × I) = f0−1 (Z) × {0} ∪ f1−1 (Z) × {1}.
La classification des variétés de dimension 1 nous assure que ∂F −1 (Z) a un nombre
pair de points, d’où #f0−1 (Z) = #f1−1 (Z) mod 2. t
u
Si f n’est pas transverse à Z, on choisit g homotope à f et transverse à Z
et on définit I2 (f, Z) = I2 (g, Z).
Corollaire. — Si f0 , f1 : X → Y sont homotopes, alors I2 (f0 , Z) =
I2 (f1 , Z).
Le lien avec la définition du nombre d’intersection de deux sous-variétés
de dimensions complémentaires est le suivant. Si X est contenue dans Y , soit i
l’inclusion de X dans Y ; on a I2 (X, Z) = I2 (i, Z). Remarquons qu’en particulier
si dim X = 12 dim Y , on peut définir le “nombre d’autointersection modulo 2”
I2 (X, X).
Exercice 1 : Si X est le cercle médiateur de la bande de Möbius, I2 (X, X) = 1.
25
Théorème du bord. — Si X est le bord d’une variété compacte W et si
g : X → Y est une application lisse qui se prolonge à W , alors I2 (g, Z) = 0 pour
toute sous-variété fermée Z telle que dim X + dim Z = dim Y .
Démonstration. — Soit G : W → Y un prolongement lisse de g, on a donc
∂G = g. D’après le théorème d’homotopie à une application transverse, il existe
une application F : W → Y homotope à G avec F ∩
> Z et f = ∂F ∩
> Z. Alors
f ∼ g et donc I2 (g, Z) = #f −1 (Z) mod 2. Mais F −1 (Z) est une variété compacte
de dimension 1 donc #∂F −1 (Z) = #f −1 (Z) est pair. t
u
On retrouve la définition du degré modulo 2 :
Théorème-Définition. — Si f : X → Y est une application lisse de la
variété compacte X dans la variété connexe Y telles que dim X = dim Y , alors
I2 (f, {y}) ne dépend pas de y, c’est le degré modulo 2 de f noté deg2 (f ). Deux
applications homotopes ont le même degré modulo 2.
Avec en plus la propriété suivante :
Théorème. — Si X = ∂W avec W compacte et si f : X → Y s’étend à
W alors deg2 (f ) = 0.
On peut appliquer ce dernier point au problème d’existence de zéros d’une
fonction. Soit, par exemple, p : C → C une fonction complexe lisse et W une
région du plan qui est une sous-variété compacte à bord. Est-ce qu’il existe z ∈ W
avec p(z) = 0? Supposons que p n’a aucun zéro sur ∂W , de sorte que l’application
p/|p| : ∂W → S 1 est bien définie et lisse entre variétés de dimension 1. Si de plus p
n’a aucun zéro dans W alors p/|p| est définie sur tout W et le théorème précédent
donne la
Proposition. — Soit p : C → C une fonction complexe lisse. Soit W un
compact de C à bord différentiable, si le degré modulo 2 de p/|p| : ∂W → S 1 est
non nul, alors p s’annule dans W .
Exercice 2 : Soit p(z) = z m + a1 z m−1 + · · · + am avec m impair appliquer ce qui
précède à un disque assez grand W pour prouver que p a au moins un zéro.
Exercice 3 : Montrer que Sn × Sn n’est pas difféomorphe à S2n pour tout n > 1.
f
g
Exercice 4 : Soit X −→ Y −→ Z des applications lisses entre variétés avec X
compacte. Supposons que g >
∩ W où W est une sous-variété fermée de Z de sorte
que g −1 (W ) est une sous-variété de Y . On suppose que dim X + dim W = dim Z,
vérifier que
I2 (f, g −1 (W )) = I2 (g ◦ f, W ).
26
Exercice 5 : Soient X et Z des variétés compactes et f : X → Y et g : Z → Y
deux applications lisses dans une variété Y . Si dim X + dim Z = dim Y , on peut
définir le nombre d’intersection modulo 2 de f et g par
I2 (f, g) = I2 (f × g, ∆)
où ∆ est la diagonale de Y × Y .
a) Montrer que I2 (f, g) ne change pas si on remplace f et g par des
applications homotopes.
b) Vérifier que I2 (f, g) = I2 (g, f ) (on appliquera l’exercice précédent).
c) Si Z est en fait une sous-variété de Y et i : Z ,−→ Y , montrer que
I2 (f, i) = I2 (f, Z).
d) Déduire de ce qui précède que si X et Z sont deux sous-variétés compactes
de Y ,
I2 (X, Z) = I2 (Z, X).
Exercice 6 : Soient Y une variété et Z une sous-variété compacte telles que
dim Y = 2 dim Z, si Z est l’ensemble des zéros de fonctions globales indépendantes,
alors I2 (Z, Z) = 0.
Exercice 7 : Soit X une variété compacte de dimension > 0. Montrer que X n’est
pas contractile.
Exercice 8 : Si X une variété compacte et Y non compacte avec dim X = dim Y ,
alors deg2 (f ) = 0 pour toute application lisse f : X → Y .
Exercice 9 : Deux sous-variétés compactes X et Z de Y sont cobordantes dans
Y s’il existe dans Y × I une variété à bord W telle que ∂W = X × {0} ∪ Z × {1}.
Montrer que si X peut être déformée en Z par des plongements, alors X et Z sont
cobordantes. Donner un exemple de variétés cobordantes non homéomorphes.
Exercice 10 : Montrer que si X et Z sont cobordantes dans Y , alors pour toute
sous-variété compacte C de dimension complémentaire à X et Z,
I2 (X, C) = I2 (Z, C).
Exercice 11 : Soit f : Y → W une application lisse et v, w ∈ f (Y ) ⊂ W
deux valeurs régulières atteintes. Montrer que X = f −1 (v) et Z = f −1 (w) sont
cobordantes dans Y .
27
5- Indice modulo 2 et théorème de séparation de Jordan-Brouwer.
Soit X une variété compacte connexe et f : X → Rn une application lisse. Supposons
que dim X = n − 1 et que z ∈ Rn est une valeur non atteinte par f . Soit
f (x) − z
u(x) =
|f (x) − z|
le vecteur unitaire indiquant la direction de z à f (x). D’après le § précédent, on sait
que u : X → Sn−1 atteint presque toute direction un même nombre de fois mod 2, à
savoir deg2 (u) fois. L’indice mod 2 de f autour de z est le nombre W2 (f, z) = deg2 (u)
(en anglais “winding number”). Ce nombre estime donc “de combien f s’enroule
autour de z”.
Théorème. — Supposons que X = ∂D où D est une variété compacte à
bord et que F : D → Rn soit une application lisse prolongeant f . Supposons aussi
que z est une valeur régulière de F non atteinte par f = ∂F . Alors F −1 (z) est fini et
W2 (f, z) = #F −1 (z) mod 2.
Exercice 1 : Démontrer le théorème. Montrer d’abord que si F −1 (z) = ∅ alors
W2 (f, z) = 0. Si F −1 (z) = {y1 , · · · , yl }, enlever de petites boules ouvertes disjointes
Bi ⊂ D, yi ∈ Bi et considérer la restriction de F à la variété à bord D \ (B1 ∪ · · · ∪ Bl ).
Si X est une hypersurface compacte et connexe de Rn et z ∈
/ X, on pose
W2 (X, z) = W2 (i, z) où i est l’inclusion de X dans Rn .
Théorème de Jordan-Brouwer. — Soit X une hypersurface compacte et
connexe dans Rn . Le complémentaire de X est composé de deux ouverts connexes
disjoints D0 l’“extérieur” et D1 l’“intérieur”. De plus l’adhérence D̄1 est une variété
compacte de bord ∂ D̄1 = X
La suite d’exercice suivante est destinée à démontrer ce théorème :
Exercice 2 : Montrer que Rn \ X a au plus deux composantes connexes (ouvertes).
Exercice 3 : Si z0 et z1 sont dans la même composante connexe de Rn \ X alors
W2 (X, z0 ) = W2 (X, z1 ).
Exercice 4 : Etant donné z ∈
/ X et une direction v ∈ Sn−1 on considère le rayon
émis de z dans la direction v :
r = {z + tv, t > 0}.
Montrer que r >
∩ X ⇔ v est valeur régulière de l’application direction u : X → Sn−1 .
En particulier, presque tout r est transverse à X.
Exercice 5 : Supposons que le rayon r émis de z0 ∈
/ X coupe transversalement X en
un ensemble (nécessairement fini). Soit z1 ∈
/ X un autre point de r et l le nombre de
points de r ∩ X entre z0 et z1 . Vérifier que W2 (X, z0 ) = W2 (X, z1 ) + l mod 2.
Exercice 6 : Prouver qu’il existe un z0 et un rayon r comme à l’exercice précédent
avec r ∩ X 6= ∅. En déduire que Rn \ X a exactement les deux composantes connexes
D0 = {z : W2 (X, z) = 0} et D1 = {z : W2 (X, z) = 1}.
Exercice 7 : Montrer que D̄1 est une variété compacte de bord ∂ D̄1 = X.
28
6- Le théorème de Borsuk-Ulam. — Une première version de ce théorème
célèbre est la suivante :
Théorème. — Soit f : Sk → Rk+1 une fonction lisse dont l’image ne contient
pas l’origine. On suppose que f est impaire (i.e. f (−x) = −f (x), ∀ x ∈ Sk ), alors
W2 (f, 0) = 1. En particulier, f atteint toute demi-droite issue de l’origine.
Exercice 1 : Montrer le théorème pour k = 1.
Démonstration. — Elle se fait par récurrence. Supposons donc que le théorème
est vrai pour k−1 et soit f : Sk → Rk+1 \{0} impaire. Considérons Sk−1 l’équateur de
Sk plongé par (x1 , · · · , xk ) → (x1 , · · · , xk , 0) et notons g la restriction de f à l’équateur
Sk−1 . Choisissons, grâce à Sard, un vecteur unitaire u ∈ Sk valeur régulière des deux
applications :
g
f
: Sk → Sk et
: Sk−1 → Sk .
|f |
|g|
Puisque f et g sont impaires, il est clair que −u est aussi valeur régulière des deux
g
applications. D’autre part, pour une raison de dimension, la régularité pour |g|
signifie
g
simplement que |g| n’atteint ni u ni −u. Par conséquent, g n’atteint aucun point de
la droite l = Ru.
∩ l (déjà vu). Alors, par définition :
La régularité de u pour |ff | équivaut à f >
f −1
f =#
(u) mod 2
W2 (f, 0) = deg2
|f |
|f |
Et
f
|f |
atteint u autant de fois que −u grâce à l’imparité de f . D’où :
f −1
1
#
(u) = #f −1 (l)
|f |
2
Soit f+ la restriction de f à l’hémisphère supérieur Sk+ . On a (imparité et l non
atteinte par f sur l’équateur) :
−1
#f+
(l) =
1
#f −1 (l)
2
−1
d’où W2 (f, 0) = #f+
(l) mod 2.
k+1
Soit π : R
→ V la projection orthogonale sur l’orthogonal V de l. Comme
g est impaire et π linéaire, π ◦ g : Sk−1 → V est impaire ; de plus, π ◦ g ne s’annule pas
car g ne rencontre pas π −1 (0) = l. En identifiant l’espace vectoriel V de dimension k
à Rk , l’hypothèse de récurrence assure que W2 (π ◦ g, 0) = 1.
Maintenant, puisque f+ >
∩ l,
π ◦ f+ : Sk+ → V
a 0 pour valeur régulière.
Exercice 2 : En déduire que W2 (π ◦ g, 0) = #(π ◦ f+ )−1 (0) mod 2, puis le théorème.
29
Exercice 3 : Démontrer le
Corollaire 1. — Soient f1 , · · · , fk des fonctions lisses et impaires sur Sk .
Ces fonctions ont nécessairement un zéro commun.
On en déduit immédiatement le
Corollaire 2. — Soient g1 , · · · , gk des fonctions lisses sur Sk . Il existe
nécessairement un point p ∈ Sk tel que
g1 (p) = g1 (−p), · · · , gk (p) = gk (−p).
Une formulation météorologique de ce résultat (pour S2 ) est qu’à un instant
donné, il y a toujours sur la terre deux points antipodaux où règne le même temps (i.e.
même température et même pression). Une autre formulation encore : si un ballon
(rond) se dégonfle et tombe sur le sol, deux points antipodaux au moins atterriront
au même point sur le sol.
Exercice 4 : Montrer que le théorème de Borsuk-Ulam équivaut à l’assertion
suivante : si f : Sk → Sk envoie points antipodaux sur points antipodaux, alors
deg2 (f ) = 1.
Exercice 5 : Soient p1 , · · · , pn des polynômes homogènes de degrés impairs en n + 1
variables. Montrer que ces polynômes s’annulent simultanément le long d’une droite
passant par l’origine.
Exercice 6 : Déduire du corollaire 2 que si f : Sn → Rn est continue, alors il existe
x ∈ Sn tel que f (−x) = f (x). En déduire le
Théorème de l’invariance du domaine. — Si n 6= m alors Rn n’est pas
homéomorphe à Rm .
Exercice 7 : (Examen?) Soit f : Sn → Sn lisse et paire alors deg2 (f ) = 0 (prendre
une valeur régulière, son image réciproque est un ensemble fini symétrique donc a un
nombre pair de points).
Autre exo facile le degré du composé est la composée des degré.
30
Devoir no2 à rendre avant le 20/04/94
-IOn utilisera les notations suivantes :
S3 = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 |x21 + x22 + x23 + x24 = 1} = {(z, w) ∈ C × C| |z|2 + |w|2 = 1}
T1 = {(z, w) ∈ S3 | |z|2 ≤ |w|2 },
T2 = {(z, w) ∈ S3 | |z|2 ≥ |w|2 }
et
T0 = T1 ∩ T2 .
1) Montrer que T0 est naturellement homéomorphe à S1 × S1 . Montrer que T1 est
homéomorphe
à D2 × S1 et T2 à S1 × D2 où D2 est le disque de rayon 1. Soit
√
√
x0 = (1/ 2, 1/ 2) ∈ T0 , calculer π1 (Ti , x0 ), i = 0, 1, 2. En déduire π1 (S3 , x0 ).
√
√
2) Soit Km,n la courbe t 7→ (e2iπmt / 2, e2iπnt / 2) ∈ T0 , 0 ≤ t ≤ 1, où m et n sont des
entiers premiers entre eux. Montrer que Km,n est une courbe fermée simple.
Soit i1 et i2 les inclusions T0 ,−→ T1 et T0 ,−→ T2 . Calculer i1# (Km,n ) et i2# (Km,n ).
Montrer que T0 \ Km,n est homéomorphe à un anneau S1 ×]0, 1[.
Montrer alors que π1 (S3 \ Km,n ) est isomorphe au groupe Gm,n = ha, b|am = bn i.
3) Montrer qu’il existe un homéomorphisme h de S3 tel que h(Km,n ) = Kn,m .
4) Soit C le sous groupe de Gm,n engendré par am . Montrer que C est dans le centre de
Gm,n . Déterminer le centre de Gm,n /C et en déduire que le centre de Gm,n est C.
5) Montrer par une récurrence que tout élément d’ordre fini de Gm,n /C est conjugué à
une puissance de ā ou b̄ (images respectives de a et b dans Gm,n /C).
6) Déterminer l’abélianisé de Gm,n /C. Déduire de là et de 5) que Gm,n est isomorphe à
Gm0 ,n0 si et seulement si {m, n} = {m0 , n0 }.
7) Montrer que si {m, n} =
6 {m0 , n0 }, il n’y a pas d’homéomorphisme h de S3 tel que
h(Km,n ) = Km0 ,n0 .
-IIOn rappelle qu’un groupe de Lie G est une variété (différentielle) munie d’une
structure de groupe telle que multiplication et inversion
(x, y) ∈ G × G 7→ xy ∈ G
et
x ∈ G 7→ x−1 ∈ G
sont lisses. Soit G un groupe de Lie compact connexe et X et Y deux sous-variétés
compactes de G telles que dim X + dim Y = dim G.
1) Montrer que pour presque tout g ∈ G on a X >
∩ gY .
−1
2) Soit f l’application f : (x, y) ∈ X × Y 7→ xy ∈ G. Montrer que deg2 (f ) = I2 (X, Y ).
3) On suppose que X ∪ Y n’engendre pas G montrer alors que I2 (X, Y ) = 0. En déduire
que si X est un sous-groupe de G et dim X = 1/2 dim G, on a I2 (X, X) = 0 puis
I2 (∆, ∆) = χ(G) mod 2 = 0 où ∆ est la diagonale dans G × G.
4) On note X −1 = {x−1 , x ∈ X}. On suppose G abélien, montrer que si dim X =
1/2 dim G on a I2 (X, X −1 ) = 0.
31
III- Théorie de l’intersection orientée
1- Orientation. — Une orientation d’un espace vectoriel V réel de dimension finie > 0 est la donnée d’une base ordonnée α. Soient (V, α) et (W, β) deux
espaces vectoriels orientés de même dimension et l : V → W un isomorphisme. On
dit que l préserve l’orientation si le déterminant de la matrice de l par rapport aux
bases α et β est > 0. En particulier, pour un même espace V , deux bases ordonnées
α et β définissent la même orientation si l’identité préserve l’orientation entre (V, α)
et (V, β). Il y a donc deux classes de bases ordonnées à orientation près et donc deux
orientations possibles de V . Par convention, orienter l’espace vectoriel trivial revient
à y ajouter la donnée de +1 ou −1.
Dire qu’on peut orienter une variété à bord X, c’est dire qu’on peut choisir une
orientation des espaces tangents Tx (X) de sorte qu’autour de chaque point, il existe
une paramétrisation h : U → X telle que dhu : Rk → Th(u) (X) préserve l’orientation
(on sous-entend ici qu’on a choisi sur Rk l’orientation donnée par la base canonique).
C’est cette dernière condition qui exprime que le choix de l’orientation est “lisse”. Il
est toujours possible d’orienter une variété de dimension 0, il suffit d’associer à chacun
de ses points +1 ou −1.
Une variété est orientable si on peut la munir d’une orientation.
Proposition. — Une variété connexe et orientable admet deux et seulement
deux orientations. Si X désigne la variété munie d’une de ses orientations, on notera
−X la même variété munie de l’orientation opposée.
Si X et Y sont des variétés orientées, une seule ayant un bord, le produit
X × Y est une variété naturellement orientée : α étant une base positive de Tx (X)
et β une base positive de Ty (Y ) alors (α × 0, 0 × β) est une base positive de
T(x,y) (X × Y ) = Tx (X) × Ty (Y ).
Si X est une variété à bord orientée, alors le bord de X est une variété
naturellement orientée. L’espace Tx (∂X) est de codimension 1 dans Tx (X). Si
h : U → X est une paramétrisation autour de x ∈ ∂X, telle que h(0) = x, alors
(dh0 )−1 : Tx (X) → Rk envoie un des vecteurs normaux à ∂X en x à l’intérieur de
H k et l’autre à l’extérieur. On note nx le vecteur normal pointant vers l’extérieur. On
oriente Tx (∂X) en disant qu’une base β est positive si (nx , β) est une base positive
de Tx (X) = Rnx ⊕ Tx (∂X).
Exercice 1 : Montrer qu’un autre choix (lisse) de vecteur hx pointant vers l’extérieur
conduirait à la même orientation de ∂X.
Soit X une variété orientée sans bord. La variété produit I ×X est donc orientée
et son bord est orienté. On a ∂(I × X) = X1 ∪ X0 comme variété. Si on note Xt la
tranche {t} × X orientée comme X, on voit que la composante X0 doit être munie de
l’orientation opposée à celle de X tandis que X1 garde l’orientation de X. On note
∂(I × X) = X1 − X0 .
En particulier, I = [0, 1] est une variété à bord orientée : les vecteurs normaux
extérieurs en 0 et 1 sont opposés; on donne donc l’orientation +1 à 1 et −1 à 0.
32
Proposition. — La somme des orientations aux points du bord d’une variété
compacte orientable de dimension 1 est égale à 0.
Soient X, Y, Z trois variétés orientables, Y et Z étant sans bord et Z ⊂ Y . Soit
f : X → Y une application différentiable telle que f et ∂f soient transverses à Z.
On oriente la variété S = f −1 (Z) de la manière suivante : soient z ∈ Z et f (x) = z,
alors Tx (S) = (dfx )−1 (Tz (Z)); on choisit un supplémentaire N (S, X) de Tx (S) dans
Tx (X); on a :
N (S, X) ⊕ Tx (S) = Tx (X),
et
dfx (N (S, X)) ⊕ Tz (Z) = Tz (Y ),
ce qui permet d’orienter d’abord dfx (N (S, X)) puis N (S, X) en utilisant l’injectivité
de dfx sur N (S, X) et enfin Tx (S).
Proposition. — Sur le bord de S on peut mettre l’orientation du bord ou
l’orientation de l’image réciproque. On a :
∂ f −1 (Z) = (−1)codim Z (∂f )−1 (Z).
Démonstration. — Notons encore S = f −1 (Z). Soit H un sous-espace de
Tx (∂X) supplémentaire de Tx (∂S) :
H ⊕ Tx (∂S) = Tx (∂X)
(∗)
Il est facile de vérifier qu’on a aussi :
H ⊕ Tx (S) = Tx (X)
(∗∗)
On peut donc utiliser H pour définir à la fois l’orientation de S et de ∂S. Puisque H ⊂
Tx (∂X), les applications dfx et d(∂f )x coı̈ncident sur H. Donc la même orientation est
induite sur H par les deux applications via la somme directe dfx H ⊕ Tz (Z) = Tz (Y ).
Maintenant que H est orienté, les orientations de ∂S et S induites par ∂f et f sont
données par les sommes directes (∗) et (∗∗).
Soit nx le vecteur normal à ∂S dans S pointant vers l’extérieur. Il est facile de
vérifier que les orientations de Tx (∂X) et de Tx (X) sont reliées par la somme directe :
Tx (X) = Rnx ⊕ Tx (∂X)
Repportant les sommes directes (∗) et (∗∗), on obtient :
H ⊕ Tx (S) = Rnx ⊕ H ⊕ Tx (∂S)
Puisqu’il faut l = dim H transpositions pour amener nx de la gauche à la droite
d’une base ordonnée de H, la somme directe de droite a (−1)l fois l’orientation de
H ⊕ Rnx ⊕ Tx (∂S). Donc Tx (S) doit avoir (−1)l fois l’orientation de Rnx ⊕ Tx (∂S)
lorsque ∂S est pourvue de son orientation image réciproque. Mais par définition, dire
que ∂S a cette orientation là, c’est dire que Tx (S) a celle de Rnx ⊕ Tx (∂S). On en
conclut que l’orientation image réciproque et l’orientation bord de Tx (∂S) s’obtiennent
l’une de l’autre en multipliant par (−1)l . Or l = dim H = codim S = codim Z. t
u
33
Exercice 2 : Si X et Y sont des variétés orientées, comparer les orientations naturelles
de X × Y et Y × X.
Exercice 3 : Si X est non orientable et Y quelconque, alors X ×Y est non orientable.
Exercice 4 : Si X est une variété orientée, montrer que l’orientation naturelle de
X × X ne change pas lorsqu’on munit X de son orientation opposée.
Exercice 5 : Montrer qu’il existe une orientation naturelle d’un voisinage de la
diagonale ∆ dans X × X que X soit orientable ou non.
Exercice 6 : Soit Z une hypersurface d’une variété orientée Y . Montrer qu’on a les
équivalences :
a) Z est orientable.
b) Il existe un champ de vecteurs lisse et normal nx le long de Z dans Y .
c) Le fibré normal N (Z; Y ) est trivial.
d) Z est dans un de ses voisinages définie par une fonction indépendante.
Exercice 7 : Soit f : X → Y un difféo entre variétés connexes orientées. Montrer que
si f préserve l’orientation en un point x ∈ X, il préserve l’orientation globalement.
Exercice 8 : Soit l’antipodie − id : Sn → Sn . Pour quels entiers n préserve-t-elle
l’orientation de Sn ? En déduire les entiers n pour lesquels l’espace projectif réel
Pn (R) = Sn /x ∼ −x est orientable.
Exercice 9 : Montrer que toute hypersurface compacte de Rn est orientable.
Exercice 10 : Si X et Z sont des sous-variétés transverses de la variété Y , toutes
les trois étant orientées. Montrer que X ∩ Z est naturellement orientée. Comparer les
orientations naturelles de X ∩ Z et Z ∩ X.
Exercice 11 : Si X est une variété quelconque, définir abstraitement le revêtement
b à deux feuillets des orientations de X. En déduire que si X est simplement connexe,
X
alors elle est orientable.
34
2- Nombre d’intersection orienté. — Soient X, Y, Z trois variétés sans
bord orientables, avec X compacte, Z ⊂ Y fermée et dim X + dim Z = dim Y . Soit
f : X → Y une application différentiable transverse à Z.
Sous ces hypothèses, f −1 (Z) est finie. Si x ∈ f −1 (Z) et z = f (x), on a
dfx (Tx (X)) ⊕ Tz (Z) = Tz (Y )
et dfx est un isomorphisme sur son image, donc l’orientation de X donne une
orientation de dfx (Tx (X)). Si la somme directe ci-dessus redonne l’orientation de
Y on pose Ix (f, Z) = 1, sinon on pose Ix (f, Z) = −1. On définit
X
Ix (f, Z).
I(f, Z) =
x∈f −1 (Z)
Proposition. — Si X = ∂W avec W compacte et si f : X → Y
transverse à Z s’étend à W alors I(f, Z) = 0.
Démonstration. — D’après le théorème de prolongement, il existe une
application F : W → Y avec F >
∩ Z et f = ∂F >
∩ Z. Mais F −1 (Z) est une variété
compacte de dimension 1 donc d’après la proposition du § précédent, la somme
des orientations de ∂F −1 (Z) = f −1 (Z) est nulle. t
u
Proposition. — Deux applications f1 et f2 toutes deux transverses à Z
et homotopes ont le même nombre d’intersection avec Z.
Démonstration. — Soit F : I × X → Y une homotopie lisse de f0 à f1 .
Grâce au théorème de prolongement, on peut supposer que F ∩
> Z. D’après la
proposition précédente, on sait que I(∂F, Z) = 0. Mais ∂(I × X) = X1 − X0 et
∂F = f0 sur X0 et f1 sur X1 . Donc on a :
∂F −1 (Z) = f1−1 (Z) − f0−1 (Z)
d’où :
I(∂F, Z) = I(f1 , Z) − I(f0 , Z).t
u
On peut donc définir I(f, Z) même si f n’est pas transverse à Z.
Si Y est connexe et si dim X = dim Y , on définit le degré de f par
deg f = I(f, {y}).
Proposition. — Soit f : S 1 → S 1 définie par z 7→ z n , alors deg f = n.
Proposition. — Soit f : X → Y une application différentiable, avec X
compacte et orientée et Y connexe et orientée. Si X = ∂W , avec W compacte, et
si f se prolonge à W alors deg f = 0.
Corollaire. — Le théorème de d’Alembert.
35
Si X ⊂ Y , on définit I(X, Z) = I(i, Z) où i est l’inclusion de X dans Y . Il
convient de prendre garde que I(X, Z) 6= I(Z, X), par exemple si Y est un tore et
si X est un cercle horizontal et Z un cercle vertical on trouve +1 ou −1 suivant
l’ordre.
Soient X, Y, Z trois variétés orientables, X et Y étant compactes telles que
dim X + dim Z = dim Y . Soient f : X → Y et g : Z → Y deux applications lisses.
On dit que f et g sont transverses si
dfx (Tx (X)) + dgz (Tz (Z)) = Ty (Y ) (∗)
pour tous x, y, z tels que f (x) = y = g(z). La condition sur les dimensions implique
que dfx et dgz sont injectives, on pose I(x,z) (f, g) = 1 si (∗) redonne l’orientation
de Y , sinon on pose I(x,z) (f, g) = −1. On définit alors
X
I(f, g) =
I(x,z) (f, g).
f (x)=g(z)
Si g est une inclusion, on retrouve la définition précédente.
Proposition. — Les applications f et g sont transverses si et seulement
si f × g est transverse à ∆ la diagonale de Y × Y . On a alors
I(f, g) = (−1)dim Z I(f × g, ∆).
Ce résultat est essentiellement contenu dans le
Lemme. — Soit U et W des sous-espaces d’un espace vectoriel V . Alors
U ⊕ W = V ⇔ U × W ⊕ ∆ = V × V où ∆ est la diagonale de V × V . De plus,
supposons que U et W sont orientés et V muni de l’orientation donnée par somme
directe, ∆ orientée grâce à l’isomorphisme naturel V → ∆. On a alors
U × W ⊕ ∆ = (−1)dim W V × V
La proposition précédente permet de définir I(f, g) pour deux applications
lisses quelconques (non transverses) f : X → Y et g : Z → Y (avec cependant
dim X + dim Z = dim Y ) par la formule
I(f, g) = (−1)dim Z I(f × g, ∆).
Proposition. — Si f0 est homotope à f1 et si g0 est homotope à g1 , alors
I(f0 , g0 ) = I(f1 , g1 ).
Proposition. — Si i : Z → Y est l’inclusion, alors I(f, i) = I(f, Z).
Proposition. — On a
I(f, g) = (−1)(dim X)(dim Z) I(g, f ).
Corollaire. — Si X et Z sont des sous-variétés compactes de Y , alors
I(X, Z) = (−1)(dim X)(dim Z) I(Z, X).
36
Cas particulier : dim Y = 2 dim X ; on peut définir I(X, X). Si dim X est
impaire, on a I(X, X) = 0 et donc I2 (X, X) = I(X, X) mod 2 = 0. On en déduit
une obstruction à l’orientabilité d’une variété : si Y contient une variété compacte
orientable X de dimension moitiée et I2 (X, X) 6= 0 alors Y n’est pas orientable
(penser au ruban de Mobius et à son âme).
Si X est compacte et orientable on définit χ(X) la caractéristique d’Euler
de X grâce à l’égalité
χ(X) = I(∆, ∆)
où ∆ est la diagonale de X × X.
Proposition. — La caractéristique d’Euler d’une variété compacte et
orientée de dimension impaire est nulle.
f
g
Exercice 1 : Soit X −→ Y −→ Z des applications lisses entre variétés compactes
de même dimension. Montrer que deg(g ◦ f ) = deg(f ). deg(g).
f
g
Exercice 2 : Soit X −→ Y −→ Z des applications lisses entre variétés avec X
compacte. Supposons que g >
∩ W où W est une sous-variété fermée de Z de sorte
que g −1 (W ) est une sous-variété de Y . On suppose que dim X + dim W = dim Z,
vérifier que
I(f, g −1 (W )) = I(g ◦ f, W ).
Exercice 3 : Soit Z une sous-variété compacte de Y les deux étant orientées avec
dim Z = 1/2 dim Y . Montrer que I(Z, Z) = I(Z ×Z, ∆) ou ∆ est la diagonale dans
Y ×Y.
Exercice 4 : Montrer que la caractéristique d’Euler d’une variété X compacte et
orientable ne dépend pas de l’orientation choisie sur X.
Exercice 5 : Montrer que la caractéristique d’Euler du produit de deux variétés
compactes et orientables est le produit de leurs caractéristiques d’Euler.
37
3- Nombre de Lefchetz. — Soit X une variété compacte orientable.
Soit f : X → X une application différentiable. Un point fixe de f est un point x
tel que f (x) = x ce que l’on peut écrire (x, f (x)) ∈ ∆. On définit le nombre global
de Lefchetz par
L(f ) = I(∆, graphe(f )).
Théorème. — Si L(f ) 6= 0, alors f a un point fixe.
Proposition. — Le nombre L(f ) est invariant par homotopie.
Proposition. — Si f est homotope à l’identité, alors L(f ) = χ(X).
Si f : X → X est telle que le graphe de f soit transverse à ∆, on dit que f
est une application de Lefchetz.
Proposition. — Toute application lisse f : X → X est homotope à une
application de Lefchetz.
Démonstration. — Dans la démonstration du caractère générique de la
transversalité, nous avions montré l’existence d’une application lisse :
F : X × S → X telle que F (x, 0) = f (x) et pour tout x fixé l’application
s 7→ F (x, s) est une submersion de S dans X. Il suffit de vérifier que l’application :
G : (x, s) ∈ X × S 7→ (x, F (x, s)) ∈ X × X est encore une submersion puis
d’appliquer le théorème de transversalité. t
u
Soit x un point fixe de f . L’espace tangent à graphe(f ) dans Tx (X) × Tx (X)
est le graphe de dfx et l’espace tangent à ∆ est la diagonale de Tx (X) × Tx (X).
La condition de transversalité s’écrit :
graphe(dfx ) + ∆x = Tx (X) × Tx (X).
La somme est directe à cause des dimensions, donc dfx n’a pas de point fixe non
nul, donc 1 n’est pas valeur propre de dfx .
On dit que le point fixe x de f est un point fixe de Lefchetz si dfx n’admet
pas la valeur propre 1.
Proposition. — Une application différentiable f est de Lefchetz si et
seulement si ses points fixes sont de Lefchetz.
Démonstration. — Vu en exercice au II-5. t
u
Soit x un point de Lefchetz, on pose Lx (f ) = 1 si les orientations de ∆ et
du graphe de f redonnent l’orientation de X × X, c’est le nombre local de Lefchetz
en x.
Proposition. — Si f est une application de Lefchetz,alors
X
L(f ) =
Lx (f ).
f (x)=x
38
On remarque que si x est de Lefchetz, alors dfx − id est un automorphisme
de Tx (X).
Proposition. — On a Lx (f ) = 1 si et seulement si dfx − id conserve
l’orientation.
Démonstration. — Soit A = dfx et α = {u1 , · · · , uk } une base > 0 de
Tx (X). Alors
{(u1 , u1 ), · · · , (uk , uk )} et {(u1 , Au1 ), · · · , (uk , Auk )}
sont des bases > 0 de T( x, x)(∆) et de T( x, x)(graphe(f )). Donc le signe de Lx (f )
est celui de la base réunion
{(u1 , u1 ), · · · , (uk , uk ), (u1 , Au1 ), · · · , (uk , Auk )}
qui a même orientation que
{(u1 , u1 ), · · · , (uk , uk ), (0, (A − id)u1 ), · · · , (0, (A − id)uk )}
qui elle même, du fait que A − id est un isomorphisme, a l’orientation de
{(u1 , 0), · · · , (uk , 0), (0, (A − id)u1 ), · · · , (0, (A − id)uk )} = {α × 0, 0 × (A − id)α}.t
u
Si X = S 2 ⊂ R3 , la restriction d’une rotation a deux points fixes sur S 2 et
on vérifie que χ(S 2 ) = 2, pour le tore on trouve 0.
Proposition. — Soit f : X → X une application différentiable à points
fixes isolés. Soit U un voisinage du point fixe x ne contenant pas d’autre point
fixe. Alors il existe une homotopie ft de f telle que ft n’ait que des points fixes de
Lefchetz dans U et que ft = f en dehors d’un compact contenu dans U .
Soit x un point fixe isolé de f : U → Rk . Soit B une petite boule
centrée en x ne contenant pas d’autre point fixe. On définit F : ∂B → S k−1
par F (z) = (f (z) − z)/|f (z) − z|.
Proposition. —
Si x est un point de Lefchetz, alors deg F = Lx (f ).
Démonstration. — En coordonnées locales on peut écrire :
f (z) = Az + ε(z)
avec A = df0 et ε(z)/|z| → 0 quand z → 0
ft (z) = Az + tε(z)
permet d’écrire l’homotopie
Ft (z) = (ft (z) − z)/|ft (z) − z|
à F0 (z) = (A − id)z)/|(A − id)z)|. Il suffit alors d’homotoper A − id à une réflexion
au travers d’automorphismes linéaires. t
u
4- Indice d’un champ de vecteurs. — Soit X ⊂ Rn une variété. Un
champ de vecteurs sur X est une application différentiable ~v : X → Rn telle que
~v (x) appartienne à Tx (X) pour tout x ∈ X.
39
Soit x un zéro isolé du champ de vecteurs ~v défini sur un ouvert U ⊂ Rk ,
alors ~v /||~v || est défini sur une petite sphère Sε centrée en x, le degré de cette
application est l’indice de ~v en x.
Sur une variété, on utilise une paramétrisation Φ : U → X telle que
Φ(0) = x. On transporte ~v sur U par la formule Φ∗~v (u) = (dΦu )−1~v (Φ(u)). On
définit alors indx (~v ) = ind0 (Φ∗~v ).
Théorème (Poincaré-Hopf). — Si ~v est un champ de vecteurs sur la
variété compacte et orientable X qui n’a qu’un nombre fini de zéros, alors la somme
des indices de ~v est égale à la caractéristique d’Euler de X.
Soit (ft ) une famille d’applications homotopes de X dans X telle que
f0 = id. On dit que ft est tangente en 0 à ~v si la courbe t 7→ ft (x) est tangente
à ~v pour t = 0. Il existe toujours une telle famille, en effet soit Nε un voisinage
tubulaire de X et π : Nε → X la projection qui lui est associée (cf. théorème du
voisinage tubulaire), on peut poser pour t < ε :
ft (x) = π(x + t~v ).
Etant donné le champ de vecteurs ~v , on peut montrer l’existence du flot ou groupe
à un paramètre qui lui est associé. C’est la famille d’applications (ϕt ) : X → X
telle que ϕ0 = id et que la courbe t 7→ ϕt (x) pour vecteur tangent le vecteur ~v
pour tout t. Ce serait une autre façon de trouver une famille tangente à ~v .
Proposition. — On suppose que X est un ouvert de Rk . Si pour t 6= 0,
les ft n’ont pas de points fixes dans U sauf en 0, si ~v s’annule seulement en 0 et si
(ft ) est tangente à ~v en 0, alors le nombre local de Lefschetz de ft en 0 est égal à
l’indice ind0 (~v ).
Démonstration. — On a ~v = f00 (x) et on écrit la formule de Taylor :
ft (x) = f0 (x) + tf00 (x) + t2 r(t, x)
où r(t, x) → 0 quand t → 0 et comme f0 = id, on peut écrire encore :
ft (x) − x = t~v + t2 r(t, x).
Par hypothèse ft (x) − x 6= 0 si t 6= 0, donc on peut écrire :
ft (x) − x
t~v + t2 r(t, x)
=
.
|ft (x) − x|
|t~v + t2 r(t, x)|
avec x variant sur une sphère Sε . Le degré de l’application définie par le membre
de gauche est L0 (ft ) et le degré de celle définie par le membre de droite en t = 0
est ind0 (~v ). t
u
Corollaire. — L’indice ne change pas par difféomorphisme.
Corollaire. — Soit X une variété telle que χ(X) 6= 0, alors tout champ
de vecteurs sur X a un zéro.
40
Exercice 1 : Rappelons qu’un champ de vecteurs ~v sur une variété X ⊂ RN
est un type particulier d’application ~v : X → RN . Montrer qu’en un zéro x, la
différentielle d~v : Tx (X) → RN envoie Tx (X) dans lui-même.
Exercice 2 : Soit ft : X → X construite pour la preuve du théorème de PoincaréHopf, (ft (x) = π(x + t~v )). Montrer qu’en un zéro x de ~v , d(ft )x = I − td~v comme
application linéaire de Tx (X) dans lui-même.
Exercice 3 : Un zéro x de ~v est non dégénéré si d~v : Tx (X) → Tx (X) est bijective.
Montrer que les zéros non dégénérés sont isolés. De plus, montrer qu’en un zéro
non dégénéré x, indx (~v ) = 1 si d~v préserve l’orientation et indx (~v ) = −1 sinon.
Exercice 4 : Un champ de vecteurs ~v définit naturellement une section du fibré
tangent s~v : x 7→ (x, ~v ).
a) Montrer que s~v est un plongement et donc son image X~v est une sousvariété de X difféomorphe à X.
b) Quel est l’espace tangent à X~v en (x, ~v )?
c) Remarquons que les zéros de ~v correspondent aux points d’intersection
de X~v avec X0 = {(x, 0)}. Vérifier que x est un zéro non dégénéré ssi X~v >
∩ X0 en
(x, 0).
d) Si x est un zéro non dégénéré, montrer que indx (~v ) est le nombre
d’orientation du point (x, 0) dans X0 ∩ X~v .
Exercice 5 : Montrer que l’application T (X) → N (∆, X × X) envoyant (x, v) sur
((x, x), (v, −v)) est un difféomorphisme. En déduire qu’il existe un difféomorphisme
d’un voisinage de X0 dans T (X) avec un voisinage de la diagonale ∆ dans X × X
prolongeant le difféomorphisme naturel (x, 0) ∈ X0 7→ (x, x) ∈ ∆. En déduire que
I(X0 , X0 ) = I(∆, ∆).
Exercice 6 : Montrer que X~v peut être déformé de façon lisse en X0 . En déduire
avec les deux exercices précédents une seconde preuve de Poincaré-Hopf.
41
Institut Fourier
Devoir surveillé de M4
29 janvier 1994 Durée: 3 heures.
I
x
où
|x|
|.| est la norme euclidienne de Rn . Soit P un polynôme homogène de degré k > 0
en les variables réelles x1 , . . . , xn . On rappelle la relation d’Euler:
∂P
∂P
(E) : x1
+ . . . + xn
= kP
∂x1
∂xn
1) Montrer que si c est un réel non nul, le sous ensemble suivant:
Σ = {(x1 , . . . , xn ), P (x1 , . . . , xn ) = c} est une sous variété de Rn de codimension
1.
n
On note r : R \ {0} → S
n−1
la projection radiale définie par r(x) =
2) On pose f = r|Σ la restriction de r à Σ. Montrer que f est un
difféomorphisme local.
3) On suppose que Σ est compacte. Que peut on dire alors de f ? En déduire
la nature topologique de Σ.
4) En s’inspirant de ce qui précède, montrer (avec un minimun de calculs)
que l’équation:
x4 + 2y 4 + 3z 4 + x2 y 2 + x2 + y 2 = 1
détermine une surface différentiable homéomorphe à une sphère.
II
Soit M la bande de Moebius [0, 1] × [−1, 1]/(0, t) ∼ (1, −t) et C le cercle
image de [0, 1] × {0} dans M .
1) Montrer que l’inclusion C ,→ M est une équivalence d’homotopie et en
déduire que π1 (M ) est isomorphe à Z.
2) Si i : ∂M ,→ M est l’inclusion et x0 ∈ ∂M , calculer i∗ : π1 (∂M, x0 ) →
π1 (M, x0 ) comme homomorphisme de Z dans Z.
3) Existe-t-il une rétraction de M sur son bord ∂M ?
III
1
1
Soit A = S × [0, 1] et T0 = S × {0}, T1 = S 1 × {1} les deux composantes
de ∂A. Soit M une surface à bord connexe T et p : A → M un revêtement tel que
p|T0 soit un homéomorphisme de T0 sur T . Soit x0 ∈ T , y0 ∈ T0 et y1 ∈ T1 tels
que p(y0 ) = p(y1 ) = x0 .
1) Montrer que p(T1 ) est contenu dans T et que p : T1 → T est un
revêtement.
2) Montrer que l’inclusion T ,→ M induit une injection π1 (T, x0 ) →
π1 (M, x0 ) dont l’image est un sous groupe d’indice fini.
42
Dans la suite on pose G = π1 (M, x0 ) et H = π1 (T, x0 ). D’après 2) on peut
considérer H comme un sous groupe de G.
3) Montrer que p∗ (π1 (T1 , y1 )), qui est un sous groupe de H, est de la forme
γ −1 Hγ pour un certain γ ∈ G.
4) Montrer que si l’inclusion γ −1 Hγ ⊂ H est stricte on a une contradiction
avec le fait que H est d’indice fini dans G.
5) Montrer alors que p : T1 → T est un homéomorphisme, en déduire que p
est un revêtement à deux feuillets et reconnaı̂tre M .
43
Institut Fourier
Devoir Surveillé de M4
28 janvier 1995 Durée: 3 heures.
Rendre le I sur une copie et
les II et III sur une autre copie
I
On considère § = {z ∈ C, |z| = 1} le cercle unité et le tore T = § × § vu
comme surface différentiable dans C2 (que l’on peut identifier à R4 ). Soit α : T →
T le difféomorphisme défini par α(z1 , z2 ) = (z̄1 , −z2 ) et R la relation d’équivalence
donnée par l’action du groupe G = {id, α} (observer que α2 = id). On rappelle
que la classe d’équivalence de x ∈ T pour R est l’orbite G.x = {x, α(x)}. On note
S = T /R l’espace topologique quotient et s : T → T /R la surjection canonique.
1) Montrer que S est compact.
2) Montrer que S est une surface topologique (ie. une variété topologique
de dimension 2). Sauriez vous préciser de quelle surface il s’agit ?
Soit f : T → C2 l’application différentiable définie par
f (z1 , z2 ) = ((z1 + z̄1 + 4)z22 , (z1 − z̄1 )z2 ).
3) Montrer que f est une immersion.
4) Vérifier que f est compatible avec R et que l’application induite f¯ : S →
C2 réalise un homéomorphisme entre S et f (T ).
5) Démontrer que f (T ) est une surface différentiable. Conclure.
T.S.V.P.
44
II
On désigne par A l’algèbre des germes en 0 de fonctions C ∞ de R2 dans R
et par m l’idéal maximal de A. Si f ∈ A, on note J(f ) l’idéal jacobien et µ(f ) le
nombre de Milnor de f .
Soient f et g les éléments de A définis par :
f (x, y) = x3 + y 4
et
g(x, y) = x3 + y 4 + x2 y 3 .
1) Déterminer µ(f ) et µ(g).
2) Déterminer le plus petit k ∈ N tel que mk ⊂ mJ(f ).
3) Les germes f et g sont-ils équivalents ?
4) Soit h l’élément de A défini par h(x, y) = x3 − y 4 . Les germes f et h
sont-ils équivalents ?
III
2
Soi ϕ l’application de R dans R3 définie par ϕ(x, y) = (x, y 2 , xy).
Désignons par Σi les sous-variétés C ∞ définies par
Σi = {C ∈ L(R2 , R3 ), dim(ker C) = i} (i = 0, 1, 2).
Σi
1) Quelles sont les dimensions des variétés Σi , (i = 0, 1, 2) ?
2) Décrire l’ensemble des points de R2 où ϕ n’est pas une immersion.
3) L’application ϕ0 : R2 → L(R2 , R3 ) est-elle transverse aux sous-variétés
(i = 0, 1, 2) ?
45
Institut Fourier
Devoir surveillé de M4
24 Janvier 1996 Durée: 3 heures.
Rendre le I sur une copie et
les II et III sur une autre copie
I
4) 5) sont indépendants de 1) 2)
6) 7) sont hors barème
Soit G un groupe de difféomorphismes d’une variété X. On considère une
fonction lisse f : X → IR ayant la propriété d’homogénéı̈té suivante :
∀ g ∈ G,
∃ λg ∈ IR t.q. f ◦ g = λg f.
1) Soit g ∈ G. Montrer
a) x est point critique de f ⇐⇒ g(x) est point critique de f
b) y est valeur critique de f ⇐⇒ λg y est valeur critique de f .
2) On considère une valeur y0 telle que U = {λg y0 , g ∈ G} soit un ouvert.
Montrer que U est constitué de valeurs régulières.
Soit P un polynôme homogène de degré k > 0 en les variables réelles x1 , . . . , xn .
On note Σ le sous-ensemble de IRn :
Σ = {(x1 , . . . , xn ), P (x1 , . . . , xn ) = 1}.
3) Déduire de 2) que Σ est une sous-variété de IRn de codimension 1.
On rappelle la relation d’Euler :
∂P
∂P
+ . . . + xn
= kP
(E) : x1
∂x1
∂xn
4) Retrouver le résultat de 3) sans utiliser 2).
On note r : IRn \ {0} → S n−1 la projection radiale définie par r(x) =
x
où |.|
|x|
est la norme euclidienne de IRn . On pose g = r|Σ la restriction de r à Σ.
5) Montrer que g est un difféomorphisme local.
6) On suppose que Σ est compacte. Que peut on dire alors de g ? En déduire
la nature topologique de Σ.
7) En s’inspirant de ce qui précède, montrer (avec un minimun de calculs) que
l’équation:
x4 + 2y 4 + 3z 4 + x2 y 2 + x2 + y 2 = 1
46
détermine une surface différentiable homéomorphe à une sphère.
II
Soit f (x, y) = x2 y − y 2 + x3 y 3 (considéré comme germe de fonction C ∞ à
l’origine de IR2 ).
1) Montrer que f est 4-déterminé.
2) Montrer qu’il existe un germe de difféomorphisme
ϕ : IR2 , 0 → IR2 , 0 tel que (f ◦ ϕ)(x, y) = 41 x4 − y 2 .
3) Déduire de 2) que f n’est pas 3-déterminé.
III
Pour tout λ ∈ IR, soit fλ (x, y) = x4 + λx2 y 2 + y 4 (considéré comme germe
de fonction C ∞ à l’origine de IR2 ). Pour quelles valeurs de λ, le germe fλ est-il de
détermination finie ?
47
Institut Fourier
Examen de M4
8 juin 1994 Durée: 3 heures.
I
Montrer qu’il existe un nombre complexe z tel que:
f (z) = z 7 + cos(|z|2 )(1 + 1994z 4 ) = 0
.
II
2
On considère le tore T = S 1 × S 1 où S 1 est le cercle unité dans
C muni de son orientation habituelle et l’application g : T 2 → T 2 définie
par g(e2πix , e2πiy ) = (e2πi(x+2y) , e2πi(2x+y) ).
1) Déterminer la différentielle dgm de g en un point m de T 2 .
2) Calculer degg.
3) Déterminer les points fixes de g. Montrer qu’ils sont de Lefschetz.
4) Calculer l’indice de Lefschetz L(g).
5) Que peut-on dire d’une application lisse f : T 2 → T 2 homotope
à g ?
III
Soit H = {(x, y) ∈ IR2 |y > 0} le plan hyperbolique et h l’isométrie
de H définie par h(z) = λz(λ réel> 1). Il est évident que l’action de
ZZ sur H définie par n.z = hn (z) est libre et propre. Par conséquent
S = H/ZZ est une surface que l’on munit de la métrique telle que si
p : H → S dénote l’application quotient p soit une isométrie locale. On
pose x0 = p(i).
1) Préciser un domaine fondamental ∆ ⊂ H pour l’action de ZZ.
Calculer π1 (S, x0 ).
On note C l’image par p du segment vertical de i à λi; montrer
que C est une géodésique fermée de S. Calculer sa longueur.
48
T 2) Soit γ une géodésique de S rencontrant C. Montrer que
γ C = 1 point et que γ n’a pas de point double. Montrer aussi que
par tout point de S passe une unique géodésique orthogonale à C.
3) Soit z ∈ H, de partie réelle non nulle. On considère le
quadrilatère géodésique indiqué sur la figure ci dessous:
Montrer que la somme des angles intérieurs en z et hn (z) est < π.
En déduire que si x ∈ S \ C, il n’existe pas de géodésique périodique (=
fermée) passant par x.
4) Donner un exemple d’une géodésique γ de S non périodique et
non injective. Montrer que ses points doubles sont en nombre fini.
49
Institut Fourier
Université de Grenoble I
Année 1993-1994
Maitrise de mathématiques
M4 : Compléments de mathématiques
Examen du 16 Septembre 1994
-ISoit p : Y → X un revêtement avec Y compact connexe et x0 un point base dans X. On
se donne par ailleurs f : R → X une application continue telle que f (0) = x0 .
1) Montrer que p−1 (x0 ) est fini. On notera y1 , · · · , yn les points de p−1 (x0 ).
2) Montrer que f a exactement n relèvements.
On suppose de plus à partir de maintenant que f est périodique de période 1, f (t + 1) =
f (t) pour tout t. Soit f˜ : R → Y un relèvement de f .
3) Montrer que f˜ est périodique (Indication : le déduire de ce qui précède en considérant
les applications g̃k , k ∈ Z définies par g̃k (x) = f˜(x + k), x ∈ R).
4) Donner une condition sur le revêtement impliquant que tous les relèvements ont même
période.
On suppose dans la suite, en plus des hypothèses précédentes, que
α) Y est simplement connexe
β) f ( 13 ) = f ( 23 ) et f (s) 6= f (t) pour tout s, t ∈]0, 1], s < t, s 6= 1/3, t 6= 2/3
γ) le lacet α décrit par f|[0,1/3] suivi de f|[2/3,1] est non homotope à zéro et engendre
π1 (X, x0 ).
δ) f|[0,1] est homotope à zéro.
5) Calculer la période T de f˜.
6) Est-ce-que f˜|[0,T ] a des points doubles ?
-IIn
n
n
Soit f : S → S lisse où S est la sphère unité dans Rn+1 . Déterminer deg2 (f )
dans les deux cas suivants :
1) g est paire (c’est-à-dire g(x) = g(−x) pour tout x).
2) g est impaire (c’est-à-dire g(x) = −g(−x) pour tout x).
-IIIMontrer qu’il existe un nombre complexe z, 1 ≤ |z| ≤ 2 tel que:
π
h(z) = (|z| − 2)(z + 2) + cos( |z|)z 2 = 0.
2
50
Institut Fourier
Examen de M4
Rendre les I et II sur des copies séparées
I
Exercice 1
Soit ϕ la fonction définie sur IR3 par
p
ϕ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 3 x2 + y 2 + 1.
a) Montrer que Σ = {(x, y, z) ∈ IR3 , ϕ(x, y, z) = 0} est une surface
différentiable compacte.
b) Déterminer si le point P = (1, 0, 0) est à l’intérieur ou l’extérieur de Σ (on
pourra considérer l’intersection de Σ avec une demi-droite issue de P bien choisie).
Exercice 2
On identifie IR2 à C. Soit W la couronne W = {z ∈ C, 1 ≤ |z| ≤ 2} et C1 , C2
les cercles centrés en 0 de rayons respectifs 1 et 2. On considère f, g : W → C deux
applications lisses et on suppose que f (z) = z sur C1 et f (z) = z 2 sur C2 .
a) Montrer que f s’annule en au moins un point de W .
b) Montrer qu’il existe un réel ε0 > 0 tel que pour tout réel t fixé, |t| < ε0 ,
l’application ft (z) = (1 − t)f (z) + tg(z) s’annule aussi dans W .
Exercice 3
a) Soient X, Y, Z des variétés compactes et f : X → Y et g : Y → Z des
applications lisses. Montrer que deg2 (g ◦ f ) = (deg2 g)(deg2 f ).
b)Soit h : Sn → Pn (IR) lisse où Pn (IR) = Sn /x ∼ −x. Montrer que si n > 1
alors deg2 (h) = 0 (Indication : utiliser le fait que la projection p : Sn → Pn (IR) est
un revêtement et que pour n > 1, la sphère Sn est simplement connexe).
c) Est-ce que ce résultat est vrai pour n = 1?
T.S.V.P.
51
II
Exercice 1
Trouver les groupes d’homologie entière et modulo 2 du complexe simplicial
suivant (de dimension 2). Il est entendu que les côtés notés avec les mêmes lettres
sont identifiés.
Exercice 2
Déduire de la théorie des classes caractéristiques de Stiefel-Whitney que l’espace
projectif réel P8 (IR) ne peut être immergé dans IR14 .
52
Institut Fourier
Université de Grenoble I
Année 1994-1995
Maitrise de mathématiques
M4 : Compléments de mathématiques
Examen du 20 Septembre 1995
Durée: 3 heures.
Rendre le I et le II sur des copies séparées
I
I-A- Il s’agit de montrer dans cette partie que seules les sphères de
dimension impaire admettent des champs de vecteurs tangents sans zéro. Les
questions 1),2),4) sont indépendantes et 3) peut être traitée en admettant 2).
On note comme d’habitude Sn la sphère unité dans IRn+1 .
1) Déterminer le degré orienté de l’identité id et de l’antipodie − id de Sn
dans Sn .
Un champ de vecteurs tangents à Sn est une application différentiable
n
v : S → IRn+1 telle que pour tout x ∈ Sn on a v(x) ∈ Tx (Sn ).
2) On se donne un tel champ v et on suppose qu’il n’a pas de zéro
i.e. v(x) 6= 0 ∀ x ∈ Sn . Montrer qu’alors − id : Sn → Sn est homotope à
id : Sn → Sn .
3) Déduire de 1) et 2) que s’il existe sur Sn un champ de vecteurs tangents
v sans zéro, il faut que n soit impair.
4) Donner un exemple de champ de vecteurs tangents sans zéro sur S2n+1 .
I-B- On se donne un entier n > 0 et on note Pn (IR) = Sn /x ∼ −x
l’espace projectif réel de dimension n. Il s’agit à l’aide du résultat I-A-3 de
montrer le théorème de point fixe suivant : toute application différentiable
f : P2n (IR) → P2n (IR) a un point fixe. On notera p : S2n → P2n (IR) le revêtement
universel de P2n (IR).
1) Montrer que l’application f se relève en une application f˜ rendant
commutatif le diagramme :
S2n
p
y
f˜
−→
S2n
p
y
f
P2n (IR)
P2n (IR) −→
et vérifiant f˜(−x) = −f˜(x).
2) En considérant le champ de vecteurs défini par projection orthogonale
de x − f˜(x) sur Tx (S2n ) ⊂ IR2n+1 , montrer que f a un point fixe.
T.S.V.P.
53
II
Si f ∈ C ∞ (IRn , IR), on désigne par J(f ) l’idéal jacobien (et par µ(f ) le
nombre de Milnor) de f en 0. On pose :
m = {f ∈ C ∞ (IRn , IR), f (0) = 0}
(m est l’idéal maximal de C ∞ (IRn , IR)).
Pour λ ∈ IR, on définit fλ ∈ C ∞ (IR3 , IR) par
f (x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 + 3λxyz.
1)
2)
3)
4)
5)
Le point 0 est-il un point critique isolé de f−1 ?
Si λ 6= −1, montrer que x2 y ∈ J(fλ ).
Pour quelles valeurs de λ a-t-on m4 ⊂ J(fλ ) ?
Expliciter l’ensemble des λ ∈ IR tels que 0 est point critique isolé de f−1 .
Pour chaque λ ∈ IR, déterminer µ(fλ ).
-II-
Montrer qu’il existe un nombre complexe z, 1 ≤ |z| ≤ 2 tel que:
π
h(z) = (|z| − 2)(z + 2) + cos( |z|)z 2 = 0.
2
54
Institut Fourier
Examen de M4
I
On notera n un entier ≥ 1.
1) Soit f : Sn → Sn lisse où Sn est la sphère unité dans IRn+1 . On suppose que
f n’a pas de point fixe. Montrer que f est homotope à l’application antipodale − id
(on considèrera l’application ϕ(x) = |ff (x)−x
(x)−x| ).
2) En déduire que si deg(f ) 6= (−1)n+1 alors f a au moins un point fixe.
3) Soit g : B n+1 → B n+1 une application lisse de la boule unité B n+1 ⊂ IRn+1
dans elle même et telle que g(Sn ) ⊂ Sn (g laisse stable le bord de la boule). Que
peut-on dire des points fixes de g ?
4) Soit G un groupe de difféomorphismes opérant librement sur S2n (i.e. si
g ∈ G a un point fixe alors g = id). Montrer que l’application deg : G → ZZ est un
homomorphisme de groupes à valeurs dans le groupe multiplicatif {+1, −1}. Montrer
que cet homomorphisme est injectif.
5) Déduire de ceci que si une variété compacte X a pour revêtement universel
S2n , alors π1 (X) est trivial ou égal à ZZ/2ZZ.
6) Pour tout k ∈ IN, donner un exemple de variété X dont le revêtement
universel est S2n+1 et telle que π1 (X) est égal à ZZ/kZZ.
55
Institut Fourier
Examen de M4
16 Septembre 1996 Durée: 3 heures.
I-A
Montrer qu’il existe un nombre complexe z tel que:
f (z) = z 7 + cos(|z|2 )(1 + 1996z 4 ) = 0
(considérer la restriction de f à un disque assez grand).
I-B
On considère le tore T = S × S1 où S1 est le cercle unité dans C
muni de son orientation habituelle et l’application g : T 2 → T 2 définie par
g(e2πix , e2πiy ) = (e2πi(x+2y) , e2πi(2x+y) ).
2
1
1) Déterminer la différentielle dgm de g en un point m de T 2
(passer en coordonnées locales).
2) Calculer deg g et deg2 g.
I-C
On rappelle qu’un groupe de Lie G est une variété (différentielle) munie
d’une structure de groupe telle que multiplication et inversion
(x, y) ∈ G × G 7→ xy ∈ G
et
x ∈ G 7→ x−1 ∈ G
sont lisses. Soit G un groupe de Lie compact connexe et X et Y deux sousvariétés compactes de G telles que dim X + dim Y = dim G.
1) Montrer que pour presque tout g ∈ G on a X >
∩ gY .
2) Soit f l’application f : (x, y) ∈ X × Y 7→ xy −1 ∈ G. Montrer que
deg2 (f ) = I2 (X, Y ).
3) On suppose que X ∪ Y n’engendre pas G montrer alors que I2 (X, Y ) = 0.
En déduire que si X est un sous-groupe de G et dim X = 1/2 dim G, on a
I2 (X, X) = 0 puis I2 (∆, ∆) = 0 où ∆ est la diagonale dans G × G.
4) On note X −1 = {x−1 , x ∈ X}. On suppose G abélien, montrer que si
dim X = 1/2 dim G on a I2 (X, X −1 ) = 0.
56

Université Grenoble 1 Institut Fourier Cours de maitrise enseigné

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