“Géométrie différentielle” Enseignant: Tilmann Wurzbacher

“Géométrie différentielle”
Enseignant: Tilmann Wurzbacher (Université Paul Verlaine-Metz)
Cours de 10 h dispensé à Supélec, Campus de Metz – 2008/2009
Description du cours:
Ce cours introduit la notion de “variété différentielle”, centrale en géométrie différentielle
et généralisant aussi bien les ouverts dans Rn que les sous-variétés de Rn comme des
courbes et surfaces dans l’espace. Nous discutons aussi des “champs vectoriels” et des
“formes différentielles” qui généralisent entre outre les “forces” en mécanique analytique
et leur calcul en fait toute l’analyse vectorielle. But du cours est l’intégration des formes
différentielles sur des variétés et le théorème de Stokes général. Nous en déduisons comme
cas speciaux des théorèmes intégraux classiques comme la formule de Green-Riemann
dans le plan, la formule de Stokes dans l’espace (“rotationnel-circulation”) et la formule
de Gauss-Ostrogradskii (“divergence-flux”).
Programme:
1. Variétés différentielles: Cartes, atlas, applications lisses entre variétés, sous-variétés.
Exemples de variétés. Vecteurs tangents, champs de vecteurs.
2. Formes différentielles: Algèbre multilinéaire sur un espace vectoriel. Champs de
tenseurs, formes différentielles. Formes d’orientation, orientation.
3. Intégration des formes: Intégrale d’une forme volume, propriétés élémentaires.Théorème
de Stokes et cas spéciaux classiques.
Prérequis:
Calcul différentiel et intégral en plusieurs variables et algèbre linéaire.
Bibliographie:
Je distribuerai le texte cité à la fin de cette liste et des notes rédigées sur certaines parties
de cours (voir aussi http://www.mmas.univ-metz.fr/∼ wurzbacher/publications.html pour
ce texte comme fichier disponible au public).
R. Abraham, J. Marsden and T. Ratiu, Manifolds, tensor analysis, and applications,
Addison-Wesley, Reading 1983 & Springer, New York-Berlin 1988.
M. Berger et B. Gostiaux, Géométrie différentielle: variétés, courbes et surfaces, Presses
Universitaires de France, Paris 1992.
W.M. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry,
Academic Press, Orlando 1975 & 1986.
J. Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, Collection Grenoble Sciences 1996.
C. Godbillon, Géométrie Différentielle et Mécanique Analytique, Hermann, Paris 1969.
T. Wurzbacher: Introduction to differentiable manifolds and symplectic geometry. Geometric methods for quantum field theory (Villa de Leyva, 1999), 1–115, World Sci. Publishing,
River Edge, NJ, 2001.
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“Géométrie différentielle”
Enseignant: Tilmann Wurzbacher (Université Paul Verlaine-Metz)
Cours de 10 h dispensé à Supélec, Campus de Metz – 2008/2009
Comment utiliser les documents distribués?
Les deux textes Introduction to differentiable manifolds and symplectic geometry ([I] par
la suite) et Intégration des formes différentielles sur des variétés et le théorème de Stokes
([S] par la suite) peuvent être étudiés avant le début du cours ou pendant la période des
cours (et même après ...). Nous y donnons des indications pour faire le lien entre les points
du programme et les pages des deux texte afin de faciliter la lecture des documents. Bien
entendu les points du programme n’ayant pas de références seront expliqués dans le cours
mais pour une préparation du cours ils ne sont pas indispensables.
1. Variétés différentielles:
Cartes, atlas, applications lisses entre variétés – [I] p. 37-43
Sous-variétés. Exemples de variétés.
Vecteurs tangents, champs de vecteurs – [I] p. 51-62
2. Formes différentielles:
Algèbre multilinéaire sur un espace vectoriel – [I] p. 13-21
Champs de tenseurs
Formes différentielles – [I] p. 62-75
Formes d’orientation, orientation – [I] p. 81-85
3. Intégration des formes:
Intégrale d’une forme volume, propriétés élémentaires – [I] p. 85-86; [S] p. 48-56
Théorème de Stokes et cas spéciaux classiques – [I] p. 86-88; [S] p. 56-63 et p. 68-71.
Dates et horaire: les mercredis 28/1, 4/2 et 11/2/2009 de 13h30 à 17h30.
Modalités de contrôle de connaissances: devoir maison plus quiz d’une heure à la fin du
cours.
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