Méthode d`Euler - lagouge@ecole

Méthodes d’Euler et de Newton-Hooke
Soit l’équation différentielle :

G.M. 
m.a = - m
.OM
r
I Méthode d‘Euler
en projection sur les axes
dx
x
 =-k

dt
x  y/
dy
y
Et
= - k   /
dt
x  y 
que l’on ramène à
et
dvx
x
= - G.M   /
dt
x  y 
dvy
y
= - GM   /
dt
x  y 
dx
= vx
dt
dy
et = vy
dt
et
soit un système de deux équations différentielles du second ordre à
deux systèmes d’équations différentielles du premier ordre
Pour l’intégration des vitesses, on peut prendre
vx (ou y) i+1 = vx (ou y) i + ax (ou y) i x dt avec ax (ou y) i = G.M
xi ou yi
ri/
Pour x ou y , on a trois méthodes possibles
Méthode (1) TP !
xi+1 = xi + vx i x dt
yi+1 = yi + vy i x dt
Méthode (2) amélioration
xi+1 = xi + vx i+1 x dt
yi+1 = yi + vy i+1 x dt
Méthode(3)
v v
xi+1 = xi + x i x i x dt

v v
yi+1 = yi + y i yi x dt

Rem: Interactive Physique utilise la méthode (2) : c’est également la formule proposée dans le TP
Mercure comme amélioration !
Voir le fichier Excel sur le TP Mercure avec les trois méthodes : c’est la deuxième qui est la plus
efficace..
….. et pour cause , c’est une méthode de type Runge-Kutta d’ordre 2 (RK2)
Voir : la conférence de l’IPR de Caen et son fichier sur le mouvement de la Terre autour du Soleil
http://www.discip.crdp.ac-caen.fr/phch/culture/syst_solaire/CONFSYSO.htm#terre
Et pour une explication détaillée sur les méthodes d’Euler et Runge-Kutta :
http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/divers/MethodNum/method-num.htm
explication simple :



dt 
OM (t+dt)
= OM(t) + dt x v(t) +
x a(t)




Or
v (t+dt) = v(t) + dt x a(t)
(x dt … les deux membres puis soustraction)




dt 
=> OM (t+dt) = OM(t) + dt x v (t+dt) x a(t) soit si on néglige le terme du second ordre en dt)




OM (t+dt) = OM(t) + dt x v (t+dt)
Doc Michel LAGOUGE
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Méthode de Runge-Kutta à l’ordre 2 (RK2)
1) Approche générale
Soit l’équation différentielle du premier ordre :
dy
= f(t,y)
dt
Dans la méthode d’Euler , on exprime y (t+dt) par
y(t +dt) = y(t) + dt x
dy
= y(t) + dt x f(t,y)
dt
Dans la méthode de Runge-Kutta d’ordre 2, on l’exprime sous la forme :
y(t +dt) = y(t) + A x dt x f1 + B x dt x f2
k
avec : f1 = f(t,y) =
dt
k
et
f2 = f(t + P.dt, y + Q. f(t,y) dt) = f(t + P.dt, y + Q.k1)) = 
dt
Soit donc :
y(t +dt) = y(t) + A x k1 + B x k2
Dans la méthode UN, on prend :
B = 1/2, A = B et P = Q = 1
Dans la méthode d’Euler améliorée, on prend : B = 1, A = 0 et P = Q = ½
Ce qui donne :
y(t +dt) = y(t) + B x k2
= y(t) + dt x f(t + dt/2, y + k1/2)
2) cas du satellite ou de la planète
Appliquons la méthode d’Euler améliorée au problème du satellite (le raisonnement n’est fait que sur la
composante y pour garder la correspondance avec le modèle général ci-dessus)
dvy
y
dy
Soit donc le système de deux équations :
= - G.M 
et
= vy
 /
dt
dt
x  y 
Méthode RK2 (Euler améliorée)
Point Mi
 ti
dy
j
défini par le triplet  yi
avec ( )i = vy i = 
dt
dt
 vy i
dv
yi
k
( y)i = ay i = - G.M

 / =
dt
dt
xi  yi 
Point intermédiaire
 ti + dt/2
défini par le triplet  yi + vy i x dt/2 = yi + j1/2
 vy i + ay i x dt/2 = vy i + k1/2
B
dy
j
( )iB = vy i + k1/2= 
dt
dt
dvy
yi +j1/2
k
( )iB = - G.M

 /=
dt
dt
xi  yi 
Rem : à vrai dire, dans l’expression de l’accélération, il faudrait aussi
« translater » xi et yi au dénominateur de j1/2 (pour y) et j’1/2 (pour x)
Point Mi+1
 ti+1 = ti + dt
défini par le triplet  yi+1 = yi + j2
 vy i+1 = vy i + k2
or j2 = vy i dt + (k1/2) .dt = vy i dt + ay i.(dt)2/2 = [vy i + ay i.dt/2] . dt
donc yi+1 = yi + [vy i + ay i.dt/2] . dt
 yi + vy i+1 dt
(formule du TP Mercure en négligeant 2ème ordre en dt !!!)
et k2 = ay i dt - G.M

1
 /
xi  yi 
x
j1
x dt

donc vy i+1 = vy i + k2 = vy i + ay i dt - G.M

1
 /
xi  yi 
x
j1
x dt

 vy i + ay i dt
(formule du TP Mercure si on ne tient pas compte du dernier terme)
Doc Michel LAGOUGE
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II Méthode de Newton-Hooke
Voir BUP février 2004 N°861 L’algorithme de Newton-Hooke
Et article pdf correspondant : http://math1.unice.fr/equipes/sdi/IMG/pdf/Newton_Euler-2.pdf
Commentaire : analyse très intéressante sur le fait que la méthode d’Euler n’est pas stable et donne
par exemple une courbe non fermée pour une trajectoire elliptique.
Méthode Euler (1)
Méthode Newton-Hooke
xi+1 = xi + vx i x dt
xi+1 = xi + vx i x dt
yi+1 = yi + vy i x dt
yi+1 = yi + vy i x dt
et
et
vx (ou y) i+1 = vx (ou y) i + ax (ou y) i x dt
vx (ou y) i+1 = vx (ou y) i + ax (ou y) i+1 x dt
xi ou yi
x ou y i+1
avec ax (ou y) i = G.M
avec ax (ou y) i+1 = G.M i+1
/
ri
r i+1/
la différence entre les deux méthodes vient que l’on
prend l’accélération au pt Mi+1 pour calculer vi !
Dans Excel, cela revient à « décaler d’un cran » le
calcul de la vitesse !
Explication de la méthode de Newton-Hooke qui se déduit de la loi des aires :
Méthode de Newton-Hooke :
Soit A le point Mi et B le pt Mi+1
On a les relations :





AB = vi t = Bc (principe inertie)


BV = cC = v = ai+1 t





Et donc vi = vi + v = vi + ai t
Relation qui comme l’indique la
légende de la figure correspond à la
vérification de la loi des aires
Alors que..
Méthode d’Euler :





vi = vi + v = vi + ai t
Doc Michel LAGOUGE
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