Charge du condensateur Pour s`entraîner : la méthode d`Euler

Physique – Terminale S
Chapitre 6
Exercice - correction
Charge du condensateur
Pour s’entraîner : la méthode d’Euler (correction)
Nous allons étudier la charge du condensateur en confrontant un modèle théorique fourni par la méthode
d’Euler et les résultats expérimentaux. Le circuit d’étude est le suivant.
E
1
R
K
i
A
C
R = 5 000 Ω
C = 10,6 µF
E = 5,0 V
B
2
uR
uC
Le condensateur étant initialement déchargé (position 2 de l’interrupteur), on bascule l’interrupteur sur la
position 1 à une date choisie comme t = 0.
On relève les valeurs de la tension uC(t) aux bornes du condensateur en fonction du temps.
t (ms)
uC (V)
t (ms)
uC (V)
t (ms)
uC (V)
0
0
10
20
0,860 1,572
30
2,161
40
50
2,649 3,053
60
70
3,388 3,665
80
90
100
3,895 4,085 4,242
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
4,373 4,480 4,570 4,644 4,705 4,756 4,798 4,833 4,861 4,885 4,905
220
4,921
230
4,935
240
4,946
250
4,955
260
4,963
270
4,969
280
4,975
290
4,979
300
310
320
4,983 4,986 4,988
1. Tracer la courbe représentative de uC(t). [2 Pts]
2. En justifiant, écrire l’équation à laquelle obéit uC(t), la tension aux bornes du condensateur.
[1 Pt]
D’après la loi d’additivité des tensions,
E = uC(t) + uR(t)
D’après la loi d’Ohm,
du
dq
u R (t )  R i (t )  R A  RC C
dt
dt
Ainsi,
du
E  u AB (t )  RC AB
dt
ce qui s’écrit encore
duC
1
E

uC (t ) 
dt
RC
RC
Physique – Terminale S
Chapitre 6
Exercice - correction
Qu’est-ce que la méthode d’Euler ?
La méthode d’Euler permet d’obtenir une valeur approchée d’une valeur d’une fonction en un point
lorsque la fonction elle-même n’est pas connue explicitement, mais en connaissant sa valeur en un autre
point et sa dérivée (ce qui est déjà beaucoup, mais pas impossible).
Elle permet alors également la construction d’une représentation graphique approchée de la fonction
étudiée.
Concrètement, la méthode d’Euler repose sur l’utilisation de l’approximation affine de la
fonction : si f est dérivable sur un intervalle I, x1 et x2 des réels de I, avec x2 proche de x1, alors :
f(x2) ≈ f(x1) + (x2 – x1) × f ’(x1).
donc si l’on connaît f(x1) et f ’(x1), alors on obtient ainsi une valeur approchée de f(x2).
Plus concrètement encore, plus x2 est proche de x2, moins l’erreur commise sur f(x2) est grande, ce
qui, connaissant f(x1), conduit à l’idée d’obtenir f(x2), b étant fixé, par une suite de valeurs intermédiaires
de f entre f(x1) et f(x2).
Dans notre problème physique, nous rappelons que la variable est le temps t et que la fonction f étudiée
est uC(t). On appelle Δt le pas de la méthode d’Euler, c’est-à-dire l’écart entre deux mesures.
Expérimentalement, nous avons considéré Δt = 10 ms (une mesure toutes les 10 ms, cf. tableau).
3. Montrer que l’équation trouvée au 2. peut se mettre sous la forme canonique u '   a u  b en
explicitant les termes a et b en fonction de E, de C et de R. [1 Pt]
duC
1
E
On peut remarquer que
équivaut à u '   a u  b avec

uC (t ) 
dt
RC
RC
1
1
a
soit a 
 18,9 s
RC
5000  10,6.106
E
5, 0
b
soit b 
 94,3V .s 1
6
RC
5000  10,6.10
4. En appliquant la méthode d’Euler, montrer que u  t  t   u (t )  u '(t )  t . [0,5 Pt]
D’après la méthode d’Euler, connaissant u(t) et u’(t) à un instant t, on peut approcher la fonction u à un
instant ultérieur t + Δt par
u  t  t   u (t )   t  t  t   u '(t )
u  t  t   u (t )  u '(t )  t
5. En utilisant 3., en déduire que u  t  t   1  a  t   u  t   b  t . [0,5 Pt]
Comme u '(t )   a u (t )  b ,
u  t  t   u (t )    a u (t )  b   t
et en regroupant les termes,
u  t  t   1  a  t   u  t   b  t
6. Partant de t = 0, constituer un tableau permettant de calculer les valeurs théoriques de uC,th(t) par
itération toutes les Δt = 10 ms. Vous pourrez éventuellement utiliser une calculatrice ou un
tableur. [2 Pts]
t (ms)
uC (V)
0
0
10
20
0,943 1,708
30
2,328
40
50
2,831 3,239
60
70
3,570 3,838
80
90
100
4,056 4,232 4,375
Physique – Terminale S
Chapitre 6
t (ms)
uC (V)
t (ms)
uC (V)
Exercice - correction
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
4,491 4,585 4,662 4,724 4,774 4,815 4,848 4,874 4,896 4,914 4,928
220
4,940
230
4,949
240
4,957
250
4,963
260
4,968
270
4,972
280
4,975
290
4,978
300
310
320
4,980 4,982 4,983
7. Tracer la courbe théorique uC,th(t) sur le graphique précédent. [1 Pt]
8. Comparer les courbe uC(t) et uC,th(t). Commenter. [2 Pts]
Tension aux bornes du condensateur
U (V)
6,000
5,000
4,000
3,000
Uc
2,000
Uc,th
1,000
t (s)
0,000
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,350
On rappelle que la méthode d’Euler est une méthode numérique itérative permettant la résolution approchée des
équations différentielles du 1er ordre.
On peut remarquer que l’accord entre les résultats expérimentaux et les résultats de la méthode d’Euler sont tout à
fait concordants. Toutefois, il faut insister sur le fait que la méthode d’Euler dépend du choix du pas de résolution :
plus ce pas Δt est faible, plus l’accord est grand… En effet, sur le fichier Excel, on a réalisé le tracé des courbes
pour un pas Δt = 0,005 s puis pour un pas Δt = 0,001 s : on constate bien que plus le pas est faible, plus l’accord à
l’expérience est bon….
Tension aux bornes du condensateur
Tension aux bornes du condensateur
U (V)
U (V)
6,000
6,000
5,000
5,000
4,000
4,000
uC,th(t) (V)
3,000
3,000
UC (V)
uC,th(t) (V)
Pas : Dt = 0,001
UC (V)
2,000
2,000
Pas : Dt = 0,005 s
1,000
1,000
t (s)
0,000
0,000
0,000
t (s)
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,350
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,350