Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 - Pagesperso

PCSI
Devoir maison n°4
À remettre le jeudi 15 Novembre 2012
Exercice 1
1- Résoudre l'équation différentielle : y ' ' 2 y '+y=(2t+1)e t (E) .
2- Quelle est l'unique solution vérifiant :
y (0)=0
et
y ' ( 0)=1 ?
Exercice 2
Soit le plan usuel rapporté à un repère orthonormé direct (O, ⃗i , ⃗j ) .
Si t ∈ℝ , on note Dt la droite d'équation cartésienne : (1 t 2 )x+2ty=2+4t
1- Montrer qu'il existe un point Ω équidistant de toutes les droites Dt pour t ∈ℝ .
2- Interpréter géométriquement l'ensemble des droites Dt , où t ∈ℝ .
Exercice 3
On considère deux droites concourantes D et D ' et un réel k strictement positif.
On se propose de déterminer l'ensemble des points M du plan dont le rapport des distances à
D ' et à D est égale à k :
F ={ M ∈P ∣ d ( M , D ')=k d ( M , D) }
Pour cela, on rapporte le plan P à un repère orthonormal (O , ⃗i , ⃗j ) , choisi de façon que O
soit le point d'intersection des droites D et D ' et ⃗i un vecteur unitaire de D .
Soit
M un point de coordonnées
x et
y dans (O , ⃗i , ⃗j ) .
1-a- Déterminer : d (M , D) .
1-b- Soit ⃗i ' ( α ,β) un vecteur unitaire de
D ' . Calculer d (M , D ' ) .
1-c- Déduire des questions précédentes que l'ensemble F est la réunion de deux droites ∆ et
∆ ' passant par O , dont on précisera les équations cartésiennes en fonction de α , β et
k .
2- On suppose k =1 .
2-a- Montrer que
F est la réunion de deux droites ∆ et ∆ ' orthogonales.
2-b- Montrer que ∆ et ∆ ' sont les bissectrices (intérieures et extérieures) des droites
D' .
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D et
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3- On considère un repère orthonormé (O , ⃗i , ⃗j ) .
Soient
D et
D ' les droites d'équations cartésiennes respectives :
D : x 2y+1=0 et
D ' : 3x
y 2=0 .
Donner les équations cartésiennes des bissectrices des droites
D et
D'
Exercice 4 : Droite d'Euler.
On considère A,B et C trois points du plan.
Soit O le centre du cercle circonscrit. On considère un repère orthonormé (O , ⃗i , ⃗j) .
Pour simplifier, on suppose : OA=OB=OC =1 (ce qui n'enlève rien à la généralité des résultats
obtenus).
Soient a ,
1- Soit
ABC).
b , et c les affixes respectives des points
H l'orthocentre du triangle
Montrer que l'affixe de H est :
A ,
B et C .
ABC . (H est donc l'intersection des hauteurs du triangle
z H =a+b+c .
2- Soit G l'isobarycentre des points
⃗ =3 OG
⃗ .
OH
A ,
B et C . Déduire de la question précédente que :
Les points O, H et G appartiennent à une même droite, appelée droite d'Euler du triangle.
Exercice 5
On considère C 1 et C 2 les ensembles d'équations respectives :
x 2+ y 2 24x 18y+200=0 .
x 2+ y 2 100=0
et
1- Montrer que C 1 et C 2 sont des cercles dont on précisera les centres O1 et O2 et les
rayons R1 et R2 .
2- Monter que C 1 et C 2 sont tangents.
3- Trouver les cercles tangents à C 1 et C 2 en leur point de contact, et tangents à l'axe des
ordonnées.
Exercice 6
1- Montrer que : ch (a+b)+sh ( a+b)=(ch(a)+sh ( a))(ch ( b)+sh (b))
et ch (a+b) sh ( a+b)=(ch(a) sh ( a))(ch ( b) sh (b))
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2- En déduire l'expression de ch (a+b) et de sh (a+b) en fonction de ch (a ), sh (a ), ch (b), sh ( b)
.
th (a )+th (b)
3- Démontrer que : th (a+b)=
1+th( a) th (b)
4- Démontrer que pour tout réel
x>0 , th ( x )=
2
th(2x)
1
th( x)
n
5- En déduire la valeur de :
∑ 2 k th (2k x )
k =0
Exercice 7 : équations de Bernoulli
1- Déterminer les fonctions
vérifiant :
f , définies et dérivables sur ℝ , ne s'annulant pas sur ℝ et
2
∀t ∈ℝ , f '(t)+3f (t) f (t ) =0
(On pourra considérer la fonction g définie par g (t)=
1
.)
f (t )
2- En s'inspirant de la question précédente, déterminer les fonctions
ℝ , ne s'annulant pas sur ℝ et vérifiant :
f , définies et dérivables sur
∀ t ∈ℝ , f '( t)+3f ( t) f (t )3=0
3- Plus généralement, donner une méthode de résolution d'une équation différentielle de la forme :
y ' +a (t ) y+b (t) y α=0 où α∈ℝ .
Exercice 8 (*)
On donne un triangle A1 A2 A3 . Soient O le centre du cercle circonscrit du triangle A1 A2 A3 ,
et B1 , B2 et B3 les centres respectifs des cercles circonscrits aux triangles OA2 A3 ,
O A1 A 3 , O A1 A 2 .
Montrer que les droites : ( A1 B1) , ( A2 B 2) et ( A3 B3 ) sont concourantes.
Indications : Exercice 2
On peut considérer Ω(α ,β) et K une constante réelle, et chercher à quelles conditions sur
α ,β et K, on a: d (Ω , Dt )=K quel que soit t.
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Les Grands Suisses.
Jacques Bernoulli (1654-1705)
Sur les conseils de son père, Jacques (ou Jakob) étudie d'abord la théologie et la philosophie, dont il
obtient sans problèmes les diplômes. Cependant, contre l'avis de ses parents, il s'intéresse
parallèlement aux mathématiques et à l'astronomie. Il voyage en France, aux Pays-Bas et en
Angleterre à la rencontre des grand mathématiciens de l'époque. De retour à Bâle en 1687, il y
enseigne la mécanique et délaisse définitivement la théologie, préférant parfaire sa culture
mathématique en lisant « La Géométrie » de René Descartes, et les œuvres des mathématiciens
anglais Isaac Barrow et John Wallis.
En contact avec Leibniz, Jacques comprend très vite l'intérêt du calcul différentiel que vient de
mettre au point le savant allemand en 1684 et l'utilise pour résoudre de nombreux problèmes, en
particulier l'étude des courbes définies par une propriété cinématique....
Jacques Bernoulli s'intéresse aux sommes de séries et montre rigoureusement la convergence de
∞
2
∑ 12 sans cependant trouver la valeur de la somme , π6 qui sera donnée par Euler. Dans son
n=1 n
œuvre posthume, Ars Conjectandi, publié en 1713, Jacques aborde le calcul des probabilités...Il
donne une démonstration de la loi faible des grands nombres dans le cas du jeu de pile ou face. On
dit encore de nos jours qu'une variable aléatoire suit une loi de Bernouilli lorsqu'elle ne prend que
deux valeurs, 1 (avec la probabilité p) et 0 (avec la probabilité 1 p ).
D'après la magazine Tangente n°136, septembre-octobre 2010
Leonhard Euler (1707-1783)
Euler est le scientifique qui a le plus écrit, et sur des sujets très divers ; ses œuvres complètes
comprennent plus de 800 travaux, et occupent près de 100 volumes.
Son père est pasteur et souhaite voir son fils faire de même, sa mère est d'une famille d'humanistes.
Jean Bernoulli, ami de son père, conseille et guide le jeune Leonhard, qui a du goût pour les
mathématiques, dans ses lectures. En 1738 il perd son œil droit et devient complètement aveugle en
1771. Euler, qui a une mémoire prodigieuse continue à travailler ; il est aidé par deux de ses fils et
plusieurs autres mathématiciens, discutant avec eux et les laissant rédiger ses idées. Il produira ainsi
la moitié de toute son œuvre. Euler a fortement influencé le cours des mathématiques, dans toutes
les branches de l'analyse et de l'algèbre, en mécanique, en musique,... Sa grande innovation est de
tout baser sur la notion de fonction. On lui doit : les formules d'Euler, la droite et le cercle d'Euler,
les équations d'Euler, la méthode d'Euler, la constante d'Euler, la formule d'Euler (pour les
graphes)....
D'après « Histoires des Mathématiques » de Jean-Pierre Escofier, éditiond Dunod.
Il y a d'autres mathématiciens suisses : les Bernoulli (Nicolas, Jean, Nicolas, Daniel, Jean,
Jacques) , Jean Robert Argand (1768-1822) , Jakob Steiner (1796-1863) , et Gabriel Cramer
(1704-1752) que l'on rencontrera lors de l'étude des systèmes linéaires.
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