Schéma d`Euler pour les EDS

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Schéma d’Euler pour les EDS
Christophe Chorro ([email protected])
ENSA AGADIR
Décembre 2008
Christophe Chorro ([email protected]) (ENSA AGADIR)
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Plan
Chapitre 1: Le schéma d’Euler pour les EDO
Chapitre 2: Le cas des EDS
Les EDS
Résultat d’existence
Le schéma d’Euler
Résultats de convergence
Le cas du CIR
Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S
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Bibliographie
B ALLY, V. AND TALAY, D. : The law of the Euler scheme for stochastic differential equations (I) : convergence
rate of the distribution function. Probability Theory and Related Fields, 104 :43-60, 1995. N. B OULEAU, D.
TALAY : Probabilités numériques, INRIA, 1992.
D. L AMBERTON , B. L APEYRE: Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, Second edition,
Ellipses, Paris, 1997.
B. L APEYRE , E T EMAM: Competitive Monte Carlo Method for the pricing of asian options, Journal of
computational finance, 2002.
PAGÈS G., Multi-step Richardson-Romberg Extrapolation : Remarks on Variance Control and Complexity,
prépublication PMA, 2006.
L.C.G R OGERS , D. W ILLIAMS : Diffusions, Marvov processes and Martingales, Vol 1. Foundations, Springer,
Cambridge University Press, Cambridge, second edition, 2000.
TALAY, D. AND T UBARO, L. : Expansion of the global error for numerical schemes solving stochastic differential
equations. Stochastic Anal. Appl. 8(4) :483-509, 1990.
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Le schéma d’Euler pour les EDO
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Les EDS
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On considère l’équation differentielle ordinaire (EDO) suivante :
y 0 (t) = f (t, y (t)); y (0) = x0 .
Lorsque qu’il n’y a pas de solution explicite on peut construire un schéma
d’approximation sur [0, T ] :
• On se donne une subdivision, ici, {t0 = 0, t1 =
T
N , ...., tN
= T }.
• On approxime la solution aux points de la subdivision
ŷ (0) = x0
T
ŷ (tk ) = ŷ (tk −1 ) + f (tk −1 , ŷ (tk −1 )).
N
• On approxime la solution sur [0, T ] par le processus linéaire par
morceaux passant par les points (tk , ŷ (tk ))0≤k ≤N .
Sous des hypothèses très faible sur la régularité de f
ky − ŷ k∞ → 0
N→∞
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Les EDS
On considère un mouvement Brownien (MB) d dimensionnel (Wt )t∈[0,T ] i.e
 1
Bt
 
Wt =  ...  où B 1 , ..., B d sont des Browniens indépendants.
Btd
Une équation differentielle stochastique (EDS) est une équation de la forme
(E)


X0 = x0 ∈ Rn

dXt = b(t, Xt )dt + σ(t, Xt )dWt
où
b : R+ × Rn → Rn
σ : R+ × Rn → Mn×d (R).
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Les EDS
Exemples: • Black-Scholes (d = 1, n = 1, b(t, x) = rx, σ(t, x) = σx)
dSt = rSt dt + σSt dWt .
• Modèles à volatilité locale (d = 1, n = 1)
dSt = rSt dt + σ(t, Xt )Xt dWt .
• Modèles à volatilité stochastique (d = 2, n = 2, ρ ∈ [0, 1])
0
σt St
St
µ(t, St )
√
d
=
dt +
dWt
σt
a(t, σt )
ρ b(t, σt )
1 − ρ b(t, σt )
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Les EDS
Définition
Une solution à l’équation (E) est un processus vectoriel (Xt )t∈[0,T ] adapté à la
filtration Brownienne tel que
RT
• 0 | b(s, Xs ) | + | σ(s, Xs ) |2 ds < ∞ p.s
• ∀t ∈ [0, T ],
Z
Xt = x +
t
Z
t
σ(s, Xs )dWs p.s
b(s, Xs )ds +
0
0
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Les EDS: Résultat d’existence
Proposition
Sous l’hypothèse

∃K > 0, ∀t ∈ [0, T ], ∀(x, y ) ∈ (Rn )2





H1 |b(t, x) − b(t, y )| + |σ(t, x) − σ(t, y )| ≤ K |x − y |





|b(t, x)| + |σ(t, x)| ≤ K (1 + |x|)
l’équation (E) admet une unique solution (Xt )t∈[0,T ] vérifiant
"
#
E
sup Xs2 < ∞.
s∈[0,T ]
L’hypothèse H1 est suffisante mais pas nécéssaire cf
√
(CIR): drt = a(b − rt )dt + σ rt dWt
avec (a, b, σ, r0 ) ∈ R+ .
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Les EDS
D’un point de vue pratique nous avons souvent à calculer des quantités du
type
E[f (XT )]
où (Xt )t∈R+ est solution de (E).
La méthode MC nous assure que
E[f (XT )] ≈
M
1 X
f (XTi ).
M
i=1
Problèmes:
• La loi de (Xt ) est souvent inconnue
• Impossible de simuler en temps continu ⇒ Discrétisation
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Le Schéma d’Euler
Définition
Pour N ∈ N∗ ,
• On se donne une subdivision, ici, {t0 = 0, t1 =
T
N , ...., tN
= T }.
• On approxime la solution aux points de la subdivision par
X̂ N (0) = x0
T
b(tk −1 , X̂ N (tk −1 )) + σ(tk −1 , X̂ N (tk −1 ))(Wtk − Wtk −1 ).
N
• On approxime la solution sur [0, T ] par le processus linéaire par
morceaux passant par les points (tk , X̂ N (tk ))0≤k ≤N :
X̂ N (tk ) = X̂ N (tk −1 ) +
∀t ∈ [tk , tk +1 ],
X̂ N (t) = X̂ N (tk ) + (t − tk )b(tk , X̂ N (tk )) + σ(tk , X̂ N (tk ))(Wt − Wtk ).
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Le Schéma d’Euler
• La mise en oeuvre pratique est très simple. Il suffit de générer N vecteurs
gaussiens indépéndents
Gi ,→ N (0, Idn×n )
et considérer
Wti − Wti−1 =
p
ti − ti−1 Gi .
• Dans le cas Black-Scholes le schéma est donné en chaque pas de la
subdivision par
X̂ N (tk ) = X̂ N (tk −1 )[1 +
T b
+ σ(Wtk − Wtk −1 )].
N
• Lorsque l’on sait simuler de manière exacte une diffusion en temps
discret le schéma d’Euler est inutile.
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Convergence forte du schéma d’Euler
On considère l’hypothèse suivante

∃K > 0, ∃α > 0, ∀(t, s) ∈ [0, T ]2 , ∀x ∈ Rn

H2

|b(t, x) − b(s, x)| + |σ(t, x) − σ(s, x)| ≤ K (1 + |x|) | t − s |α .
Remarque: Lorsque (E) est homogène H2 est automatiquement vérifiée.
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Proposition
Supposons (H2 ) vérifiée. Pour β = min(α, 12 ),
∀p ≥ 1, ∃Cp > 0, ∀N ∈ N∗
E[ sup | X̂ N (t) − Xt |2p ] ≤
t∈[0,T ]
Cp
.
N 2βp
Ainsi, ∀γ < β,
N γ sup | X̂ N (t) − Xt | → 0 p.s.
t∈[0,T ]
N→∞
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Corollaire
Lorsque l’équation est homogène,
∀p ≥ 1, ∃Cp > 0, ∀N ∈ N∗
E[ sup | X̂ N (t) − Xt |2p ] ≤
t∈[0,T ]
Ainsi, ∀γ <
Cp
.
Np
1
2,
N γ sup | X̂ N (t) − Xt | → 0 p.s.
t∈[0,T ]
N→∞
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En remarquant que pour f : Rn → R Lipschitzienne,
q
| E[f (XT )] − E[f (X̂ N (t))] |≤ K E[| X̂ N (t) − Xt |2 ].
Corollaire
Premier résultat (grossier) de convergence faible
• Sous (H2 ), lorsque α > 12 ,
| E[f (XT )] − E[f (X̂ N (T ))] |≤
C
1
N2
.
• Lorsque l’équation est homogène
| E[f (XT )] − E[f (X̂ N (T ))] |≤
C
1
N2
.
Exemple: Call ou Put européen lorsque n = 1.
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De la même manière si g : (Rn )d+1 → R est Lipschitzienne et si
0 = t0 ≤ t1 ≤ ..... ≤ td = T ,
Corollaire
• Sous (H2 ), lorsque α > 12 ,
| E[g(Xt0 , ..., Xtd )] − E[g(X̂ N (t0 ), ..., X̂ N (td ))] |≤
C
1
N2
.
• Lorsque l’équation est homogène
| E[g(Xt0 , ..., Xtd )] − E[g(X̂ N (t0 ), ..., X̂ N (td ))] |≤
C
1
N2
.
Exemple: Lorsque n = 1, options asiatiques ou lookback discrètes.
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Convergence faible du schéma d’Euler
On etudie ici la vitesse de convergence de | E[f (XT )] − E[f (X̂ N (T ))] |
Notations:
• Cb∞ ([0, T ] × Rn ; Rp ) est l’ensemble des fonctions dans C ∞ ([0, T ] × Rn ; Rp )
dont les dérivées de tout ordre ≥ 1 sont bornées.
∞
• Cpol
(Rn ) est l’ensemble des fonctions dans C ∞ (Rn ; R) dont les dérivées de
tout ordre sont à croissance polynomiale:
∀a = (a1 , ..., an ) ∈ Nn , ∃pa ∈ N, ∃Ca > 0, ∀x ∈ Rn ,
(a +...+a )
n
∂ 1
F
pa
∂x a1 ...∂x an (x) ≤ Ca (1+ | x | ).
n
1
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Proposition
(Talay-Tubaro 1990)
On suppose que b ∈ Cb∞ ([0, T ] × Rn ; Rn ) et σ ∈ Cb∞ ([0, T ] × Rn ; Rnd ).
∞
Lorsque f ∈ Cpol
(Rn ) on a ∀k ∈ N∗
k
X
1
Ci
E[f (XT )] − E[f (X̂ (T ))] =
+O
Ni
N k +1
N
i=1
où les Ci ne dépendent que de f .
Remarque: Ce résultat n’est pas utilisable dans le cadre du Put ou du Call
européens...
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Proposition
(Bally-Talay 1995)
On suppose que l’équation (E) est homogène et que b ∈ Cb∞ (Rn ; Rn ) et
σ ∈ Cb∞ (Rn ; Rnd ).
Si
∃A > 0, ∀ξ ∈ Rn , ∀x ∈ Rn , ξ t σ(x)σ t (x)ξ ≥ A | ξ |2 ,
lorsque f est mesurable bornée,
E[f (XT )] − E[f (X̂ N (T ))] =
C
+O
N
1
N2
où C ne dépendent que de f .
Remarque: Ce résultat est utilisable dans le cadre du Put européen (donc du
call).
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• “Pour abaisser les conditions de régularité sur f on augmente celles sur la
loi de la diffusion étudiée”
• Les dévellopements précédents permettent d’obtenir un ordre de
convergence en N12 (Procédure d’extrapolation de Romberg):
1
E[f (XT )] − E[2f (X̂ 2N (T )) − f (X̂ N (T ))] = O
.
N2
Cependant cette procédure a tendance a faire “exploser” la variance de
l’estimateur (Pagès 2006).
• Ne pas oublier que “Erreur Pricing= Erreur discrétisation + Erreur
Monte Carlo”
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Les options asiatiques
Soit n = 1 = d, on considère l’équation homogène suivante

X0 = x0 ∈ R+

(H1 )

dXt = b(Xt )dt + σ(Xt )dWt .
R
T
On note AT = T1 0 Xs ds et on s’intéresse aux options asiatiques:
RT
• Call asiatique à strike fixe ( T1 0 Xs ds − K )+
RT
• Put asiatique à strike fixe (K − T1 0 Xs ds)+
RT
• Call asiatique à strike flottant ( T1 0 Xs ds − XT )+
RT
• Call asiatique à strike flottant (XT − T1 0 Xs ds)+
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En notant At =
1
T
Rt
0
Xs ds,
b(Xt )
Xt
σ(Xt )
d
=
dt +
dWt
Xt
0
At
T
Le schéma d’euler correspondant est
T
b(X̂ N (tk −1 )) + σ(X̂ N (tk −1 ))(Wtk − Wtk −1 )
N
1
ÂN (tk ) = X̂ N (tk ) + ÂN (tk −1 ).
N
X̂ N (tk ) = X̂ N (tk −1 ) +
Ainsi
ÂN (T ) =
N
1 X N
X̂ (tk ).
N
k =0
Rq: Il s’agit ici de la méthode des rectangles pour le calcul de l’intégrale
approchée.
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Les fonctions φ(x, y ) = (x − y )+ et φ(x, y ) = (x − K )+ étant Lipschitziennes:
| E[(AT − XT )+ ] − E[(ÂN (T ) − XTN )+ ] |≤
| E[(AT − K )+ ] − E[(ÂN (T ) − K )+ ] |≤
Ĉ
1
N2
.
Ĉ
1 .
N2
Rq: Ces résultats sont valides dans le cadre Black-Scholes.
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Mais dans le modèle de Black-Scholes on sait simuler exactement
(X0 , X T , ..., XT ).
N
Pourquoi ne pas utiliser
1
T
Z
T
Xs ds ≈
0
N
1 X
N
Xtk = A (T )?
N
k =0
Proposition
(Lapeyre Témam 2002) Dans Black-Scholes,
N
| E[(AT − XT )+ ] − E[(A (T ) − XTN )+ ] |≤
N
| E[(AT − K )+ ] − E[(A (T ) − K )+ ] |≤
où C = σ
q
C
1
N2
,
C
1
N2
e(σ2 +2r )T −1
.
12(σ 2 +2r )
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Comparaison des 2 methodes des rectangles pour un call asiatique (T=1,K=100,x0=100,sigma=0.02,r=0.01)
exact(en noir) / Euler (en bleu)
7.8
7.6
7.4
prix
7.2
7.0
6.8
6.6
6.4
6.2
0
50
100
150
200
N
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