Fichier 3

Université d’Aix-Marseille
L2 Semestre 3
Responsable UE : Victoria Paolantoni
PEIP
-
UE : Analyse 2 - Séries et calcul intégral
Démonstration à compléter :
:
r
u
e
t
s
t
i
o
u
a
’
d
s
e
t
di
Le but est de proposer une démonstration de la propriété suivante reliant
l’approche de Darboux et celle de Riemann. En reprenant les notations du
cours, nous voulons donc montrer que :
r
r r
d
e
s
t
Proposition 0.1 Soit un intervalle fermé borné
le [a, b]In(a <teb)u et soit f
r
u
[a, b] → R une application bornée. Alors, onua :
n
a
s
’
o
l
oi D(fu) s=iI (fd)e
l
d(f ) = I (f ) et
la iff le
r
a t D lab
p
é
e réa
• Montrons que d(f ) = Iég
(f ) : n
Tout d’abord, remarquons
ot quetio. . . r⊂d p . . . et donc :
r
o
t psup u.c. . ≤ccsup
...
n
d
a
e
’
l
um) ≤eIp(fro). ns
autrement ditcd(f
a
Rappelons
si a ∈ R s
est tel que ∀ > 0 |a| < alors . . . .
Do que R
−
+
−
−
On veut montrer l’égalité d(f ) = I − (f ), pour cela montrons que :
∀ > 0 |
...
|<
Soit donc > 0. On veut donc montrer que :
...
La quantité I − (f ) −
∃
...
∈ E([a, b])
On notera (xk )0≤k≤p une
2
<
...
+
n’est plus un majorant de
...
...
≤f
...
telle que I − (f )− <
2
et donc :
...
≤ I − (f )
à la fonction en escalier u . On a donc :
Z
−
I (f ) <
u +
2
[a,b]
R
On est maintenant ramené à comparer [a,b] u et d(f ) et pour cela, on va
R
commencer par comparer [a,b] u et une somme de Darboux sP (f ).
:
Démonstration à compléter :
2
Soit donc P une subdivision quelconque de [a, b], notée P = (ai )0≤i≤n .
Calculons :
Z
u − sP (f ) = . . .
...
:
r
u
e
t
[a,b]
avec mi =
. . . . On peut donc écrire :
Z
u − sP (f ) =
s
t
i
o
u
a
’
d
s
e
t
di
r
r r
d
e
s
t
le In teu
r
use produire
n
Soit i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Deux cas peuvent
: au
s
’ alors que
o
l
i
• • Soit aucun x n’appartient à l’intervalle
[a ,s
ai ]. On
dira
o
l fu de
i appartient à l’ensemble I.
a
l
le
ifque iaappartient
b
• • Soit . . . . . . . . .
. . . Onardira alors
à l’ensemble
D
p
l
t
J.
a
é
e
é
g
r
Remarquons que I ∪ J = é . . . et
n I ∩dJ p= . . . .
t
o
o
i
– Dans le premier cas,r si i ∈ I,t la fonction
r u est constante sur [a , a ]
p ucque cette
o
et comme . . . , on ten déduira
c constante sera . . . et donc on
c
n
e od l’a
aura
m
u epr ns . . .
c
Do R sa
...
[a,b]
k
i
i+1
– Dans le deuxième cas, si i ∈ J, remarquons que :
...
et donc :
mi =
...
...
inf{f (x) / x ∈ [a, b]} = m
ce qui implique, en notant M = sup{f (x) / x ∈ [a, b]} :
Z ai+1 u − m i ≤ . . .
ai
où
...
est le pas de la subdivision P .
On avait donc :
Z
u − sP (f ) =
[a,b]
soit donc :
...
i
i+1
Démonstration à compléter :
3
:
Z
u − sP (f ) ≤
...
r
u
e
t
...
[a,b]
u
a
’
d
Or i ∈ J s’il existe un xk ∈ [ai , ai+1 ] et un élément xk peut appartenir à
...
. . . . On en déduit :
Z
u − sP (f ) ≤ . . .
s
t
i
o
s
e
t
di
r
r r
d
e
s
t
u le
le InM 6= mtesinon
On peut alors choisir P telle que δ(P ) < (en supposant
r
u
n
résultat est immédiat) de façon à obtenir : su
a
’
o
l
oi usi de
Z
l
f) + 2 le
u ≤ s (f ) +la < d(f
f
i
r
2
a t D lab
p
a
ce qui montre que :
é
e
é
g
r
té Z ion d p
o
r ) < ct u +o2r < d(f ) + I (f
p
nt du ’acc
e
l
et donc I (f ) = m
d(f ). ro
s
u
p
c e an
o
R s
D
[a,b]
P
[a,b]
−
[a,b]
−