Test du 15 avril - Marco Andrea Garuti

NATIONAL ADVANCED SCHOOL
OF PUBLIC WORKS
--------MASTERS IN ENGINEERING (BAC + 5 ans)
----------
ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DES
TRAVAUX PUBLICS
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ANNEE ACADEMIQUE/ACADEMIC YEAR : 2010-2011
DEPARTEMENT/DEPARTMENT : N/A
CLASSE/CLASS : Meng I
COMPOSITION DE FIN DE SEMESTRE/END OF SEMESTER EXAMINATION : 2ème Semestre
EPREUVE/COURSE TITLE : Principes d'Algèbre Linéaire et Géométrie
CODE/CODE : MAT112
DATE/DATE : 15 avril 2011
DUREE/DURATION : 2 heures
EXAMINATEUR/EXAMINER : prof. Andrea D'Agnolo
INSTRUCTIONS/INSTRUCTIONS : Pas de livres, notes ni calculatrices. Toute communication entre les candidats est interdite.
Corrigé
1. Questions ouvertes
Question 1.1. Détailler le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt et démontrer
que la famille de vecteurs ainsi obtenue est orthogonale.
Démonstration. Voir page 55 du texte.
Barème : 18
Question 1.2. Démontrer qu’une matrice carrée d’ordre n est inversible si et seulement
si son rang est n.
Démonstration. Voir page 120 du texte.
Barème : 18
2. Questions fermées
Question 2.1. Soit v, w ∈ Rn avec v 6= w. L’ensemble des combinaisons linéaires cv +
(1 − c)w avec c ≥ 0 est l’ensemble des points de
A la droite affine par v et w ;
B
• la demi-droite affine d’origine w et direction orientée v − w ;
C la demi-droite affine d’origine v et direction orientée w − v.
Question 2.2. Soit S un sous-espace de dimension finie d’un espace vectoriel euclidien
E. Si v ∈ E, alors projS v = w avec
A
• w ∈ S et v − w ∈ S ⊥ ;
B w ∈ S ⊥ et w − v ∈ S ;
C w ∈ S et v + w ∈ S ⊥ .
Question 2.3. Dans l’espace affine R3 , soit D la droite par le point P0 (1, 0, 0) de vecteur
directeur v = (1, 1, 0), et D0 la droite par le point Q0 (1, 1, 1) de vecteur directeur w =
(1, 0, 1). La distance des deux droites vaut
√
A
3/2 ;
B 0;
√
C
• 2/ 3.
−→
Démonstration. On a P0 Q0 = (0, 1, 1) et w × v = (−1, 1, 1). Donc
−→
√
dist(D, D0 ) = |(P0 Q0 |w × v)|/kw × vk = 2/ 3.


3 1 2
Question 2.4. Calculer l’inverse A−1 de A = 1 1 1. La diagonale de A−1 est
1 0 0
A (2, −2, 0) ;
B (−2, 0, 2) ;
C
• (0, 2, −2).
Démonstration. En réduisantpar example lamatrice augmentée (A|I) à la forme échelonnée
0
0
1
1 .
simplifiée on obtient A−1 = −1 2
1 −1 −2
Question 2.5. Soit S le sous-espace vectoriel de R4 engendré par les vecteurs (2, 0, 1, −1),
(1, 1, 2, 0) et (4, −2, −1, −3). On a
A
• dim S = 2 ;
B dim S = 1 ;
C dim S = 3.
Démonstration. On va échelonner une matrice
opérations élémentaires on a



1 1
2
1 1
2
0
2 0
1 −1 7→ 0 −2 −3
0 −6 −9
4 −2 −1 −3
qui a les vecteurs comme lignes. Par



1 1
2
0
0
−1 7→ 0 −2 −3 −1
0 0
0
0
−3
Question 2.6. Soit S ⊂ R4 l’ensemble intersection des solutions des deux systèmes
linéaires
(
(
2x − y = 1
2y + z − w = −1
x+y−z+w =0
x + 2z − 2w = 0
On a que S est
A un plan affine ;
B vide ;
C
• une droite affine.
Démonstration. S est l’ensemble des solution du système des quatre équations. En résolvant
on obtient x = 2/7, y = −3/7, z = w − 1/7, w quelconque.
√
Question 2.7. Soit θ l’angle des deux hyperplans affines de R4 d’équation x1 − 2x2 +
3x3 − 2x4 = 1 et 2x1 − 2x3 + x4 = 3, respectivement. On a
A
• θ = π/3 ;
B θ = π/4 ;
C θ = π/6.
2
√
Démonstration. Les vecteurs v = (1, − 2, 3, −2) et w = (2, 0, −2, 1) sont normaux au
premier et au deuxième hyperplan, respectivement. On a cos θ = |(v|w)|/kvkkwk = 1/2.
D’où θ = π/3.
Question 2.8. Pour quel t ∈ R le système suivant admet au moins une solution ?


x1 + 3x2 − x3 = 3
x1 + x2 − 2x3 = t

2x + x = 3
2
3
A t = 1;
B
• t = 0;
C t = −1.
Démonstration. Par opérations élémentaires on a






1 3 −1 3
1 3 −1
3
1 3 −1
3
1 1 −2 t  7→ 0 −2 −1 t − 3 →
7 0 −2 −1 t − 3
0 2 1 3
0 2
1
3
0 0
0
t
Il faut alors t = 0 pour que le rang de la matrice augmentée coı̈ncide avec celui de la
matrice des coefficients.
Question 2.9. Soit A, B et C trois matrices inversibles de même ordre. Si B t (C tA) =
(AB −1 )−1 A3 t (CB −1 ), alors
A A= B;
B
• A = tB ;
C A = B −1 .
Démonstration. On a BA tC = BA−1 A3 tB −1 tC, d’où A2 tB −1 = A, et donc A tB −1 = I.
On obtient alors A = tB.
e )−1 , où A
e indique
Question 2.10. Soit A une matrice 3 × 3 avec |A| = 3. Soit B = ( 12 A
la transposée de la matrice des cofacteurs de A. On a
A
• |B| = 8/9 ;
B |B| = 2/3 ;
C |B| = 9/8.
Démonstration. On a |B| = |2A−1 | = 8|A−1 | = 8|A|−1 = 8/3.
Grille des réponses
question
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
réponse
B
A
C
C
A
C
A
C
C
A
barème
12
8
8
14
8
8
12
8
8
8
3