Le binôme de Newton

Le binôme de Newton
Vous avez tous appris au collège les fameuses ”identités remarquables” (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab ou (a + b)3 =
+ 3a2 b + 3ab2 + b3 , et il est essentiel de savoir ces formules par coeur, étant donné la multitude de cas où on
les utilise. Mais on aurait pu vous faire apprendre aussi (a + b)4 , ou (a + b)5 ... mais comme on rencontre ces
expressions moins frequemment et qu’on a déjà tellement de formules à retenir...
Néammoins, comment calculer (a + b)7 par exemple, si on le retrouve dans un calcul ? Hors de question de faire
un développement du genre (a+b)7 = (a+b)3 (a+b)3 (a+b), c’est beaucoup trop long et les erreurs sont inévitables.
a3
Il existe en réalité une formule générale permettant de développer facilement (a + b)n : la formule du binôme
de Newton.
1
Les coefficients binomiaux
Avant de commencer, un petit rappel (?) sur les coefficients binomiaux.
Définition:
Soit n un entier, on note n! = n(n − 1) . . . 2.1
Par convention, 0! = 1
Exemple(s):
3! = 3.2.1 = 6
Définition:
Soit n ∈ N, et k un entier telq que k ≤ n. On appelle coefficients binomiaux l’ensemble des nombres
n!
n
=
k
k!(n − k)!
n
On retrouvera ces nombres lorsqu’on abordera le chapitre du dénombrement. On note parfois
= Cnk
k
7!
7
, car les multiplications
En réalité , il est maladroit, si par exemple on doit calculer
, d’utiliser la formule
3
3!4!
sont parfois pénibles. Il existe un algorithme simple permettant de calculer de proche en proche, uniquement à
n
l’aide d’additions, les
. Cet algorithme s’appelle le triangle de Pascal.
k
Proposition 1
n ∈ N∗ , et k un entier tel que k ≤ n. On a
n
n−1
n−1
=
+
k
k−1
k
Démonstration:
0
1
2
3
4
..
.
On
0
1
1
1
1
1
utilise cette formule sous forme de tableau, et on comprend mieux son nom :
1 2 3 4 ...
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
...
Exemple(s):
6
Calculer
, pour tous k.
k
2
Enoncé de la formule et démonstration
Proposition 2 (Le binôme de Newton)
Soit n ∈ N∗ , soient a et b 2 complexes. On a :
n
(nk )ak bn−k
(a + b) =
n
k=0
Démonstration: Par récurrence
Remarques:
• On peut évidemment permuter
b dans l’expression précédente, puisque (a + b)n = (b + a)n . On peut
n n ak et
n
n−k
. Cette remarque peut avoir son importance...
donc écrire (a + b) = k=0 (k )b a
• Il y a n + 1 termes dans cette somme !
• Cette formule est très simple à mettre en pratique : d’abord on calcule les coefficients binomiaux à l’aide
du triangle de Pascal, puis on ecrit la somme avec les puissances correspondantes de a et b : tandis que les
puissances de a diminuent de 1 en 1, celles de b augmentent. Normal puisque la somme des puissances de a
et b est constante.
Exemple(s):
(a + b)7 =
3
Exemples
On peut calculer plein de sommes étranges avec la formule du binôme de Newton... voir le DM ci joint.