Dossier de Candidature à un Poste de Maitre de Conférence

Dossier de Candidature à un Poste de Maitre de Conférence
Elie BRETIN
Etat civil
Né le 30 avril 1982, à Niamey (Niger)
Nationalité française,
Adresse Professionelle :
CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées Polytechnique
Route de Saclay, 91128 Palaiseau Cedex France
Tél. :
(+33)1 69 33 46 10
E-mail :
Homepage:
[email protected]
www-ljk.imag.fr/membres/Elie.Bretin/
Situation administrative
2009 – 2011
Post-Doctorant, CMAP.
Centre de mathématiques appliquées, Ecole Polytechnique.
2008 – 2009
Attaché Temporaire d’Enseignement et de Recherche, ENSIMAG.
École nationale supérieure d’informatique et de mathématiques appliquées de Grenoble
2005 – 2008
Doctorant, LJK, bourse BDI CNRS.
Laboratoire Jean Kuntzmann, Grenoble
2005 – 2008
Moniteur d’enseignement supérieur en Mathématques, ENSIMAG.
École nationale supérieure d’informatique et de mathématiques appliquées de Grenoble
Cursus universitaire
2005 –2009
2004 –2005
Thèse de doctorat de Mathématiques, LJK, Grenoble.
Spécialité : Mathématiques Appliquées
Titre : Mouvements par courbure moyenne et méthode de champ de phase
Master Recherche de Mathématiques Appliquées, (Mention : Bien) .
Université Joseph Fourier, Grenoble
2002 –2005
Ingénieur en Informatiques et Mathématiques Appliquées, (Mention : Bien) .
ENSIMAG, INPG, Grenoble
Expérience de Recherche
2009 – 2011
Post-Doctorant en Mathématiques Appliquées, CMAP, CMAP.
Sous la direction de : Habib AMMARI (Directeur de Recherche CNRS)
Sujet : Methodes inverses pour la transformée de Radon sphérique atténuée,
Mots clefs : Méthodes inverses, équation des ondes atténuées, tranformée de Radon
sphérique
2005 – 209
Doctorat de Mathématiques Appliquées au LJK, soutenue le 21 avril 2009.
Sous la direction de :
Valérie PERRIER (Professeur INPG, équipe MGMI) et
Eric BONNETIER (Professeur UJF, équipe EDP)
Sujet : Mouvements par courbure moyenne et méthode de champ de phase,
Mots clefs :
Méthode de champ de phase, mouvement par courbure moyenne
anisotrope, méthode spectrale, analyse multirésolution, curvelets.
Jury composé de :
M.
M.
M.
M.
M.
M.
2005
COTTET Georges-Henri, Président
CHAMBOLLE Antonin,
Rapporteur
GOUT Christian,
Rapporteur
MISBAH Chaouqi,
Examinateur
BELLETTINI Giovanni,
Examinateur
OUDET Edouard,
Examinateur
Stage de Master-Recherche, Avec Valérie PERRIER et d’Eric BONNETIER.
Sujet : Curvelets pour la croissance cristalline
Responsabilités collectives
2007 – 2008
juin 2007
Représentant élu des doctorants au conseil du LJK.
Membre du comité d’organisation du congrès SMAI 2007.
Compétences
Programmation
Software
Graphique
OS
Langues
ADA, C, C++, C#, JAVA
Matlab, Scilab, Maple
Gimp, Xfig
Linux, Windows
Anglais : lu, écrit, parlé
ACTIVITES D’ENSEIGNEMENT
Voici un bref descriptif de mes différents enseignements que j’ai effectué à l’ENSIMAG, tout d’abord
en tant que moniteur, puis en tant que ATER :
• 2007 – 2008
, Moniteur en mathématiques appliquées à l’ INP Grenoble (ENSIMAG).
• 2008 – 2009
, ATER à l’ENSIMAG, en section 26, mathématiques appliquées.
Monitorat à l’ ENSIMAG
TD d’Analyse mathématique, 1iere année de l’ENSIMAG (niveau L3)
Années scolaires:
Volume horaire:
Effectif:
Cours:
2005–2008
12 séances de TD d’1 h 30 : 18 heures equivalent TD
une classe de 40 étudiants
Valérie PERRIER
Nous abordons dans ce Td les différentes notions suivantes : Bases Hilbertiennes, Série de Fourier, transformée de Fourier de fonctions, distributions, et enfin transformée de Fourier de distributions tempérées. Un
TP Scilab est aussi organisé sur deux séances en salles machines. Il porte généralement sur les propriétés de
la transformée de Fourier discrète ( phénomène de Gibbs ) et son utilisation pour la résolution d’équations
au dérivées partielles.
TD de probabilité-statistique, 1iere année de l’ENSIMAG (niveau L3)
Années scolaires:
Volume horaire:
Effectif:
Cours:
2005–2008
18 séances de TD d’1 h 30 : 24 heures équivalent TD
une classe de 40 étudiants
Yvan PIGEONNA
Ce TD est divisé en deux parties : il contient tout d’abord les bases des probabilités avec les notions de
modèles et mesures du hasard, de variables aléatoires réelles et de vecteurs aléatoires. Un deuxième volet
plus applicatif concerne les statistiques avec une introduction aux statistiques descriptives, aux estimations
paramétriques et enfin aux tests d’hypothèses.
Projet de méthodes numériques : 1iere année de l’ENSIMAG (niveau L3)
Années scolaires:
Volume horaire:
Effectif:
Responsable :
2005–2008
1 semaine de TP : 26 heures equivalent TD
une classe de 40 étudiants
Jean DELLA DORA
Ce projet est présenté sous la forme d’une succession de TPs, se déroulant durant une semaine entière. Il
a pour objectif la découverte du logiciel SCILAB et du langage LATEX ( un rapport de TP écrit en LATEX
est demandé à la fin de chaque séance de TP). La thématique des TPs illustre essentiellement des problèmes d’interpolations polynômiales et d’intégrations numériques, des notions découvertes précédemment
en cours.
ATER à l’ ENSIMAG
TD d’Eléments finis , 2ieme année de l’ENSIMAG (niveau M1)
Années scolaires:
Volume horaire:
Effectif:
Cours:
2008–2009
12 séances de TD d’1 h 30 : 18 heures equivalent TD
une classe de 15 étudiants
Emmanuel MAITRE
Ñous abordons dans ce TD les notions suivantes : Espace de Sobolev, Théorème de trace et inégalités de
Poincaré, méthode de Galerkin, maillage conforme et enfin méthodes d’éléments Finis P1 et P2 .
TP d’Eléments finis , 2ieme année de l’ENSIMAG (niveau M1)
Années scolaires:
Volume horaire:
Effectif:
Cours:
2008–2009
12 séances de TP d’1 h 30 : 18 heures equivalent TD
une classe de 15 étudiants
Emmanuel MAITRE
Les 12 séances sont réparties en trois TPs. Un premier TP, sous MATLAB, compare les méthodes d’éléments
finis P1 et P2 pour la résolution de l’équation de Poisson en dimension 1. Un deuxième TP, effectué cette
fois-ci sous FREEFEM++, illustre l’intérêt de ces méthodes pour la résolution d’équation aux dérivées
partielles dans des domaines de résolutions complexes. Enfin, dans un troisième temps, les étudiants implémentent en C + + le coeur de la méthode d’éléments finis P1 , dans le cas de l’équation de Poisson en
dimension 2.
TD de méthodes numériques , 1ieme année de l’ENSIMAG
Années scolaires:
Volume horaire:
Effectif:
Cours:
2008–2009
12 séances de TD d’1 h 30 : 2 ×18 heures equivalent TD
deux classes de 40 étudiants
Guillaume JAMES
Nous abordons dans ce TD les différentes notions suivantes : méthode des différences finies (discrétisation
numérique , principe du maximum, convergence de la méthode ), résolution de systèmes linéaires ( Gauss,
factorisation LU, Cholesky, méthode du gradient) et enfin résolution d’EDO par la méthode de Newton.
Encadrement de TER , 2ieme année de l’ENSIMAG
•
•
Avec Guillaume JAMES, "Effets non linéaires dans la dynamique d’ouverture de l’ADN"
Avec Thomas MILCENT, "Comparaison des méthodes level-set et champ de phase pour la simulation
de mouvement par courbure moyenne"
ACTIVITES DE RECHERCHE
Publications, Preprints, rapports
Rapports
[1]
Curvelets et équation de champs de phase, stage de M2, Université Joseph
Fourier(juin 2005).
[2]
Curvelets pour la croissance cristalline, Thèse de Doctorat de l’INPG, soutenue
publiquement le 21 avril 2009.
Evolution d’interfaces
[1]
[2]
[3]
[4]
A modified phase field approximation for mean curvature flow with conservation of volume, Mathematical Methods in the Applied Sciences (accepté), Avec M.
BRASSEL.
Phase field method for mean curvature flow with boundary constraints,
(Preprint), Avec V. PERRIER.
Consistency result for a non monotone scheme for anisotropic mean curvature
flow, Interfaces and Free Boundaries (soumis), Avec E. BONNETIER et A. CHAMBOLLE.
Regularization of discrete contour by Willmore energy, Journal of Mathematical
Imaging and Vision (accepté), Avec J.O. LACHAUD et E. OUDET.
Imagerie
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
Photo-acoustic imaging for attenuating acoustic media, Chapter in a Lecture Notes in Mathematics Volume, Springer-Verlag, 2011, Avec H. AMMARI, V.
JUGNON, et A. WAHAB.
On the Green function in visco-elastic media obeying frequency power law,
Mathematical Methods in the Applied Sciences (accepté), Avec L. G. BUSTOS et A.
WAHAB.
Coherent interferometry algorithms for photoacoustic imaging, (soumis), Avec
H. AMMARI, J. GARNIER, V. JUGNON .
Time reversal in attenuating acoustic media, (Preprint), Avec H. AMMARI et A.
WAHAB.
Some Anisotropic Viscoelastic Green Functions, (Preprint), Avec A. WAHAB.
Communications orales
Posters :
Mai 2007
Simulation d’un mouvement par courbure moyenne anisotrope (prix de meilleur
poster), Congrès SMAI 2007, Praz sur Arly.
Juillet 2006
Nonlinear approximation with generalized curvelets, Conférence "wave 2006",
EPFL.
Séminaires :
Décembre 2010
Algorithme itérative pour la transformée de Radon sphérique atténuée, Groupe
de travail CEA Saclay.
Octobre 2010
Approximation par champ de phase de mouvements par courbure moyenne
anisotrope, Groupe de travail MAP5, Université de Paris 5.
Mars 2010
Approximation par champ de phase de mouvements par courbure moyenne
anisotrope, Séminaire au CMAP, Ecole Polytechnique.
Janvier 2010
Approximation par champ de phase de mouvements par courbure moyenne
anisotrope, Séminaire au LMAH, Université du Havre.
janvier 2009
Approximation par champ de phase de mouvements par courbure moyenne
anisotrope, Rencontre PPF Dysco 2009, (Annecy).
Décembre 2008
Approximation par champ de phase de mouvements par courbure moyenne
anisotrope, Séminaire du LAMA, Université de Chambéry.
Mai 2008
Convergence d’un nouvel algorithme pour les mouvements par courbure
moyenne anisotrope, Canum 2008, Saint Jean de Monts.
Mai 2008
Méthodes numériques pour les mouvements d’interfaces, Séminaire équipe
MGMI (LJK), Grenoble.
Octobre 2006
Approximation non linéaire, des ondelettes 1D aux curvelets, Groupe de travail
MGMI, Grenoble.
Utilisation d’ondelettes pour la compression, Séminaire compréhensible, Université
Josephe Fourier, (Grenoble).
Octobre 2006
Contexte mathématiques et résumé des résultats obtenus en thèse
Mes recherches portent sur le développement de méthodes numériques "efficaces" pour l’approximation
de mouvements d’interfaces géométriques. Ces évolutions apparaissent naturellement dans de nombreux
systèmes physiques et biologiques, notamment en croissance cristalline. L’exemple phare est le mouvement
par courbure moyenne : un flot de mouvement par courbure moyenne Ω(t) est défini comme l’évolution
d’une interface dont la vitesse normale est proportionnelle à la courbure moyenne :
Vn = κ.
Cette dynamique peut s’obtenir comme le flot de gradient du périmètre
ˆ
P (Ω) =
1ds.
∂Ω
Plus précisément, nous nous sommes focalisés sur les méthodes de champ de phase, une alternative aux
méthodes level-set, elles aussi basées sur une description implicite de l’interface. Ces méthodes permettent
d’obtenir des approximations du mouvement par courbure moyenne en suivant l’évolution des lignes de
niveau des solutions u de l’équation d’Allen-Cahn [AC79],
ut = 4u −
1 0
W (u).
2
Le paramètre est un paramètre d’approximation qui représente l’épaisseur de "l’interface diffuse", et
W désigne un potentiel double puits positif. Les méthodes d’éléments finis ou de différences finis semiimplicites sont usuelles pour obtenir des approximations numériques des solutions de ces équations. Dans
ce travail, nous avons préféré utiliser un algorithme basé sur un splitting d’opérateurs, où les termes de
diffusion sont traités de manière exacte dans la base de Fourier. L’intérêt est d’obtenir ainsi une méthode
de résolution inconditionnellement stable, plus précise et dont l’implémentation reste très simple en dimensions supérieures à 2.
Extension pour la conservation de volume
Nous nous sommes ensuite intéréssés à la simulation de mouvement par courbure moyenne avec conservation
du volume : [Gag86] où la vitesse normale de l’interface vérifie
ˆ
1
Vn = κ −
κds.
|∂Ω| ∂Ω
Classiquement, les méthodes de champ de phase conduisent [BS97, RS92] à l’équation
ˆ
1 0
1 1
0
ut = 4u − 2 W (u) + 2
W (u(t, x), x)dx,
|Q| Q
´
0
1
où le terme 12 |Q|
Q W (u)dx peut être interprété comme un multiplicateur de Lagrange, qui préserve la
masse des solutions u . Bien qu’aucune preuve rigoureuse de convergence de ce modèle ne soit encore
établie, les tests numériques montrent un ordre de convergence en O() seulement, ce qui se traduit en
pratique par des pertes de volumes conséquentes dans les simulations, limitant ainsi l’efficacité de ces
méthodes.
Plutôt que d’utiliser un multiplicateur de Lagrange, nous avons pensé à modifier le potentiel W pour intégrer
la conservation de volume. Nous avons alors étudié un modèle de champ de phase d’approximation de
mouvements par courbure moyenne avec terme de forçage : Vn = κ + g,
q
1
ut = 4u − 2 W 0 (u) − g 2W (u) ,
pour lequel, nous avons établi une preuve de convergence en O(2 log()2 ). Ce résultat s’obtient en démontrant un principe de comparaison, puis en explicitant une sous-solution et une sur-solution de l’équation
pour obtenir un contrôle sur l’évolution des lignes de niveau des solutions de l’équation.
Cette démarche a finalement conduit à l’équation
1
ut = 4u − 2
´
!
W 0 (u)dx q
W (u) − ´ p
2W (u) .
2W (u)dx
0
Les résultats numériques que nous avons obtenu exhibent un ordre de convergence en O(2 ), ce qui réduit
considérablement les pertes de volume par rapport au modèle original. Ce travail a fait l’objet d’un article
co-écrit avec Morgan Brassel.
Traitement de zones d’inclusion-exclusion
Nous nous sommes aussi intéressés à l’évolution d’une interface Ω(t), obtenue comme le flot de gradient
du périmètre pénalisé
(´
1σ
si Ω1 ⊂ Ω ⊂ Ω2 ,
JΩ1 ,Ω2 (Ω) = ∂Ω
+∞
sinon
où Ω1 et Ω2 sont deux domaines de Rd donnés.
L’approche champ de phase habituelle consiste à résoudre l’équation d’Allen Cahn dans Ω2 \ Ω1 avec des
conditions de bord de type Dirichlet sur ∂Ω1 et ∂Ω2 :
(
ut = 4u − 12 W 0 (u), dans
u|∂Ω1 = 1, u|∂Ω2 = 0
Ω2 \ Ω1
Or, l’utilisation de ces conditions de bord influence l’ordre de convergence de ce modèle de champ de phase,
qui apparaît maintenant en O( ln()) seulement. Cet ordre correspond en fait à la taille de l’interface diffuse. L’approximation numérique de ces solutions nécessitent aussi l’utilisation de méthode d’éléments finis,
qui s’avèrent beaucoup plus couteuses en pratique que les approches par Fourier introduites précédemment.
Pour toutes ces raisons, nous avons cherché à introduire une alternative à ce modèle, en imposant les
contraintes de bord à l’aide d’une pénalisation sur le potentiel double puits W utilisé. Nous avons ainsi
considéré des énergies de la forme
ˆ 1
2
J,Ω1 ,Ω2 (u) =
|∇u| dx + WΩ1 ,Ω2 (u, x) dx,
Rd 2
où le potentiel WΩ1 ,Ω2 dépend des domaines Ω1 , Ω2 . Cette démarche conduit ainsi à l’équation d’AllenCahn
1
ut = 4u − 2 ∂s WΩ1 ,Ω2 (u, x),
dont les solutions peuvent maintenant être approchées via des algorithmes numérique basés sur un splitting
d’opérateurs plus Fourier. Sous la condition suivante,
WΩ1 ,Ω2 (s, x) =



W1 (s)
si x ∈ Ω1
si x ∈ Ωc2
sinon,
W (s)
2


W (s)
et
(
W1 (s) = W (s)
W1 (s) ≥ max(W (s), W (1/2))
pour s ≥ 1/2
pour s ≤ 1/2
(
et
W2 (s) = W (s)
W2 (s) ≥ max(W (s), W (1/2))
pour s ≤ 1/2
,
pour s ≥ 1/2,
nous avons établi un résultat de Γ-convergence de J,Ω1 ,Ω2 vers cW JΩ2 ,Ω1 . L’ordre de convergence de ce
nouveau modèle apparaît aussi en O(2 ln()2 ). Ce résultat fait l’objet d’un preprint, co-écrit avec Valérie
Perrier.
Exemple de mouvement par courbure moyenne obtenu avec notre approche où la zone d’inclusion
Ω1 est composée de deux anneaux
Tension de surface anisotrope
Une troisième partie de mon travail s’intéresse à la simulation numérique de mouvements par courbure
moyenne anisotrope, définis comme le flot de gradient du périmètre anisotrope
ˆ
Pγ (Ω) =
γ(~n)ds,
∂Ω
où γ : S d−1 → R+ représente la tension surface anisotrope. En dimension 2 les vitesses normales des
interfaces vérifient
Vn = γ(~n)κγ ,
où la courbure anisotrope est donnée par κγ = κ (γ(~n) + γ 00 (~n)). La formulation champ de phase usuelle
de ce mouvement est l’équation d’Allen-Cahn anisotrope [BP96] :
ut = div φo (∇u)φoξ (∇u) −
1 0
W (u),
2
où pour tout ξ ∈ Rd , φo (ξ) = |ξ|γ(ξ/|ξ|).
La difficulté numérique vient de l’opérateur de diffusion anisotrope
4φ u = div φo (∇u)φoξ (∇u) ,
qui est fortement non linéaire. Les méthodes classiques de résolution ont en effet un coût de calcul bien
supérieur au coût des méthodes utilisées dans le cas isotrope.
Nous avons alors introduit une approximation de cette équation,
ut = 4̃φ u −
1 0
W (u),
2
(1)
dans laquel, nous utilisons un opérateur 4̃φ u de symbole σ(ξ) = −4π 2 φo (ξ)2 , obtenu comme le linéarisé
de 4φ dans l’espace de Fourier. L’implémentation de ce modèle est alors très facile (multiplication dans
la base de Fourier) et les calculs deviennent très rapides. Les tests numériques montrent de très bonnes
qualités d’approximation et indiquent que la méthode converge en O().
Nous avons de plus établi la consistance d’un algorithme de Bence Merriman Osher [MBO92] pour les
mouvements par courbure moyenne anisotrope lorsque le noyau de diffusion utilisé est associé à l’opérateur
4̃φ et défini par
ˆ
e−4π
K(x) =
2 φo (ξ)2
e2iπ x·ξ dx.
Rd
Nous nous sommes inspirés des travaux d’Ishii, Pires et Souganidis [IPS99]. La difficulté de ce travail
provient du fait que le noyau de la chaleur anisotrope K n’est pas positif, et n’admet pas de moment
d’ordre 2, deux hypothèses à priori nécessaires dans la preuve de [IPS99].
En regardant de plus près ce noyau et en utilisant des techniques d’interpolation
d’espaces, nous avons
´
s
montré qu’il admet des moments d’ordre s < 2, et que les intégrales V |x| K(x)dx, sur les hyperplans V
de Rn , restent positives et cela, malgré la non positivité de K.
Ces estimations se sont finalement révélées suffisantes pour généraliser la preuve de consistance aux noyaux
K. Ces travaux, co-écrit avec Eric Bonnetier et Antonin Chambolle, ont été soumis.
Le cas d’anisotropies non convexes a aussi été abordé. De la non convexité résulte un certain nombre
de complications car le périmètre anisotrope associé n’est pas semi-continu inférieur et la notion même
d’évolution d’interfaces par courbure moyenne anisotrope n’est pas clairement définie. D’un point de vue
approximation champ de phase, contrairement au laplacien anisotrope 4φ qui possède un caractère "fordward backward parabolic" lié à la non convexité de l’anisotropie, l’opérateur 4̃φ conserve lui de bonnes
propriétés. L’utilisation de cet opérateur peut être ainsi interprétée comme une régularisation du modèle
original.
Les simulations numériques obtenues (voir figure ci-dessous) par nos algorithmes montrent notamment des
interfaces dont l’évolution correspondrait au flot de gradient d’une énergie composé du périmètre anisotrope
et de termes d’ordre supérieur comme des énergies de courbure. L’utilisation de notre opérateur pourrait
donc permettre, par l’intermédiaire d’un algorithme de Bence Merriman Osher, de donner une définition
propre de mouvement par courbure moyenne anisotrope non convexe. Ces travaux, présentés dans le septième chapitre du manuscrit de thèse, seront prochainement soumis à publication.
Exemple de mouvement par courbure moyenne anisotrope non convexe
Curvelets pour le cas d’anisotropies avec dépendance spatiale.
Une troisième partie de thèse concerne la généralisation de la linéarisation de l’opérateur 4φ par rapport
à la base de Fourier lorsque l’anisotropie utilisée φo (x, ξ) dépend maintenant de la localisation spatiale
x. Nous avons alors cherché à linéariser cet opérateur par rapport à une nouvelle base dont les éléments
seraient suffisamment localisés à la fois en fréquence (comme les éléments de Fourier) mais aussi en espace, afin de traiter la dépendance spatiale en x. L’utilisation des ondelettes a alors été envisagée, mais
ces base d’analyses multirésolution n’étaient pas suffisament localisées en fréquences. Nous nous sommes
alors dirigés vers le frame de curvelets, vérifiant une échelle parabolique et présentant de meilleurs propriétés que les ondelettes pour une telle démarche. Nous avons alors généralisé le concept de curvelet en
donnant la construction d’une nouvelle famille d’ondelettes géometriques, les β-curvelets, et pour lequels,
nous établissons un résultat d’approximation non linéaire. Ce travail est une généralisation du résultat
d’approximation non linéaire obtenu par Candès et Donoho [CD00].
Travaux effectués après la thèse
Minimisation de l’energie de Willmore sous contrainte :
A la suite de ma thèse, j’ai commencé une collaboration avec Jacques-Olivier Lachaud et Edouard Oudet sur
des problèmes d’approximation d’objets discrèts. Le but est ici de déterminer une "bonne" approximation
d’un ensemble Ω0 , à partir d’une pixélisation Ωa de ce dernier. Les propriétés de pixélisation nous permettent
de définir, à partir de Ωa , deux ensembles notés Ω1 et Ω2 qui vérifient les inclusions Ω1 ⊂ Ω0 ⊂ Ω2 . Une
solution consiste alors à choisir, parmi les Ω vérifiant la contrainte Ω1 ⊂ Ω ⊂ Ω2 , l’ensemble Ω∗ qui
minimise l’énergie de Willmore :
ˆ
Ω∗ = argmin
κ2 dσ ; Ω1 ⊂ Ω ⊂ Ω2 ,
∂Ω
où κ représente la courbure à l’interface.
Ω2
Ω1
Etape de pixélisation
Nous avons alors comparé trois méthodes numériques différentes pour l’approximation de la solution Ω∗ ,
dont l’une d’elles, est basée sur une
de type champs de phase. Plus précisément, une approxi´ approche
2
mation de l’énergie de Willmore ∂Ω κ dσ est donnée (voir les travaux "On a modified conjecture of De
Giorgi" de Roger et Schatzle) par
ˆ
2
1
1 0
F (u) =
∆u − W (u) dx.
Rd Nous avons alors pris en compte la contrainte Ωint ⊂ Ω ⊂ Ωext par pénalisation, en considérant, comme
pour le traitement de conditions de bord, les potentiels pénalisés WΩ1 ,Ω2 . Les résultats numériques obtenus
indiquent de bonnes stabilités de la méthodes par champ de phase. Ce travail a fait l’objet d’un article
accepté à JMIV.
Exemple numérique, Ωa et Ω∗ obtenu par une approximation champ de phase
Travaux effectués en post-doc
J’effectue actuellement un post-doc au CMAP sous la direction d’Habib AMMARI, financé par un projet
DIGITEO île de France, et en collaboration avec les équipes de recherche du CEA LIST et du LRI. Dans
ce projet, le CMAP est essentiellement concerné par le déploiement d’algorithmes itératifs pour l’inversion
de la tranformée de Radon sphérique avec ou sans atténuation.
La transformée de Radon sphérique est définie par
ˆ
RΩ [f ](y, r) =
rf (y + rξ)dσ(ξ), (y, r) ∈ ∂Ω × R+ ,
S
où S représente la sphère unité. Nous avons porté un intérêt tout particulier à cette transformée car elle
intervient naturellement dans la détection de source en photo-acoustique : la problèmatique consiste à
reconstruire une pression initiale p0 à partir des mesures des pression p(y, t) sur le bord d’un domaine Ω,
où p est solution de l’équation des ondes
1
∂tt p − ∆p = p0 ∂t δt ,
c20
dans
Ω × R+ .
comme par exemple en dimension 2 avec Lorsque Ω est un cercle de rayon 1, il existe, comme pour la
transformée de Radon classique, des formules d’inversion [FPR04, Kun06, Ngu09] de type rétroprojection :
p0 (x) =
où R∗Ω est l’adjoint de RΩ ,
1 ∗
R BRΩ [p0 ](x),
4π 2 Ω
ˆ
R∗Ω [g](x)
g(y, |y − x|)dσ(y),
=
∂Ω
et B est un filtre défini par
ˆ
B[g](x, t) =
0
2
d2 g
(y, r)ln(|r2 − t2 |)dr.
dr2
.
Application dans le cas de données tronquées, atténuées
Dans les situations idéales, les formules précédentes permettent de bien reconstruire la source initiale
p0 , ce qui n’est plus le cas lorsque les données g(y, t) = p(y, t) deviennent limitées. Nous nous sommes
alors intéressés au problème de minimisation suivant
n
o
p˜0 = argmin kQ (RΩ [x] − g) k2L2 (Ω) + ηk∇xkl1 (Ω) , ,
où ηk∇xkl1 (Ω) est un terme de régularisation de type variation totale et Q est un préconditionneur. D’un
point de vue numérique, nous avons utilisé l’approche de Beck et Teboulle [BT09] ainsi qu’un algorithme
Primal-Dual pour traitement du terme de régularisation TV. Finalement, nous avons observé qu’un choix
judicieux de Q, explicite à partir du filtre B, permettait aussi d’accélérer encore un peu plus ces algorithmes
de minimisation.
Un enjeu important concerne aussi la correction du phénomène d’atténuation qui apparaît naturellement
dans toutes applications physiques où la pression p devient solution d’une équation des ondes atténuées.
Un modèle couramment utilisé est par exemple le modèle thermo-visqueux, qui s’écrit
∂tt pa − ∆pa − a∂t ∆pa = p0 ∂t δt ,
où a représente un coefficient d’atténuation. Lorsque a est constant, il est alors possible de relier l’onde
idéale p en fonction de l’onde atténuée pa , sous la forme pa = Lp, où L est un opérateur d’atténuation
qui s’explicite dans le cas thermo-visqueux par
ˆ ˆ
1
ω
√
Lφ(y, t) =
φ(y, s) exp 2iπs √
exp (2iπωt) dsω.
1 + 2iπaω
1 + iaω
R R+
La correction de l’atténuation peut alors s’effectuer en inversant la relation pa = Lp puis en utilisant les
algorithmes d’inversion de la tranformée de Radon sphérique. Mais une des difficultés vient de l’opérateur
L, qui est mal conditionné et qui rend cette stratégie délicate.
Nous avons alors étudié précisément les propriétés de l’opérateur L et nous avons introduit un développement asymptotique de ce dernier par rapport au coefficient d’atténuation a ( supposé petit en pratique )
sous la forme
Lφ =
k
X
aj Lk φ + o(ak ).
j=0
Ce développement
nous a ainsi permis d’obtenir des approximations asymptotiques de l’inverse de L en
k
o a , afin de reconstruire l’onde idéale p à partir de l’onde atténué pa .
Ce travail a fait l’objet d’un chapitre de livre co-écrit avec H. Ammari, V. Jugnon, et A. Wahab.
Plus récemment, nous venons d’écrire un preprint présentant une adaptation de ce travail pour les algorithmes de type renversement temporel. L’intérêt vient d’une plus grande flexibilité de ces méthodes
contrairement à l’utilisation de transformée de Radon sphérique, qui ne traite pas le cas de coefficient
d’atténuation a(x) non constant ou encore l’utilisation d’un domaine Ω quelconque.
Cas d’ondes elastiques atténuées
Nous nous sommes aussi intéressés à la correction d’effets d’anisotropie pour le cas d’ondes elastiques.
Ces modèles sont en effet plus précis que les modèles d’ondes acoustiques lorsque l’on regarde l’évolution
d’ondes dans la plupart des matériaux. L’équation s’écrit maintenant
ρ
∂2u
− (λ + µ) ∇(∇ · u) − µ∆u = F,
∂t2
où λ et µ représente les coefficients de Lamé. Un modèle visquo-elastique classique s’écrit de plus
ρ
∂ 2 ua
− (λ + µ) ∇(∇ · ua ) − µ∆ua − (ηs + ηp ) ∂t ∇(∇ · ua ) − ηs ∂t ∆u = F,
∂t2
où ηp et ηs sont les coefficients d’atténuation. Afin d’établir une relation simple entre u et ua , nous avons
tout d’abord explicité une expression fonction de Green Gηs ,ηp , obtenue à partir d’une décomposition de
Hodge de l’onde u. Puis, en se restreignant au cas où λ → ∞, ce qui correspond à négliger les onde de
pression, nous avons enfin réussi à expliciter un opérateur d’atténuation L satisfaisant ua = Lu. Ce travail
a été co-écrit avec A. Wahab et L. Guadarrama Bustos.
Nous venons aussi de terminer avec A. Wahab une généralisation de ce travail pour le cas d’équations
des ondes élastiques anisotropes visqueuses, où nous donnons une expression explicite de la fonction Green
pour des cas particuliers d’anisotropies relativements simples.
Cas de milieux aléatoires
Généralement, lorsque l’on cherche à reconstruire des sources à partir de mesures des solutions des équations
d’ondes
∂tt p − c(x)2 ∆p = 0,
les vitesses d’onde c(x) sont rarement connues explicitement. Les méthodes d’imagerie n’utilisent généralement qu’une approximation c0 de ces dernières, ce qui génère en pratique beaucoup d’instabilité. C’est
notamment le cas pour la transformée de Radon sphérique,
ˆ ˆ
∗
q̂(y, ω) exp (−iω|x − y|) dωdσ(y), où q = BW[p],
I(x) = RΩ [q](x) =
∂Ω
R
où le rapport signal sur bruit est très faible.
Une technique de stabilisation, les "Coherent Interferometry Algorithms", consiste alors à rétroprojeter, non
pas le signal filtré mais une corrélation de celui-ci. Cette technique de reconstruction s’écrit pour le cas de
la transformée de Radon sphérique sous la forme,
ˆ ˆ ˆ ˆ
I2 (x)=
exp(−(ω1 − ω2 )2 /(2Ω2d )) exp(−(y1 − y2 )2 /(2Xd2 ))
∂Ω
∂Ω
R
R
q̂(y1 , ω1 ) exp (−iω1 |x − y1 |) q̂(y2 , ω2 ) exp (−iω2 |x − y2 |)dω1 dω2 dσ(y1 )dσ(y2 ),
où Ωd et Xd représentent deux paramètres de stabilisation.
A noter que lorsque ces paramètres Ωd et Xd tendent vers +∞, alors I2 (x) → I(x)2 et, plus ces paramètres
sont petits, plus la reconstruction est stable mais aussi moins précise.
Dans un article écrit (soumis) avec H. Ammari, J. Garnier et V. Jugnon, nous présentons une analyse de
stabilité de cette méthode de reconstruction ainsi que des résultats numériques qui témoignent de l’intérêt
de cette approche. Plus précisément, l’analyse de stabilité est basée sur le modèle de vitesse c(x) suivant
1
1
x
= 2 1 + σc µ
c(x)
xc
c0
,
où µ est un processus Gaussien normalisé de covariance
x
x0
E σc µ
σc µ
xc
xc
=
σc2 exp
2|x − xc |2
−
2x2c
!
,
et xc représente une longueur caractéristique de corrélation du bruit. L’intérêt de ce formalisme est de
pouvoir estimer directement les espérances et variance des intégrales I(x) et I2 (x).
Projet de recherche
Evolution d’interfaces
J’ai développé dans mes travaux de thèse un ensemble d’outils numériques pour la simulation de mouvements d’interfaces. J’ai notamment proposé de nouvelles techniques pour le traitement d’énergie de
surfaces, de condition de contact ou encore de conservation de volume.
Dans un premier temps, certains de ces modèles mériteraient une attention suppplémentaire, comme par
exemple :
Le cas de mouvement par courbure moyenne conservé
Les tests numériques montrent que l’équation
´ 0
W (u(t, x))dx q
1 0
1
ut = 4u − 2 W (u) + 2 ´ p
2W (u(t, x)),
2W (u(t, x))dx
(2)
converge avec un ordre d’erreur en O(2 ln()2 ). Pour l’établir rigoureusement, on ne peut utiliser l’argument
usuel du principe de comparaison (à cause du terme non local). Très récemment (Mars 2009), Xinfu Chen,
Danielle Hilhorst et Elisabeth Logak ont donné une preuve de convergence de l’équation
ˆ
1 0
1 1
0
W (u(t, x))dx,
ut = 4u − 2 W (u) + 2
|Q| Q
vers le mouvement par courbure moyenne conservé, sans utiliser ce principe de comparaison. On pourrait
essayer d’adapter cette preuve dans le cas de l’équation (2) et essayer de retrouver l’ordre de convergence
en O(2 ln()2 ) observé numériquement.
Modèles de croissance cristalline
Nous avons introduit un opérateur de diffusion anisotrope linéaire pour l’approximation de mouvement par
courbure moyenne anisotrope. Il devrait être intéressant de l’utiliser pour d’autres modèles de croissance
cristalline, comme ceux par exemple qui décrivent l’évolution de croissance de dendrites [KWJ98]. Dans
ce cas, les modèles de champ de phase sont relativement simples et s’écrivent comme un couplage d’une
équation d’Allen Cahn anisotrope avec un champ de température. L’avantage serait ici de pouvoir traiter,
grâce à l’utilisation de cet opérateur, le cas d’anisotropies non convexes. Nous pourrions ainsi analyser et
mieux comprendre l’influence de ce type d’anisotropies sur l’évolution de dendrites. La figure ci-dessous
présente deux simulations numériques de croissance de dendrites obtenues avec notre opérateur de diffusion
˜ φ.
anisotrope linéarisé ∆
250
250
200
200
150
150
100
100
50
50
50
100
150
200
250
50
100
150
Exemple de croissance de dendrites
200
250
Simulations de cellules biologiques
Enfin, j’aimerais aussi m’intéresser à la simulation numérique d’évolution de cellules biologiques. Plusieurs
modèles de champ de phase ont en effet été récemment introduit [DLW04, BKM05] pour étudier le comportement de vésicules et de globules rouges dans un écoulement fluide. Ces modèles font intervenir un
couplage fluide structure et les formulations champ de phase permettent d’intégrer toutes sortes d’énergies
de surface à l’interface des cellules. Un de mes objectifs serait d’exploiter pour ces modèles, les variantes
de traitement des conservations de masse, de conditions de contact ou encore d’énergies de courbure que
j’ai introduit dans mes travaux antérieurs. Nous pourrions ainsi obtenir des algorithmes numériques plus
efficaces.
Approximation d’images et de surfaces à l’aide d’une énergie de courbure
Modèles multiphases pour l’approximation d’images pixélisées
Un des avantages des méthodes de champs de phase est d’être particulièrement bien adaptées aux problèmes
multiphases. Nous avons présenté dans un premier travail avec J.O. Lachaud et E. Oudet une méthode
numérique pour l’approximation d’objets pixélisés. Une extension de ce travail consisterait à reconstruire
des images plus complexes et composées de plusieurs couleurs. A chaque couleur sera associée une fonction
P
φi solution d’une équation de champs de phase. En ajoutant une contrainte de la forme φi = 1, toutes
ces équations seront couplées afin d’assurer qu’à chaque point de l’image soit associé une unique couleur.
Les premiers tests numériques (voir ci-dessous) sont assez concluants, et mériteraient d’être comparés aux
techniques plus classiques développées en traitement d’image.
Exemple d’approximation d’une image 3 couleurs :
Energie de courbure et reconstruction de surface 3D
Un autre axe de recherche serait d’analyser plus précisément le potentiel de l’énergie de Willmore comme
terme de régularisation pour la reconstruction de surfaces 3D à partir de données tronquées. Nous avons
déjà abordé le cas lié à une pixélisation, et nous souhaitons maintenant généraliser ces techniques en
vue d’applications à d’autres types de limitation de données. Nous avons par exemple déjà testé cette
approche pour le post-traitement de données issues d’IRM. Dans ce contexte, les données représentent
des coupes 2D du cerveau, et l’objectif est de reconstruire des surfaces 3D à partir d’un nombre limité de
coupes. La technique consiste alors à minimiser l’énergie de Willmore (approché par la méthode de champ
de phase) couplée avec des termes d’attaches aux données, forçant la surface reconstruite à coïncider
avec l’information issue des données. La figure suivante présente un test préliminaire, témoignant du fort
potentiel de cette démarche. A gauche sont représentés les coupes 2D et à droite la reconstruction obtenue
par minimisation de Willmore.
Exemple d’approximation 3D d’une surface à partir d’un nombre limité de coupes 2D.
(3) Imagerie, problème inverse et régularisation
Depuis le début de mon post-doc, je m’intéresse à différentes techniques d’imagerie liées aux équations des
ondes. Nous avons déjà abordé un certain nombre de méthodes, parmi lesquelles, la transformée de Radon
sphérique, les techniques de renversement temporel ou encore les "Coherent Interferometry Algorithms".
Un grand nombre de questions restent liées à l’adaptation de ces algorithmes pour des modèles d’ondes
plus générales, prenant en compte de l’anisotropie, de l’atténuation ou encore de la non linéarité dans les
modèles d’ondes. Par exemple, le cas d’atténuation a déjà été traité mais uniquement pour des atténuations constantes : un projet future serait donc d’adapter notre démarche à des atténuations variables. De
même, nous avons déjà abordé la question de l’anisotropie en explicitant dans des cas particuliers seulement
l’expression des fonctions de Green, et une généralisation de ce travail pourrait être envisagé par la suite.
Par ailleurs, beaucoup de questions en imagerie medicale conduisent à des problèmes inverses mal posés
qui nécessitent des techniques de régularisation. Or le modèle de régularisation influence énormément la
reconstruction de la solution recherchée et celui-ci doit être choisi avec précaution. Précédemment, pour le
problème de données tronquées issues de la transformée de Radon sphérique, nous avions observé qu’une
régularisation de type TV permettait de mieux reconstruire la solution par rapport à une régularisation
quadratique plus classique. Des questions qui pourront donc m’intéresser par la suite seraient de coupler
des techniques d’imagerie médicales avec des algorithmes de régularisation plus sophistiqués développés en
traitement d’image, afin de stabiliser ces méthodes tout en dégradant le moins possible leurs reconstructions.
J’ai déjà eu l’occasion en thèse de travailler sur des problèmes liés aux ondelettes et aux curvelets et
plus récemment sur différents algorithmes pour la minimisation de ROF. Il pourrait être aussi intéressant
d’essayer d’utiliser des techniques d’imagerie non locales, dont les démarches semblent avoir des liens étroits
avec les stratégies de corrélation des algorithmes Cint (Coherent Interferometry Algorithms).
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