TP Informatique 17 - Résolution de f(x)=0 par dichotomie

821 - Lycée du Parc
2011-2012
TP Informatique 17 - Résolution de
f (x) = 0
par dichotomie
Soient a et b des réels tels que a < b. Soit f : [a, b] → R une fonction continue et strictement monotone
et telle que f (a)f (b) < 0.
On s'intéresse à l'équation (E) : f (x) = 0.
1. Rappeler pourquoi (E) admet au moins une solution.
2. Pourquoi la solution est-elle unique ? Pourquoi est-elle diérente de a et de b ?
3. On note maintenant c l'unique solution de (E). La méthode de dichotomie permet :
au mieux de trouver c
au pire de trouver des suites (an ) et (bn ) qui tendent vers c en l'encadrant.
Plus précisément, on cherche c dans des intervalles [an , bn ] qui sont de plus en plus petits (l'intervalle
[an+1 , bn+1 ] sera deux fois plus petit que [an , bn ]).
Rappelons l'algorithme :
• On pose a0 = 0 et b0 = b.
• Supposons que l'on ait déjà construit les premiers termes a0 , a1 , . . . , an , b0 , b1 , . . . , bn . On a trois
cas : an + bn
an + bn
Si f
= 0, alors on prend c =
et on s'arrête là.
2
2
an + bn
an + bn
Si f (an )f
< 0, alors f (an ) et f
sont de signes diérents.
2
2 an + bn
On va donc chercher c dans l'intervalle an ,
.
2
an + bn
.
On pose donc an+1 = an et bn+1 =
2 an + bn
an + bn
Si f (an )f
> 0, alors f
a le même signe que f (an ), donc un signe diérent
2
2
de f (bn ).
an + bn
On va donc chercher c dans l'intervalle
, bn .
2
an + bn
et bn+1 = bn .
On pose donc an+1 =
2
On recommence !
Si on a de la chance, au bout d'un certain temps, on va tomber dans le premier cas. C'est rare,
donc on va plutôt chercher une valeur approchée de c, en calculant un certain nombre de an et de
bn , jusqu'à ce qu'on obtienne la précision désirée.
1
Exercice 17.1
Posons f :
[1, 3] −→ R
1 .
x
1. Montrer que l'équation (E) : f (x) = 0 admet une unique solution que l'on notera c.
x
7−→ ln(x) −
2. Ecrire un programme qui utilise la méthode de dichotomie pour donner un encadrement de c à
la précision que vous souhaitez (vous pouvez faire demander cette précision ε à l'utilisateur).
On utilisera la FUNCTION f dénie par :
FUNCTION f(x : REAL) : REAL ;
BEGIN
f := ln(x) - 1/x ;
END ;
Exercice 17.2
Montrer que l'équation x = e−x admet une et une seule solution α sur R. Donner une approximation
à 10−5 près de α.
Exercice 17.3
1. Calculer une approximation de e avec f (x) = ln(x) − 1.
2. Calculer une approximation de π avec f (x) = sin(x).
√
3. Calculer une approximation de 3 3.
Exercice 17.4
1. Montrer que les suites (an ) et (bn ) dénies dans l'algorithme de dichotomie sont adjacentes.
b0 − a0
On pensera à montrer que bn − an =
.
2n
2. Montrer que ∀n ∈ N, f (an )f (bn ) 6 0
3. Soit ` leur limite commune. Montrer que f (`) = 0.
2