ALGORITHME BABYLONIEN DE CALCUL D`UNE RACINE
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ALGORITHME BABYLONIEN DE CALCUL D`UNE RACINE
ALGORITHME BABYLONIEN DE CALCUL D’UNE RACINE CARREE 1) Dans une tablette babylonienne célèbre ( Yale Collection n°7289 ) on peut lire ( après tanscription en base 10, puisque l’original est rédigé en base 60 ) l’équivalent de : 2 = 1,414222 , valeur qui ne diffère que de 0,000008 de la vraie valeur : 2 = 1,414213562... . L’extraordinaire est qu’il fallut attendre la Renaissance pour en avoir une meilleure approximation ! Comment s’y sont-ils pris ? 2) Pour calculer a , par exemple 2 : Prenons en une première approximation : a1 soit a1 = 1,6 a 2 Choisissons comme seconde approximation : b1 = soit b1 = = 1,25 . a1 1,6 Si a1 est trop petite, alors b1 sera trop grande et vice-versa, donc une approximation meilleure sera 1 1 donnée par la moyenne : c1 = (a1 + b1 ) soit c1 = (1,6 + 1,25) = 1,425 . 2 2 Et on recommence en prenant la valeur c1 pour a1 . Cet algorithme à l’avantage de ‘’converger’’ très vite. 3) Utilisez la méthode des Babyloniens pour calculer une approximation décimale à 10-5 près de de 10 . 2 et 4) L’algorithme expliqué au 2) pour calculer a , que l’on appelle parfois algorithme de Héron ( Héron d’Alexandrie, 1er siècle de notre ère ) car celui-ci l’a expliqué dans son principal ouvrage : ‘’les métriques’’, peut se traduire par les formules : a a a 1 1 1 x2 = ( x1 + ) x 3 = ( x2 + ) ... x n +1 = ( x n + ) x1 x2 xn 2 2 2 Nicolas Artavas de Rhabdas ( qui vivait en 1341 ) procédait, lui, selon la formule suivante : x2 − a xn +1 = xn − n 2 xn C’est-à-dire qu’en choisissant une valeur approchée de départ : x1 ( par exemple pour calculer 3 , il partait de x1=2 dont le carré est le plus voisin de 3 ) il calculait : x12 − a 4−2 7 soit x2 = 2 − = x2 = x1 − 2 x1 4 4 x22 − a puis x3 = x2 − . 2 x2 Suivez cette méthode pour calculer 2 et 10 . Comparez avec les différents résultats du 3). Que remarquez-vous ? ( vous pourrez comparer les deux formules xn +1 = 1 a x2 − a ( xn + ) et xn +1 = xn − n ) 2 xn 2 xn a − xn2 5) Al-Karhi ( X siècle ) utilisait un autre algorithme : xn +1 = xn + en partant d’une 2 xn + 1 e approximation par défaut de a . Refaîtes le calcul de 2 et 10 en suivant cet algorithme et compare avec les résultats précédents.