Courbures

Quadrature no 89 (2013) 9-13
© Quadrature, 2013
Courbures
par Mauricio G ARAY
Résumé.
Au terme de l’année 1915, Einstein aboutit à la conclusion que notre espace doit posséder
une courbure analogue à celle des surfaces : la Terre n’est pas plate et l’univers non plus.
I Courbure d’une courbe
Tout conducteur de voiture possède intuitivement
une notion de courbure : dans un virage dangereux la
courbure est forte, il ralentit sa vitesse avant d’aborder
le virage ; dans une ligne droite, la courbure est nulle,
il n’y pas de danger à accélérer. Sur le panneau virage
dangereux, il serait instructif pour le conducteur d’y
indiquer la valeur de la courbure. Mais comment définir quantitativement cette notion ?
Au premier abord, il semble que la meilleure définition soit la force centrifuge que l’on ressent. Mais
cette force dépend, entre autre, de la masse de notre
véhicule. Il faut donc renoncer à cette définition ! Remplaçons la notion de force centrifuge par celle de l’accélération qu’il faut exercer pour contrebalancer cette
force. En effet, lorsque nous effectuons un virage,
notre voiture souhaiterait continuer à aller tout droit,
nous lui faisons subir une accélération qui modifie le
vecteur vitesse pour qu’elle reste sur la route. Oui,
mais... cette accélération dépend, à son tour, de la vitesse. Il faut donc convenir d’une vitesse de parcours.
On choisit la plus simple des possibilités : une unité
d’espace est parcourue en une unité de temps.
Pour calculer l’accélération dans un virage, il
semble raisonnable de prendre pour unité d’espace le
mètre et pour unité de temps la seconde. Nous dirons
que la courbure d’un virage est l’accélération que l’on
doit exercer sur une voiture se déplaçant à 1 mètre par
seconde pour qu’elle se maintienne sur la route. Dans
ce cas, on dit que la courbe (notre route) est paramétrée par longueur d’arc.
Juillet-août-septembre 2013
Notre panneau de virage dangeureux à gauche avec
une valeur de 10% signifie que nous devons exercer,
à chaque seconde, une accélération du dixième de la
vitesse pour rester sur la route. Prenons un exemple
concret. Nous roulons à 50 km/h, ce qui correspond
environ à 15 m/s. Si nous voulons rester sur la route
et ne pas partir dans le décor, il faut que, à chaque
seconde, la vitesse soit modifiée de 1,5 m/s perpendiculairement à notre trajectoire. Notre voiture pourrait
ainsi être équipée d’un tableau de bord qui indiquerait
non seulement notre vitesse, mais aussi notre accélération.
II Courbure d’un cercle
Au voisinage d’un point du virage, notre route ressemble beaucoup à un cercle. Calculons donc la courbure du cercle de rayon R.
Celui-ci est paramétré par les fonctions trigonométriques cosinus et sinus :
γ : [0, 2π ] → R2 , t "→ (R cos ω t, R sin ω t)
La quantité ω décrit la vitesse à laquelle l’angle varie, on l’appelle la vitesse angulaire. Nous cherchons
la vitesse angulaire adéquate pour que notre voiture se
déplace à une vitesse de 1 m/s. Le vecteur vitesse au
temps t vaut
γ̇ (t) = (−Rω sin ω t, Rω cos ω t).
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