161 - Les cours de Patrick HOFFMANN

Mécanique - séance n°2: Vitesse et courbure
1
Cinématique du point
3 - Vecteur vitesse
Entre l'instant t et l'instant t + dt, le point M effectue un déplacement
infinitésimal:
G
dt ⇒ dr
La direction de ce déplacement est tangentielle à la trajectoire. Nous
désignerons par:
G G
G
T = T(t) ; T = 1
le vecteur unitaire tangent à la trajectoire à chaque instant. La valeur du
déplacement effectué, durant le laps de temps infiniment petit, dt est aussi la
distance parcourue sur la trajectoire:
G
⇒ ds = dr
dt
Il est pratique, en distinguant la direction et le module, d'écrire le vecteur
déplacement sous la forme:
G
G
dr = T ds
z'
M s(t)
k
dM
s(t+dt)=s(t)+ds
M(t)
T
M(t+dt)
O
v
y'
j
i
x'
figure: 6
4ième édition_____________________________________
Patrick HOFFMANN
Mécanique - séance n°2: Vitesse et courbure
2
Le rapport de ce déplacement sur le laps de temps est nommé vecteur vitesse,
c’est la dérivée du vecteur position:
G
• G
• G
• G
G
dr
= v = x i +y j+ z k
dt
Il est commode d’écrire la vitesse sous la forme:
• G
G
v= sT
Attention la vitesse dépend du temps par son module et par sa direction :
G G
v = v(t)
⇒
•
•
G G
s = s(t) et T = T(t)
Le vecteur tangent à une courbe, se détermine par la dérivation :
G
G dr
T=
ds
La vitesse s’obtenant en divisant le vecteur déplacement par le laps de temps,
il vient immédiatement:
en coordonnées cartésiennes:
• G
• G
G • G
v = x I + y J+ z K
en coordonnées polaires:
• G
G • G
v = r I + rϕ J
en coordonnées cylindrique:
• G
• G
G • G
v = b I + b ϕ J + zK
en coordonnées sphériques:
• G
• G
G • G
v = r I + r θ J + r sin θ ϕ K
4ième édition_____________________________________
Patrick HOFFMANN
Mécanique - séance n°2: Vitesse et courbure
3
4 – Courbure
En un point donné M d'une courbe (trajectoire), M', M" et M" définissent un seul
cercle dans l'espace.
En passant à la limite correspondant à:
M' → M et M" → M
le cercle passant par M, M' et M" tend vers un cercle limite nommé cercle
osculateur.
Μ
xΩ
figure 7
Pour le point M, ce cercle est unique. Le rayon du cercle osculateur est encore
nommé rayon de courbure. Son centre Ω est le centre de courbure de la courbe
au point M.
On appelle osculateur le plan ϖ contenant le cercle osculateur.
G
JG
dr et T ∈ ϖ
4ième édition_____________________________________
Patrick HOFFMANN
Mécanique - séance n°2: Vitesse et courbure
4
Dans plan osculateur ϖ observons un déplacement infinitésimal:
Τ
Μ
ds
ρ
dψ
Ν
Ω
figure 8
L'élément d'arc s'écrit: ds = ρ dψ . Le rayon de courbure est fonction du point
considéré: ρ = ρ(t) .
La dérivée d'un vecteur unitaire par rapport à l'angle
polaire est un vecteur unitaire en quadrature avance:
JG
JG dT
JG
JG JG
N=
avec N =1 et N ⊥ T
dψ
JG
JG
T et N ∈ϖ :le plan osculateur
Il vient:
ds
dψ =
ρ
JG
JG
Pour une courbe plane, T et N
⇒
JG
JG
dT
N=ρ
ds
peuvent servir de base vectorielle locale
autour de M:
G
JG
dr
T=
ds
et
G
JG
d2 r
N=ρ
ds2
4ième édition_____________________________________
Patrick HOFFMANN
Mécanique - séance n°2: Vitesse et courbure
5
La courbure est pour une trajectoire, la capacité de sa tangente à changer de
direction. Plus précisément, nous définirons la courbure locale C, comme le
module de la variation du vecteur tangent, par rapport au chemin parcouru ds:
JG
def
dT
C=
ds
Petite courbure et grand rayon
Grande courbure
et petit rayon
Figure: 9
JG
JG
JG
JG
dT
dT
N
⇒
=
N =ρ
ds
ds
ρ
La courbure est l'inverse du rayon de courbure, et de ce fait est toujours
positive ou nulle:
C =
1
≥ 0
ρ
4ième édition_____________________________________
Patrick HOFFMANN