153 - Les cours de Patrick HOFFMANN

Mécanique - Vecteur accélération
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Cinématique du point
5 - Vecteur accélération
La vitesse évalue la variation de la position par rapport à celle du temps. De la
même façon, la variation de la vitesse par rapport au temps est nommée
accélération:
G
JG
•G•
G def d2 r
d v JG•
a =
=r =
=v
dt 2
dt
Par exemple en coordonnées cartésiennes le vecteur accélération s'écrit:
G •• G •• G •• G
a=x i+y j+z k
Dans le repère local et mobile, il vient:
JG
G
dv
d JG
d • JJG
=
a =
v =
(s T)
dt
dt
dt
• d JJ
JG d •
G • • JG • d JG
J
= T
s+s
T =sT+s
T
dt
dt
dt
en effectuant un changement de variable pour la dérivée du vecteur tangent:
JG
JG
JG
d JJG
dT
dT d s
N •
=
=
T =
s
dt
dt
ds dt
ρ
l'accélération s'écrit:
•
G • • JG
s2 JG
a=s T +
N
ρ
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On peut remarquer que le vecteur accélération est toujours dans le plan
osculateur.
On distingue:
••
a T = s ,la composante tangentielle de l' accélération
•
s2
aN =
,la composante normale de l' accélération
ρ
z'
plan osculateur
ϖ
N
M
a(t)
T
k
O
i
r(t)
v(t)
y'
j
trajectoire
C
x'
Figure 10
Par ailleurs, la composante tangentielle est de signe quelconque et la
composante normale est positive ou nulle:
a T ∈ R et aN ∈ R +
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Dans beaucoup d'applications le mouvement est coplanaire, et dans ce cas le
plan osculateur est constant. Il est pratique de choisir alors l'origine des
coordonnées dans le plan du mouvement. Les vecteurs: position, vitesse,
accélération, tangent et normal seront dans le même plan de représentation:
y'
J
I
M
y
T
r
j
ϕ
N
v
a
x'
O
x
i
Figure 10 A
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6 – Trièdre de Serret-Frenet
Dans la perspective d'utiliser une base vectorielle locale, il est nécessaire
d'introduire un troisième vecteur unitaire, orthogonal à chacun des vecteurs
unitaires du plan osculateur. On le qualifie de vecteur binormal:
JG def JG JG
B = T ∧N
On nomme trièdre de Serret-Frenet la collection:
JG JG JG
T ;N;B
(
)
Ce trièdre est orthonormé et direct.
ϖ
Tangente
ν
T
Binormale
B
M
Trajectoire
N
Normale
ϖ : plan osculateur
ν : plan binormal
Figure: 11
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7 – Détermination pratique du rayon de courbure
Il est toujours possible de déterminer le rayon de courbure à l'aide de la
définition de la courbure:
JG
JG
dT
N
1
=
⇒ ρ=
JG
ds
ρ
dT
ds
Cependant dans la plupart des cas, le mécanicien part des expressions
cinématique à sa disposition:
•
•
G • • JG
JG • JG
s2 JG
a=s T +
N et v = s T
ρ
JG G
s3 JG
v∧ a =
B ⇒
ρ
⇒
JG
v
⇒
•
s3
ρ = JG G
v∧ a
3
ρ = JG G
v∧ a
Dans le cas d'une courbe plane, il est possible de déduire l'expression du
rayon de courbure en fonction de l'expression de la trajectoire et de ses
dérivées spatiales.
En coordonnées cartésiennes:
y = y(x) ; y' =
dy
d2 y
; y" =
dx
dx 2
il vient:
ρ=
(1 + y' 2 )3 / 2
y"
De la même façon, en coordonnées polaires:
dr
d2r
r = r(ϕ) ; r ' =
; r" =
dϕ
dϕ2
on obtient:
ρ=
3
2
(r + r ' )
r + 2 r'2 − rr"
2
2
2
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