Devoir surveillé de Mécanique du point matériel

devoir surveillé de mécanique du point matériel
PH-112
Devoir surveillé de
Mécanique du point matériel
Durée 1 h 30
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Calculatrice alphanumérique interdite
Calculatrice numérique non programmable autorisée
Exercice I (extrait des TD)
On considère un cercle d’équation x 2 + y 2 − 2 ⋅ a ⋅ x = 0 et un point mobile sur ce cercle. Soit θ

→
α
&
l’angle du rayon vecteur OM avec x . Cet angle est fonction du temps selon la loi : t =
, avec
tan(θ)
α constante strictement positive
1.
Trouver les équations paramétriques de M : x(t) et y(t)
2. Calculer la vitesse du point M
Exercice II : Rayon de courbure
une particule soumise à des champs électriques et magnétiques complexes est en mouvement dans
un référentiel galiléen. Les équations de la trajectoire sont, en coordonnées polaires :
t
−
t
a
avec r0 et a constantes positives.
♦ r = r0 ⋅ e
♦ θ=
a
T
eθ
eρ
M
θ
O
N
X
Figure 1
1)
2)
3)
4)
5)
Calculer le vecteur vitesse de la particule.
Montrer que l’angle V, eθ est constant. Que vaut cet angle ?
Calculer le vecteur accélération de la particule
Montre que l’angle γ, N est constant. Que vaut cet angle ? (on se servira de la question 2)
Calculer le rayon de courbure de la trajectoire.
(
)
( )
Exercice III : Changement de référentiel - composition des vitesses et des accélérations
soit le système suivant, représenté Figure 2, composé de deux tiges. La première tige est en
rotation de centre O0 relativement au référentiel galiléen g. Une seconde tige est en rotation de centre O1
relativement à la première tige.
L.G.
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10 octobre 1999
devoir surveillé de mécanique du point matériel
PH-112
y0
y1
D
M
ψ(t)
(2)
j1
x1
i1
O1 k1
(1)
θ(t)
j0
x0
k0
O0
L
i0
Figure 2
1) On s’intéresse au mouvement de la tige (2) relativement à un référentiel R1 lié à la tige (1). On
travaillera dans le repère O, i1 , j1 , k1 . L’angle ψ(t) évolue de manière quelconque.
(
)
a) En se plaçant en coordonnées polaires dans le référentiel R1, donner la position, la vitesse et
l’accélération du point M.
b) Sur un schéma, tracer les vecteurs eρ , eθ , v /R 1 (M ), γ /R 1 (M ) ainsi que les vecteurs accélération
tangentielle et accélération normale
γ (M ), γ (M )
N /R1
T/R1
c) Donner en coordonnées cartésiennes, les vecteurs position, vitesse, accélération du point M
relativement au référentiel R1.
2) On se place maintenant dans le référentiel R0. On travaillera dans la base i1 , j1 , k1 . L’angle θ(t) évolue
de manière quelconque. Tous les résultats seront donnés en coordonnées cartésiennes en projection sur
la base (x 1 , y 1 , z 1 )
(
)
a) Exprimer le vecteur Ω R 1 / R 0 dans la base (1)
b) Calculer la vitesse du point P appartenant à (1), point coincidant au point M, relativement au
référentiel R0, en projection dans la base (1). (vitesse d’entraînement).
c) Calculer l’accélération du point P appartenant à (1), point coincidant au point M, relativement
au référentiel R0, en projection dans la base (1)
d) Calculer l’accélération de Coriolis du point M de vitesse relative v /R 1 (M ) , relativement au
référentiel R0, en projection dans la base (1).
e) Déduire des questions précédentes la vitesses et l’accélération absolue du point M :
γ (M )
v (M ) et
/R 0
/R 0
3) On se place dans le cas particulier pour lequel l’angle ψ(t)=ω⋅t et l’angle θ(t)= ω⋅t.
a) Donner l’équation du mouvement de M(t) par rapport au temps
b) Quel est le lieu de M au cours du temps ? Dessinez le sur un schéma.
4) On se place dans le cas particulier pour lequel l’angle ψ(t)=ω⋅t et l’angle θ(t)=−ω⋅t.
a) Quel est le lieu de M au cours du temps ? Dessinez le sur un schéma.
L.G.
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10 octobre 1999