Instabilité et mécanique végétale

Instabilité et mécanique végétale :
exemple d’une plante carnivore
Yoël Forterre
Laboratoire IUSTI, CNRS & Aix-Marseille Université
J. Skotheim (Stanford), J. Dumais, L. Mahadevan (Havard), B. Moulia,
H. Cochard (INRA Clermont), Y. Kim (Bayreuth)
mouvements rapides...sans muscle
Mécanisme de défense
Pollinisation,
dispersion de graines…
Nutrition
(plantes
carnivores)
1 mm
Dionée (Venus Flytrap)
“the most wonderful plant in the world” C. Darwin
1 cm
Film temps réel
principales hypothèses à l’échelle cellulaire
- mouvement rapide d’eau (osmose)
P
- croissance rapide (fluage de la paroi cellulaire)
P ~10 Bars !
rôle de la géométrie et de l’élasticité à l’échelle
macro ?
1) mécanisme de fermeture ?
2) temps de fermeture ?
Etude de la dynamique de fermeture
miroirs
Caméra rapide (400 i/s)
Lumière UV
150 images/s
Ouvert : convexe
t (!t=0.04 s)
Fermé : concave
dynamique typique de fermeture
Courbure moyenne
"m=("1+"2)/2
Courbure de Gauss
"g="1"2
t(s)
t(s)
accumulation et libération d’énergie élastique
Très différent de l’ouverture («!croissance!lente!»)…
Courbure moyenne
Courbure de Gauss
Vmax
t(s)
Manip Hervé Pelloux-Prayer
t(s)
8
Champs de déformation associé à la fermeture
- surface externe : extention anisotrope (5-10 %)
- Surface interne : pas de déformation ( < 1%)
9
Courbures naturelles "xn et "yn
x
y
"xn reste
dans l’état
final fermé
dissection dans l’état final
libère les contraintes
géométriques
"yn revient
spontanément dans
l’état initial ouvert
seul "xn change ‘activement’ lors de la fermeture
Mécanisme de fermeture : un flambage de coque élastique
Le système change ‘activement’ "xn
MAIS feuille = coque doublement courbée
Barrière d’énergie élastique d’étirement : instabilité
rapide
état fermé
lent
état ouvert
Modèle de coque élastique : statique
- feuille = coque élastique mince
(épaisseur h, taille L, courbures "x "y)
- paramètre contrôlé par la plante : "xn
-
U élastique = U courbure + U étirement
[
2
U courbure ~ Eh L (" x # " nx ) + (" y # " ny )
3 2
!
U étirement ~ EhL (" x" y # " x 0" y 0 )
6
!
2
2
]
Forme d’équilibre :
# > #c
"# x U elastique = 0
"# y U elastique = 0
# < #c
"m
!
4
L#
"= 2
h
2
U étirement
~
U courbure
Vitesse de fermeture
4
L#
"= 2
h
# d" &
)1
(s
)
% (
$ dt 'max
!
#
2
Une forme optimale ?
4
L#
"= 2
h
"t (s)
!
#
!
Feuille typique: # ~ (1cm)4(0.1cm-1)2/(0.1cm)2 ~ 1
2
Temps de fermeture
150 images/s
2000 images/s
Dionée : L ~1 cm, h ~0.5 mm, $ ~10-3 kg/m3, E ~10 MPa
mécanisme de dissipation interne : poroélasticité ?
Tissu végétal = milieu poreux mou
imbibé d’eau
"p ~
#h
2
kE
~0.1-1 s
% ~10-3 Pa.s, h ~ 0.5 mm
, E ~ 107 Pa,, k ~ 10-16 m2 ???
Estimation de &p : Rhéologie du tissu
X(t)
échelon
X (mm)
X (mm)
impulsion
" i ~ 5 ms
t (s)
" p ~ 0.3 #1 s
!
t (s)
Une poutre poroélastique ?
˙X˙˙ + X˙˙ + (1+ C) X˙ + 1 X = 0
16" 2
16" 2
!
relaxation
1
X˙˙ (0) = "
X(0)
16# 2
"p ~
X
!
impulsion
!
1+ C
X˙˙ (0) = "
X(0)
16# 2
t /" p
!
19
#h
2
kE
Modèle complet de fermeture :
un flambage de coque poroélastique piloté par un
changement de courbure naturelle
- Bilan d’énergie (pas d’inertie):
- pression fluide (Darcy) :
- changement de courbure naturelle :
Forterre et al. Nature 2005
et chez d’autres plantes ?
Utricularia
0.5 mm
séquence
200 ms !!!
Film P. Marmottant
O.Vincent et al, soumis (2010)
une application biomimétique
h
L
PDMS
Holmes & Crosby Adv. Mat. (2007)