Cours

1. Nombres complexes
1.1. Un peu d’histoire !
(lecture p 11)
Son utilisation provient des équations du 3 et 4ème degré pour permettre leur résolution. Au
XVIème siècle, Bombelli les appelle impossible. En 1637, Descartes les appelle imaginaire. C’est
avec Euler , en1777, que pour la première fois, les imaginaires restent dans le calcul.
1.2. L’ensemble des nombres complexes
Nous admettons ici l’existence d’un nouvel ensemble noté
nombres complexes.
C,
de nombres appelés
Définition : Les nombres complexes sont de la forme a + bi où a et b sont des
nombres réels quelconques et i un nombre nouveau tel que i 2 = −1
Egalité : a + bi = a ′ + b ′i ssi a = a ′ et b = b ′
1.3. Opérations sur les nombres complexes
z = 2 + 3i
z = 3i
z=4
sont des complexes
Théorème : (admis)
On peut définir dans C une addition et une multiplication pour lesquelles les règles de
calcul sont les mêmes que dans R, avec i 2 = −1
Addition :
Multiplication :
z = a + ib et z = a’+ib’
z+z’ = (a + a’) + i(b+b’)
z = a + ib et z = a’+ib’
zz’ = (aa’ – bb’) + i(ab’+a’b)
L’ensemble R des nombres réels est un sous-ensemble de l'ensemble C des nombres complexes.
Définitions
Soit z = a + bi un nombre complexe.
a est la partie réelle de z. Notation: a = Re(z).
b est la partie imaginaire de z.
Notation: b = lm(z).
a·+ bi est la forme algébrique du nombre complexe z.
Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle s'écrit z = bi; il est dit imaginaire pur.
Les identités remarquables suivantes restent vraies dans le cas où A et B sont des nombres complexes:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
2
2
A - B = (A + B)(A - B).
Notons ce nouveau résultat dans C : A2 + B2 = (A + i B)(A - i B).
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1.4. Conjugué d’un nombre complexe
Définition
Le nombre complexe conjugué de z = a+ bi est le nombre complexe noté a- bi
noté
z.
z
Exemple
Le conjugué de z = 3 + 2i est z = 3 – 2i
z
Remarque
Soit z = a + bi. En utilisant les règles de calcul dans C, on obtient : z + z = 2a et zz = a + b
2
2
La somme et le produit d'un nombre complexe et de son conjugué sont des
nombres réels.
L’inverse d'un nombre complexe z non nul noté 1 z peut être mis sous la forme
a + bi en utilisant le conjugué z de z .
Exercice : Mettre sous la forme le nombre complexe z1 =
1
1 − 4i
, puis z 2 =
2 + 3i
2 + 3i
Pour tous nombres complexes z, z', on a :
z + z′ = z + z′
zz ′ = z ⋅ z ′
 z z
 1 1
 =
 =
 z′ z ′
 z z
1.5. Représentation géométrique d’un nombre complexe
1.
Image et affixe
r r
On considère le plan P muni du repère orthonormal ( O, u , v )
Définitions
L’image d’un nombre complexe z = a + bi est le point M de coordonnées (a, b).
L’affixe du point M de coordonnées (a, b) est le nombre complexe z = a + bi.
On peut aussi représenter géométriquement un nombre complexe par un vecteur.
Définitions
→
r
r
Le vecteur image du nombre complexe z = a + bi est le vecteur OM = au + bv
→
r
r
L'affixe du vecteur OM = au + bv est le nombre complexe z = a + bi.
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2.
Opérations
Addition
Si z1 = a1 + b1i et z2 = a2 + b2i sont les affixes respectives de M1 et de M2 donc de
→
→
→ →
→
→
OM 1 = V1 et de OM 2 = V2 , alors z1 + z2 est l'affixe de V1 + V2
Exemple
La somme de z1 = 3 + 2i et z2 = -1 - 4i est z1 + z2 = 2 – 2i.
Multiplication par un nombre réel
→
→
Si z1 = a1 + b1i est l’affixe de M1 donc de OM 1 = V1 , et si α est un nombre réel,
→
alors α z1 est l'affixe de α V1
Exemple
Pour z = 3 + 2i et
α =2
on a
α z = 6 + 4i
Si z1 = a1 + b1i et z2 = a2 + b2i sont les affixes respectives de M1 et de M2 donc de
→
→
→
→
OM 1 = V1 et de OM 2 = V2 , et α et β deux réels, alors αz1 + βz 2 est l'affixe de
→
→
αV1 + β V2
Conséquence: ( α = −1 ; β = 1 )
→ →
→
z2-z1 est l’affixe de V2 − V1 = M 1 M 2
3.
Interprétation géométrique de z a z + z 0
Exemple :
Soit une application de C dans C définie par : f : z a f ( z ) = z + 2 + i
Calculons f (0) ; f (2i ) ; f (1 − i ) .
Nombre complexe 0
f (0)
image
O
O’
2i
A
f (2i )
A’
1-i
B
f (1 − i )
B’
On remarque que : OO' = AA' = BB ' .
Dans le cas général, Si M’ d’affixe z’est l’image de M d’affixe z par l’application f, on a :
z ' = z + 2 + i donc z '− z = 2 + i et z '− z est l’affixe de MM '
r r
Donc MM ' = 2u + v qui est un vecteur indépendant de M et de M’
r r
M’ est donc la transformée du point M par la translation de vecteur 2u + v
Cas général :
Soit f l’application z a f (z ) = z + z 0 où z 0 est un nombre complexe fixé.
Soit M l’image de z et m’ l’image de f (z ) dans le plan complexe.
r
r
L’application M a M ' ainsi définie est la translation de vecteur w où w est
l’image de z 0 .
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1.6. Forme trigonométrique. Représentation géométrique
1.
Module d’un nombre complexe
1.1.
Définition. Interprétation géométrique
Dans le plan complexe, soit M l'image de z = a + bi.
En utilisant te théorème de Pythagore dans un des deux triangles rectangles dessinés, on obtient:
OM2 = a2 + b2, donc OM = a 2 +b 2 .
b
a
Définition
a 2 +b 2
Le module d'un nombre complexe z = a + bi est le nombre réel
Notations
Le module d'un nombre complexe z est noté
( ρ est la lettre grecque rhô).
Remarques
• Pour tout nombre complexe z, on a
z ; pour alléger les écritures on utilise aussi les lettres r et ρ
z ≥ 0.
• O est le seul nombre complexe dont le module est 0.
zz = a 2 + b 2 .
Donc pour tout nombre complexe z, z = zz
• Pour tout nombre complexe z, on a
• Pour tout nombre complexe z, on a
z = z.
Interprétation géométrique
→
Le module de z est la distance de O à M ;c'est aussi la norme du vecteur OM :
→
z = OM = OM
1.2.
Module d'une différence, distance de deux points
Propriété :
Soit z1 et z2 des nombres complexes d'images respectives M1 et M2. Alors z 2 − z1 = M 1 M 2
1.3.
Module d'une somme: inégalité triangulaire
Propriété :
Pour tout nombre complexe z1 et z2 , z1 + z 2 ≤ z1 + z 2
2.
Argument d’un nombre complexe non nul
2.1.
Définition. Interprétation graphique
Dans le plan complexe, soit M l'image d'un nombre complexe non nul z = a + bi, le repère
r r
( O, u , v )
étant orienté
dans le sens direct.
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Nous savons que M est caractérisé par la distance
l'angle orienté
r → 
OM = z et une mesure θ de l'angle orienté  u , OM  ou de


r →
 u , ON  , N étant le point commun à la demi-droite [OM) et au cercle trigonométrique.


M(z)
Or, par définition des fonctions sinus et cosinus :
N
x N = cosθ et y N = sin θ
→
→
→
Comme OM = OM ⋅ ON puisque ON est unitaire, on a :
θ
O
a = a 2 + b 2 cosθ et b = a 2 + b 2 sin θ
On en déduit cosθ et sin θ en fonction de a et de b.
A
Définition
Un argument d'un nombre complexe non nul z = a + bi est un nombre réel
tel que
a
b
cosθ =
sin θ =
et
a 2 + b2
a2 + b2
θ
Interprétation géométrique
r → 
 u , OM  . Il est donc défini à un nombre entier de


tours près (sur le cercle trigonométrique), c'est-à-dire à k 2π près, où k est un nombre entier relatif ( k ∈Z), car un
Un argument de z (non nul) est une mesure de l'angle orienté
tour dans le sens positif mesure 2 π radians.
Un argument de z est noté arg z, ou plus simplement θ .
Le module et l’argument d’un nombre complexe z permettent de définir les
coordonnées polaire du point d’affixe z. On notera ces coordonnées
Module
[A;θ ]
Argument principal
Remarques
• Rappelons les valeurs remarquables de sin et cos
θ
sin x
0
0
π 6
π 4
π 3
π 2
1
2
1
3
2
3
2
1
2
1
cos x
2
2
2
2
0
r → 
z 2 − z1 = M 1 M 2 ; arg( z 2 − z1 ) est une mesure de l’angle orienté  u , M 1 M 2 


→ 
z − z1
 →
• arg 3
est une mesure de l’angle orienté  M 1 M 2 , M 1 M 3  où M1, M2, M3 sont les images respectives


z 2 − z1
•
de z1, z2, z3.
Ces résultats sont utilisés en sciences physiques.
2.2. Forme trigonométrique
Un nombre complexe z = a + bi peut donc être défini par son module et s’il n’est pas nul, par
son argument
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Nous avons vu d’autre part que a = r cosθ et b = r sin θ où r = a 2 + b 2
On peut donc écrire z sous la forme
z = r (cosθ + i sin θ )
Cette écriture s'appelle forme trigonométrique de z.
Pour passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique, on calcule
a
b
r = a 2 + b 2 et on détermine θ tel que cosθ = et sin θ =
r
r
2.3.
Module et argument d'un produit
Soit z et z' deux nombres complexes non nuls de modules respectifs r et r', d'arguments respectifs
z = r ( cosθ + i sin θ ) et z ′ = r ′(cosθ ′ + i sin θ ′ ) .
θ
et
θ':
zz ' = r ( cosθ + i sin θ )r ′(cosθ ′ + i sin θ ′ )
Leur produit est
zz ' = rr ' [(cosθ cosθ '− sin θ sin θ ') + i( cosθ sin θ '+ sin θ cosθ ')]
zz ' = rr ' [cos(θ + θ ') + i sin(θ + θ ')]
On reconnaît la forme trigonométrique du produit
z × z ′ qui a donc pour module rr' et pour argument θ + θ ' .
Théorème
Quels que soient les nombres complexes z et z' non nuls
z × z' = z × z '
arg( z × z ') = arg( z ) + arg( z ') + k 2π
où k est un entier relatif
Le module d'un produit est le produit des modules.
Un argument d'un produit est la somme des arguments (à un nombre entier de tours près).
2.4.
Module et argument de l'inverse d'un nombre complexe non nul
Propriété :
Pour tout z ≠ 0
1 1
1
=
et arg = − arg z + 2 kπ où k est un entier relatif
z
z
z
Le module de l'inverse est l'inverse du module.
Un argument de l'inverse est l'opposé de l'argument.
2.5.
Module et argument du quotient de 2 nombres complexes non
nuls
Propriété :
Pour tout z et z’ non nuls, on a
z
z
z
=
et arg = arg z − arg z '+2 kπ où k est un entier relatif
z'
z'
z'
Le module d'un quotient est le quotient des modules.
Un argument d'un quotient est la différence des arguments.
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1.7. Forme exponentielle. Formule de Moivre et d’Euler
1.
Notation exponentielle
Nous avons vu au paragraphe précédent qu’un argument d'un produit est la somme des arguments.
Ce résultat sur les arguments liant un produit à une somme ressemble à x × x
produit est la somme des exposants.
Aussi on adopte une nouvelle notation «de type puissance» pour la partie cosθ
trigonométrique ne faisant intervenir que l'argument.
n
Définition
m
= x n + m où l'exposant d'un
+ i sin θ de la forme
Pour tout nombre réel θ , on pose cosθ + i sin θ = e iθ
e iθ se lit «e puissance i thêta».
Avec cette notation, le nombre complexe z de module r et d'argument θ s'écrit : z = re iθ
Remarque :
Exemples
i=e
i
π
2
+
r
v
r
u
−1 = e − iπ
1 = e i 0 = e i 2π
i=e
−i
π
2
Dans le cas particulier où r=1, on a z = e iθ ; son image est sur le cercle trigonométrique.
Remarques
• Avec la notation exponentielle des nombres complexes, les deux égalités du théorème relatif au module et à
l'argument d'un produit s'écrivent :
Théorème :
re iθ × r ' e iθ ' = rr ' e i (θ +θ ' )
• Dans le cas particulier où r = r’ = 1 on obtient:
Théorème :
Pour tous nombres réels θ et θ', on a : e
1
1 − iθ
=
e
re iθ r
Théorème :
2.
et
iθ
× e iθ ' = e i (θ +θ ' )
re iθ
r i (θ −θ ' )
=
e
r ' e iθ ' r '
Interprétation géométrique de z a e iα z
Exemple :
Soit une application de C dans C définie par : f : z a f ( z ) = z × e
Calculons f (0 ) ; f (1) ; f (i ) .
i
Nombre complexe 0
f (0) 1
f (1)
image
O
O’
A
A’
B
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i
π
4
f (i )
B’
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On remarque que :
O = O' .
(
) π4 (+ 2kπ )
π
OB = OB ' et (OB; OB ') = (+ 2kπ )
4
OA = OA' et OA; OA' =
Dans le cas général, Si M’ d’affixe f ( z ) est l’image de M d’affixe z par l’application f, on a :
f ( z ) = ze
i
π
4
iθ
= re e
i
π
4
= re
 π
iθ + 
4

(
)
Donc OM = OM ' et OM ; OM ' =
π
4
(+ 2kπ )
M’ est donc la transformée du point M par rotation de centre O et d’angle
Cas général :
()
π
4
iα
Soit f l’application z a f z = e z où α est un nombre complexe fixé.
Soit M l’image de z et m’ l’image de f (z ) dans le plan complexe.
L’application M a M ' ainsi définie est la rotation de centre l’origine O du repère
et d’angle α
3.
Formule de Moivre
iθ
Soit z = e un nombre complexe non nul.
produit de nombres complexes.
z 2 = z × z , donc z 2 = r 2 e 2iθ d'après les résultats obtenus sur le
= z 2 × z , donc z 3 = r 3e 3iθ et ainsi de suite pour z4…
1 − iθ
−1
= r −1e − iθ
Nous avons également établi que z = 1 est égal à e
z
r
−2
−1
−1
−2 −2 iθ
On en déduit que z = z × z est égal à r e
et ainsi de suite
De même z
3
On peut ainsi démontrer que
Théorème :
Pour tout nombre complexe non nul z et tout nombre entier relatif n
n
z n = z et arg z n = n arg( z ) + k 2π où k est un entier relatif
( )
Remarques
Avec la notation exponentielle des nombres complexes ces égalités s'écrivent:
(re )
iθ
Théorème :
• Dans le cas particulier où n = 2 on obtient :
Pour tout nombre complexe non nul z,
Donc
z =
z 2 et arg( z ) =
n
= r n e inθ
( )
z 2 = z et arg z 2 = 2 arg( z ) + k 2π
2
( )
1
arg z 2 − kπ . On en déduit:
2
Théorème :
Si un nombre complexe Z a pour module ρ et pour argument α , alors le nombre complexe z
de module r = ρ et d'argument θ =
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α
2
est tel que z2=Z
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Ce nombre z est appelé une racine carrée du nombre complexe Z ; -z de même module et d'argument
α
2
+π
est l'autre racine carrée complexe de Z.
Dans le cas particulier où r = 1 on obtient, sous la forme trigonométrique, la formule
Théorème :
(cosθ + i sin θ ) n
Pour tout entier relatif n :
4.
Pour tout nombre réel
de Moivre :
= cos nθ + i sin nθ
Formule d’Euler
θ
on a :
e iθ = cosθ + i sin θ
e − iθ = cosθ − i sin θ
Par addition et soustraction membre à membre on obtient:
Théorème :
Pour tout entier relatif n :
cosθ =
(
)
(
1 iθ
1 iθ
e + e − iθ et sin θ =
e − e −iθ
2
2i
)
Application : Ecrire sin 3 x en fonction de sin x et sin (3x ) . (c’est à dire linéariser sin 3 x )
TP : Résolution d’une équation du second degré
TP 1 – 2 – 3 – 4 p31
1.8. Complément : Exemple d’utilisation des nombres
complexes en électricité et en électronique
Aucune connaissance à ce sujet n'est exigible en mathématiques.
1.
Représentation complexe d’une fonction sinusoïdale. Vecteur de
Fresnel
En électricité, on utilise des fonctions sinusoïdales du temps t telles que
t a i( t ) = I 2 cos(ωt + ϕ ) pour l'intensité,
ou
t a u( t ) = U 2 cos(ωt + ϕ ) pour la tension.
Electricité de France distribue des tensions électriques sinusoïdales de fréquence constante f = 50 hertz.
La pulsation est
ω = 2πf ≈ 314rad ⋅ s −1
Il en résulte que chaque fonction
c'est la même constante pour toutes les fonctions i et u ainsi définies.
t a u( t ) est caractérisée par la donnée du réel positif U et de la mesure ϕ (
en radians) d'un angle.
Ainsi, à chaque fonction u, on peut associer le nombre complexe de forme trigonométrique [U,
ϕ ].
À toute tension sinusoïdale u on associe le nombre complexe, noté U
- de module U, la valeur efficace de u,
- d'argument ϕ , la «phase initiale» de u.
u( t ) = U 2 cos( wt + ϕ ) et U = U ( cosϕ + j sin ϕ )
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Dans le plan complexe si M est l'image de U = [U , ϕ ] le vecteur de Fresnel de la fonction
→
sinusoïdale u est le vecteur OM .
Exemple
(
Soit un dipôle soumis à la tension sinusoïdale u( t ) = 220 2 cos wt + π 4
)
→
π

On peut associer à u le nombre complexe U = 220,  et le vecteur de Fresnel OM
4

2.
Impédance complexe
Lorsqu'on applique aux bornes d'un circuit une tension sinusoïdale u de pulsation
sinusoïdale i, de même pulsation ω parcourt ce circuit.
Alors
220
π
4
ω , un courant d'intensité
u( t ) = U 2 cos ωt et i ( t ) = I 2 cos( wt − ϕ )
Nous venons de voir qu'on associe alors à i et u deux nombres complexes I et U :
I = i ,−ϕ et U = u,0
[
]
[ ]
L’impédance complexe du circuit est le nombre complexe Z =
U
.
I
L'impédance du circuit est le module Z de l'impédance complexe.
Exemples
Voici les impédances complexes Z de trois circuits simples :
Résistance pure
Bobine
R
u
Condensateur
C
L
u
u
1
j
Cω
Z=R
Z = jLω
Z=−
R est la résistance
du circuit
L est l’inductance
de la bobine
C est la capacité
du condensateur
En sciences physiques on établit le résultat suivant :
En courant sinusoïdal, dans un circuit en série ou en parallèle, la loi d'association des
impédances complexes est la même que celle des résistances, en courant continu, dans le même
type de circuit.
En courant continu, à partir de deux résistors de résistances respectives R1 et R2, on obtient une résistance
équivalente R dans une association en série et une résistance équivalente r dans une association en parallèle.
Association en série
R= R1+R2
R1
R2
Association en parallèle
1 1
1
=
+
r R1 R2
R1
R2
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Page 10
2. Limites de suites et de
fonctions
2.1. Rappels sur les suites
1.
Activité préparatoire p 300
Faire deux exemples
Soit (u n )
2.
Résumé sur les suites
une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r
•
•
•
u n +1 = u n + r
un = u0 + nr
u n = u p + (n − p )r
•
 u + un 
S n = u 0 + K + u n = (n + 1) 0

 2 
On peut retenir : Sn =(nombres de termes)x
premier terme + dernier terme
2
Remarque : pour démontrer qu’une suite est arithmétique, il suffit de vérifier que un +1 − un
est constant ; cette constante est la raison r.
Soit (u n ) une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q
•
un +1 = qun
•
un = u0 ⋅ q n
•
u n = u p ⋅ q n− p
•
S n = u0 + K + un = u0
1 − q n +1
avec q ≠ 1
1− q
nombre de termes
On peut retenir : Sn =(premier terme)x 1-(raison)
1-(raison)
Remarque : pour démontrer qu’une suite est géométrique, il suffit de vérifier que
u n +1
est
un
constant ; cette constante est la raison q.
3.
Comportement global : suites croissantes- suites décroissantes
Définition :
Soit (u n ) une suite définie sur IN.
• (u n ) est une suite croissante (respectivement strictement croissante), si et seulement si,
pour tout n de IN, u n +1 ≥ u n (respectivement u n +1 > u n )
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•
(u n ) est une suite croissante (respectivement strictement croissante), si et seulement si,
•
pour tout n de IN, u n +1 ≤ u n (respectivement u n +1 < u n )
Une suite monotone est une suite croissante ou une suite décroissante.
Exemple : Démontrer que la suite (u n ) définie par u n = n 2 est croissante.
Conséquence :
Pour les suite géométriques de raison q,
Si q>1, la suite est croissante.
Si q<1, la suite est décroissante.
Si q=1, la suite est constante.
Théorème :
Si f est une fonction croissante (resp. décroissante) sur [0;+∞[ , alors, la suite de terme général
f (n ) est croissante (resp. décroissante)
2.2. Limite d’une suite
1.
Limite infinie
Définition :
• Dire qu’une suite u a pour limite + ∞ signifie que tout intervalle ]A;+∞[ (avec A réel)
contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
• Dire qu’une suite u a pour limite − ∞ signifie que tout intervalle ]− ∞; B[ (avec B réel)
contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
Notation et vocabulaire
On note lim u n = +∞ et lim u n = −∞ (on dit aussi que la suite u tend vers + ∞ ou − ∞ )
n → +∞
n → +∞
Théorème :
lim n = +∞
lim n 2 = +∞
n → +∞
n → +∞
lim n 3 = +∞
lim n = +∞
n → +∞
Exemples
lim n 2 = +∞
lim − n 3 − ∞
n → +∞
H.Prog.
n → +∞
n → +∞
2.
Cas des suites croissantes non majorées
Définition :
• Dire qu’une suite u est majorée signifie qu’il existe un réel M tel que pour tout entier
naturel n, u n ≤ M
• Dire qu’une suite u est minorée signifie qu’il existe un réel m tel que pour tout entier
naturel n, u n ≥ m
Exemple
1
1
La suite définie sur IN* par u n = 2 + est minorée par 2 et majorée par 3 car 0 < ≤ 1
n
n
Propriétés
• Si u est une suite croissante non majorée, alors lim u n = +∞
n → +∞
•
Si u est une suite décroissante et non minorée alors lim u n = −∞
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n → +∞
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3.
Limites finies
Exemple introductif
Une personne souhaite partager 100 € en n personne. On considère la suite qui à n associe
100
. Si on partage en 1,10,100,1000,…,
la somme que possèdera chaque personne. On a u n =
n
combien auront chaque personne ?
Définition
Soit l un réel. Dire qu’une suite u a une limite l signifie que tout intervalle ouvert contenant l
contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
Notation et vocabulaire
On note lim u n = l . On dit aussi que u tend vers l ou converge vers l. Une telle suite est
n → +∞
dite convergente.
Théorème :
1
lim = 0
n → +∞ n
1
=0
n → +∞ n 2
lim
1
=0
n → +∞ n 3
lim
lim
n → +∞
1
n
=0
1

Exemple : lim  2 +  = 2 . Si − 1 < q < 1 , alors lim q n = 0
n → +∞
n → +∞
n

Remarque : Une suite qui n’est pas convergente est dite divergente.
4.
( )
Limite d’une suite géométrique q n
Théorème :
Soit q un nombre réel strictement positif
lim q n = +∞ si q > 1
n → +∞
lim q n = 1 si q = 1
n → +∞
lim q n = 0 si 0 < q < 1
n → +∞
2.3. Limite finie ou infinie d’une fonction en
1.
+∞
ou en
−∞
Limite finie en + ∞ ou en − ∞
Définition
f(x)
Soit l un réel. Dire qu’une fonction f a une limite l signifie que tout
Intervalle ouvert contenant l contient tous les valeurs f ( x ) pour x assez grand.
Notation et vocabulaire
On note lim f (x ) = l . On dit aussi que f ( x ) vers l.
x
x → +∞
Dans un repère orthogonal, la droite d’équation y = l est asymptote horizontale en + ∞ à la
courbe représentative C de f.
Théorème
1
1
1
1
lim = 0
lim 2 = 0
lim 3 = 0
lim
=0
x → +∞ x
x → +∞ x
x → +∞ x
x → +∞
x
1
1
1

 1 
Exemple : lim  2 +  = 2 . lim 
lim
= lim
=0
=0

2
x → +∞ ( x − a )
x → −∞ ( x − a )2
x → +∞
x → +∞ x − a
x



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Page 13
Limite infinies en + ∞ ou en − ∞
2.
f(x)
Définition
A
Dire qu’une fonction f a pour limite + ∞ en + ∞ signifie
que tout intervalle ]A;+∞[ (avec A réel) contient toutes
les valeurs f ( x ) pour x assez grand.
x
Notation et vocabulaire
On note lim f ( x ) = +∞ On dit aussi que f ( x ) tend vers + ∞ quand x tend vers + ∞ .
n → +∞
Définition
Dire qu’une fonction f a pour limite − ∞ en + ∞ signifie
que tout intervalle ]− ∞; B[ (avec B réel) contient toutes
les valeurs f ( x ) pour x assez grand.
Notation et vocabulaire
On note lim f ( x ) = −∞ On dit aussi que f ( x ) tend vers − ∞ quand x tend vers + ∞ .
n → +∞
Théorème :
lim x = +∞
lim x 2 = +∞
x → +∞
lim x 3 = +∞
x → +∞
lim x 2 = +∞
lim x = −∞
x → −∞
x → +∞
x = +∞ .
(
x = +∞
x → −∞
)
lim − 3x 3 = −∞
x → +∞
x → +∞
lim x 3 = −∞
x → −∞
Exemples : lim
lim
x → +∞
(
)
lim − 3x 3 = +∞
x → −∞
Définition
Soient a et b deux réels avec a ≠ 0 . C est la courbe représentative de la fonction f dans un
repère.
Dire que la droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique à C en + ∞ (resp. en − ∞ )
signifie que : lim [ f ( x ) − (ax + b )] = 0 .
(resp. lim [ f ( x ) − (ax + b )] = 0 )
x → +∞
x → −∞
2.4. Limite finie ou infinie d’une fonction en un réel
1.
Limite finie en un réel : exemple
sin x
On cherche la limite lorsque x tend vers 0 de f ( x ) =
définie sur IR*
x
En procédant à un « zoom » à l’aide de la calculatrice, on peut conjecturer que f « a pour limite
1 en 0 ». On le notera lim f ( x ) = 1
x→a
Remarque :
Si f est une fonction définie au voisinage de a, alors on a lim f ( x ) = f (a )
x→a
2.
Limite infinies en un réel
Exemple 1
Soit f une fonction définie sur IR-{1} par f ( x ) =
1
(x − 1)2
A l’aide de la calculatrice, on peut conjecturer que f a pour limite + ∞ en 1.
On note lim f ( x ) = +∞
x →1
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Exemple 2
Soit f une fonction définie sur IR-{1} par f ( x ) =
1
x −1
A l’aide de la calculatrice, on peut conjecturer que la limite de f en 1 est de − ∞ si x < 1 et + ∞ si
x > 1.
On dit alors que − ∞ est la limite à gauche de f en 1.
On dit alors que + ∞ est la limite à droite de f en 1.
On note lim f ( x ) = −∞ et lim f ( x ) = +∞
x →1
x <1
x →1
x >1
Cas général :
Soit a un réel.
1
1
1
1
• lim
= −∞ ; lim
= +∞ ; lim
= +∞ ; lim
= +∞
2
x→a x − a
x→a x − a
x→a (x − a )
x→a
−
x
a
x<a
x>a
x>a
•
C est la courbe représentative d’une fonction f dans un repère. Dire que la droite
d’équation x = a est asymptote verticale à C signifie que la limite (éventuellement à
droite ou à gauche) de f en a est + ∞ ou − ∞ .
2.5. Théorème « des gendarmes » pour les fonctions
1.
Théorème « des gendarmes »
Théorème : (admis)
Soit f, g, h trois fonction et l un réel.
Si lim g ( x ) = l et lim h( x ) = l et si pour x assez grand g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) , alors lim f (x ) = l
x → +∞
x → +∞
2.
x → +∞
Comparaison de deux fonctions
Propriété :
Si lim g ( x ) = +∞ et si pour x assez grand f ( x ) ≥ g ( x ) , alors lim f ( x ) = +∞
x → +∞
x → +∞
x → +∞
x → +∞
Si lim g ( x ) = −∞ et si pour x assez grand f ( x ) ≤ g ( x ) , alors lim f ( x ) = −∞
2.6. Opérations et limites
1.
Limite d’une somme, d’un produit de deux fonctions
Propriétés
Les fonctions f et g ont le même ensemble de définition.
a désigne un réel ou + ∞ ou − ∞ et l, l’ sont des réels.
f a pour limite en a
g a pour limite en a
f+g a pour limite en a
f a pour limite en a
g a pour limite en a
f × g a pour limite
en a
l
l’
l+l’
l
l’
ll’
l>0
+∞
+∞
l
+∞
+∞
l>0
−∞
−∞
l
−∞
−∞
+∞
+∞
+∞
l<0
+∞
−∞
l<0
−∞
+∞
+∞
−∞
FI
−∞
−∞
−∞
+∞
+∞
+∞
Exemples : Attention, aux formes indéterminées :
1
• f (x ) = 2 ; g (x ) = x 2 ;
lim f ( x ) = 0 ; lim g ( x ) = +∞
x → +∞
x → +∞
x
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+∞
−∞
−∞
−∞
−∞
+∞
0
+ ∞ ou − ∞
FI
lim f ( x ) × g ( x ) = 1
x → +∞
Page 15
•
•
1
; g (x ) = x 2 ;
x
cos x
f (x ) =
; g (x ) = x ;
x
f (x ) =
2.
lim f ( x ) = 0 ; lim g ( x ) = +∞
x → +∞
lim f ( x ) × g ( x ) = +∞
x → +∞
x → +∞
lim f ( x ) = 0 ; lim g ( x ) = +∞
x → +∞
f × g n’a pas de limite
x → +∞
Limite d’un quotient de deux fonctions
Propriétés
Les fonctions f et g ont le même ensemble de définition D. g ne s’annule pas sur D.
a désigne un réel ou + ∞ ou − ∞ et l, l’ sont des réels.
f a pour limite en a
g a pour limite en a
f
a pour limite en a
g
l
l’ ≠ 0
l
l′
l
+ ∞ ou − ∞
0
+∞
l’>0
+∞
+∞
l’<0
−∞
−∞
l’>0
−∞
−∞
l’<0
+∞
l>0 ou + ∞ l<0 ou − ∞ l>0 ou + ∞ l<0 ou − ∞
0 en restant 0 en restant 0 en restant 0 en restant
positif
positif
négatif
négatif
+∞
−∞
−∞
+∞
f a pour limite en a
g a pour limite en a
f
a pour limite en a
g
+ ∞ ou − ∞
+ ∞ ou − ∞
FI
0
0
FI
Méthodes :
• Etude d’une limite d’un polynôme
Pour étudier la limite en + ∞ ou − ∞ d’un polynôme, on met en facteur le terme de plus
haut degré.
Exemple : étude de la limite en + ∞ de f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 x + 1
On sait que lim x 3 = +∞ ; lim − 3 x 2 = −∞ ; lim 2 x = +∞ donc FI. On ne peut pas conclure
x → +∞
x → +∞
x → +∞
directement.
1 
 3 2
On réécrit f : f ( x ) = x 3 1 − + 2 + 3  .
x 
 x x
−3
2
1
1 
 3 2
Or lim
= 0 ; lim 2 = 0 ; lim 3 = 0 . Donc lim 1 − + 2 + 3  = 1
x → +∞ x
x → +∞ x
x → +∞ x
x → +∞
x 
 x x
3
D’autre part, lim x = +∞ donc lim f ( x ) = +∞
x → +∞
x → +∞
• Etude d’une limite d’une fonction rationnelle
Pour étudier la limite en + ∞ ou − ∞ d’une fraction rationnelle, on factorise le numérateur
et le dénominateur par leur terme de plus haut degré.
x 2 + 2x
Exemple : étude de la limite en + ∞ et en 3 de f ( x ) =
définie sur ]3;+∞[ .
x−3
• En + ∞ , lim x 2 + 2 x = +∞ et lim x − 3 = +∞ donc FI. On ne peut pas conclure
x → +∞
x → +∞
directement.
 2
 2
x 2 1 +  x1 + 
x
x
On réécrit f ( x ) = 
= 
.
 3
 3
x1 − 
1 − 
 x
 x
 2
 3
Or lim 1 +  = 1 ; lim 1 −  = 1 ; lim x = +∞ . Donc lim f ( x ) = +∞
x → +∞
x → +∞
x → +∞
x → +∞
x

 x
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• En 3, avec x>3
lim x 2 + 2 x = 15 et lim x − 3 = 0 ,
x →3
x →3
Or x − 3 > 0 sur l’intervalle, donc lim x − 3 = 0 + . Donc lim f ( x ) = +∞
x →3
x >3
x → +∞
2.7. Limite d’une fonction composée
1.
Limite de la composée de deux fonctions
Propriété (admise)
Soient a, b, c des réels ou + ∞ ou − ∞ , et f et g deux fonctions.
Si lim f ( x ) = b et lim g ( x ) = c , alors lim( g o f )( x ) = c
x→a
x →b
x→a
1
Exemple : étude de la limite en + ∞ de h( x ) = cos  .
 x
1
On pose f ( x ) = . g ( X ) = cos X . h( x ) = ( g o f )( x )
x
Or lim f ( x ) = 0 ; lim g ( X ) = 1 . donc lim ( g o f )( x ) = 1
x → +∞
X →0
x → +∞
2.
Limite de la composée d’une suite et d’une fonction
Propriété (admise)
Soient a, b des réels ou + ∞ ou − ∞ , u une suite et f une fonction.
Si lim u n = a et lim f ( x ) = b , alors lim f (u n ) = b
n → +∞
lim
x→ x0
x→a
n → +∞
2.8. Asymptotes : Résumé
f ( x ) = +∞ ou −∞
La droite d’équation x=x0 est la
droite asymptote à la courbe.
Le signe de la limite infinie
détermine la position de la courbe
y
O
lim f ( x ) = l avec l ∈ IR
x→+∞
ou−∞
x
y
l
La droite d’équation y=l est la
droite asymptote à la courbe.
Le signe de f(x)-l détermine
la position de la courbe
lim f ( x ) − (ax + b)] = 0
x→+∞[
ou−∞
La droite d’équation y=ax+b est la
droite asymptote à la courbe.
Le signe de f(x)-(ax+b) détermine
la position de la courbe
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x0
O
x
O
x
y
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3. Etude locale et globale d’une
fonction
3.1. Dérivation en un point
Première approche
Un point mobile M se déplace sur un axe. La distance parcourue par ce point à l’instant t est
donnée par d (t ) = t 2 . L’instant origine est t=0.
a)Calculer la vitesse moyenne du point M entre les instants 1 et 2 ; 2 et 3 ; 2 et 2,1 ; 1,9 et 2.
b)Comment définir une vitesse instantanée à l’instant t=2 ?
1.
taux de variation
Un point mobile M se déplace sur un axe selon la loi horaire t a d (t ) , d (t ) est la distance
parcourue par M à l’instant t depuis l’origine.
d (t 0 + h ) − d (t 0 )
La vitesse moyenne de M entre les instants t 0 et t 0 + h (avec h ≠ 0 ) est :
h
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a+h sont de réels de I avec h ≠ 0
f (a + h ) − f (a )
Le rapport
s’appelle le taux de variation entre a et a+h.
h
La vitesse instantanée sera donnée par la limite de la vitesse moyenne lorsque h tend vers 0.
2.
Nombre dérivé
Exemple
La distance parcourue par un point mobile M sur un axe est donnée à l’instant t (t ≥ 0) par
d (t ) = t 2
La vitesse moyenne du point M entre les instants 3 et 3+h (avec h ≠ 0 et 3 + h ≥ 0 ) est :
2
d (3 + h ) − d (3) (3 + h ) − 9
=
= 6+h
h
h
Lorsque h prend des valeurs proches de 0, 6+h prend des valeurs proches de 6.
On dit que la limite en 0 de 6+h est 6. On écrit lim(6 + h ) = 6
h →0
Cette limite est la vitesse instantanée du point m à l’instant t=3
De façon générale, on pose la définition suivante :
Théorème :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a+h sont de réels de I avec h ≠ 0 . Dire que f
f (a + h ) − f (a )
est dérivable en a signifie que lorsque h tend vers 0
tend vers un réel L, ce que
h
f (a + h ) − f (a )
l’on écrit : lim
=L
h→0
h
On dit que L est le nombre dérivé de f en a et on note f ′(a ) = L .
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Remarque : dans le §1 si d est dérivable en t0 alors la vitesse instantanée est v(t 0 ) = d ′(t 0 )
Application : Calculer un nombre dérivé à parti de la définition
Dans chaque cas, a est un réel donné ; démontrer que la fonction est dérivable en a et
donner son nombre dérivé en a.
a) f est définie sur IR par f ( x ) = −5 x + 2
a=2
b) g est définie sur IR par g ( x ) = 2 x 2 + 3 x − 1
1
c) h est définie sur IR par k ( x ) =
x
3.
a=1
a=-1
Tangente à la courbe représentative d’une fonction
Définition :
Soit f une fonction dérivable en a dont la courbe de représentative a une tangente au point
d’abscisse a. Le nombre dérivé L de f en a est le coefficient directeur de cette tangente. Il est
noté f’(a).
L’équation de la tangente en (a, f (a )) s’écrit y = Ax + p .
y = f(x)
Or le point (a, f (a )) appartient à la tangente et vérifie donc l’équation.
D’où p = f (a ) − La
La tangente a donc pour équation y = L( x − a ) + f (a )
f(a)
L
Soit y = f ' (a )( x − a ) + f (a )
a
Si f est dérivable en a et si A est le nombre dérivé de f en a, la courbe représentative de f admet
au point de coordonnées (a, f (a )) une tangente d’équation y = f ′(a )( x − a ) + f (a )
4.
Approximation affine associée à une fonction
Définition :
Soit une fonction f définie en a et au voisinage de a. on dit que f est dérivable en a s’il existe un
réel A et une fonction ϕ tel que, au voisinage de h=0, f (a + h ) peut s’écrire sous la forme :
f (a + h ) = f (a ) + f ′(a )h + hϕ (h ) avec lim ϕ (h ) = 0
h→0
Définition :
Soit une fonction f définie en a
f (a ) + hf ′(a ) est l’approximation affine de f (a + h ) pour h proche de 0, associée à la fonction f.
3.2. Dérivation sur un intervalle – fonction dérivée
Définition :
Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si, et seulement si, f admet un nombre
dérivé en tout point de I.
La fonction qui à tout x de I, associe le nombre dérivé de f en x, s’appelle fonction dérivée de f
df
et se note f’. En physique on utilise aussi la notation différentielle
dx
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1.
Dérivées usuelles
f(x)
k ; k réel
x
mx+p
x2
n
x , n entier naturel
1
x
1
xn
x
sin x
cos x
2.
f’(x)
0
1
m
2x
nxn-1
1
− 2
x
n
− n +1
x
1
2 x
cos x
- sin x
Intervalle I
IR
IR
IR
IR
IR
−∞
;0
] [ ou ]0;+∞[
]−∞;0[
ou ]0;+∞[
]0;+∞[
IR
IR
Opération sur les fonctions dérivables
Fonction
ku (k réel)
Dérivée
ku’
u+v
uv
1
v
u
v
u’+v’
u’v+uv’
v'
− 2
v
u' v − uv '
v2
Fonction composée
Si g(t) = f(at+b) et si f est dérivable en at+b
alors g ' (t ) = af ' (at + b)
3.3. Applications de la dérivation
1.
Sens de variation
Si pour tout réel x de I
f’(x)=0
f’(x)>0
f’(x)<0
2.
Alors
f est constante sur I
f est strictement croissante sur I
f est strictement décroissante sur I
Extremum
Théorème :
Si f est dérivable sur l’intervalle I et admet un maximum local (ou un minimum local) en un
point a distinct des extrémités de I, alors f’(a)=0.
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3.
Etude et Représentation graphique d’une fonction
Pour Etudier une fonction et construire sa représentation graphique, on procède généralement de
la manière suivante:
• Etude des variations :
• Dérivée
• Signe de la dérivée
• Tableau de variation
• Le plan étant muni d’un repère orthogonal ou orthonormal, on dessine la courbe
représentative après avoir placé :
8
•
f (− 5) =
• Les éventuels points représentatifs des extremums
3
• Des points ou des droites particuliers
•
f (− 3) = 28
• Quelques points obtenus à l’aide d’une calculatrice
41
2x3
•
f (2 ) =
2
Exemple : Etudier et représenter sur [-5 ;5] f ( x ) =
+ x − 12 x + 1
3
3
148
On vérifiera que f ′( x ) = 2( x − 2)( x + 3)
•
f (2 ) =
3
3.4. Fonction dérivable et strictement monotone
Théorème 1 : Si f est une fonction dérivable sur [a, b] et si, pour
tout x de [a, b] f’(x)>0, alors f est strictement croissante sur [a, b]
et, pour tout élément λ de [ f (a ), f (b)] , l’équation f ( x ) = λ admet
une solution et une seule dans [a, b].
f(b)
λ
f(a)
a
x0
b
Théorème 2 : Si f est une fonction dérivable sur [a, b] et si, pour
tout x de [a, b] f’(x)<0, alors f est strictement décroissante sur [a, b]
et, pour tout élément λ de [ f (b), f ( a )] , l’équation f ( x ) = λ admet
une solution et une seule dans [a, b].
f(a)
λ
f(b)
a
x0
b
Exercice : A partir de ces théorèmes on peut démontrer qu’il existe une solution de l’équation
x 3 + x + 1 = 0 dans l’intervalle ]-1,0[. On peut obtenir une valeur approchée de cette solution par
dichotomie (division de l’intervalle en 2).
3.5. Les fonctions cosinus, sinus
1.
Définition
(
)
r r
Définition : M étant le point du cercle trigonométrique tel que OA, OM = α :
•
•
L’abscisse du point M est le cosinus du nombre α noté cosα .
L’ordonnée du point M est le sinus du nombre α noté sin α .
M
K
α
O
H
cos α = OH et sin α = OK
Les coordonnées du point M sont donc (cos α ; sin α )
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A
On définit par la suite les fonctions numériques :
Cosinus :
IR → [− 1;1]
Sinus :
x a cos x = OH
IR → [− 1;1]
x a sin x = OK
2.
Période
Les fonctions sinus et cosinus sont périodique de période 2π .
Pour tout x de IR
cos x = cos( x + 2π ) et sin x = sin (x + 2π )
En physique on utilise des fonctions de la forme :
f : t a cos(ωt + ϕ ) et
f : t a sin (ωt + ϕ )
2π
Ces fonctions ont pour période T =
ω
3.
Parité des fonction sinus et cosinus
Propriété :
La fonction cosinus est paire : en effet, Pour tout nombre x, cos x = cos( − x )
La fonction sinus est impaire : en effet, Pour tout nombre x, sin x = − sin( − x )
M
O
x
-x
A
M’
4.
Dérivation
Théorème : Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur IR et
f(x)
sin x
cos x
f’(x)
cos x
- sin x
Intervalle I
IR
IR
Théorème : Les fonctions t a cos(ωt + ϕ ) et t a sin (ωt + ϕ ) sont dérivables sur IR et
f(x)
cos(ωt + ϕ )
sin (ωt + ϕ )
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f’(x)
− ω sin (ωt + ϕ )
ω cos(ωt + ϕ )
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Intervalle I
IR
IR
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5.
Sens de variation
Les fonctions sinus et cosinus étant périodique de période 2π et respectivement impaire et paire,
il suffit de les étudier sur l’intervalle [0; π ]
5.1. Etude de la fonction cosinus
Soit f ( x ) = cos x . On a f ′( x ) = − sin x
Sur [0; π ] , f ′( x ) ≤ 0 car sin x ≥ 0 . Donc
x
π
0
π
2
−
x
1
cos x
-1
On en déduit la courbe représentative sur [0; π ] , puis sur IR
5.2. Etude de la fonction sinus
Soit f ( x ) = sin x . On a f ′( x ) = cos x
 π
Sur 0;  , f ′( x ) ≥ 0
 2
π 
Sur  ; π  , f ′( x ) ≤ 0
2 
x
Donc
π
0
x
+
2
0
1
π
−
sin x
0
0
On en déduit la courbe représentative sur [0; π ] , puis sur IR
3.6. La fonction tangente
Définition :
Pour tout nombre réel x tel que cos x ≠ 0 , tan x =
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sin x
cos x
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Page 23
Interprétation géométrique
T
M
K
D’après Thalès, dans le triangleOAT tel que
(AT) soit parallèle à (MH), on a :
OH HM
HM × OA OK × 1 sin x
=
. Donc AT =
=
=
cos x
OA
AT
OH
OH
x
O
O
H
A
Donc AT = tan x
Ensemble de définition
La fonction tangente est définie pour tout réel x tel que x ≠
π
2
+ kπ (k ∈ Z )
Période
 π π
La fonction tangente est π -périodique. Il suffit donc de l’étudier sur  − ; 
 2 2
Parité
La fonction tangente est impaire.
Etude des variations
Théorème : Pour tout t ≠
t
tan’ t
π
2
+ kπ , tan ′ t =
1
= 1 + tan2 t.
2
cos t
π/2
0
1
+
+∞
tan t
0
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Page 24
4. Compléments sur la
dérivation et les primitives
4.1. Dérivation d’une fonction composée
Théorème (admis) :
Si u est une fonction dérivable en x0 et si g est une fonction dérivable en u( x 0 ) , alors la
′
fonction g o u est dérivable en x0 et ( g o u) ( x 0 ) = g ′( u( x 0 )) × u' ( x 0 )
Application à la dérivation de un
1.
Théorème :
Soit n un nombre relatif non nul ; soit u une fonction dérivable en x0 et ne s’annulant pas
en x0 si n est négatif.
n −1
n
La fonction f a u x est dérivable en x et f ′ x = n u x
u' x
[ ( )]
[ ( )]
( 0)
0
0
Exemples :
5
5−1
4
• La dérivée de ( 3x + 2) est 5 × ( 3x + 2) × 3 = 15( 3x + 2)
(
•
La dérivée de 2 x 2 − x + 2
•
La dérivée de ( − x + 2)
2.
−2
)
2
(
est 2 × 2 x 2 − x + 2
est −2 × ( − x + 2)
−2 −1
)
2 −1
( 0)
(
)
× ( 4 x − 1) = 2 2 x 2 − x + 2 (4 x − 1)
× ( −1) = 2( − x + 2)
−3
Application à la dérivation de f ( t ) = g( at + b)
Théorème :
Si g est dérivable en at0+b, al fonction f : t a g( at + b) est dérivable en t0 et
f ′ (t 0 ) = ag ′( at 0 + b)
Conséquence :
• Les fonctions f : t a cos(ωt + ϕ ) et g: t a sin(ωt + ϕ ) sont dérivables sur IR.
•
•
La dérivée de f ( t ) = cos(ωt + ϕ ) est f ′(t ) = −ω sin(ωt + ϕ )
La dérivée de g( t ) = sin(ωt + ϕ ) est g ′( t ) = ω cos(ωt + ϕ )
4.2. Dérivées successives
Propriétés :
fonction dérivable sur un intervalle, f’ sa fonction dérivée. Si f’est dérivable, on dira que f admet
′
une dérivée seconde. On notera ( f ′) = f ′′ .
Exemple : calculer les dérivées successives de f ( x ) = x 3 − 3 x
Rappels : en physique, on utilise la notation différentielle
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df
d2 f
, pour f’ ,
pour f ′′ .
dx
dx 2
Page 25
4.3. Primitive d’une fonction dérivable sur un intervalle
Exemple : Soit les fonctions définies sur IR par :
f ( x ) = 6 x 2 − 3 et F ( x ) = 2 x 3 − 3x + 5
On peut vérifier que pour tout nombre réel x, F ′( x ) = f ( x )
F est la fonction dérivée de F. On dit que F est une primitive de f sur IR.
1.
Définition et théorèmes
Définition
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Une fonction F définie sur I est une primitive de f sur I lorsqu’elle est dérivable sur I et que
F’ = f.
Théorème (admis) :
Toute fonction dérivable sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Remarquons dans l’exemple précédent que F ( x ) = 2 x 3 − 3x − 7 est encore une primitive de f.
D’où le théorème suivant.
Théorème (admis) :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et soit F une primitive de f.
Les primitives de f sont les fonctions définies sur I par x a F ( x ) + C où C est une constante
réelle.
Théorème (admis) :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Parmi les primitives de f définies sur I, il en existe une et une seule, prenant la valeur donnée y0
pour une valeur donnée x0 de la variable.
Comme pour les dérivées, il existe un tableau des primitives usuelles par lecture inverse
du tableau des dérivées
2.
f(x)
a
x
Primitives des fonctions usuelles
F(x)
ax+C
1 2
x +C
2
xn
1 n +1
x +C
n nombre entier positif ou
n +1
négatif différent de –1.
1
x2
1
x
sin x
cos x
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1
+C
x
2 x +C
−
-cos x + C
sin x + C
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Intervalle de validité
IR
IR
IR si n>0
−∞
;0
ou
] [ ]0;+∞[ si n ≤ 0
et n ≠ −1
−∞
;0
] [ ou ]0;+∞[
]0;+∞[
IR
IR
Page 26
3.
Primitives d'une somme de fonctions, primitives d'un produit d'une
fonction par un nombre réel
Propriété de linéarité :
Si F est une primitive de f sur un intervalle I et si G une primitive de g sur I, alors F + G est une
primitive de f + g sur I.
Si F est une primitive de f sur un intervalle I, si α est un nombre réel, alors αF est une primitive
de αf sur I.
4.
Primitives d’une fonction composée
f(x)
F(x)
f ( x) = u( x ) ⋅ u' ( x )
avec n ≠ −1
u ' (x )
f (x ) =
n
u(x )
avec n ≠ 1
sin(ax+b)
n
cos(ax+b)
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F ( x) =
[u( x)]
Intervalle de validité
I
n +1
n +1
+C
1
1
×
+C
− n + 1 [u ( x )]n −1
I
1
cos(ax+b)+C
a
1
sin(ax+b)+C
a
I
F (x ) =
−
@ E. Poulin
I
Page 27
5. Calcul intégral
5.1. Intégrale d’une fonction continue sur un segment.
1.
définition
Définition
Soient f une fonction continue sur un intervalle I, F une primitive de f sur I, a et b deux éléments
de I.
On appelle intégrale de a à b de f le nombre réel F(b) - F(a).
On note :
∫ f (t )dt = F (b) − F (a )
b
a
Remarques
∫ f (t )dt , nous commençons par déterminer une primitive F de f avant de calculer F(b) - F(a).
Nous notons ce calcul de la façon suivante :
∫ f (t )dt = [ F (t )]
∫ f (t )dt = F (b) − F (a )
Dans l'écriture ∫ f ( t )dt , la variable t est «muette», ce qui signifie que ∫ f ( t )dt = ∫ f ( x )dx =L
• Pour calculer
b
a
b
b
a
b
a
a
•
b
b
b
a
a
a
Exemples
•
∫ 3dt = [3t ]
•
∫
5
5
2
2
e
1
= 15 − 6 = 9
1
e
dt = [ln t ]1 = ln e − ln 1 = 1
t
Cas particulier
Si b = a, alors
2.
∫ f (t )dt = 0 .
a
a
Interprétation graphique de l’intégrale dans le cas d’une fonction de
signe constant
2.1.
Fonction positive sur un intervalle [a, b]
Théorème
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a, b].
L’aire A de la partie du plan constituée de l'ensemble des points M de coordonnées x et y telles
que a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f ( x ) est :
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A=
∫ f ( x )dx
b
a
@ E. Poulin
Page 28
A
a
0
b
Remarque
r r
L'aire A considérée dans ce théorème est exprimée en unités d'aire. Dans un repère orthonormal (O, i , j ) l'unité
→
→
d'aire est l'aire du carré défini par les vecteurs unitaires OI et OJ du repère.
Si sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées l'unité choisie est 1 cm, alors l'unité d'aire est 1 cm2, si l'unité
choisie sur chaque axe de coordonnée est 2 cm, alors l'unité d'aire est 4 cm2.
Pour vérifier l'ordre de grandeur du résultat d'un calcul d'aire, il suffit de compter les carreaux hachurés sur une figure faite sur papier millimétré.
On peut aussi vérifier le résultat du calcul d'une intégrale avec la valeur approchée obtenue avec une calculatrice programmable, ou la valeur
exacte donnée par certaines calculatrices très performantes...
2.2.
Fonction négative sur un intervalle [a, b]
Théorème
Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle [a, b].
L’aire A de la partie du plan constituée de l'ensemble des points M de coordonnées x et y telles
A = − ∫ f ( x )dx
que a ≤ x ≤ b et f ( x ) ≤ y ≤ 0 est :
b
a
5.2. Propriétés de l’intégrale
1.
Relation de Chasles
Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a, b, c des éléments de I.
∫
c
a
f ( t )dt = ∫ f (t )dt + ∫ f ( t )dt
b
c
a
b
→ → →
AB + BC = AC
Nous appelons ce résultat relation de Chasles par analogie avec
Cas particulier
Si c = a on obtient
2.
∫
b
a
f ( t )dt + ∫ f ( t )dt = 0 d'où :
a
b
∫ f (t )dt = − ∫ f (t )dt
b
a
a
b
Linéarité
Théorème
Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et a et b deux éléments de 1; soit α et β des nombres réels.
∫ (αf (t ) + βg(t ))dt = α ∫a f (t )dt + β ∫a g(t )dt
b
b
b
a
Démonstration : Soit F une primitive de f et G une primitive de g sur I.
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Page 29
∫ (αf (t ) + βg(t )) dt = [αF (t ) + βG(t )]
b
b
a
a
= αF (b) + βG(b) − αF ( a ) − βG( a ) = α ( F (b) − F ( a )) + β ( G(b) − G(a ))
Alors
= α [ F ( t )]a + β [G(t )]a = α ∫ f ( t )dt + β ∫ g( t )dt
a
a
b
b
b
b
Exemple d'application
∫
2
1
[ ]
2
21
5

2
 6t +  dt = 3∫12tdt + 5∫1 dt = 3 t

t
t
2
1
+ 5[ln t ]1 = 3(4 − 1) + 5( ln 2 − ln 1) = 9 + 5 ln 2
2
Autre application : Aire de la partie limitée par deux courbes représentatives
Théorème (admis)
Soient f et g deux fonctions dérivables sur [a, b] , telles que pour tout x de [a, b] ,
g (x ) ≤ f (x ) .
L’aire de la partie du plan limitée par les courbes représentatives de f et g et les deux droites
d’équation x = a et x = b est :
b
A= ∫ f ( x ) − g ( x )dx
a
3.
Positivité
Théorème
Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a, b], alors
Remarques
• Dans un intervalle [a, b], on a nécessairement
•
∫ f (t )dt ≥ 0 .
b
a
a ≤ b.
∫ f (t )dt ≥ 0 et a ≤ b sans avoir f positive sur [a, b].
b
ATTENTION, On peut avoir
4.
a
Intégration d’une inégalité
Théorème
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a, b].
Si pour tout t de [a, b] , f(t) ≤ g(t), alors
∫
b
a
f (t )dt ≤ ∫ g(t )dt
b
a
Démonstration
On utilise la fonction g – f. Celle-ci est continue sur [a, b] car f et g sont continues sur cet intervalle.
Pour tout t de [a, b], f (t) -- g(t) donc g(t) - f (t) > 0 ; la fonction g - f est donc positive sur [a, b].
D'après la positivité de l'intégrale, comme a
≤
∫ ( g(t ) − f (t ))dt ≥ 0
b
b,
a
En utilisant la linéarité de l’intégrale, on arrive à la conclusion du théorème.
Remarque
Ce théorème peut permettre de comparer des intégrales, même si on ne sait pas les calculer, ou d'encadrer une
intégrale.
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Page 30
5.
Inégalité de la moyenne
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] et soient m et M des nombres réels tels que, pour tout t de [a, b],
m≤ f t ≤ M .
()
Intégrons ces deux inégalités en appliquant les théorèmes du paragraphe précédent
∫ mdt ≤ ∫ f (t ) ≤ ∫ Mdt
b
a
b
b
a
b
a
[mt ]a ≤ ∫a f (t ) ≤ [ Mt ]ba
b
d’où
m(b − a ) ≤ ∫ f ( t ) ≤ M (b − a ) c'est l'inégalité de la moyenne.
b
donc
a
Théorème : Inégalité de la moyenne
Soient f une fonction continue sur un intervalle [a, b].
Si m et M sont des nombres réels tels que pour tout t de [a, b], m ≤ f (t ) ≤ M ,
m(b − a ) ≤ ∫ f ( t ) ≤ M (b − a )
b
alors
a
Interprétation graphique
Dans le cas où f est positive sur [a, b] et où m
M
H
G
m
E
A
a
F
B
b
≥ -- 0,
∫ f (t )dt ,
b
l'aire de la partie coloriée, égale à
a
est comprise entre l'aire du rectangle ABFE égale à
m (b - a) et l'aire du rectangle ABHG égale à M (b - a).
t
Remarque
Nous déduisons de ce théorème que, dans le cas où a < b,
m≤
b
1
f (t ) ≤ M
∫
(b − a ) a
Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
Définition
Soit f une fonction continue sur un intervalle I; soient a et b deux éléments de I tels que a < b.
b
1
On appelle valeur moyenne de f sur [a, b] le nombre réel :
f (t )
∫
(b − a ) a
Exemple
Calculons l'intensité moyenne d'un courant alternatif pendant une demi-période sachant que l'intensité est définie en fonction du
temps par :
i = Im sin ωt.
La période est T
I moy =
1
=
∫
T
−0
2
2π
π
2
0
ω
. L'intensité moyenne sur une demi-période est donc :
I m sin ωtdt =
2Im
T
∫
π
2
0
sin ωtdt
T
I moy
I moy
ωT
 1
 2 2Im  1 

− ω cos ωt  = T  − ω  cos 2 − cos 0 
0
2I
4I
= − m (cos π − cos 0) = m
ωT
ωT
2I
= m
T
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Page 31
5.3. Techniques de calcul- exemples
1.
Utilisation du tableau de primitive
Calculer
C=∫
2
1
dx
2x − 1
2
(
π
)
F = ∫ 2t 2 − t + 4 dt
0
E = ∫ 2 sin t cos 2 tdt
0
2.
Linéarisation de polynômes trigonométriques
Soit f la fonction définie sur IR par : f (t ) = cos t cos 2t
1) Linéariser à l’aide des formules d’Euler
π
2) Calculer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10 près, de l’intégrale : I = ∫π2 f (t )dt
-3
4
3.
Réécriture d’une fonction
On se propose de calculer l’intégrale J =
2x 2 + x + 1
∫0 x + 3 dx
1
1) Déterminer trois constantes réelles a, b, c telles que , pour tout x de [0;1] ,
2x 2 + x + 1
c
= ax + b +
x+3
x+3
2x 2 + x + 1
2) Après avoir justifié que la fonction x a
est continue sur [0;1] , calculer la valeur exacte
x+3
de l’intégrale J.
4.
•
Si f paire
Cas particuliers
a
a
−a
0
∫ f (t )dt = 2∫ f (t )dt
a
•
Si f impaire
∫ f (t )dt = 0
−a
•
Si f périodique de période T
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a +T
T
a
0
∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt
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Page 32
6. Fonction logarithme népérien
6.1. Introduction.
1.
Bref historique
Au XVIème siècle, les calculs se faisaient à la main ce qui rendait les multiplication
importantes assez longues à calculer. L’astronomie faisant de nombreux progrès mais ayant
besoin de moyens calculatoires importants, on cherchait à simplifier les calculs. C’est alors
qu’un écossais John NEPER (1550 – 1617) trouva un moyen ingénieux pour transformer une
multiplication en une addition.
2.
Activité préparatoire
• Les bâtons de NEPER
• Les suites géométriques
On choisit pour un capital C0 une formule de placement qui rapporte 7% d’intérêts
composés par an.
1°) De quel capital C1 dispose-t-on au bout d’un an ?
2°) De quel capital C 2 dispose-t-on au bout de deux ans ?
3°) De quel capital Cn dispose-t-on au bout de n ans ?
2°) A l’aide de la calculatrice, remplir le tableau suivant :
n
5
10
15
20
n
1,07
3°) a) à l’aide du seul tableau que peut-on dire du nombre d’années qu’il faut pour doubler son
capital ?
b) Au bout de combien d’année dispose-t-on du double du capital ?
4°) Reprendre la question 3°) pour le triple du capital – une fois et demie le capital.
6.2. Définition – relation fonctionnelle
1.
Définition :
La fonction logarithme népérien est la primitive de x a
1
sur ]0;+∞[ qui prend la valeur 0
x
pour x=1.
Notation
ln: x a ln x
]0;+∞[ → IR
Remarque : la fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et, pour tout x de ]0;+∞[ , ln′ x =
1
x
Exemple de valeurs avec la calculatrice
ln 1 = 0 par définition du logarithme népérien.
ln 2 =
ln 4 =
ln 0,5 =
ln 3 =
ln 6 =
ln 9 =
Remarque : La fonction ln n’est pas définie en 0 ni en un nombre strictement négatif.
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Page 33
2.
Relation fonctionnelle
On retrouve ici la
découverte de Neper :
En reprenant les valeurs calculées ci-dessus, on remarque que :
ln( 2 × 3) = ln 2 + ln 3
« Transformer un
produit en une
somme »
ln( 2 × 2) = ln 2 + ln 2
2.1.
Logarithme d’un produit
Théorème admis : Pour tout nombres réels a et b strictement positifs : ln ab = ln a + ln b
2.2.
Logarithme d’un inverse
1
De même, on remarque que ln = − ln 2
2
Théorème admis : Pour tout nombre réel a strictement positif : ln
2.3.
1
= − ln a
a
Logarithme d’un quotient
Soit a et b deux réels strictement positifs : On a
a
1
1

= ln a ×  = ln a + ln d’après le premier théorème.

b
b
b
1
Mais ln = − ln b d’après le second théorème. D’où le théorème suivant
b
a
Théorème : Pour tout nombre réel a et b strictement positif : ln = ln a − ln b
b
ln
2.4.
Logarithme d’une puissance
D’après le premier théorème pour tout nombre a strictement positif, on a :
ln a 2 = ln(a × a ) = ln a + ln a = 2 ln a
De même,
(
)
ln a 3 = ln a × a 2 = ln a + 2 ln a = 3 ln a
ln a n = n ln a
0
Remarquons enfin que ln a = ln 1 = 0 = 0 × ln a
Théorème : Pour tout nombre réel a strictement positif : ln a n = n ln a
Nous admettons par suite que
EXERCICE D’APPLICATION : Exercice d’introduction
2.5.
Logarithme d’une racine carrée.
Théorème : Pour tout nombre réel a strictement positif : ln a =
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1
ln a
2
Page 34
6.3. Etude des variations, courbe représentative
1.
Sens de variation - Signe
Par définition de la fonction logarithme, la fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et, pour tout x de
1
1
]0;+∞[ , ln′ x = x . Or x > 0 pour tout x de ]0;+∞[ .
Donc la fonction logarithme népérien est croissante sur ]0;+∞[
Remarque :
Pour tout x de ]1;+∞[ , ln x > 0
Pour tout x de ]0;1[ , ln x < 0
On a aussi les équivalences suivantes pour tout réels a et b strictement positif :
ln a = ln b ssi a = b.
Exemples de résolution
ln a ≤ ln b ssi a ≤ b
ln a ≥ ln b ssi a ≥ b
2.
Limites de la fonction aux bornes de l’intervalle.
• En observant le comportement de la fonction pour des valeurs proches de 0 (10-5 par
exemple), on remarque que la fonction tend vers −∞
On admet donc le résultat suivant : lim ln x = −∞
x →0
•
En observant le comportement de la fonction pour des valeurs très grandes (1025 par
exemple), on remarque que la fonction tend vers +∞
On admet donc le résultat suivant : lim ln x = +∞
x→+∞
3.
x
ln ′ ( x ) =
Tableau de variation – Courbe représentative.
+∞
0
1
x
1
+
+∞
1
2
e3
ln x
−∞
La courbe représentative de la fonction ln a pour asymptote l'axe des ordonnées.
Définition : e est le nombre réel définie par ln e = 1.
Remarque : Pour tout nombre relatif n ln en = n
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Page 35
4.
Approximation par une fonction affine, au voisinage de 0, de la
fonction h a ln(1 + h )
Pour f ( x ) = ln x ,on a f ′( x ) =
1
. Don f ′(1) = 1
x
ln (1 + h ) − ln (1) ln (1 + h )
=
h
h
Or le nombre dérivé est aussi la limite en 0 du taux de variation
ln (1 + h )
= 1 . Donc la fonction h → h est une bonne approximation affine de
h
h a ln(1 + h ) .
Donc lim
h →0
5.
Limite de
ln x
en +∞
x
•
En observant le comportement de la fonction pour des valeurs très grandes (1025 par
exemple), on remarque que la fonction tend vers 0
ln x
On admet donc le résultat suivant : lim
=0
x→+∞ x
Conséquence : pour tout nombre entier naturel non nul n, on a
ln x
lim
=0
x→+∞ x n
6.4. Fonction composée de la forme ln u
1.
Dérivée
Théorème :
Soit u une fonction dérivable strictement positive sur l’intervalle I.
u′
La fonction f définie sur I par f ( x ) = ln u est dérivable sur I et f ′( x ) =
u
Exemples :
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
f ( x ) = ln( 2 x + 1) sur ]−0,5;+∞[
(
)
f ( x ) = ln x 2 + x + 1 sur IR
2.
Primitives
Théorème :
Soit u une fonction dérivable un intervalle I.
• Si u( x ) >0 pour tout x de I, alors les primitives de la fonction f définies sur I par
f ( x) =
•
u ′( x )
u( x )
sont définies sur I par F ( x ) = ln[u( x )] + C où C est une constante réelle.
Si u( x ) <0 pour tout x de I, alors les primitives de la fonction f définies sur I par
f ( x) =
u ′( x )
u( x )
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sont définies sur I par F ( x ) = ln[− u( x )] + C où C est une constante réelle.
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Page 36
Exemple : Cherchons la primitive de f ( x ) = 3x + 1 +
Réponse : F ( x ) =
2
1

sur I =  −∞; 
2x − 1
2

3 2
x + x + ln( −2 x + 1) + C
2
6.5. Complément : le logarithme décimal
Définition : la fonction logarithme décimal est la fonction définie sur
ln x
x a log x =
ln 10
Exemple : log 100 =
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]0;+∞[
par
ln 100 2 ln 10
=
=2
ln 10
ln 10
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Page 37
7. fonctions exponentielles et
puissances
7.1. Activité préparatoire
Soit la fonction f définie par f ( x ) = ln x
1) Compléter le tableau suivant (à arrondir à 10-1).
x
0,05
0,1
0,2
0,5
0,7
f (x )
1
1,5
2
3
4
r r
Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O; i ; j ) d’unité 2 cm.
Dans le même repère tracer la droite d’équation y = x
r r
Pour tout point ( x; y = f ( x )) défini ci dessus, placer dans le repère (O; i ; j ) les points ( y, x ) .
Construire la nouvelle courbe, symétrique de la fonction f par rapport à la droite y = x.
2)
3)
4)
5)
Cette nouvelle fonction s’appelle la fonction exponentielle
7.2. Fonction exponentielle
1.
Définition
Dans le chapitre précédent, nous avons étudié la fonction logarithme népérien : nous avons vu en
particulier que :
• La fonction ln est définie et dérivable sur ]0;+∞[
1
• Pour tout x de ]0;+∞[ , ln′ x = > 0
x
•
lim ln x = −∞ et lim ln x = +∞
x→+∞
x →0
x
+∞
0
ln ′ ( x ) =
1
x
1
+
+∞
1
2
e3
ln x
−∞
D’autre part, nous avons admis le théorème suivant :
Théorème : Si f est une fonction dérivable sur [a, b] et si, pour tout
x de [a, b] f’(x)>0, alors f est strictement croissante sur [a, b] et,
pour tout élément λ de [ f (a ), f (b)] , l’équation f ( x ) = λ admet
une solution et une seule dans [a, b].
f(b)
λ
f(a)
a
x0
b
on étend ce théorème au cas d’intervalles ouverts en remplaçant [a, b] par ]0;+∞[ et [ f (a ), f (b)]
par ]−∞;+∞[ lorsque des conditions de limites aux bornes des intervalles ouverts sont réalisés.
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Ici, on a lim ln x = −∞ et lim ln x = +∞ ; nous admettons le théorème suivant :
x→+∞
x →0
Pour tout élément y de ]−∞;+∞[ , l’équation ln x = y , où l’inconnue est x, admet une solution
unique dans ]0;+∞[ .
Par exemple pour y=0, x=1
pour y=1, x=e
A 0 nous associons 1
A 1, nous associons e.
Nous définissons ainsi une nouvelle fonction appelée fonction exponentielle, notée exp définie
sur IR et prenant ses valeurs dans ]0;+∞[ .
Définition :
• la fonction exponentielle, notée exp, est la fonction qui à tout nombre réel x associe le
nombre strictement positif unique y tel que x = ln y .
• Exp :
x a y = exp x définie par x = ln y
IR → ]0;+∞[
Exemples : (à constater avec la calculatrice)
exp 0=1
exp 1 = e
D’après cette définition, nous en déduisons que :
Pour tout nombre réel x et tout nombre réel strictement positif y,
y = exp x si et seulement si x = ln y
Remarques :
• Pour tout nombre réel x, exp x >0
• Pour tout nombre réel x, ln( exp x ) = x
• Pour tout nombre réel de ]0;+∞[ , exp(ln x ) = x
2.
Notation ex
Nous savons que pour tout nombre entier relatif n, ln e n = n
Donc en prenant l’exponentielle de chacun de ces nombres, on a : exp ln e n = exp n
(
En définitive comme exp ln e
n
)=e
(
n
)
n
, pour tout entier relatif n, exp n=e
Or, exp x est définie pour tout nombre réel x.
On convient de définir ex lorsque x est un nombre réel en étendant l’égalité précédente aux
nombres réels :
x
Pour tout nombre réel x, on a : exp x = e
Nous pouvons réécrire les résultats de la manière suivante :
• Pour tout nombre réel x et tout nombre réel strictement positif y, y = e x ssi x = ln y
• Pour tout nombre réel x, ex >0
• Pour tout nombre réel x, ln e x = x
• Pour tout nombre réel de ]0;+∞[ , e ln x = x
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Page 39
3.
Relation fonctionnelle
La fonction ln « transforme un produit en une somme ». On établit que la fonction
exponentielle « transforme une somme en un produit ».
Pour tous nombres réels a et b, e a +b = e a × e b
Conséquences :
Pour tous nombres réels a et b, e − a =
1
,
ea
e a −b =
ea
eb
( )
Pour tout nombre réel a et pour tout nombre entier relatif n, e a
4.
n
= e na
Etude des variations – Courbe représentative
Etudions les variations de la fonction exponentielle définie sur IR par x a e x .
4.1. Dérivée
Nous admettons le théorème suivant :
Théorème :
La fonction exponentielle est dérivable sur IR et est égale à sa fonction dérivée.
La fonction dérivée de f : x a e x est f’ : x a e x .
4.2. Sens de variation
Pour tout nombre réel x, (exp)’(x)=ex>0
Donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur IR
4.3. Limites en −∞ et +∞
Nous savons que lim ln x = −∞ et lim ln x = +∞
x→+∞
x →0
Nous admettons que :
lim e x = 0
x→−∞
4.4.
−∞
x
(e )
x
′
et
lim e x = +∞
x→+∞
Tableau de variation
+∞
+
= ex
+∞
x
e
0
4.5.
Courbe représentative
r r
Le plan est muni du repère orthonormal (0; i , j ) .
Les courbes représentatives des fonctions exp et ln se déduisent l’une de l’autre par la symétrie
orthogonale d’axe la droite d’équation y = x.
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Page 40
y = ex
y=ln x
x
f(x)
-3
-2
-1
x
f(x)
0
1
2
Remarque :
La courbe exponentielle
admet pour asymptote
l’axe des abscisses, ce qui
est
l’interprétation
de
x
lim e = 0 .
x→−∞
y=x
ex
en +∞
x
A l’aide de la calculatrice, lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes, on remarque que
ex
devient de plus en plus grand.
x
ex
On admet que : lim
= +∞
x→+∞ x
4.6.
5.
Limite de
Fonction composée de la forme eu
5.1. Dérivée
D’après le théorème sur la dérivations des fonctions composées, on a :
Théorème :
( )
Si u est dérivable sur un intervalle I, alors la fonction eu est dérivable sur I et : e u
′
= u ′e u
Exemple : Déterminer la dérivée de f(x) = e4x-2
5.2.
Primitives
Inversement
Théorème :
Si sur un intervalle une fonction f est telle que f ( x ) = u ′( x )e u ( x ) , alors les primitives F de f sur I
sont définies par F ( x ) = e u( x ) + C
(C étant une constante réelle quelconque)
Exemple : Déterminer la primitive de f(x)=e3x+ 2.
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Page 41
6.
Nombre ab
6.1. Définition
Soit a un nombre réel strictement positif
Pour tout entier relatif n, ln a n = n ln a
Donc exp ln a n = exp(n ln a ) . On élargit ce résultat pour tout nombre réel b.
Définition
Soit a un nombre réel strictement positif et soit b un nombre réel : a b = e b ln a
(
)
Exemple : Calculer : 3,13,5. On utilisera la touche xy ou la touche ^
6.2. Propriétés
On peut démontrer les résultats suivants
Pour tous nombres strictement positifs a et a’, pour tous nombres réels b, c : a b > 0
(aa ′) b
a b +c = a b × a c
a
a
−b
= a b × a ′b
b
1
= b
a
1
 1
  = b
 a
a
ab
= c
a
ab
 a
  = b
 a'
a′
b−c
(a )
b c
b
= a bc
ln a b = b ln a
7.
Fonction exponentielle de base a
7.1.
Définition
Définition :
Soit a un nombre réel strictement positif.
La fonction définie sur IR par x a a x = e x ln a est appelée fonction exponentielle de base a.
Exemple : la fonction f : x a 2 x = e x ln 2 est la fonction exponentielle de base 2. Elle prend les
valeurs suivantes au voisinage de 0.
x
-0,1
-0,01
-0,001
0,001
0,01
0,1
f(x)
7.2. Sens de variation – courbe représentative
Soit a un nombre réel strictement positif, fixé.
0<a<1
a >1
x
f’(x)
−∞
+∞
+∞
x
f’(x)
-
f(x)=ax
+∞
+
+∞
f(x)=ax
0
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−∞
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0
Page 42
0<a<1
y = eαx
a >1
y = eαx
y=ax
r
j
r
j
r
i
O
y=ax
O
Remarque : En posant ln a = α , les deux conditions deviennent
0<a<1
r
i
a >1
α<0
α >0
On observe alors graphiquement le comportement de eαx en +∞ et en −∞ :
Si α >0 , alors
Si α <
0, alors
lim e αx = 0
x→−∞
et
lim e αx = +∞
x→+∞
lim e αx = +∞
x→−∞
et
lim e αx = 0
x→+∞
7.3. Fonctions puissances
Fonctions définies sur IR par x → x n , avec n entier naturel non nul.
1.
Fonctions carrée – cube. p 273
Fonctions définies sur IR* par x →
2.
1
= x −n , avec n entier naturel
n
x
non nul.
Fonctions inverse. p 274
Fonctions définies sur ]0;+∞[ par x → x α , avec α nombre réel.
3.
Définition
Soit α un nombre réel.
• On appelle fonction « puissance α » la fonction
f α (x ) = x = e
α
•
α ln x
fα
définie sur
]0;+∞[
par
.
′
f α : x a x α est dérivable sur ]0;+∞[ et f α ( x ) = αx α −1
Deux cas :
α <0
et
α >0
Livre page 275
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@ E. Poulin
Page 43
4.
Fonctions. x a n x avec n entier naturel non nul.
Définition :
• Soit n un nombre entier naturel non nul.
La fonction racine nième est la fonction qui à tout nombre x de [0;+∞[ associe le nombre unique y
de [0;+∞[ tel que y n = x .
La fonction est définie par : f : x a = n x
•
Pour tout nombre entier naturel non nul n, pour tous nombres x et y de [0;+∞[ ,
n
x=x
1
n
1
n
y = x = n x si et seulement si y n = x
5.
Croissance comparée des fonctions x a exp x , x a x n et x a ln x
en +∞
ln x
lim
=0
x→+∞ x n
Toute fonction puissance « croit plus vite » que la fonction ln
ex
On vient d’admettre que lim
= +∞
x→+∞ x
La fonction exponentielle « croît plus vite » que toute fonction puissance
Au chapitre précédent, on a admis que et
Pour des grandes valeurs de x, les nombres ln x, x, x2, x3, ex se classent dans cet ordre du
plus petit au plus grand.
ex
x3
2
x
x
ln x
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xn
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Page 44
8. Probabilités
8.1. Introduction historique
Les jeux de hasard existe depuis l’antiquité : Les jeux de dés en particulier. C’est de ces
différents jeux que viennent les origines des mots actuellement utilisés en probabilité :
Aléa vient du latin alea qui signifie « coup de dé ».
Hasard vient de l’arabe az-zahr qui signifie « jeu de dé ».
Jusqu’au XVIème siècle Beaucoup de problèmes restaient sans solution. Par exemple le
grand duc de Toscane, grand amateur de jeux de hasard avait remarqué qu’en lançant trois dés
simultanément, le total 10 revenait plus souvent que le total neuf, alors que 10 et 9 se
décomposent de la même manière.
FAIRE LA DECOMPOSITION
C’est Galilée (1564 – 1642) mathématicien physicien et astronome italien qui résolut le
premier ce problème.
Pascal (1623-1662) mathématicien, physicien, philosophe français est considéré comme
le fondateur du calcul des probabilités en généralisant des méthodes issues de cas particuliers.
Aujourd’hui, les probabilités sont utilisées dans presque tous les secteurs : assurance,
gestion, économie, génétique, médecine, physique des particules…
L’informatique peut même simuler le hasard : La touche Ran # ou RND permet d’obtenir
un nombre pseudo-aléatoire. .
8.2. Probabilités
1.
Vocabulaire
1.1.
Expérience aléatoire
Lorsque dans une situation donnée, nous disposons de certaines informations, mais nous
ne pouvons connaître à l’avance le résultat car le hasard intervient, On dit qu’il s’agit d’une
expérience aléatoire.
Exemple :
- Situation 1 : Lancer un dé cubique
- Situation 2 : Tirer une carte au hasard dans un jeu de 32.
- Situation 3 : Jouer deux fois à pile ou face en lançant une pièce
1.2.
Univers
Définition :
Dans une expérience aléatoire, l’univers est l’ensemble de tous les résultats possibles.
On note souvent cet ensemble Ω.
Exemples :
- Situation 1 : Ω={1,2,3,4,5,6}
- Situation 2 : Ω est l’ensemble des 32 cartes du jeu
- Situation 3 : Ω est l’ensemble des couples suivant : (pile, pile), (pile, face),
(face, pile) (face, face).
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Page 45
1.3.
Evènement
Définition :
• Un événement est une partie de l’univers
• Un événement élémentaire est un événement possédant un seul élément.
• Deux événement sont disjoints ou incompatibles si et seulement si A ∩ B = ∅
• L’événement contraire d’un événement A est l’événement A constitué des éléments de
Ω n’appartenant pas à A.
Exemples issu de la situation 1 :
- A={1,2,3} est un événement de Ω={1,2,3,4,5,6}
- L’événement « obtenir 3 » est un événement élémentaire.
- L’événement « obtenir un nombre pair est P={2,4,6}
- L’événement contraire à P est l’ensemble P ={1,3,5}
- P et P sont deux événements incompatibles.
2.
Probabilité
Exemples issus de la situation 1. (le dé n’est pas pipé)
1
.
6
A partir de cela, la probabilité d’obtenir l’événement A={1,2,3} est la somme des probabilités
pour obtenir l’événement élémentaire {1} puis {2} puis {3}.
1 1 1
1
Donc la probabilité d’obtenir l’événement A={1,2,3} est + + , c’est à dire
6 6 6
2
Définition :
Soit Ω un univers fini.
• La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires
qui le constituent.
• La probabilité de Ω est 1.
Notation
La probabilité d’un événement A est notée P(A).
La probabilité d’obtenir l’événement élémentaire {3} est de
Exemples issus de la Situation 2 :
- Déterminer la probabilité d’obtenir un valet de cœur.
- Déterminer la probabilité d’obtenir un cœur.
- Déterminer la probabilité d’obtenir un valet.
3.
Equiprobabilité
Définition : L’équiprobabilité correspond au cas où tous les événements élémentaires ont la
même probabilité.
Théorème : (admis) Dans le cas où tous les événements élementaires ont la même
probabilité, leur probabilité commune est :
1
nombre d’éléments de Ω
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Page 46
Exemple : Cf situations précédentes.
Théorème : (admis) Dans le cas où tous les événements élementaires ont la même
probabilité, la probabilité d’un événement A est :
Nombre d’éléments de A
Nombre de cas favorables
P(A)= Nombre d’éléments de Ω
= Nombre de cas possibles
Exemple : Cf situations1 et 2 précédentes.
Attention : Dans la situation 3 il y a 4 événements équiprobables.
Mais attention : obtenir « 1 fois pile et 1 fois face dans un ordre quelconque » n’est pas
un événement élémentaire. Il y a deux possibilités sur 4 cas favorable soit une probabilité de ½.
4.
Propriétés :
4.1.
Evénements disjoints
Théorème : (admis) : Pour tout événement disjoint A, B, P( AUB ) = P( A) + P( B )
4.2.
Evénements complémentaire
Théorème : Pour tout événement A P( A ) = 1 − P( A)
Démonstration : On sait que A et A sont deux événements disjoints et que A ∪ A = Ω
D’après 3.2, on a donc P( AUA ) = P( A) + P( A ) , mais P( AUA ) = P(Ω) = 1
D’où P( A ) = 1 − P( A)
4.3.
CAS GENERAL
Théorème : (admis)
Pour tout événement A, B, P( AUB ) = P( A) + P( B ) − P( A ∩ B )
Pour dénombrer, on utilise généralement l’un de ce trois schémas
Diagramme de Venn
Arbre des événements
Choix
pour A
Choix
pour B
Diagramme de Caroll
Alice au pays des merveilles,
c’est lui !!!!!
B
B
A
A∩ B
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B
A
Ω
A
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8.3. Variable aléatoire
1.
Exemple de Variable aléatoire
Tirons au hasard une boule d'une urne contenant une boule rouge R, une boule verte V et une boule bleue B. Remettons-la
dans l'urne et effectuons un second tirage d'une boule, chacune des trois boules ayant, dans ce cas aussi, la même probabilité
d'être choisie.
Comme nous l'avons vu au chapitre précédent, on peut calculer des probabilités concernant cette situation ; choisissons, par
exemple, comme univers Ω l'ensemble de tous les couples dont le premier élément est la boule obtenue au premier tirage et
le second, celle obtenue lors du second tirage.
1er tirage
ème
2
R
V
B
R
V
B
(R, R)
(R, V)
(R, B)
(V, R)
(V, V)
(V, B)
(B, R)
(B, V),
(B, B)
tirage
D'après l'énoncé, les neuf événements élémentaires sont équiprobables : leur probabilité commune est donc 1
9
Nous pouvons alors calculer la probabilité de tout événement ainsi, par exemple, la probabilité de tirer au moins une boule verte
est :
P({(R, V), (V, R), (V, V), (V, B), (B, V)}) = 5
9
Complétons la situation précédente par une règle du jeu
Pour chaque boule rouge tirée, on gagne 6 €.
Pour chaque boule verte tirée, on gagne 1 €.
Pour chaque boule bleue tirée, on perd 4 €.
Soit X l'application de Ω dans IR qui, à tout tirage de deux boules décrit au paragraphe précédent, associe le gain ainsi obtenu ;
une perte est considérée comme un gain négatif.
(R, R)
(V, R)
(R, V)
(B, R)
(V, V)
(R, B)
(V, B)
(B, V)
(B, B)
12
7
2
-3
-8
X :ω a X (ω ) , gain obtenu avec le tirage ω.
Ω → IR.
X est une variable aléatoire à valeurs réelles.
L’ensemble {-8, -3, 2, 7, 12} des gains possibles, c'est-à-dire des valeurs prises par X, est noté X(Ω) .
X(Ω) = {-8, -3, 2, 7, 12} est l'image de Ω par X.
Une grandeur numérique X prenant , lors d’une expérience aléatoire, des valeurs x1 , x 2 ,..., x n
avec des probabilités p1 , p 2 ,..., p n , est une variable aléatoire
2.
Loi de probabilité ou distribution d'une variable aléatoire
Dans la situation décrite ci-dessus, un joueur préfère, avant de jouer, connaître la probabilité de gagner 12 € ou de perdre 3 €
plutôt que celle de tirer telle ou telle boule de couleur.
Aussi allons-nous chercher à bâtir, à partir de la probabilité P définie sur Ω, une nouvelle probabilité P’ définie sur X(Ω) = {-8, 3, 2, 7, 12}. Pour toute partie E de X(Ω) , on veut définir une probabilité P'(E) à l'aide de P et de X.
Observons par exemple sur la figure le singleton {2} de X(Ω) . Il est l'image par X de la partie { (B, R), (V, V), (R, B) } de Ω.
Or P({ (B, R), (V, V), (R, B) }) = 3 9 = 1 3
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Page 48
Aussi est-il « naturel » de poser P'( 2 )=
1
3
De même, soit G l'événement « avoir un gain positif ».
G = {2, 7, 12} puisque X(Ω)= {-8, -3, 2, 7, 12}.
G est l'image de X de la partie { (R, R), (V, R), (R, V), (B, R), (V, V), (R, B) }
de Ω constituée de six événements élémentaires de Ω.
Donc P({ (R, R), (V, R), (R, V), (B, R), (V, V), (R, B)}) = 6 9 = 2 3
Il est naturel de poser P'(G)=
2
3
On obtient alors :
-8
1/9
k
P(Y = k)
-3
2/9
2
1/3
7
2/9
12
1/9
Ce tableau de valeurs définit une fonction f : k a f (k ) = P( X = k )
Cette fonction s’appelle loi de probabilité associée à la variable aléatoire X
Définition
Soit X une variable aléatoire prenant pour valeurs les nombres x1 , x 2 ,..., x n avec des probabilités
p1 , p 2 ,..., p n .
La loi de probabilité ou distribution associée à la variable aléatoire X est la fonction f qui à
chaque nombre xi associe la probabilité p i .
: f : xi a f ( xi ) = P ( X = xi ) = pi
X (Ω) → [0,1]
Tableau de valeurs
diagramme en bâtons
1/3
k
P(Y = k)
-8
1/9
-3
2/9
2
1/3
7
2/9
12
1/9
2/9
1/9
-8
-3
2
7
12
Remarque
Les informations contenues dans ce tableau de valeurs suffisent pour calculer la probabilité de n'importe quelle
partie de X(Ω).
Fonction de répartition
3.
Nous avons déjà vu, au paragraphe 1.3, que P(G)=
2 où
G = {ω ∈ Ω; X (ω ) > 0} (G : « avoir un gain positif »).
3
On convient de noter P(G) = P(X > 0) ; de même, pour l'événement contraire, on note P( G ) = P( X ≤ 0 ).
D'une manière générale, pour tout nombre réel x, on note P( X ≤ x ) le nombre réel
Par exemple, P( X ≤ 0 ) =
(
P {ω ∈ Ω; X (ω ) ≤ x}
)
1
3
Définition
La fonction de répartition de la variable aléatoire X est la fonction F: x a F ( x ) = P( X ≤ x )
 → 
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Représentation graphique de F
1
2/3
1/3
-8
-3
0
2
7
12
F(x) est la somme des nombres P(X = k) , s'ils existent, pour lesquels k appartient à X(Ω) et k ≤ x .
Les nombres P(X = k) appartenant à [0, 1], la fonction F est croissante (au sens large) sur IR .
F(x) = 0 pour tout x < -8.
F(x) = 1 pour tout x > 12.
Ce dernier résultat est à rapprocher de P'(X(Ω) = 1 .
Remarque
La donnée de F suffit à définir X : en effet, par différence, on peut retrouver la loi de probabilité de X.
Ainsi F (7) = 8 et F (6,5) = 2 ; comme 7 est le seul élément de X(Ω) appartenant à l'intervalle [6, 5 ; 7], on a
3
9
P(X = 7) = F(7) - F(6,5), donc P(X = 7) = 2 .
9
Cependant pour une variable aléatoire comme X, il est plus simple d'utiliser la loi de probabilité que la fonction de
répartition.
4.
Espérance mathématique
Nous souhaitons dégager une « tendance centrale » des valeurs prises par une variable aléatoire.
4.1.
Exemple
Reprenons l'exemple. On a obtenu la distribution suivante pour X:
k
-8
-3
2
7
12
P(X = k)
1
9
2
9
1
3
2
9
1
9
La somme des gains multipliés par leur probabilité est :
2
1
2
1
1
× ( −8) + × ( −3) + × 2 + × 7 + × 12 = 2
9
9
3
9
9
Ce nombre est, par définition, l'espérance mathématique de X ; on le note E(X).
C'est le gain moyen qu'un joueur obtiendrait s'il jouait un très grand nombre de fois.
4.2.
Définition
L’espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète prenant n valeurs xi avec les
n
probabilités P(X = xi) = pi, où 1 < i < n, est E ( X ) = ∑ pi xi = p1 x1 + p 2 x 2 + K + p n x n
i =1
Remarque : Un jeu est équitable si l'espérance mathématique de la variable aléatoire mesurant le gain est
égale à la mise. Ainsi, dans l'exemple, comme E(X) = 2, le jeu est équitable si un joueur doit payer 2 €
par partie.
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Page 50
5.
Variance, écart-type
En statistique, il est intéressant non seulement d’avoir un indicateur de tendance, mais aussi un indicateur de
dispersion. Ce dernier nous est donné en calculant la variance, puis l’écart-type.
La variance d'une variable aléatoire X prenant n valeurs xi avec les probabilités pi = P ( X = xi )
est
2
2
2
V ( X ) = p1 ( x1 − E ( X ) ) + p 2 ( x 2 − E ( X ) ) + K + p n ( x n − E ( X ) ) .
L’écart type de X est σ ( X ) = V ( X )
Pour éviter les erreurs de calculs, on utilise le résultat que nous admettrons ici :
2
2
2
2
V ( X ) = p1 x1 + p 2 x 2 + K + p n x n − (E ( X ))
(
• V(X) =
)
100
et σ ( X ) = 5,77 pour les gains avec le tirage de boules dans l'urne.
9
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Page 51
9. Equations différentielles
9.1. Introduction
La notion d’équation différentielle apparaît vers 1690 avec Huyghens et Leibniz. Ce sont des
problèmes d’originie mécanique et géométrique, comme le mouvement d’un pendule qui conduit
à une équation différentielle du second ordre θ ′′ + mgθ = 0 , ou l’équation modélisant une corde
soumise à son poids et suspendue entre 2 poteaux.
C’est d’abord Euler en 1739 qui résolut les équation du type y ′ = ay , mais beaucoup
d’équations restaient sans solution. Il fallut attendre les travaux de Poincaré vers 1870, et enfin le
développement des moyens de calcul au XXème siècle pour exploiter pleinement les solutions à
ces équations
9.2. Résolution de l’équation différentielle
y ′ = ay
Nous adoptons la notation y et y’ au lieu de f et f’ pour désigner une fonction et sa dérivée
intervenant dans une équation différentielle.
De plus la dérivée de f : t a N ( t ) ou de g: x a y
dN
dy
pourra être notée
au lieu de f’ ou
au lieu de g’.
dt
dx
1.
Cas général
Théorème admis :
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y ' = ay , où a est un nombre réel, est
l’ensemble des fonctions définies sur IR par x a Ce ax où C est une constante réelle quelconque.
2.
Existence et unicité de la solution vérifiant une condition initiale
donnée
Exemple :
Définissons les solutions f de l’équation différentielle y ' = 2 y telles que f ( 0) = 3 .
Les solutions de l’équation différentielle sont les fonctions définies sur IR par
x a y = f ( x ) = Ce 2 x .
f ( 0) = 3 équivaut à Ce 0 = 3 ; donc C=3.
Il y a donc une seule fonction solution de l’équation différentielle vérifiant la condition
f ( 0) = 3 ; la fonction f définie sur IR par f ( x ) = 3e 2 x .
Théorème :
L’équation différentielle y ' = ay admet une solution f, et une seule, définies sur IR, vérifiant la
condition initiale f ( x 0 ) = y 0 où x0 et y0 sont donnés.
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3.
Exemples+livre page 374
Définissons les solutions f de l’équation différentielle y ' = 2 y telles que f ( 0) = 3 .
Les solutions de l’équation différentielle sont les fonctions définies sur IR par
x a y = f ( x ) = Ce 2 x .
f ( 0) = 3 équivaut à Ce 0 = 3 ; donc C=3. (car e 0 = 1 )
Il y a donc une seule fonction solution de l’équation différentielle vérifiant la condition
f ( 0) = 3 ; la fonction f définie sur IR par f ( x ) = 3e 2 x .
9.3. Résolution de y’’+ω2y=0
Nous admettons le théorème suivant :
Théorème :
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y"+ω 2 y = 0 , où ω est un nombre réel non
nul, est l’ensemble des fonctions définies sur IR par x a A cos ωx + B sin ωx , où A et B sont des
constantes réelles quelconques.
Exemple :
1) Résoudre l’équation 4 y"+9 y = 0
9
π 
2) Déterminer la solution vérifiant les conditions f   = 3 et f ′(π ) =
2
3
9
1) 4 y"+9 y = 0 équivaut à y"+ y = 0 Donc les solutions sont les fonctions définies par
4
3
3
f : x a A cos x + B sin x avec A et B deux constantes réelles quelconques.
2
2
2)
π
π
π 
π 
f   = 3 donc f   = A cos + B sin = B = 3
2
2
3
3
3
3
3
3
• f ′( x ) = − A sin x + B cos x
2
2
2
2
9
3
3π 3
3π 3
donc f ′(π ) = = − A sin
+ B cos
= A donc A=3
2
2
2 2
2
2
3
3
• Ainsi, f ( x ) = 3 cos x + 3 sin x
2
2
•
Théorème :
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y"+ω 2 y = 0 , où ω est un nombre réel non
nul, est l’ensemble des fonctions définies sur IR par x a A cos ωx + B sin ωx , où A et B sont des
constantes réelles quelconques.
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