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Chapitre 4bis
STATISTIQUES 2 : MOYENNE, MEDIANE, ECART-TYPE
BAC PRO 3
Objectifs (à la fin du chapitre, je dois être capable de …) :
- Calculer une moyenne
- Calculer une médiane (caractère discret)
- Tracer un polygone des FCC et déterminer une médiane.
I.
- Calculer une variance
- Calculer un écart-type
Moyenne d'une série statistique
Activité 1
Une enquête a été réalisée auprès d'élèves d'une classe de CAP Photo. La question posée est la
suivante : "Quelle est la note obtenue au dernier contrôle de maths ?".
Les réponses obtenues sont les suivantes : 06 – 12 – 15 – 07 – 07 – 12 – 14 – 18 – 12 - 18.
1. Quelle est la population étudiée ?
La population étudiée est l'ensemble des élèves d'une classe de CAP photo.
2. Quel est le caractère étudié ?
Le caractère étudié est la note obtenue au dernier contrôle de maths.
3. Le caractère est-il qualitatif ? quantitatif ? discret ? continu ?
Le caractère est quantitatif et discret.
4. Compléter le tableau suivant à l'aide des données de l'énoncé.
Note obtenue
xi
Effectif
ni
Produit
xi × ni
x1 = 06
1
6
x2 = 07
2
14
x3 = 12
3
36
x4 = 14
1
14
x5 = 15
1
15
x6 = 18
2
36
10
121
TOTAL
N=
5. Calculer la moyenne de cette série statistique
121
= 12,1. La moyenne de cette classe est de 12,1/20.
10
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6
Activité 2
Une enquête relative à la corpulence de 150 enfants d'une crèche a donné les résultats suivants :
Poids
(en kg)
Nombre
d'enfants ni
Centre des
classes xi
Produit
xi × ni
[0 ; 3[
30
1,5
45
[3 ; 4[
27
3,5
94,5
[4 ; 5[
15
4,5
67,5
[5 ; 7[
18
6
108
[7 ; 9[
54
8
432
[9 ; 12[
6
10,5
63
TOTAL
N = 150
810
1. Compléter la deuxième colonne du tableau.
2. Le caractère étudié est-il discret ou continu ?
Le caractère étudié est continu.
3. Calculer les centres de classe et compléter la troisième colonne du tableau.
4. Compléter la dernière colonne du tableau.
5. Calculer le poids moyen des bébés de cette crèche.
810
= 5,4. Le poids moyen d'un enfant de cette crèche est de 5,4 kg.
150
À retenir
Pour calculer la moyenne d'une série statistique,
si le caractère est discret, il faut :
si le caractère est continu, il faut :
calculer l'effectif total N
calculer l'effectif total N
calculer les produits xi × ni
calculer les centres de classe xi
effectuer la division
xi × ni
N
calculer les produits xi × ni
effectuer la division
xi × ni
N
Exercices n°1 / 2 / 3
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II.
Médiane et Fréquences Cumulées Croissantes
Activité 1
Une élève de BEP a un les notes suivantes au 1er trimestre : 05 – 11 – 14 – 08 – 13
1. Classer ces notes dans l'ordre croissant. 05 – 08 – 11 – 13 - 14
2. Quelle est la note qui se trouve "au milieu" ? 11 se trouve au milieu : c'est la médiane.
Un autre élève, qui a fait un devoir supplémentaire, a obtenu comme notes : 15 – 13 – 18 – 14 – 11 – 05
1. Classer ces notes dans l'ordre croissant. 05 – 11 – 13 – 14 – 15 - 18
2. Quelle note se trouve "au milieu" ? 13 et 14 se trouvent au milieu.
13+14
= 13,5. 13,5 est la médiane.
2
À retenir
La médiane est la valeur centrale ("du milieu") d'une série statistique.
Cette valeur sépare la population en deux parties égales.
Pour déterminer la médiane dans le cas d'un caractère discret, il faut :
•
•
Classer les valeurs dans l'ordre croissant.
Trouver la valeur du "milieu"
Dans le cas d'un nombre pair de
valeurs, il faut calculer la moyenne
des 2 valeurs du milieu. Cette
valeur est la médiane.
Dans le cas d'un nombre
impair de valeurs : la médiane
est la valeur "du milieu".
Activité 2
La prime annuelle de 40 employés d'une entreprise se répartit de la façon suivante :
Prime
(en €)
Nombre
d'employés ni
Centre
de classe
Fréquence
fi
Fréquences cumulées
croissantes
[0 ; 60[
10
30
0,25
0,25
[60 ; 100[
4
80
0,10
0,35
[100 ; 200[
8
150
0,20
0,55
[200 ; 300[
12
250
0,30
0,85
[300 ; 500[
6
400
0,15
1
N=
40
1
1. Calculer les centres de classe et compléter la troisième colonne.
2. Calculer les fréquences fi de répartition des primes et compléter la quatrième colonne.
Calcul d'une fréquence :
Une fréquence est égale à la valeur décimale d'un pourcentage.
Ex : La fréquence qui correspond à 25 % est 0,25.
Remarque : la somme des pourcentages est égale à 100 % ; la somme des fréquences est égale à 1.
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3. Calculer les effectifs cumulés croissants.
4. Construire ci-dessous le polygone des fréquences cumulées croissantes.
Construction du polygone des FCC
-
L’axe horizontal porte le caractère étudié. (Ici le montant de la prime).
-
L’axe vertical porte les fréquences cumulées croissantes.
-
Placer les points de coordonnées (valeur maximale de la classe ; FCC)
-
Relier ces points suivants des bouts de droites.
Fréquence
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
M
0,4
0,3
0,2
0,1
0
100
200
400
300
Prime (€)
500
5. Placer le point M d'ordonnée 0,5. Quelle est l'abscisse correspondante ?
L'abscisse du point M est environ égale à 175.
6. Quel est le pourcentage d'employés ayant moins de 175 € de prime ?
50 % des employés ont moins de 175 euros de prime.
7. Quel est le pourcentage d'employés ayant plus de 175 € de prime ?
50 % des employés ont plus de 175 euros de prime.
À retenir
Pour déterminer la médiane dans le cas d'un caractère continu, il faut :
o Construire un tableau contenant :
• Les effectifs ni.
• Les centres de classe xi.
• Les fréquences.
• Les fréquences cumulées croissantes.
o Tracer le polygone des fréquences cumulées croissantes (ou polygone des ECC, voir exercices).
o Placer le point M ayant pour coordonnées une fréquence de 0,5.
o Lire la valeur de la médiane m (abscisse du point M).
Exercices n°4 / 5 / 6
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III.
Variance et Ecart-type
Activité
On considère deux classes de BEP secrétariat d'un même lycée. Voici la répartition des notes dans
les deux classes, pour le même contrôle. Classe 1 : 07 – 09 – 10 – 11 – 12 – 13 - 15
Classe 2 : 01 – 03 – 05 – 15 – 16 – 18 - 19
1. Calculer la moyenne des notes dans les deux cas.
Classe 1 : x 1 =
07 + 09 + 10 + 11 + 12 + 13 + 15 77
=
= 11
6
7
Classe 2 : x 2 =
01 + 03 + 05 + 15 + 16 + 18 + 19 77
=
= 11
6
7
2. Placer dans les repères ci-dessous les 7 notes de chaque classe, ainsi que la moyenne.
20
20
15
15
10
10
05
05
0
0
3. Que remarque-t-on quant à la répartition des notes autour de la moyenne ?
Dans le 1er cas, les notes sont plus rapprochées autour de la note moyenne.
4. Nous allons désormais montrer cet "écart à la moyenne" par le calcul. Pour cela, remplir les
tableaux suivants :
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Statistiques 2
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6
Notes xi
Effectif ni
|xi - x |
ni(xi – x )²
Notes xi
Effectif ni
|xi - x |
ni(xi – x )²
07
1
4
16
01
1
10
100
09
1
2
4
03
1
8
64
10
1
1
1
05
1
6
36
11
1
0
0
15
1
4
16
12
1
1
1
16
1
5
25
13
1
2
4
18
1
7
49
15
1
4
16
19
1
8
64
7
7
42
354
5. Calculer la moyenne des carrés des écarts à la moyenne dans les deux cas :
Cas n°1 : V =
42
=6
7
Cas n°2 : V =
354
≈ 50,6
7
6. Calculer la racine carrée de ces valeurs.
Cas n°1 : σ = V =
Cas n°2 : σ = V =
6 ≈ 2,45
50,6 ≈ 7,11
À Retenir
Pour calculer la variance, il faut :
calculer la moyenne
calculer l'écart à la moyenne (xi - x )
calculer le carré des écarts à la moyenne (xi - x )²
calculer la moyenne des écarts à la moyenne
n1(x 1 - x )² + n 2 (x 2 - x )² + …
N
Pour trouver l'écart-type, il faut calculer la racine carrée de la variance : σ =
V
Remarque : plus les valeurs prises par le caractère seront centrées autour de la valeur moyenne, plus la
variance et l'écart-type seront de petites valeurs.
Exercices n°7 / 8
chapitre 4bis
Statistiques 2
6/6
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