MODULE M41 COURS DE MATHÉMATIQUES

BTSA
Tronc Commun
MODULE M41
COURS DE MATHÉMATIQUES
Version 2.0 — Septembre 2009
1
Statistiques à une variable
1.1
Vocabulaire de la statistique
1.1.1 Population et individus
La statistique a pour objet le traitement de données brutes issues d’observations. En les rassemblant et
en les organisant, elle s’efforce de dégager des caractéristiques qui permettent leur interprétation
Définitions
Les observations sur lesquelles opère le statisticien sont tirées d’un ensemble appelé population. Les éléments de cet ensemble sont appelés individus ou unités statistiques. Tout sous-ensemble non vide de la
population est appelé échantillon.
✍ MÉTHODE 1
1. Lorsque l’on étudie la répartition de l’âge des élèves d’un établissement scolaire, quelle est la population ? Quelle est l’unité statistique ? Donner un exemple d’échantillon.
2. Si l’on s’intéresse à la fréquence des œufs cassés dans la production quotidienne d’un élevage de
50000 pondeuses, quelle est la population ? Quelle est l’unité statistique ?
1.1.2 Caractères et modalités
Définition
Une fois la population définie, le statisticien ne s’intéresse qu’à certains aspects ou caractéristiques des
individus en fonction de l’étude qu’il projette. Ces caractéristiques sont appelées caractères statistiques.
Ainsi, dans le cas où la population étudiée est l’ensemble des élèves d’un établissement scolaire, la taille,
le poids, l’âge, le sexe, la couleur des yeux, la catégorie socio-professionnelle du chef de famille... constituent
autant de caractères statistiques.
Définitions
Les caractères statistiques sont quantitatifs s’ils sont mesurables et qualitatifs dans le cas contraire.
Dans l’exemple précédent, le poids, la taille et l’âge sont des caractères quantitatifs ; le sexe, la couleur
des yeux, la catégorie socio-professionnelle sont des caractères qualitatifs.
Définitions
Un caractère statistique quantitatif est appelé variable statistique. Une variable statistique est discrète si
elle ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs. Dans le cas contraire, elle est dite continue.
BTSA
3
Cours
Définition
Après collecte des données, le statisticien range dans une même classe ou rubrique les unités statistiques
qu’il considère comme équivalentes du point de vue du caractère considéré. Ces classes ou rubriques sont
appelées modalités du caractère.
✍ MÉTHODE 2
1. Lorsque l’on étudie la répartition suivant le sexe des élèves d’un établissement scolaire, Quel est le
caractère étudié ? De quel type est-il ? Quelles sont les modalités ?
2. Si l’on étudie la répartition de l’âge des élèves, on peut choisir de regrouper ceux-ci à l’aide des
rubriques 15 ans au plus, 16 ans, 17 ans, 18 ans, 19 ans et 20 ans et plus. Quel est le caractère
étudié ? Combien a-t-il de modalités ? Proposer une répartition en deux classes.
3. Le nombre d’enfants par famille à l’intérieur de la population française est une variable de quel type ?
4. Le taux de cholestérol des individus d’une population donnée peut être considéré comme une variable
de quel type ?
1.2
Séries statistiques
Définitions
• L’effectif associé à une modalité d’un caractère statistique est le nombre de fois que l’on rencontre cette
modalité dans la population observée.
• La fréquence associée à une modalité d’un caractère statistique est le rapport entre l’effectif de la modalité et l’effectif total de la population observée.
Si l’on désigne par x 1 , x 2 , · · · x i , · · · x k les différentes modalités du caractère x étudié dans la population,
on présente généralement les données à l’aide d’un tableau.
Modalités du caractère x
Effectifs ni
Fréquences f i
En posant N = n1 + n2 + ... + nk =
k
X
x1
n1
f1
x2
n2
f2
ni , on peut écrire f i =
i=1
...
...
...
ni
N
xi
ni
fi
...
...
...
xk
nk
fk
.
Propriété
k
X
f i = f1 + f2 + ... + f k = 1
i=1
✍ MÉTHODE 3
Sur une exploitation de 196 hectares, la répartition des cultures est la suivante
Culture
Surface
Fréquences
Blé tendre
110 ha
Maïs fourrage
40 ha
Calculer les fréquences de cette série statistique.
Définition
On appelle série statistique la donnée
• de la population étudiée ;
• du caractère étudié dans la population ;
• de l’effectif, ou de la fréquence, de chaque modalité du caractère.
Sorgho
30 ha
Orge
16 ha
Cours
1.3
4
BTSA
Représentations graphiques des séries statistiques
1.3.1 Caractères qualitatifs
Deux types de représentation sont généralement employés : les diagrammes à bandes et les diagrammes
à secteurs. Dans les deux cas, les effectifs (ou les fréquences) des modalités sont représentés par des aires
qui leur sont proportionnelles.
✍ MÉTHODE 4
Terres
cultivées
Dans une ferme d’élevage, la répartition des 240 hectares de terres est représentée ci-contre.
Vergers
1. Calculer la surface des herbages, des terres cultivées et des vergers.
Herbages
2. Construire le diagramme à bandes correspondant.
1.3.2 Caractères quantitatifs : Variables discrètes
Pour représenter graphiquement une variable discrète, on utilise un diagramme en bâtons. À cet effet,
on porte en abscisses les valeurs de la variable et l’on trace pour chacune d’elles, parallèlement à l’axe des
ordonnées, des segments dont la longueur est proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence) correspondant.
✍ MÉTHODE 5
Voici le diagramme en bâtons représentant le nombre de journées d’absence des salariés d’une entreprise
de travaux paysagers au cours de l’année passée.
14
Effectif
12
10
8
6
4
2
0
Nombres de
journées d’absence
0
1
2
3
4
1
2
5
7
6
8
9
10 11
8
9
Compléter le tableau suivant :
Nombres de jour. abs.
Effectifs
Fréquences
0
3
4
5
6
7
10
11
Total
1.3.3 Caractères quantitatifs : Variables continues
Lorsque le caractère étudié est quantitatif et continu, et lorsque les modalités sont regroupées en classes,
on peut représenter la série par un histogramme : l’aire de chaque rectangle est alors proportionnelle à
l’effectif (ou à la fréquence) associée à chaque classe. Lorsque les classes ont la même amplitude, c’est la
hauteur de chaque rectangle qui est proportionnelle à l’effectif. La notion d’histogramme est à relier à la
notion de densité que l’on utilisera en probabilités et que l’on découvrira en exercice.
BTSA
5
Cours
✍ MÉTHODE 6
Voici un histogramme représentant la répartition de la production par lactation exprimée en kg de lait
d’un troupeau de vaches.
Légende :
2000
2500
= 5 vaches
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
Compléter le tableau suivant :
Lait
Effectifs
Fréq.
1.4
[2250 ; 3000[
[3000 ; 3500[
[3500 ; 4000[
[4000 ; 4500[
[4500 ; 5000[
[5000 ; 6000[
Total
Fonction de répartition d’une variable statistique
Définitions
• Soit une série statistique donnée. On appelle effectif cumulé croissant associé à un nombre réel x le
nombre d’unités de la série dont le caractère possède une valeur inférieure ou égale à x.
• De façon analogue, on appelle fréquence cumulée croissante associée à un réel x, la fréquence des unités
de la série dont le caractère prend une valeur inférieure ou égale à x.
Définition
On appelle fonction de répartition d’une série statistique, la fonction, définie sur R, qui a tout réel x fait
correspondre la fréquence cumulée croissante associée.
F:R→
x 7→
[0, 1]
fréquence des unités de la série dont le caractère prend une valeur inférieure ou égale à x
✍ MÉTHODE 7
Considérons la série suivante :
Nombre de personnes par ménage
Fréquences (%)
Fréquences cumulées croissantes (%)
1
27,6
2
30,9
3
17,3
4
15,4
¾5
8,8
1. Compléter le tableau précédent.
2. Quelle part des ménages comprennent au plus 3 personnes ? Au plus 3,5 personnes ?
Cours
6
BTSA
3. Pour tout réel x de l’intervalle [3 ; 4[, quelle part des ménages comprennent au plus x personnes.
Que peut-on dire de la fréquence cumulée croissante dans l’intervalle [3 ; 4[ ?
4. Si l’on note F(x) la fréquence cumulée croissante associée au réel x, la fonction F est définie sur R
de la façon suivante (à compléter) :
• Si x ∈] − ∞ ; 1[, F(x) = 0
• Si x ∈ [1 ; 2[, F(x) = . . .
• Si x ∈ [2 ; . . . [, F(x) = 0, 585
• Si x ∈ [. . . ; . . . [, F(x) = . . .
• Si x . . . [. . . ; . . . [, F(x) = . . .
• Si . . .
5. Construire la courbe représentative de F. Pourquoi dit-on que cette courbe est une courbe en escalier.
✍ MÉTHODE 8
Considérons la série suivante, répartition des exploitations agricoles françaises selon la taille en 1990
(Source INSEE) :
Superficie de l’exploitation (en ha)
Fréquences (%)
Fréquences cumulées croissantes (%)
[0, 10[
38
[10, 35[
32
[35, 50[
11
[50, 100[
14
[100, 150[
5
1. Compléter le tableau ci-dessus et les remarques suivantes :
• En toute rigueur, on ne connaît que la fréquence des exploitations dont la superficie est strictement
inférieure à la borne supérieure des classes, car celles-ci sont ouvertes à droite. Cependant, puisque
la variable est considérée continue, on néglige la fréquence des exploitations dont la superficie est
exactement égale à 10 ha, 35 ha, 50 ha ou 100 ha. Cette approximation permet d’affirmer que la
fréquence cumulée croissante associée à 35 ha, par exemple, est 70 %.
• Notons F(x) la fréquence cumulée croissante associée à un réel x. La remarque précédente autorise
à écrire F(0) = . . . ; F(10) = . . . ; F(35) = 0, 70 ; F(. . . ) = . . . ; F(. . . ) = . . . et F(. . . ) = . . .
2. La répartition des exploitations en fonction de leur superficie, à l’intérieur de chaque classe, est
inconnue. On fait une approximation supplémentaire en la supposant uniforme. Cela permet de
joindre les points définis précédemment à l’aide de segments dans la représentation graphique de la
fonction F. Tracer la représentation graphique de la fonction de répartition de cette série.
1.5
Réduction des données : les paramètres de position
1.5.1 Le mode
Définition
On appelle mode (ou valeur dominante) d’une série statistique toute modalité du caractère qui possède le
plus grand effectif.
Ce paramètre peut être utilisé dans le cas d’une variable qualitative. Lorsqu’il s’agit d’une variable continue où les données sont regroupées en classes de même amplitude, on parle de classe modale et le mode est
parfois défini comme le centre de la classe modale.
✍ MÉTHODE 9
Une étude statistique portant sur le nombre de grains de raisin contenues dans 1000 grappes de raisin
noir sans pépin (type Autumn Royal) a conduit aux résultats suivants :
Nombre de grains par grappe x
Effectifs n
Quel est le mode de cette série ?
34
30
35
47
36
63
37
93
38
115
39
132
40
132
41
105
42
105
43
77
44
60
45
41
BTSA
7
Cours
✍ MÉTHODE 10
On a mesuré le taux de leucocytes (par mm3 ) des individus d’une population de 117 vaches ayant bu
une eau souillée par un rejet (accidentel ?) de produits toxiques dans une rivière.
Nombre de leucocytes par mm3
Effectifs
[3000, 4000[
17
[4000, 10000[
84
[10000, 12000[
16
120
00[
[11
000
;
110
00[
[10
000
;
100
00[
[90
00 ;
900
0[
[80
00 ;
800
0[
[70
00 ;
700
0[
[60
00 ;
500
0[
600
0[
[50
00 ;
[30
00 ;
Nombre de
leucocytes/mm3
[40
00 ;
400
0[
Les classes sont d’amplitudes inégales. En supposant la répartition homogène, à l’intérieur de chaque
classe, on peut présenter la série à l’aide de classes d’amplitude 1000.
Compléter le tableau suivant :
Effectifs
Quelle est la classe modale ?
1.5.2 La médiane
Définition
La médiane d’une série statistique quantitative est la valeur de la variable (observée ou possible) qui
partage la série en deux parties de même effectif : l’une d’elles ne comprend que les unités dont le caractère
étudié est inférieur ou égal à la médiane, l’autre, les unités dont le caractère est supérieur ou égal à la
médiane.
✍ MÉTHODE 11
Un élève a obtenu, au cours de l’année, les notes suivantes en mathématiques 12, 10, 14, 7, 12, 15, 8,
11, 12, 8, 14. Ordonner la série par ordre croissant et compléter le schéma suivant :
7; . . . ; . . . ; . . . ; . . .; . . . ; . . . ; . . . ; . . . ; . . . ; 15. Quelle est la note médiane ?
|
{z
}
{z
}
|
...
...
✍ MÉTHODE 12
Reprenons l’exemple des grappes de raisins. Ici le nombre d’observations est pair. Procédons de manière
analogue en ordonnant la série par ordre croissant :
Nombre de grains par grappe x
Effectifs n
34
30
35
47
36
63
37
93
38
115
39
132
40
132
41
105
42
105
43
77
44
60
45
41
30 + 47 =
30 + 47 + 63 =
30 + 47 + 63 + 93 =
30 + 47 + 63 + 93 + 115 =
30 + 47 + 63 + 93 + 115 + 132 =
30 + 47 + 63 + 93 + 115 + 132 + 132 =
34, . . . 34, 35, . . . 35, . . . 36 . . . , 40, . . . 40, 40 . . . 40, 41, . . . 41, 42, . . . 45
{z
}|
{z
}
|
... grappes
... grappes
On convient généralement de choisir pour médiane la moyenne arithmétique des deux observations
centrales. Quelle est la médiane de cette série ?
Cours
8
BTSA
✍ MÉTHODE 13
La pesée de 100 agneaux à la naissance a conduit aux résultats suivants :
Poids en kg
Effectifs
[3, 0 ; 3, 4[
12
[3, 4 ; 3, 8[
20
[3, 8 ; 4, 2[
40
[4, 2 ; 4, 6[
20
[4, 6 ; 5, 0[
8
1. Construire la courbe de la fonction de répartition de la série statistique.
2. La médiane correspond au poids du cinquantième agneau lorsque la série est rangée par ordre
croissant. Graphiquement, que vaut approximativement la médiane ?
3. À l’aide d’une interpolation linéaire, préciser ce résultat.
1.5.3 La moyenne arithmétique
Définition
La moyenne arithmétique d’une série statistique quantitative x 1 , x 2 , ..., x N est la somme des valeurs de la
série divisée par leur nombre N.
N
X
xi
x 1 + x 2 + ... + x N
i=1
=
x=
N
N
Remarques
• Dans le cas d’une variable discrète, lorsque les valeurs sont regroupées par modalités x i (i = 1, 2...k)
chacune d’elles ayant un effectif ni , on obtient la moyenne x en calculant le quotient :
x=
n1 x 1 + n2 x 2 + ... + nk x k
n1 + n2 + ... + nk
k
X
=
ni x i
i=1
k
X
nk
i=1
• Dans le cas d’une série continue, on choisit pour valeur de la variable, le centre de chaque classe.
Propriété
Soit (x i , f i )1¶i¶k pour i = 1, 2...k une série statistique où f i représente la fréquence de la modalité x i .
k
X
fi x i
x = f1 x 1 + f2 x 2 + ... + f k x k =
i=1
✍ MÉTHODE 14
Calculer la taille moyenne des exploitations dans la série présentée précédemment.
Superficie (en ha) [0, 10[ [10, 35[ [35, 50[ [50, 100[ [100, 150[
Fréquences
0,38
0,32
0,11
0,14
0,05
Propriété
Soit (x i , ni )1¶i¶k une série statistique de moyenne x et a et b deux réels quelconques.
Alors la série (ax i + b; ni )1¶i¶k a pour moyenne le réel ax + b.
✍ MÉTHODE 15
Calculer la moyenne des nombres suivants : 5999768531000000000, 5999768538000000000,
5999768581000000000, 5999768632000000000, 5999768751000000000.
BTSA
1.6
9
Cours
Réduction des données : les paramètres de dispersion
1.6.1 L’amplitude ou l’étendue
Définition
L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs observées.
Dans le cas d’une série continue, l’étendue est la différence entre la borne supérieure de la dernière classe
et la borne inférieure de la première classe (lorsque la série est rangée par ordre croissant).
Remarque
L’étendue ne tient compte que des observations extrêmes ; elle risque donc d’être gravement affectée par
une valeur exceptionnelle, ou erronée, de ces observations.
✍ MÉTHODE 16
Quelle est l’étendue du poids des agneaux à la naissance ?
Poids en kg
Effectifs
[3, 0 ; 3, 4[
12
[3, 4 ; 3, 8[
20
[3, 8 ; 4, 2[
40
[4, 2 ; 4, 6[
20
[4, 6 ; 5, 0[
8
1.6.2 L’écart moyen absolu
Définition
Soit (x i , ni )1¶i¶k une série statistique. On appelle écart absolu moyen le réel
e=
n1 |x 1 − x| + n2 |x 2 − x| + ... + nk |x k − x|
n1 + n2 + ... + nk
k
X
=
i=1
ni |x i − x|
k
X
nk
i=1
e est la moyenne des valeurs absolues des écarts à la moyenne.
✍ MÉTHODE 17
Considérons la série suivante relative à la répartition des salaires du personnel d’une entreprise.
Salaires en kF
Effectifs
[←, 6[
17
[6, 7[
32
[7, 8[
51
[8, 9[
57
[9, 10[
45
[10, 11[
34
[11, → [
14
Les bornes inférieure et supérieure des classes extrêmes ne sont pas précisées. La convention est de
choisir, pour ces classes, une amplitude égale à celle des classes adjacentes.
1. Calculer la moyenne de la série.
2. Calculer l’écart moyen de la série.
Remarque
Les valeurs absolues se prêtent mal aux calculs algébriques (la fonction valeur absolue n’est pas dérivable
sur R). Aussi, préfère t-on utiliser l’écart type pour estimer la dispersion de la série.
Cours
10
BTSA
1.6.3 La variance et l’écart type
Définition
Soit (x i , ni )1¶i¶k une série statistique.
On appelle variance de la série la moyenne des carrés des écarts des valeurs de la série à la moyenne.
2
V=
2
n1 (x 1 − x) + n2 (x 2 − x) + ... + nk (x k − x)
k
X
2
n1 + n2 + ... + nk
i=1
=
ni (x i − x)2
k
X
nk
i=1
✍ MÉTHODE 18
Calculer la variance de la série des salaires.
Salaires
Effectifs
[5, 6[
17
[6, 7[
32
[7, 8[
51
Théorème
Soit (x i , ni )1¶i¶k une série statistique.
k
X
V=
[8, 9[
57
[9, 10[
45
[10, 11[
34
[11, 12[
14
ni x i2
i=1
k
X
−x
2
nk
i=1
Variance = « moyenne des carrés » − « carré de la moyenne ».
✍ MÉTHODE 19
Calculer la variance de la série des salaires avec la nouvelle formule.
Salaires
Effectifs
[5, 6[
17
[6, 7[
32
[7, 8[
51
[8, 9[
57
[9, 10[
45
Définition
On appelle écart type d’une série, la racine carrée de la variance : σ =
L’écart type s’exprime avec la même unité que les valeurs de la série.
[10, 11[
34
p
[11, 12[
14
V.
Remarque
La variance d’une série est souvent notée σ2 .
✍ MÉTHODE 20
Calculer l’écart type de la série des salaires.
Salaires
Effectifs
[5, 6[
17
[6, 7[
32
[7, 8[
51
[8, 9[
57
[9, 10[
45
[10, 11[
34
[11, 12[
14
Théorème
Soit (x i , ni )1¶i¶k une série statistique de variance V. Alors, la série (ax i + b, ni )1¶i¶k où a et b sont deux
réels donnés, a pour variance a2 V.
Puisque la variance est définie comme une somme de carrés, c’est un nombre positif.
✍ MÉTHODE 21
Calculer l’écart type des nombres suivants : 5999768531000000000, 5999768538000000000,
5999768581000000000, 5999768632000000000, 5999768751000000000.
BTSA
11
Cours
1.6.4 L’écart interquartile
Définitions
Les valeurs de la série sont rangées dans l’ordre croissant.
Les quartiles partagent la série ordonnée en quatre groupes de même effectif.
• Le premier quartile, noté Q1 , est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25 % des valeurs lui
soient inférieures ou égales.
• Le troisième quartile, noté Q3 , est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 75 % des valeurs lui
soient inférieures ou égales.
Définition
On définit de même des déciles : D1 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 10 % des valeurs
lui soient inférieures ou égales...
Définitions
• L’intervalle interquartile est [Q1 ; Q3 ], il contient au moins 50 % des observations.
• L’écart interquartile i = Q3 − Q1 est une mesure de dispersion lié à la médiane.
✍ MÉTHODE 22
Calculer la médiane et les quartiles de la série : 1 ; 1 ; 3 ; 5 ; 5 ; 6 ; 8 ; 8 ; 8 ; 10 ; 11.
Définition
Un diagramme en boîte est une représentation graphique qui résume le caractère quantitatif étudié par les
valeurs extrêmes, la médiane, les quartiles et parfois les déciles.
Remarques
Le diagramme en boîte est aussi appelé diagramme de Tuckey, nom de son inventeur, « boîte à moustaches », ou « diagramme en boîte ».
L’intérêt des diagrammes en boîte est de pouvoir comparer rapidement la dispersion par rapport à la
médiane de plusieurs populations pour un même caractère.
✍ MÉTHODE 23
Retrouver les résultats de la méthode précédente sur le diagramme en boîte suivant :
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Table des matières
1 Statistiques à une variable
1.1 Vocabulaire de la statistique . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Population et individus . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Caractères et modalités . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Séries statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Représentations graphiques des séries statistiques . . .
1.3.1 Caractères qualitatifs . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Caractères quantitatifs : Variables discrètes . . .
1.3.3 Caractères quantitatifs : Variables continues . .
1.4 Fonction de répartition d’une variable statistique . . . .
1.5 Réduction des données : les paramètres de position . .
1.5.1 Le mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 La médiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 La moyenne arithmétique . . . . . . . . . . . . .
1.6 Réduction des données : les paramètres de dispersion .
1.6.1 L’amplitude ou l’étendue . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 L’écart moyen absolu . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 La variance et l’écart type . . . . . . . . . . . . .
1.6.4 L’écart interquartile . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
2
2
3
4
4
4
4
5
6
6
7
8
9
9
9
10
11