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Table des matières
I
Proportionalité et pourcentage
1
Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
II Pourcentage d’évolution
1
Evolution en pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Coefficient multiplicateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Les différentes formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3
III Evolutions successives
3
IV Evolution réciproque
3
Pourcentage
I Proportionalité et pourcentage
1 Proportionnalité
Définition
a, b, c et d étant des nombres réels non nuls
Dire que les couples (a ; b) et (c ; d ) sont proportionnels signifie que l’on passe de l’un à
l’autre en multipliant toujours par le même nombre.
Propriété
a, b, c et d étant des nombres réels non nuls
Dire que les couples (a ; b) et (c ; d ) sont proportionnels équivaut à dire que :
c d
= ;
a b
les produit en croix ad et bc sont égaux.
–
–
Exemples
Il y a trois façon de vérifier que les couples (2 ; 3) et (6 ; 9) sont proportionnels :
• On remarque que l’on passe de 2 à 6 en multipliant par 3 et de 3 à 9 en multipliant aussi par 3 ;
6
9
• = 3 et = 3 ;
2
3
• 2 × 9 = 18 et 3 × 6 = 18
3
5
6
9,9
est-il un tableau de proportionnalité ? justifier de 3 façons.
2 Pourcentage
Définition
Dire que y représente t % de x signifie que
y=
t
x
100
Exemples
Questions-tests page 68 : exercices 5 et 6
Lycée du golfe
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Pourcentage
II Pourcentage d’évolution
1 Evolution en pourcentage
Propriété
³
a ´
Augmenter de a% une valeur, c’est multiplier cette valeur par 1 +
:
100
valeur de départ
valeur d’arrivée
V0
V1
³
a ´
× 1+
100
V1 = V0 + V0 ×
³
a
a ´
= V0 × 1 +
100
100
µ
¶
b
Diminuer de b% une valeur, c’est multiplier cette valeur par 1 −
:
100
valeur de départ
valeur d’arrivée
V0
V1
µ
¶
b
× 1−
100
µ
¶
b
b
V1 = V0 − V0 ×
= V0 × 1 −
100
100
2 Coefficient multiplicateur
Propriété
Lorsqu’une valeur V0 subit une évolution pour arriver à la valeur V1 , elle est multiplié par un
nombre positif CM, appelé Coefficient multiplicateur
valeur de départ
valeur d’arrivée
V0
V1
×CM
CM =
Si t est le taux d’évolution, alors
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CM = 1 +
V1
V0
t
100
ou encore
t = (CM − 1) × 100
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Pourcentage
3 Les différentes formules
Nom
Formule
Hausse
Baisse
Variation absolue
∆V = V1 − V0
∆V est positif
∆V est négatif
CM > 1
0 < CM < 1
t est positif
t est négatif
I1 > 100
0 < I1 < 100
Coefficient multiplicateur
Variation relative
Indice base 100
CM =
V1
V0
t
V1 − V0
=
V0
100
I1 =
V1
× 100
V0
III Evolutions successives
Théorème et définition
Si une valeur subit deux évolutions successives au taux t 1 et t 2 alors, globalement, elle subit
une evolution au taux t global .
¶ µ
¶
µ
t2
t1
× 1+
Le coefficient multiplicateur global est : CMglobal = CM1 × CM2 = 1 +
100
100
Le taux global est : t global = (CMglobal − 1) × 100
Exemple
Un prix initial de 200 €subit une augmentation de 20% puis une baisse de 20%.
1. Quel sera le prix final ?
2. Quel est le taux d’évolution global ?
IV Evolution réciproque
Définition
Si une valeur V0 passe à la valeur V1 alors l’évolution réciproque consiste à passer de la valeur
V1 à la valeur V0 .
Attention
Si une valeur augmente de t %, pour revenir à sa valeur initiale elle ne baisse pas de −t % comme
le montre l’exemple suivant :
Un article qui coûtait 100€ a augmenté de 30% , il vaut donc ..............
Calculer le taux de réduction qui permettrait de revenir au prix de 100 €
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Pourcentage
Propriété
Une valeur subit une évolution au taux t .
Pour revenir à sa valeur initiale, on applique un taux d’évolution t ′ .
Le taux d’évolution réciproque t ′ est tel que le produit des coef ?cients multiplicateurs CM
et CM′ des taux t et t ′ est égal à 1 :
CM × CM′ = 1.
1
Ainsi, le coef ?cient multiplicateur réciproque est : CM′ =
µ
¶ CM
1
donc le taux d’évolution réciproque est : t ′ =
− 1 × 100.
CM
Exemple
Un article de 80 € augmente de 20%. Calculer le taux de l’évolution réciproque.
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