I Rappels sur les pourcentages, coefficient multiplicateur II

I Rappels sur les pourcentages, coefficient multiplicateur
Soit t un pourcentage ; calculer les t % d’un nombre x revient à calculer x ×
Exemple : 20 % de 25 vaut :
20
× 25 = 5.
100
t
.
100
I.1 Coefficient multiplicateur :
µ
¶
t
• Augmenter un nombre x de t % revient à le multiplier par 1 +
.
100
¶
µ
t
.
• Diminuer un nombre x de t % revient à le multiplier par 1 −
100
I.2 Exemples :
¶
4
= 12 × 1, 04 = 12, 48 e.
• Un objet vaut 12 e. Son prix augmente de 4 %. Son nouveau prix est 12 × 1 +
100
• La population d’une ville étaitµde 52000
¶ habitants ; elle a diminué de 3 % en un an.
3
Elle est alors égale à : 52000 × 1 −
= 52000 × 0, 97 = 50440
100
• Le population d’un pays a été multiplié par 1,012 en un an. Le taux d’augmentation en % est t tel que
t
1, 02 = 1 +
donc t = (1, 02 − 1) × 100 = 2.
100
La population a augmenté de 2%.
µ
• Lors d’une crise économique, un pays subit beaucoup d’inflation et les prix sont multipliés par 3 en un an.
t
donc t = 200 : Les prix ont augmenté de 200 %.
3 = 1+
100
II Évolutions successives
II.1 Taux global
Soient x0 , x1 , . . .xn des nombres réels strictement positifs.
t1 , t2 , . . .xn sont les taux d’évolution successifs permettant de passer de x0 à x2 , de x2 à x3 , . . ., de xn−1 à xn
Propriété
Le coefficient multiplicateur global permettant de passer de x0 à xn est le produit des n coefficients.
1 + T = (1 + t1 )(1 + t2 ) · · · (1 + tn ) donc T = (1 + t1 )(1 + t2 ) · · · (1 + tn ) − 1
II.2 Exemples
• Exemple 1 : Un prix subit une augmentation de 2 %, suivie d’une augmentation de 3 %.
Quel est le taux d’augmentation global ?
Réponse : Le premier coefficient multiplicateur est 1 + t1 = 1 + 2% = 1, 02.
Le second est 1 + t2 = 1 + 3% = 1, 03.
Le coefficient multiplicateur global est 1, 02 × 1, 03 = 1, 0506.
Si t est le taux global, on a : 1 + t = 1, 0506 donc t = 1, 0506 − 1 = 0, 0506 = 5, 06 %
• Exemple 2 : Un prix subit une augmentation de 2 %, suivie d’une baisse de 2 %.
Quel est le taux d’augmentation global ?
Réponse : Le premier coefficient multiplicateur est 1 + t1 = 1 + 2% = 1, 02.
Le second est 1 + t2 = 1 + (−2%) = 1 − 0, 02 = 0, 98.
Le coefficient multiplicateur global est 1, 02 × 0, 98 = 0, 9996.
Si t est le taux global, on a : 1 + t = 0, 9996 donc t = 0, 9996 − 1 = −0, 0004 = −0, 04 %
• Exemple 3 : La population d’une ville augmente de 3 % par an pendant trois ans ? Quel est le taux dévolution global ?
Réponse :
Soit t = 3%. Le coefficient multiplicateur correspondant à chaque année est 1 + 3% = 1, 03. La population
est donc multipliée par 1,03 chaque année.
Au bout de trois ans, la population a été multipliée par le coefficient multiplicateur (1 + t ) × (1 + t ) × (1 + t ) =
1, 03 × 1, 03 × 1, 03 = 1, 033 = 1, 092727 = 1 + 0, 092727.
Si T est le taux d’évolution global, on a : 1 + T = 1 + 0, 092727 donc T = 0, 092727 = 9,272 7 %
• Exemple 4 : Un objet coûte 23 ehors-taxes ; le montant de la T.V.A. est de 19,6 %.
Que est le prix T.T.C. ?
Réponse :
Le coefficient multiplicateur est de 1 + 19, 6 % = 1, 196.
23 × 1, 196 = 27, 508 e.
Le prix TTC est d’environ 27,50 e.
• Exemple 5 : Un objet coûte 31,65 eT.T.C. ; le montant de la T.V.A. est de 5,5 %.
Que est le prix H.T. ?
Réponse :
Soit x le prix H.T.
Le coefficient multiplicateur est de 1 + 5, 5 % = 1, 055.
On a alors : x × 1, 055 = 31, 65.
31, 65
= 30.
On en déduit : x =
1, 055
Le prix H.T. est de 30 e.
II.3 Taux d’évolution réciproque
Exemple Un objet coûte 20 e. Son prix subit une hausse de 2 %.
1. Quel est son nouveau prix ?
2. Quel est le montant de la baisse qu’il doit subir pour retrouver sa valeur initiale ?
Réponses :
1. Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 2 % est 1 + 2 % = 1, 02.
Le nouveau prix est : 20 × 1, 02 = 20, 4.
2. Soit t le taux de baisse ; le coefficient multiplicateur est alors : 1 + t .
On doit donc avoir : (20 × 1, 02) × (1 + t ) = 20, d’où, après simplification par 20 :
1
.
1, 02 × (1 + t ) = 1, et, par conséquent : 1 + t =
1, 02
1
On en déduit : t =
−1
1, 02
Alors : t ≈ −0, 01960, soit environ −1, 96 %.
On dit que le taux d’évolution réciproque de 2 % est de −1, 96 %.
Cas général :
1+ t′ =
1
1
d’où : t ′ =
−1
1+t
1+t
t ′ est appelé taux d’évolution réciproque du taux t
Exemples :
1
− 1 ≈ −0, 029 ≈ −2, 9 %.
1 + 0, 03
Le taux dévolution réciproque de 2 % est de -2,9 %.
1
− 1 ≈ 0, 111 ≈ 11, 1 %.
2. Pour un taux t = −10 %, on obtient t ′ =
1 − 0, 1
Le taux dévolution réciproque d’une baisse de 10 % est d’environ 11,1 %.
1. Pour un taux t = 3 %, on obtient t ′ =