TP: Etude de la statistique de Weibull apliquée aux matériaux.

Deuxiéme année Cours électif CE42
Matériaux pour l’ingénieur
Compte-rendu de Travaux dirigés
Statistique de Weibull
Jean-Baptiste LEPRETRE
Année universitaire 2009 -2010
Table des matières
Introduction
3
1 Mise en place de la statistique de Weibull
4
2 Contrainte maximale
7
3 Pour une éprouvette deux fois plus longue
8
Conclusion
9
Introduction
La capacité de résister à la rupture est sans doute l’une des caractéristiques les plus importantes
et les plus étudiées des matériaux. Une rupture (ou familièrement fracture) d’un matériau est la
séparation en deux ou plus de pièces sous l’action d’une contrainte. Dans de nombreux domaines
tels que le bâtiment, cette capacité de resister à la rupture est un gage de sécurité. Une question
se pose alors trés souvent pour les matériaux : Quelle contrainte maximale peut-on appliquer pour
que la probabilité de rupture soit inférieure à 1% ?
Nous allons étudier ainsi une technique statistique qui permet d’estimer cette contrainte maximale pour que la probabilité de rupture soit inférieure à 1%. Il s’agit de la méthode statistique
de Weibull.
On teste ainsi un lot de 20 éprouvettes d’alumine frittée en traction jusqu’à rupture. On
rassemble ainsi les contraintes à la rupture dans un tableau. Le but du TD qui suit est de réaliser
un traitement statistique sur ces données afin d’en déduire la contrainte maximale que l’on peut
appliquer sur ce matériau pour que la probabilité de rupture soit inférieure à 1%.
Chapitre 1
Mise en place de la statistique de
Weibull
Il s’agit dans cette partie de verifier que les éprouvettes d’alumine frittée suivent une statistique
de Weibull. Si on note Ps , la probabilité de survie à une contrainte σ, une éprouvette suit la
statistique de Weibull s’il existe m, le module de Weibull et une constante σo , tel que l’on ait :
Ln(Ln(
1
)) = m(Ln(σ) − Ln(σo ))
Ps
(1.1)
On va ainsi rassembler l’ensemble des résultats dans la figure 1.1.
Je vais ainsi tracer Ln(Ln( P1s )) (derniére colonne du tableau) en fonction de Ln(σ) (avantderniére colonne du tableau).
Il s’agit de la courbe sur la figure 1.2.
On peut voir sur cette courbe que l’on obtient sensiblement une droite ce qui valide le fait
que ces éprouvettes d’alumine frittée suivent bien une statistique de Weibull. Ce qui se vérifie
d’autant plus lorsque l’on ajoute une courbe de tendance à notre graphe. On obtient alors un
coefficient de linéarisation R = 0, 9948, extrémement proche de 1.
Et l’équation de cette droite est :
y = 8, 8064x − 50, 803
(1.2)
Ce qui donne une valeur pour m, le coefficient de Weibull :
m = 8, 8064
(1.3)
σo = 320, 19M P a
(1.4)
Et une valeur pour σo :
On peut ainsi modéliser la probabilité de survie de l’éprouvette subissant une contrainte σ grâçe
au modéle de Weibull suivant :
σ m
Ps = e−( σo )
(1.5)
Chapitre 1. Mise en place de la statistique de Weibull
Fig. 1.1 – Résultats de la statistique de Weibull
5
Chapitre 1. Mise en place de la statistique de Weibull
Fig. 1.2 – Ln(Ln( P1s )) en fonction de Ln(σ)
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Chapitre 2
Contrainte maximale
Il s’agit désormais d’estimer la contrainte maximale que l’on peut appliquer sur ce matériau
pour que la probabilité de rupture soit inférieure à 1%. C’est à dire que :
Ps > 0, 99
(2.1)
On a montré que nos éprouvettes d’alumine frittée suivent bien une statistique de Weibull. On a
ainsi à résoudre :
σ m
(2.2)
e−( σo ) = 0, 99
Soit
1
σ = σo (−Ln(0, 99) m )
(2.3)
On obtient ainsi la valeur de la contrainte maximale que l’on peut appliquer sur ce matériau
pour que la probabilité de rupture soit inférieure à 1% :
σ = 189, 87M P a
(2.4)
Chapitre 3
Pour une éprouvette deux fois plus
longue
On choisit désormais de travailler avec une éprouvette deux fois plus longue. On cherche ainsi
à évaluer la nouvelle contrainte maximale que l’on peut appliquer sur ce matériau pour que la
probabilité de rupture soit inférieure à 1%. Pour cela, il faut étudier les dépendance de σo et m
vis-à-vis des paramêtres du probléme.
– m, le coefficient de Weibull, ne dépend pas du volume de l’éprouvette d’aprés le cours.
– σo , dépend de Kc , le facteur d’intensité des contraintes à la rupture et du volume V de
l’éprouvette.
Ainsi, si on multiplie par deux la taille de l’éprouvette (ainsi que son volume), on peut imaginer
que σo est divisé par deux.
On aurai ainsi, dans le cas de la nouvelle éprouvette :
σo = 160, 09M P a
(3.1)
m = 8, 8064
(3.2)
Et toujours
Ce qui donne une nouvelle contrainte maximale que l’on peut appliquer sur ce matériau pour
que la probabilité de rupture soit inférieure à 1% :
σ = 94, 95M P a
(3.3)
Conclusion
Ce TD nous a ainsi permis d’étudier les conditions de rupture de l’alumine frittée en traction.
Nous avons ainsi obtenu les caractéristiques de cette rupture par la méthode statistique de Weibull.
Cet exemple est ainsi une trés bonne approche de l’étude de la résistance des matériaux qui
intérresse de nombreux ingénieurs et chercheurs et qui occupe une place prépondérante dans de
nombreux domaines tels que le bâtiment, l’automobile ou l’aéronautique.