Analyse statistique de la rupture

Chapitre II. La rupture fragile
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Chapitre II. La rupture fragile
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Appppprrroooccchhheee ppprrrooobbbaaabbbiiillliiisssttteee dddeee lllaaa rrruuuppptttuuurrreee
Pour N éléments de volume (N maillons) et par suite contenant N défauts, la probabilité
de survie, en appliquant la règle de multiplication issue de la théorie de probabilité est :
1. Introduction :
S N (σ ) = [1 − F1 (σ )]
N
En dynamique, durant l’intervalle du temps séparant le début du chargement et la rupture
complète de l’échantillon (temps de rupture), un nombre important de défauts
microscopiques qui peuvent être activés sous l’effet d’inertie, change de processus de la
rupture qui aura lieu comme conséquences :
(2)
Ainsi, la probabilité de rupture est :
FN (σ ) = 1 − [1 − F1 (σ )]
N
-
2
Faciès moins rugueux ;
Grandes dispersions des résultats.
(3)
Par transformation mathématique :
FN (σ ) = 1 − e − N . F1 (σ )
Ainsi, la rupture fragile, surtout, est très sensible aux défauts microstructuraux et c’est
le défaut le plus critique qui gouverne la rupture.
(4)
F1 (σ ) est fonction seulement de σ, indépendante de N.
2. Modèle de Weibull :
«La résistance à la rupture d’une chaîne en série est gouvernée par celle du maillon le
plus faible de l’ensemble». Ce modèle, en appliquant à la rupture des matériaux, semble être
un bon moyen et une approche probabiliste très utile en sollicitations dynamiques.
En effet, la simulation est comme suit : une chaîne peut représenter un échantillon d’un
matériau contenant une infinité d’éléments de volume qui font correspondre aux maillons de
la chaîne, chacun contenant un défaut. Ainsi, comme on a mentionné plus haut, la résistance
de l’éprouvette est gouvernée par celle des éléments de volume qui contiennent le défaut le
plus critique.
Des modifications, ont été apportées au modèle de Weibull, basées initialement sur la
contrainte (en valeur statique) de la rupture, ont permet de prendre en compte le volume de la
zone d’élaboration de la rupture :
Pf = 1 − e −V . F (σ )
(5)
3. Formule empirique de Weibull :
La fonction de densité de probabilité empirique choisie par Weibull est :
⎧⎡σ − σ ⎤
u
⎪
,σ > σ u ;
F (σ ) = ⎨⎢⎣ σ 0 ⎥⎦
⎪
⎩0, σ ≤ σ u .
m
Maillon le plus faible
(6)
Chaîne
avec,
Echantillon
σ u - seuil de contrainte ;
σ 0 - facteur de normalisation ;
m - module de Weibull : mesure de dispersions des valeurs statistiques de la contrainte de
rupture.
Ainsi,
Défaut le plus critique
⎡ σ −σ u ⎤
⎧
−V . ⎢
⎥
σ
⎪
p f = ⎨1 − e ⎣ 0 ⎦ , σ > σ u ;
⎪0, σ ≤ σ .
u
⎩
m
Pour un élément de volume (un maillon) contenant un défaut, la probabilité de rupture
jusqu’à un niveau de contrainte σ est F1 (σ ) , alors sa probabilité de survie est :
S (σ ) = 1 − F1 (σ )
(7)
En modifiant le modèle de Weibull en terme de ténacité :
(1)
V = C.K 4
(8)
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Chapitre II. La rupture fragile
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2. On associe à chaque valeur KI ci la probabilité de rupture :
où,
Pf (KI ci ) =
V- volume d’élaboration de la rupture ;
K- facteur d’intensité de contrainte ;
C – Constante.
dimension (d’après Wallin), soit modèle de Weibull sous forme de deux paramètres.
[
Ln Ln(1 − Pf
) ] = Ln(K
−1
0
− K u ) + Ln(KI c − K u )
(15)
⎡ 1 ⎤
En reportant LnLn ⎢
⎥ pour différentes valeurs arbitraires de K u et en cherchant celle
⎢⎣1 − Pf ⎥⎦
qui donne le meilleur ajustement linéaire, on obtient une droite, dont la pente est m2 et,
En effet, d’après Tolba et al., pour le matériau fragile, K u = 0, d’où :
⎛ kI ⎞
−⎜⎜ c ⎟⎟
⎝ K0 ⎠
(14)
3. Pour déterminer K 0 , m2 et K u , on écrit l’équation (11) sous la forme :
Cette dernière modification rend l’expression de Pf dans l’équation (5) indépendante de la
Pf = 1 − e
i
N +1
m2
(10)
⎡ 1 ⎤
K 0 − K u , la valeur de Ln ⎢
⎥ pour KI c = K 0 + 1 .
⎣⎢1 − Pf ⎦⎥
Et sous forme de trois paramètres :
4. Pour la formule à deux paramètres :
Pf = 1 − e
⎛ kI − K u ⎞
⎟
−⎜⎜ c
⎟
⎝ K 0− K u ⎠
m2
(11)
où,
⎡ 1 ⎤ ⎡ KI c ⎤
Ln ⎢
⎥=⎢
⎥
⎣⎢1 − Pf ⎥⎦ ⎣ K 0 ⎦
m2
(16)
⎧⎪
⎡ 1
La représentation de l’équation (16) dans le plan ⎨ LnLn ⎢
⎪⎩
⎢⎣1 − Pf
⎡ 1 ⎤
une droite de pente m 2 et d’ordonné à l’origine Ln ⎢ m2 ⎥ .
⎣⎢ K 0 ⎦⎥
5. Pour le cas du mode mixte, il suffit de remplacer KI c par KI céq .
K u - borne inférieure des valeurs de ténacité (un seuil) ;
1
K 0 - ténacité associée à une probabilité de 1 − soit 63% ;
e
m2 - nouveau module de Weibull.
⎫⎪
⎤
⎥, Ln(KI c )⎬ nous donne
⎥⎦
⎪⎭
4. Formule généralisée :
Pour rendre l’expression de Pf indépendante de l’orientation de la fissure et pouvoir
Le facteur d’intensité équivalent est la ténacité au mode I équivalente à celle du cas du
mode mixte. Plusieurs approches ont été proposées.
l’utiliser en mode mixte, KIc est remplacé par KIcéq (le facteur d’intensité de contrainte
équivalent) :
m
⎛ kI céq − K u ⎞ 2
⎧
⎟
−⎜⎜
⎟
⎪
⎝ K 0− K u ⎠
, KI céq > K u ;
Pf = ⎨1 − e
⎪0, KI ≤ K .
céq
u
⎩
σ
Cisaillement
(12)
+
Ouverture
5. Détermination du module de Weibull (facteur de normalisation K 0 et valeur de seuil K u ) :
Le nombre d’échantillons N à tester est généralement supérieur à 30. La méthode est
comme suit :
Cas du mode mixte I + II
1. On classe les résultats expérimentaux de ténacité en ordre croissant :
KI c1 ≤ KI c 2 ≤ ............... ≤ KI cN
σ
(13)