Enoncé

TD7
Conception optimale de structures
Homogénéisation
O. Pantz
Exercice 1 : Radiateur radial optimal
Soient Ω = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 < 1} le disque unité du plan et deux matériaux conducteurs isotropes
caractérisés par leurs conductivités 0 < α < β.
Si χ ∈ L∞ (Ω, {0, 1}) désigne une fonction caractéristique définie sur Ω, on pose
aχ (x, y) = χ(x, y)α + (1 − χ(x, y))β
et on considère le problème de conduction :
− div aχ ∇u =
u =
1
0
dans Ω
sur ∂Ω
(1)
1) Montrer que pour χ donné, le problème (1) a une unique solution dans H01 (Ω).
2) On suppose dans la suite que la répartition des matériaux α et β est telle que les solutions de
(1) sont à symétrie
de révolution : les fonctions caractéristiques χ sont supposées ne dépendre que de la
p
2
variable r = x + y 2 ainsi que les solutions u = u(r).
Écrire la formulation variationnelle vérifiée par u est coordonnées polaires. En déduire l’expression de
la dérivée de u par rapport à r.
3) On s’intéresse maintenant au problème d’optimisation de forme suivant
Z
χ∈L
min
∞
J(χ) :=
([0,1],{0,1})
1
(−u(r) + λχ(r))rdr
(2)
0
où λ désigne le multiplicateur de Lagrange (supposée positif) associé à la contrainte sur le volume du
matériau α et u(r) est la solution, supposée radiale, de (1) pour la répartition à symétrie de révolution
χ(r). On cherche ici à maximiser la température moyenne sur le disque en minimisant l’utilisation du
mauvais conducteur α.
Écrire la formulation relaxée de ce problème de minimisation.
Exprimer la fonction coût en fonction de u/ ∂r. En déduire une expression explicite de J en fonction
de χ. Montrer que l’optimal est atteint pour un matériau non composite à déterminer explicitement.
1
Exercice 2
On considère un domaine Ω borné dans RN . Soient deux matériaux conducteurs isotropes de conductivités
0 < α < β. On s’intéresse à la répartition optimale des ces deux matériaux dans le domaine Ω dans la
limite des faibles amplitudes, i.e. lorsque les conductivités α et β sont proches.
1) Si χ est une fonction caractéristique du domaine contenant le matériau α, on considère le problème
d’optimisation de forme suivant :
inf
J(χ)
∞
χ∈L
où
(Ω;{0,1})
Z
Z
J(χ) = −
f uχ dx + `
Ω
χ(x)dx
Ω
avec ` > 0 une constante, f ∈ L2 (Ω) et uχ solution du problème
−div(aχ (x)∇uχ (x)) = f dans Ω
uχ = 0 sur ∂Ω
Dans lequel aχ (x) = αχ(x) + β(1 − χ(x)).
La formulation relaxée de ce problème s’écrit
min
(θ,A∗ )∈U
où
J ∗ (θ, A∗ ) = −
J ∗ (θ, A∗ )
Z
Z
f u∗ dx + `
Ω
θdx,
Ω
n
o
2
U = (θ, A∗ ) ∈ L∞ (Ω; [0, 1] × RN ), A∗ (x) ∈ Gθ(x) p.p. ,
et u∗ est solution de
−div(A∗ (x)∇u∗ (x))
u∗
= f
= 0
dans Ω
sur ∂Ω
En utilisant un principe de minimisation, réécrire la fonctionnelle relaxée J ∗ sous la forme d’un double
minimum.
2) On pose β − α = α et on suppose << 1.
On rappelle que l’ensemble Gθ est l’ensemble de tous les matériaux composites fabricables en mélangeant
α et β en proportions θ et (1 − θ). Il est caractérisé par le principe de Hashin et Shtrikman de la façon
suivante : Gθ est l’ensemble des matrices symétriques A∗ dont les valeurs propres λ1 , ..., λN vérifient :
+
λ−
θ ≤ λi ≤ λθ
N
X
i=1
N
X
i=1
1
N −1
1
≤ −
+
λi − α
λθ − α λ+
θ −α
1
1
N −1
≤
+
β − λi
β − λ−
β
− λ+
θ
θ
avec
λ−
θ
=
∀i
1−θ
θ
+
α
β
−1
et λ+
θ = θα + (1 − θ)β.
En se restreignant aux matériaux effectifs isotropes de la forme A∗ = a∗ I, effectuer un développement
asymptotique en fonction du petit paramètre , et montrer que, quelle que soit la microstructure,
a∗ = a0 + +a1 + a2 2 + O(3 ).
Donner une expression de a0 , a1 et a2 en fonction de α et θ.
3) Utiliser la formulation relaxée obtenue à la question 2 et l’expression de a0 et a2 pour proposer
un algorithme numérique pour la résolution du problème homogénéisé. On donnera une expression de la
valeur optimale de θ qui intervient dans un tel algorithme.
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