Droites et plans dans l`espace

DROITES ET PLANS DANS L'ESPACE
I) Propriétés de base
Propriété 1 : Etant donné deux points A et B distincts de l'espace, il existe une droite et une seule contenant A et B; on la
désigne par (AB).
Propriété 2 : Etant donnés trois points A, B et C non alignés, il existe un plan et un seul, noté (ABC), contenant ces trois
points. Les points A, B, C et D appartenant à un même plan sont dits « coplanaires ».
Propriété 3 : Si A et B sont deux points distincts, la droite (AB) est contenue dans tous les plans passant par A et B.
II) Positions relatives de deux droites
D et D' coplanaires
D et D' non coplanaires ;
D et D’ ne sont ni sécantes, ni parallèles. • D et D' sont sécantes en I ;
D ∩ D' = {I}.
• D et D' sont parallèles.
D'
D
I
D'
D
D
- I est commun à D et à D' ;
- D et D' sont contenues dans un même
plan et ne sont pas parallèles.
D'
D et D' sont contenues dans un même
plan et n'ont pas d e point commun.
Parallélisme de droites
Définition 1 : On dit que les droites D et D' sont parallèles et on note D // D' si :
• elles sont contenues dans un même plan
ET
‚ elles n'ont aucun point commun ou sont confondues.
D
Propriété 4 : Soit une droite D et un point A n'appartenant pas à
D. Il existe une droite D' et une seule passant par A et parallèle à
D.
D'
A
Propriété 5 : Si deux droites sont parallèles à une troisième, elles sont parallèles entre elles.
Droites et plans dans l'espace 1/4
III) Positions relatives d'une droite et d'un plan
D sécante à P ;
D "perce" P en un point I.
D ∩ P = {I}
D est parallèle à P si :
• D et P n'ont pas de point commun.
D∩P=∅
• D est contenue dans P.
D⊂P
D
P
D
I
D
P
D'
P
I est commun à D et à une droite du plan Voir P6.
P.
Deux points de D sont dans P.
Parallélisme de droites et plans
Définition 2 : Soit une droite D et un plan P. On dit que D est parallèle à P et on note d // P si :
- ou bien D et P n'ont pas de point commun
- ou bien D est contenue dans P.
Propriété 6 : Si une droite D est parallèle à une droite D' d'un plan P, alors D est parallèle à P.
Droites et plans orthogonaux
Définition 3 : Une droite D et un plan P sont orthogonaux si la droite D est orthogonale à deux droites sécantes du plan P.
D
Propriété 7 : Si une droite D est orthogonale à un plan P, alors D est
orthogonale à toute droite contenue dans P.
∆
D ⊥ P et ∆ ⊂ P donc D ⊥ ∆.
P
∆’’
∆’
Droites et plans dans l'espace 2/4
IV) Positions relatives de deux plans
P et Q sont sécants ;
P et Q se coupent selon la droite ∆.
P∩Q=∆
P et Q sont strictement parallèles ;
P et Q n'ont aucun point commun.
P∩Q=∅
P
P
∆
Q
Q
La droite d’intersection ∆ est définie par 2 points communs à
P et à Q qui sont à rechercher.
Voir P8.
Parallélisme de plans
Propriété 8 : Pour que deux plans soient parallèles, il suffit que l'un d'eux contienne deux droites sécantes parallèles à
l'autre.
Plans sécants
Q
P
Propriété 9 : Si deux plans P et P' sont parallèles, alors tout
plan Q qui coupe l'un coupe aussi l'autre et les droites
d’intersection ∆ et ∆' de Q avec ces deux plans sont
parallèles.
∆
P’
∆’
Droites et plans dans l'espace 3/4
Propriété 10 (Propriété du toit) : Si la droite D est parallèle aux plans P et Q et si ces derniers se coupent suivant une
droite ∆, alors D est parallèle à ∆.
z
D
Q
P
Plans perpendiculaires
Définition 4 : Deux plans P et Q sont dits perpendiculaires
lorsque l'un contient une droite orthogonale à l'autre
Q
D
D ⊥ P et D ⊂ Q donc P ⊥ Q.
P
Remarque : Attention, toute droite de P (orthogonal à Q) n’est pas orthogonale au plan Q.
Droites et plans dans l'espace 4/4