Géométrie dans l`espace

Géométrie dans l’espace
Classe de seconde - Lycée Saint-Charles
Patrice Jacquet - www.mathxy.fr
Objectifs :
• Savoir manipuler et construire des solides.
• Savoir représenter des solides en perspective cavalière.
• Savoir effectuer des calculs de longueur, aire et volume.
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Les solides usuels
Définition 1 – Pavé droit (parallélépipède rectangle)
Un pavé droit est un solide dont toutes les faces sont des rectangles.
Exemple 1 : Une boîte d’allumette.
Définition 2 – Pyramide
Une pyramide est constituée d’un polygone de base relié à un sommet
par des arêtes.
Exemple 2 : Une pyramide égyptienne est une pyramide à base carrée.
Définition 3 – Cône de révolution
Un cône de révolution est un disque de base relié à un sommet. Le
sommet appartient à la perpendiculaire au disque de base passant par le
centre de ce disque.
Remarque : Un cône de révolution est obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour de l’un
des deux côtés de l’angle droit.
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Définition 4 – Cylindre de révolution
Un cylindre de révolution est composé de 2 disques de base parallèles et superposables reliés par une surface enroulée autour des
bases.
Remarque : Un cylindre de révolution est obtenu en faisant tourner un rectangle autour de l’un de
ses côtés.
Exemple 3 : Une pièce de monnaie.
Définition 5 – Boule
La boule de centre A et de rayon r est l’ensemble des points M de
l’espace tels que AM 6 r.
Remarque : Une boule est obtenue en faisant tourner un disque autour de l’un de ses diamètre.
Remarque : L’ensemble des points M de l’espace tels que AM = r s’appelle la sphère de centre A
et de rayon r.
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Patrons d’un solide
Définition 6
Le patron d’un solide est une figure géométrique plane qui permet
d’obtenir le solide, en vraie grandeur, après pliage.
Remarque : On peut faire plusieurs patrons d’un même solide.
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Représentation d’un solide : perspective cavalière
Principe : Les règles de la perspective cavalière ont été définies pour représenter des solides en
conservant le maximum de propriétés mathématiques.
Règle n°1 – Trois points alignés sont représentés par trois points alignés.
Règle n°2 – Deux droites parallèles sont représentées par deux droites parallèles.
Règle n°3 – Le milieu d’un segment est représenté par le milieu du segment dessiné.
Règle n°4 – La figure située de face est représentée par une figure de même forme.
Règle n°5 – Les lignes cachées sont dessinées en pointillés.
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Aires et Volumes
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Positions relatives de deux droites
5.1
Droites sécantes
Deux droites sont sécantes si elles ont un seul point commun.
Les droites (DC) et (BC) sont sécantes en C.
5.2
Droites parallèles
Deux droites sont parallèles si elles sont dans le même plan et n’ont pas de point commun.
Les droites (AB) et (DC) sont parallèles. Elles sont dans le plan (ABC).
5.3
Droites confondues
Deux droites sont confondues si elles ont tous leurs points confondus.
5.4
Droites non coplanaires
Deux droites sont non coplanaires si elles ne sont pas dans un même plan.
Les droites (EG) et (DC) sont non coplanaires.
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Positions relatives droites-plans
6.1
Droites sécantes à un plan
Une droite est sécante à un plan si elle a un unique point commun avec lui.
La droite (AF ) est sécante au plan (ABC) en A.
6.2
Droites parallèles à un plan
Une droite est parallèle à un plan si elle n’a aucun point commun avec lui.
La droite (F G) est parallèle au plan (ABC).
6.3
Droites contenues dans un plan
Une droite est contenue dans un plan si tous ses points appartiennent au plan.
La droite (AC) est contenue dans le plan (ABC).
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Positions relatives de deux plans
7.1
Plans sécants
Deux plans sont sécants si leurs points en commun forment une droite.
Les plans (AEG) et (AEF ) sont sécants selon la droite (AE).
7.2
Plans parallèles
Deux plans sont parallèles s’ils n’ont aucun points en commun.
Les plans (AEF ) et (DCG) sont parallèles.
7.3
Plans confondus
Deux plans sont confondus s’ils ont tous leurs points en commun.
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