DESS d`ingéniérie mathématique Université d`Evry Val d

DESS d’ingéniérie mathématique
Université d’Evry Val d’Essone
Evaluations des produits …nanciers
Véronique Berger
Cours Janvier-Mars 2003
version du 27 mars 2003
Contents
I
II
Présentation du plan de cours
Instruments …nanciers
3
1 Dé…nition
3
2 Typologie et principe d’évaluation
2.1 Actifs de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Obligations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Absence d’Opportunité d’Arbitrage (AOA). . . . . . . . .
2.1.4 Change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Matières premières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Marché des produits de crédit . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Prix forward d’un actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Produits dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Call et Put sur actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Valorisation par réplication dans un univers à deux dates
et deux états du monde : hypothèse AOA et existence
d’une probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Marché incomplet : un exemple de pricing par sur-réplication
(TD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Processus binomial à plusieurs périodes . . . . . . . . . .
III
3
Evaluation en temps continu
1
3
4
4
4
6
6
10
10
10
12
14
14
20
22
23
3 Théorème de valorisation dans le cas monodimentionnel et avec
coe¢cients de di¤usion non stochastiques
3.1 Quelques dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Portefeuille auto…nançant . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Stratégie de trading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Opportunité d’arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Grandes lignes de la démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Analogies avec le modèle discret à une période . . . . . . . . . .
3.4 Di¤érences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Formules Black et Sholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Prix du call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Prix du put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Prix forward d’un actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Prix BS du call et du put comme fonction du prix forward
de l’actif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 Volatilité BS implicite et smile . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Valorisation d’autres options exotiques (les calculs qui suivent
font en partie l’objet de TD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Digitale sur le sous jacent S 1ère méthode . . . . . . . .
3.6.2 Digitale sur le sous jacent S 2ème méthode . . . . . . .
3.6.3 Digitale sur le sous jacent S 3ème méthode : portefeuille
réplicant et valorisation en présence de smile . . . . . . .
3.6.4 TD calcul du delta BS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.5 Option barrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
24
24
24
24
25
25
26
26
26
28
28
30
31
31
31
33
33
36
37
4 Construction de la stratégie : approche du trading
43
4.1 Vente à découvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Formule BS pour un sous-jacent versant des dividendes
49
5.1 Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.1 Résolution de l’EDP de valorisation d’un call sur action . 51
5.2 Change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6 Théorème de valorisation dans le cas multidimensionnel et avec
coe¢cients de di¤usion stochastiques
6.1 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Formule BS avec taux d’intérêt stochastique . . . . . . . . . . . .
6.3 Prix forward d’un actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
54
54
56
56
60
IV
61
Modèle de smile
2
7 Modèle log-décalé
62
7.1 Valorisation d’un call. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.1.1 Lien avec le modèle de taux Ho and Lee . . . . . . . . . . 63
7.1.2 Remarques et exemples numériques . . . . . . . . . . . . . 64
8 Modèle à volatilité locale non paramétrique : mo dèle dit de
’Dupire’
8.1 Formule de Tanaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Equation de Focker-Plank . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 EDP suivi par le prix des calls et équation de la vol locale
64
64
67
67
67
9 Modèle SABR (Sigma Alpha Beta Rho)
68
Part I
Présentation du plan de cours
Le cours s’organise en 2 parties. Une première partie est dédiée à une introduction de notre problématique de valorisation des produits …nanciers et propose
une description de ces produits et de leur principe de valorisation. La seconde
s’attache à appliquer ces principes à la valorisation des produits dérivés et de
présenter ainsi les méthodologies utilisées en salle des marchés.
Part II
Instruments …nanciers
1
Dé…nition
Un actif ou instrument …nancier est un moyen d’e¤ectuer des transferts intertemporels de richesse et de risque sur cette richesse. Ils permettent aux intervenants
de s’échanger des ‡ux …nanciers présents et futurs, connus ou encore incertains
au moment de la mise en place de l’instrument …nancier.
2
Typologie et principe d’évaluation
La typologie utilisée habituellement distingue deux grands groupes d’actifs : les
actifs de base et les actifs dérivés. 1
1 Cette typologie doit se comprendre dans la perspective de la valorisation. Elle n’est pas
liée à l’organisation pratique des marchés …nanciers présentée lors du cours de premier semestre
par Philippe Riaulet et Emmanuel Huet.
3
2.1
Actifs de base
Dans le but de clari…er l’exposé, on se propose tout d’abord de dresser une liste
des actifs de base. On distinguera 4 types d’actifs de base. Nous donnerons
pour chacun une description et pour certains les principes de valorisation.
2.1.1
Actions
Une action est un titre de propriété sur une entreprise qui donne droit entre
autre au versement d’une partie des béné…ces futurs ou dividendes. Ces dividendes sont aléatoires dans la mesure où le montant n’est connu que peu avant le
versement. L’acquéreur de l’action a donc échangé un ‡ux A, le prix de l’action,
au moment de l’acquisition de l’action contre un multitude de ‡ux futurs incertains. Parmi ces ‡ux futurs on peut compter le ‡ux généré par le revente
éventuelle du titre. Là encore le montant de ce ‡ux de revente est inconnu au
moment de la mise en place de l’acquisition de l’instrument …nancier.
Le prix d’une action aujourd’hui est donc la valeur accordée par les intervenants du marché aux ‡ux futurs auxquels l’action leur donne droit. Ce prix
‡uctue jour après jour suivant l’anticipation que peuvent avoir les intervenants
sur la hauteur de ces ‡ux et l’intérêt qu’ils y accordent. Le prix n’est pas le
résultat d’une évaluation théorique mais la résultante d’un équilibre entre l’o¤re
et la demande.
2.1.2
Obligations
Une obligation est un titre de dette émis par une institution ou une entreprise.
Il s’agit pour l’émetteur d’emprunter de l’argent par l’intermédiaire de titres
négociables. Les ‡ux futurs reçus par l’acquéreur de l’obligation sont calculés à
partir d’un taux …xe comme les OAT (Obligation assimilable du Trésor: obligation émise par l’Etat) ou de taux indexés sur l’in‡ation par exemple.
De même que pour les actions les prix des obligations ‡uctuent en suivant
un niveau changeant d’équilibre entre l’o¤re et la demande. En revanche, une
évaluation théorique peut être utile pour mettre en relief des arbitrages possibles.
Valorisation des obligations à coupon …xe
Prix d’une obligation zéro coupon ou « strip » Une obligation zéro
coupon est un actif qui verse un ‡ux …xe à une date future T. On peut résumer
cet actif par le schéma 1:
100 est appelé nominal ou notionnel. Le prix en t de cet actif est formalisé
par :
100 ¤ B(t; T )
ou plus généralement
N ¤ B(t; T )
avec N le notionnel de l’obligation zéro-coupon et B(t; T ) le prix zéro-coupon.
Introduisons la notion corollaire de taux zero-coupon R(t,T), qui est le taux de
4
Figure 1: obligation zéro coupon
T
t
100 euros
rendement actuariel du zero-coupon. Il s’agit du taux auquel les 100 euros sont
empruntés (ou prêtés) La formule qui le dé…nit est la suivante :
B(t; T ) =
1
(1 + R(t; T )) (T ¡ t)
Remark 1 Les taux qui prévalent à chaque instant sur le marché résultent d’un
équilibre entre l’o¤re et la demande de numéraire. Ils sont le re‡et d’un équilibre
macro économique qui s’établit entre les intervenants prêteurs et les intervenants
emprunteurs. Pour simpli…er, considérons que les intervenants prêteurs sont les
consommateurs et les intervenants emprunteurs sont les industriels ou les institutions , telles que l’Etat, qui investissent. Du point de vue des consommateurs
le niveau des taux re‡ète leur préférence pour le présent. Des taux élevés dénotent une forte préférence pour le présent : les consommateurs qui prêtent leur
argent et donc qui ne pourront consommer que lors du remboursement cherchent
un fort dédommagement à ce délai de consommation. Du point de vue des emprunteurs, le niveau des taux re‡ètent la rentabilité espérée des investissements
que l’emprunt qu’ils émettent leur permet de réaliser.
Prix d’une OAT à taux …xe Lorsque l’Etat émet à t une obligation
à taux …xe S, il emprunte un nominal N et s’engage en contrepartie à verser,
généralement annuellement, un coupon que l’on notera C tel que
C = S ¤N
qui est donc un pourcentage …xe du nominal, et à rembourser le capital à la date
d’échéance T n . Le schéma des ‡ux est donné par la …gure 2.On peut considérer
toute OAT comme une combinaison linéaire d’obligation zéro-coupon. Ainsi à
chaque date ¿ supérieure ou égale à t, il est possible d’évaluer l’obligation en
considérant chacun des ‡ux futurs comme celui d’une obligation zéro coupon.
On a alors:
5
Figure 2: OAT
Tn
t
P
=
X
Ti> ¿
=
N
"
(1)
C ¤ B(¿ ; T i) + N B(¿ ; T n )
X
Ti >¿
S ¤ B(¿ ; Ti ) + B(¿ ; T n )
#
Le marché des OAT est en France un marché liquide : il est donc possible
à tout moment, en interrogeant le marché, de connaître le prix des obligations
existantes. Les prix recueillis et le formalisme de l’équation (1) permettent de
calculer le prix des zero-coupon. On dit aussi «stripper la courbe des taux».
Dans la mesure où le marché des strips ou zero-coupon est liquide il peut aussi
apporter une information complémentaire. Mais le strip est en fait un produit dérivé des obligations qui sont la véritable source de valorisation des zérocoupons.
Exercise 1 TD1
2.1.3
Absence d’Opportunité d’Arbitrage (AOA).
De…nition 2 Une opportunité d’arbitrage est la possibilité donnée à un intervenant du marché de monter une opération à investissement nul lui rapportant
dans le futur des gains toujours positifs et strictement positifs avec une probabilité non nulle.
Exercise 2 TD1
2.1.4
Change
Un taux de change est le prix d’une devise exprimé en une autre devise. Le prix
en Yen d’un dollar était au 8 Janvier 2002 de 132.5. Cette valeur, qui résulte d’un
équilibre entre l’o¤re et la demande (dans le cadre de parité libre), ‡uctue jour
après jour. Sur le marché des changes peuvent être aussi considérés comme actifs
de base les contrat à terme de change. Il s’agit pour un intervenant d’acheter
pour une date future déterminée dans le contrat un certaine quantité de devise
6
Figure 3: contrat d’achat à terme de 3 millions de dollars
T
t
3M dollars
3M*X yens
à un prix pré…xé. Supposons qu’un industriel japonais ait acheté des biens de
production à un industriel Américain et ce pour un montant de 3 millions de
dollars. Cet industriel japonais doit s’acquitter à la date T d’une facture en
dollar d’un montant de 3M. Nous sommes en t et notre acheteur japonais, pour
ne pas subir de risque d’une dépréciation éventuelle du yen (hausse du prix du
dollar en Yen, le dollar Yen passant pour …xer les idées de 132.5 à 140 ) décide
de rentrer dans un contrat d’achat à terme de 3 millions de dollar. On peut
résumer la transaction par le schéma 3.
Pour une valeur X particulière appelée taux de change à terme la transaction est à coût nul, c’est à dire qu’elle ne génère pas en t de paiement d’une
contrepartie vers l’autre en t. Nous noterons par la suite cette valeur X(t,T).
Une fois le contrat en place, notre acheteur japonais a l’assurance de pouvoir
acheter à la date T les 3 millions de dollars nécessaires au règlement de sa facture
pour une somme en Yen qui est …xée en t, et ce quelle que soit l’évolution de la
parité dollar/yen.
Principe d’absence d’opportunité d’arbitrage appliqué à la valorisation des contrats à terme de change Quelle est la valeur de X(t,T) ?
Pour répondre à cette question procédons en deux étape : la mise en place
d’une stratégie répliquante puis la mise en oeuvre du principe d’AOA.
Mise en place d’une stratégie réplicante à base d’actifs de base:
change spot et zéro-coupons Pour garantir à l’acheteur japonais le versement de 3M de dollars au taux de change à terme X(t,T), la banque qui a
proposé l’actif met en place le montage suivant. Elle achète dès aujourd’hui sur
le marché US un zéro coupon de nominal 3M et d’échéance T. En T elle recevra
les 3M de dollars. Un tel zéro coupon lui coûte en t,
B U S (t; T ) ¤ 3M
dollars. Pour …nancer un tel achat elle s’endette en Yen à hauteur de
B U S (t; T ) ¤ 3M ¤ X(t)
7
Figure 4: Réplication d’un achat à terme de 3 millions de dollars
Emprunt en Yen pour
financer l’achat des
dollars par la vente d’un
zéro coupon Yen
Valeur nulle par
construction : le montage
est autofinançant
Réception des 3M
de dollars
Remboursement de la
dette en Yen
Achat d’un zéro
coupon dollar de
notionnel 3M de
dollars.
qu’elle devra rembourser en T pour un montant de
B U S (t; T ) ¤ 3M ¤ X(t)=B J P Y (t; T )
Ce montage permet à la banque de mettre à disposition de son client les
3M de dollars à la date T. En contrepartie de ces 3M de dollars , la banque
demandera à son client de lui verser en yen, toujours à la date T, la somme de
B U S (t; T ) ¤ 3M ¤ X(t)
BJ P Y (t; T )
somme qui permettra à la banque de rembourser sa dette en Yen. On a donc,
dans le cadre de cette stratégie de réplication
3M ¤ X (t; T ) = 3M ¤
On obtient alors :
X (t; T ) =
X(t)B U S (t; T )
B J P Y (t; T )
X (t)BU S (t; T )
B JP Y (t; T )
Mise en oeuvre du principe d’AOA. Pour valoriser les actifs sur les
marchés liquides on fait l’hypothèse que sur ces marchés il y a AOA. Cette
hypothèse se justi…e par le fait que, sur les marchés liquides, les opportunités
d’arbitrage sont très vite repérées par des arbitragistes et que le marché sous
8
Figure 5: Stratégie d’arbitrage des contrats à terme de change
La banque vend à l’intervenant 3M
de yens au prix à terme X’ ,
t
et met en place une stratégie
d’arbitrage.
T
leur intervention se « rééquilibre » très rapidement avec les mécanismes que
nous avons pu voir précédemment.
L’évaluation que nous allons faire ici de X(t,T) repose sur l’hypothèse que le
marché des contrats à terme de change est bien arbitré, c’est à dire qu’il n’existe
pas d’opportunité d’arbitrage.
Prouvons donc que cette valeur obtenue par réplication est la seule qui convienne sous l’hypothèse d’AOA, c’est à dire que si un autre intervenant proposait
un contrat à terme avec taux de change à terme di¤érent, on aurait une opportunité d’arbitrage. Supposons que la banque propose un contrat à terme à
valeur X 0 > X(t; T ). Alors il est possible d’e¤ectuer le montage illustré par la
…gure 5.
Ce montage est une combinaison du montage précédemment décrit et d’un
contrat de vente à terme passé avec l’intervenant au taux X 0 (‡ux en pointillé).
Par construction l’investissement en t est nul. En revanche, il génère en T un
‡ux strictement positif en Yen de
3M ¤ X 0 ¡ 3M ¤
X (t)BU S (t; T )
= 3M ¤ (X 0 ¡ X(t; T )) > 0
B JP Y (t; T )
Ce qui est incompatible avec l’absence d’opportunité d’arbitrage.
Inversement on montre que si un intervenant propose un contrat à terme à
X 0 < X(t; T ) il est possible de l’arbitrer, c’est à dire de monter une opération
…nancière à coût nul qui rapporte une somme positive avec une probabilité non
nulle, en l’occurrence dans ce cas particulier à coup sûr.
En la présence d’une opportunité d’arbitrage, les arbitragistes auraient massivement acheté des dollars à terme (dans le cas X 0 < X(t; T )) ou inversement
vendu des dollars à terme (dans le cas X 0 > X(t; T )) aux contreparties proposant X 0 . Ces contreparties s’apercevant que le prix qu’elles proposent suscite
9
Figure 6: Dollar/Yen forward au 8 Janvier 2002
date
08/01/02 08/01/04 08/01/05 08/01/06 08/01/07 08/01/08 08/01/09 08/01/10 08/01/11 08/01/11
change forward
132,54
129,59
124,06
117,48
111,11
105,29
100,13
95,51
91,28
87,24
des demandes importantes réajustent leur prix, ce qui a pour e¤et « réequilibrer
» le marché vers la valeur X (t; T ).
Exemple numérique des taux de change à terme sur données du 8
janvier 2002 Pour donner une idée concrète des taux forward que l’on peut
obtenir actuellement nous donnons …gure 6 la valeur du taux de change forward
pour di¤érentes maturités. La date d’évaluation est le 08/01/02 Le premier
taux de change donné est en fait le taux de change spot dollar/yen du 8 janvier.
On s’aperçoit sur ces valeurs que notre acheteur japonais en achetant à terme
peut vouloir pro…ter de la faible cherté du dollar à terme.
2.1.5
Matières premières
Le marché des matières premières a vu le développement de produits …nanciers
permettant aux acteurs de se couvrir contre les variations de prix. Il s’agit
essentiellement de contrat de vente et d’achat à terme. Sur certains marchés
ces contrats existent depuis très longtemps (marché à terme de métaux à Amsterdam au 18ème, marché à terme de céréale au Chigago Board of Trade au
19ème) et sur certains sont ils nouvellement apparus comme sur le marché de
l’énergie (pétrole, gaz, électricité).
2.1.6
Marché des produits de crédit
Les produits de crédits et leur valorisation seront présentés par Monique Jeanblanc dans le cours dédié aux problématiques de crédit.
2.1.7
Prix forward d’un actif
Nous sommes en t et l’on considère un actif S (une obligation ou une action)
dont on veut déterminer le prix à terme en T(>t).
Pour simpli…er on considère que cet actif ne verse pas de coupon ou de
dividendes entre t et T.
De même que dans le cas du change à terme nous plaçons sous AOA et
raisonner en deux étapes : 1) établir un prix "de réplication", 2) conclure sur
ce prix en utilisant l’hypothèse d’AOA.
Réplication Considérons que nous sommes une banque et qu’un client s’adresse
à nous pour une vente à terme. Il nous faut donc monter une stratégie que l’on
10
Figure 7: achat à terme
T
t
Le client nous
remet l’actif
Nous achetons au
client l’actif au
prix forward
Figure 8: opération de ”repo”
T
t
Le prêteur rend
St (1+rrepo ) à
l’emprunteur de
l’actif
L’actif est
emprunté
L’emprunteur
paie St au
prêteur
L’actif est rendu
représente par la …gure 7 : nous sommes la banque et de notre point de vue
nous e¤ectuons un achat à terme de l’actif S.
Pour répliquer de tels ‡ux la banque va mettre en place une stratégie à
base d’actifs de base qui sont ici, l’actif ’spot’, et une opération de ”repurchase
agreement” dite ausi opération ”repo”.
Repurchase Agreement Une opération de ”repo” ou en anglais ”repurchase
agreement” consiste en l’achat (ou la vente) d’un actif assorti(e) de la revente
(resp. du rachat) de cet actif. La revente ou le rachat s’e¤ectue à une date et
pour une valeur qui sont …xées au moment de la mise en place de l’opération.
L’achat et la revente (ou symétriquement la vente et le rachat) s’e¤ectue auprès
de la même contrepartie. Cette opération est illustrée par la …gure 8.
Nous venons de présenter les opérations de ”repo” comme des opérations de
prêt ou d’emprunt d’actif. Mais on peut renverser la perspective et les inter11
prêter comme des des prêts en emprunts de ”cash” avec nantissement. L’actif
est alors en quelque sorte un bien hypothéqué qui garantit le prêteur de ”cash”
du remboursement à l’issue du prêt. Ce principe de nantissement qui donne
une garantie au prêteur du cash explique que les taux ”repo” sont généralement
inférieurs aux taux auxquels l’emprunteur peut emprunter lorsqu’il le fait sans
apporter de garantie au prêteur (emprunt par émission d’obligation).
Réplication (suite) et conséquence de L’AOA Nous rentrons dans l’opération
d’achat à terme. Nous nous couvrons par une opération ”repo” et par une vente
”spot” (”spot” signi…e que l’on exécute la vente immédiatement, c’est à dire en
t). Le montage, sa couverture et la résultante sont représentés sur la …gure
9. L’opération globale qu’e¤ectue la banque est une opération qui en t ne lui
génère aucun ‡ux, donc aucun investissement et qui en T lui rapporte
P f ¡ St (1 + rr epo )
Sous AOA une opération à investissement nul ne peut que rapporter 0. On
a donc :
P f = St (1 + rrepo )
2.2
Produits dérivés
Les actifs dérivés sont de façon générale des contrats de vente ou d’achat d’actifs
…nanciers de base sous des contraintes particulières. L’actif de base est alors
appelé actif sous-jacent. Contrairement au chapître précédent il ne vous sera
pas proposé ici une description des di¤érents actifs dérivés que l’on peut trouver sur les marchés …nanciers. Nous nous concentrerons plutôt sur les méthodes d’évaluation de ces produits. Nous commencerons par la description et
l’évaluation d’un actif dérivé simple : l’option d’achat ou de vente. La méthode
d’évaluation repose sur
² une hypothèses d’absence d’opportunité d’ arbitrage, analogue à celle que
nous avons vu pour l’évaluation du taux de change à terme;
² une modélisation de l’évolution du court du sous jacent, modélisation dont
nous n’avions pas eu besoin pour l’évaluation du taux de change à terme;
Les méthode d’évaluation e¤ectivement utilisée sur les marchés, propose
une modélisation des cours des sous jacents par un processus en temps continu. Avant d’exposer cette méthode, et pour mieux comprendre les principes
qui sous tendent l’évaluation des produits dérivés, nous commencerons par des
modélisations du sous jacent plus simple. Ce chapitre sur les produits dérivés
s’organisera de la façon suivante.
² Une description de notre produit de référence : l’option d’achat ou call en
anglais
12
Figure 9: Montage complet de la banque : contrat à terme et couverture
T
t
Achat à terme
de l’actif
+
Opération de
“repo”
Nous achetons au
client l’actif au prix
forward P f
St (1+rrepo)
St
couverture
+
St
+
Vente “spot” de
l’actif
=
Pf
S t (1+rrepo)
13
Figure 10: Achat avec couverture en cas de hausse du prix
Ce que veut payer
notre acheteur :
MAX (S T,K)
K
S
K
² Une évalution de ce produit dans un univers discret à une période et deux
états du monde puis dans un univers d’évolution binomiale à plusieurs
périodes.
La valorisation en temps continue sera abordée dans la seconde partie du
cours.
2.2.1
Call et Put sur actif
Un call sur un actif donne à son détenteur la possibilité d’acheter à une date
…xée l’actif à un prix K convenu à l’avance. Il va permettre à un intervenant qui
sait devoir acquérir cet actif à une date future de se couvrir contre une hausse
éventuelle du cours. A la date T d’acquisition, le détenteur de l’option veut
débourser en T pour acheter l’actif M ax(ST ; K) comme illustré par la …gure
10. Pour avoir l’assurance de ne payer que M AX(ST ; K), l’agent qui désire se
couvrir achète un produit …nancier, un call, qui lui versera 0 si l’actif sous-jacent
vaut moins que K et ST ¡ K sinon et donc synthétiquement M AX(ST ¡ K; 0).
Soit graphiquement ce que nous pouvons voir sur la …gure 11.
2.2.2
Valorisation par réplication dans un univers à deux dates et
deux états du monde : hypothèse AOA et existence d’une
probabilité risque neutre
Un univers à deux dates et deux états du monde Nous sommes en t
et l’on admet que notre univers de valorisation puisse être représenté par deux
dates t et T et deux états du monde en T, un état « haut » et un état « bas »
.
14
Figure 11: Payo¤ d’un call
MAX (ST -K,0)
payoff
S
K
Figure 12: Modèle à 1 période et deux états
T
Haut P h
Sh
1+r
Ch
Bas Pb
Sb
1+r
Cb
t
S
1
C
15
Dans cet univers de valorisation nous disposons de deux actifs de base : un
actif sans rique et un actif risqué. L’actif sans risque est un placement zérocoupon au taux r. On le normalise de façon qu’en t sa valeur soit 1. En T il
vaudra donc(1 + r)T ¡t et ce quel que soit l’état du monde Si pour simpli…er
our simpli…er on choisit T-t =1, alors en T l’actif sans risque vaut 1+r. L’actif
risqué qui vaut S en t vaudra Sh dans l’état haut et Sb dans l’état bas avec
S h < Sb . La probabilité pour que l’état du monde ”haut” (resp. ”bas”) se
réalise est Ph (resp.P b ) .
Remark 3 l’inégalité Sh < Sb est stricte. Si l’on avait l’égalité l’actif serait un
actif sans risque et l’opportunité d’une option ne se pose pas. P i=h;b 2 ]0; 1[ .
Le cas où l’un des deux coe¢cients vaut 1 est un cas dégénéré où l’opportunité
d’une option ne se pose pas non plus.
Notre objectif L’ob jectif de cette section est double. Il est tout d’abord
de valoriser notre call sous l’hypothèse AOA et plus généralement de montrer
l’équivalence :
AOA
,
il existe une probabilité Q dite ”risque neutre” équivalente
(2)
à la probabilité historique sous laquelle les prix actualisés
des actifs, actifs de base et actifs dérivés, sont des martingales
valorisation du call Nous allons procéder pour valoriser notre call comme
nous l’avions fait pour l’évaluation du taux de change forward : évaluer un prix
de réplication puis utiliser l’AOA pour conclure.
Par combinaison linaire de ces deux actifs il et facile de répliquer le payo¤
du call
les contraintes sont les suivantes:
® ¤ (1 + r) + ¯ ¤ Sh = M AX(Sh ¡ K; 0)
® ¤ (1 + r) + ¯ ¤ Sb = M AX(Sb ¡ K; 0)
Soit, si l’on note
² Ch = M AX(Sh ¡ K; 0)
et
² Cb = M AX(Sb ¡ K; 0)
® ¤ (1 + r) + ¯ ¤ Sh = Ch
® ¤ (1 + r) + ¯ ¤ Sb = Cb
Le système se résout de la façon suivante
16
¯
®
= (Ch ¡ C b )=(Sh ¡ Sb )
= [C h ¡ Sh ¤ (C h ¡ C b )=(Sh ¡ Sb )]=(1 + r) = [C b Sh ¡ C h Sb ]=[(Sh ¡ Sb ) ¤ (1 + r)]
Le prix de réplication de notre option est alors donnée par
C
=
=
®¤ 1+ ¯ ¤S
[C b Sh ¡ C h Sb ]=[(S h ¡ Sb ) ¤ (1 + r)] + (Ch ¡ C b )=(Sh ¡ Sb ) ¤ S
Que l’on peut réécrire en fonction des payo¤s C h et C b et de coe¢cient
pondérateur ¦h et ¦b :
C
= [¦h ¤ Ch + ¦b ¤ C b ]=(1 + r)
(3)
Avec
² ¦h
=[S*(1+r)-S b ] / (Sh -Sb )
et
² ¦b
=[S*(1+r)-Sh ] / (Sh -Sb )
En …n l’hypothèse d’AOA nous permet de conclure : le prix du call est son
prix de réplication, soit donc C.
Par ailleurs on remarque que:
S
= [¦h ¤ S h + ¦b ¤ S b ]=(1 + r)
(4)
ainsi que
1 = [¦h ¤ (1 + r) + ¦b ¤ (1 + r)]=(1 + r)
(5)
Propriétés des coe¢cients pondérateurs et mise en relief d’une probabilité risque neutre
Montrons que ¦b = 1 ¡ ¦h et que ¦i=h;b 2 ]0; 1[
¦b
= [S ¤ (1 + r) ¡ Sh ]=(Sh ¡ Sb )
= [S ¤ (1 + r) ¡ Sh + S b ¡ Sb ]=(Sh ¡ S b )
= 1 ¡ ¦h
Pour montrer que ¦b 2 ]0; 1[ partons de
¦b = [S ¤ (1 + r) ¡ Sh ]=(Sh ¡ Sb )
17
Pour montrer ¦b 2 ]0; 1[ il nous su¢t de montrer que
Sb < S ¤ (1 + r) < Sh
Montrons que l’on ne peut pas avoir S ¤ (1 + r) < Sb
Si l’on a S ¤ (1 + r) < Sb alors on a S ¤ (1 + r) < Sb < Sh . On est donc en
présence d’un actif qui rapporte systématiquement strictement plus que l’actif
sans risque. Il y a donc opportunité d’arbitrage : on emprunte au taux sans
risque et l’on place l’argent emprunté sur l’actif S. L’investissement en t est nul
et le revenu en T est strictement positif. Conclusion en AOA on ne peut pas
avoir S ¤ (1 + r) < Sb :
Montrons de la même façon que l’on ne peut pas avoir S ¤ (1 + r) = Sb
Si l’on a S ¤ (1 + r) = Sb alors on a S ¤ (1 + r) = Sb < Sh . On est
donc en présence d’un actif qui rapporte systématiquement plus que l’actif sans
risque et strictement plus avec une probabilité non nulle. Il y a donc opportunité
d’arbitrage : on emprunte au taux sans risque et l’on place l’argent emprunté sur
l’actif S. L’investissement en t est nul et le revenu en T est positif et strictement
positif dans l’état du monde ”haut”, c’est à dire avec une probabilité non nulle.
Conclusion en AOA on ne peut pas avoir S ¤ (1 + r) = Sb :
De la même façon le lecteur montrera en s’apuuyant sur l’hypothèse AOA
que l’on ne peut pas avoir Sh · S ¤ (1 + r)
Conclusion
¦b = 1 ¡ ¦h
¦i=h;b 2 ]0; 1[
Probabilité risque neutre ¦i=h; b peut s’interpréter comme un probabilité. Cette probabilité est appelée probabilité risque neutre et notée Q.
¦i=h; b 2 ]0; 1[ entraine que Q est équivalente à la probabilité d’observation,
que l’on notera P et que l’on avait précédemment caractérisée par Pi=h;b . Dans
cette nouvelle perspective réécrivons les équations (3),(4) et (5).
St = E Q (
ST
)
1+r
Ct = E Q(
CT
)
1+r
Et trivialement . . . .
1 = E Q(
(1 + r)
)
(1 + r)
Que vient d’obtenir? On vient de montrer que sous l’hypothèse AOA les
di¤érents prix de notre marché s’établissent par l’espérance, sous une probabilité
Q équivalente à P, des gains actualisés. Ou encore que les prix actualisés de nos
actifs sont des martinguales sous Q.
Où a t’on utilisé l’hypothèse AOA ? On l’utilise par deux fois.
18
² pour montrer que Q et équivalente à P.
² lorsque l’on déclare que le prix de notre option est le prix du portefeuille
répliquant. En e¤et l’on montre en raisonnant comme nous avions fait
pour le taux de change forward, que si le prix de l’option n’est pas le prix
du portefeuille répliquant alors il y a une opportunité d’arbitrage.
Quelques mots supplémentaires sur Q. Elle est appelée probabilité risque
neutre. Rappelons nous que pour obtenir le prix aujourd’hui d’un ‡ux …xe
C dans le futur on se contentait de l’actualiser. La probabilité risque neutre
permet d’étendre cette méthodologie à la valorisation de ‡ux dont les montants
ne seront connus que lors de lors paiement : on actualise et l’on somme les
di¤érents états du monde en les pondérant par la probabilité risque neutre.
En…n il est important de souligner que cette probabilité n’est pas la probabilité historique. La probabilité historique n’intervient pas pour la valorisation du
call. Pour donner à Q une interprétation économique, introduisons deux actifs
élémentaires: un actif « haut » qui paie 1 Euro dans l’état haut et 0 sinon; un
actif « bas » paie 1 Euro dans l’état bas et 0 sinon. On montre facilement que
le prix de l’actif haut est ¦h /(1+r) et que le prix de l’actif bas est ¦b /(1+r).Ces
actifs sont appelés prix d’Arrow Debreu. Ils forment la base canonique de tous
les payo¤s possible de notre monde simpli…é. ¦h et ¦b sont en fait (au discount
près) plus des prix qu’une véritable probabilité.
En conclusion nous venons de montrer
AOA
)
il existe une probabilité Q dite ”risque neutre” équivalente
à la probabilité historique sous laquelle les prix
des actifs, actifs de base et actifs dérivés, sont des martingales
Montrons la réciproque. Partons donc de l’hypothèse que tout payo¤ se
valorise par l’utilisation d’une probabilité risque neutre équivalente à la proba
historique. Montrons qu’alors une opportunité d’arbitrage n’est pas possible.
Dans notre monde simpli…é, une opportunité d’arbitrage est une stratégie de
valeur nulle en t et générant en T un ‡ux toujours positif et strictement positif
dans au moins un état du monde. Soit donc une stratégie qui génère en T un
‡ux toujours positif et strictement positif dans au moins un état du monde.
Montrons que la valeur en t d’un tel montage est strictement positif. Pour …xer
les idées notons fh le ‡ux en l’état ”haut” et fb le ‡ux en l’état ”bas” avec
f i=h;b ¸ 0 et fh > 0. Le prix en t de cette stratégie est donné par :
F = ¦h
fh
fb
+ ¦b
1+r
1+r
Sous les hypothèse ¦i=h;b 2 ]0; 1[, F est donc strictement positif. En conséquence sous l’hypothèse d’existence d’une probabilité risque neutre équivalent
à la probabilité historique il ne peut y avoir d’opportunité d’arbitrage.
19
Figure 13: Marché imcomplet
T
état h
t
état m
état b
2.2.3
Marché incomplet : un exemple de pricing par sur-réplication
(TD)
Nous partons du modèle simple à une période mais cette fois on considère qu’au
temps T 3 états du monde distincts peuvent survenir. 2 actifs liquides sont
présents sur le marché : il s’agit d’un actif sans risque, qui vaut 1 en t et qui
vaut (1 + r) en T , et ce, quel que soit l’état du monde, et d’un actif S qui vaut
S t en t et Si en T , avec i = h; m ou b. Le tout est illustré …gure 13. Nous
prendrons r = 0 et
St
Sh
=
=
3
4
Sm
=
2
Sb
=
1
.
Un trader reçoit une demande de quotation pour un actif X qui génère en
T un ‡ux Xi = h; m; b avec
Xh
= 2
Xm
= 1
Xb
= 1
. Dans le cadre du modèle à deux états du monde et deux actifs liquides la
méthodologie d’évaluation consistait à bâtir à partir de l’actif sans risque et
l’actif risqué S liquide un portefeuille répliquant le payo¤ du call que nous
avions à évaluer. Ici cela n’est plus possible.
20
Supposons que soit demandé au trader de vendre cet actif X.L’objet du TD
est de déterminer la valeur Xt à laquelle le trader acceptera de vendre l’actif X.
Question 1 Montrer en quoi le trader ne peut pas répliquer parfaitement X à partir de l’actif sans rique et de S.
Les objectifs du trader sont les suivants : se couvrir totalement et proposer
sous cette contrainte de couverture le prix le plus attractif possible. Autrement
dit, avec l’argent de la prime(= Xt ) que lui versera son client, le trader compte
acheter un portefeuille combinant l’actif sans risque et l’actif S tel que, quel
que soit l’état du monde, son portefeuille lui rapporte en T plus qu’il ne doit
reverser à l’acheteur de l’actif X. Le trader doit toutefois « optimiser » son
portefeuille de façon à demander à son client la prime la plus faible possible.
Question 2 Ecrire le programme d’optimisation linéaire correspondant
aux ob jectifs du trader.
Rappel de programmation linéaire
Introduisons les notations :
² I = fi : i = 1; 2; ::mg
J = fj : j = 1; 2; ::ng
² x et c deux vecteurs deR n
² y et b deux vecteurs de R m
² A une matrice de Mn;m (R)
Par I1 on note une partie des indices de I, c’est à dire queI1 ½ I et I2 = InI1 .
D’une façon analogue, J 1 ½ J et J2 = J nJ 1 .
Les deux problèmes d’optimisation linéaires sous contraintes mixtes :
P B1
M in < c; x >
Sous
et
P B2
x
(Ax)i ¸ b i
(Ax)i = b i
xj ¸ 0
i 2 I1
i 2 I2
j 2 J1
M ax < b; y >
Sous
x
(AT y) j · cj
(AT y) j = cj
yi ¸ 0
i 2 J1
i 2 J2
i 2 I1
se nomment problèmes duaux avec contraintes mixtes. On montre que si
l’ensemble admissible de P B1 est vide, il en va de même pour P B2 ,et inversement. Par ailleurs si l’on note x ¤ ety ¤ les solutions du P B1 et de P B2 alors on
a < c; x ¤ >=< b; y ¤ >
21
Figure 14: Modèle à 2 périodes
T2
T1
S(hh)
S(h)
T0
S
S(hb)
S(b)
S(hb)
Question 3 Ecrire le dual du programme d’optimisation obtenu à la
question 2. L’interpréter en introduisant le concept de probabilité risque neutre.
Question 4 Résoudre les systèmes de la question 2 et 3
2.2.4
Processus binomial à plusieurs périodes
Modèle à deux périodes Sur un modèle multipériode l’AOA se traduit par
une AOA période par période (illustré par la …gure 14)
Pour simpli…er on prend
² Ti+1 ¡ T i = dt
² S (h) = S ¤ h
² S (b) = S ¤ b
² S (hh) = S (h) ¤ h
² S (hb) = S (b) ¤ h = S (h) ¤ b
² S (bb) = S (b) ¤ b
On fait l’hypothèse que le sous jacent se di¤use sous la proba historique
comme nous venons de le shématiser et comme nous l’avons illustré par la …gure
14. Sous AOA on a, à chaque étape, c’est à dire pour i=0,1:
CT i (::) = [¦ ¤
CT i+1 (::h)
C Ti+1(::b)
+ (1 ¡ ¦) ¤
]
(1 + r)dt
(1 + r)dt
22
Avec (en appliquant les résultats du modèle mono période détaillé au paragraphe précédant)
¦
Et donc
CT0
=
=
(1 + r)dt ¡ b
h¡ b
¦2 ¤ CT2 (hh) + 2¦ ¤ (1 ¡ ¦)C T2 (hh) + (1 ¡ ¦)2 ¤ CT2 (hh)
(1 + r)(T 2¡T0 )
Di¤usion à n pério des
CT0
=
Pour une di¤usion discrète à n périodes on obtient :
P
1
0· j·n
(T
¡T
)
n
0
(1 + r)
µ
j
n
¶
¦j (1 ¡ ¦)n¡j CTn (hj b n¡ j )
Prenons le cas où C est un call sur S de strike K et de maturité T. On a :
C Tn (h j bn¡j ) = (Shj b n¡ j ¡ K )+
Part III
Evaluation en temps continu
3
Théorème de valorisation dans le cas monodimentionnel et avec coe¢cients de di¤usion non
stochastiques
Nous sommes en temps continu et l’on se place dans un univers à horizon …ni
T. Nous sommes en t. Sur le marché coexistent deux actifs liquides (actifs de
base): l’actif sans risque M, et un actif risqué S.
Les prix de ces deux actifs suivent sous la probabilité historique P les di¤usions suivantes :
dM ¿
= rd¿
M¿
dS ¿
= ¹d¿ + ¾dW P
S¿
On désire évaluer au temps t un actif C payant h (ST ) en T. On se place sous
AOA. On montre alors que le "prix d’arbitrage" de C est unique et qu’il existe
une probabilité Q équivalente à P sous laquelle:
23
Ct
et
St
=
E Q [exp [¡r (T ¡ t)] h (ST ) =F t]
=
E Q [exp [¡r (T ¡ t)] ST =Ft ]
où Ct désigne le prix d’arbitrage de C.
3.1
Quelques dé…nitions
On note (F ¿ ) ¿ la …ltration naturelle du brownien W ¿P .
3.1.1
Portefeuille auto…nançant
Un portefeuille auto…nançant est un couple (® ¿ ; ¯ ¿ ) ¿ de processus F¿ ¡adaptés
tel que 8¿ 2 [t; T ]
Z ¿
Z ¿
® ¿ M¿ + ¯ ¿ S¿ = ®t M t + ¯ t St +
®s dM s +
¯ s dSs
(6)
t
t
ou encore
d (®s M s + ¯ sS s) = ® sdM s + ¯ s dSs
(7)
f¿ =
et sous une forme plus concise et en supposant M t = 1 et en posant S
S ¿ =M¿ = S¿ exp (¡r ¤ ¿ ):
Z ¿
f
® ¿ + ¯ ¿ S¿ = ®t + ¯ t St +
¯ sd f
Ss
t
3.1.2
Stratégie de trading
Une stratégie de trading est un portefeuille auto…naçant respectant éventuellemnt
certaines contraintes supplémentaires (positivité, contraintes d’intégrabilité..).
3.1.3
Opportunité d’arbitrage
Une opportunité d’arbitrage est stratégie de trading telle que :
² ProbaP (® t Mt + ¯ tS t = 0) = 1
² ProbaP (® T MT + ¯ T S T < 0) = 0
² ProbaP (® T MT + ¯ T S T > 0) > 0
24
3.2
Grandes lignes de la démonstration
On montre tout d’abord par le théorème de Girsanov qu’il existe une probabilité
Q équivalente à la probabilité historique P telle que sous Q
dS¿
= rd¿ + ¾dW Q
S¿
où W¿Q est un brownien sous Q.
Puis on montrer à l’aide du théorème de représentation des martingales que
sous certaines conditions sur h, notamment lorsque h(ST ) est de carré intégrable
sous Q,
¡
¢
E Q h 2 (S T ) =Ft < +1
il existe un couple de processus adaptés (®t ; ¯ t ) qui dé…nisse une stratégie de
trading telle que ®T MT + ¯ T ST = h (ST ) :On poursuit en montrant que 8¿ 2
[t; T ] la valeur V¿ (= ®¿ M¿ + ¯ ¿ S¿ ) de ce portefeuille réplicant véri…e
h
i
V ¿ = E Q exp¡r( T ¡ ¿ ) h (ST ) =F ¿
En…n, sous hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage, on conclut en
disant que tout autre stratégie de trading répliquant notre actif dérivé en T ne
peut pour valeur en t que V t . V t est alors appelé prix d’arbitrage de C en t.
On a donc :
£
¤
C t = V t = E Q exp ¡r(T ¡t) h (ST ) =F t
Et plus généralement:
8¿ 2 [t; T ]
C¿
S¿
M¿
= E Q [exp [¡r (T ¡ ¿ )] C T =F¿ ]
= E Q [exp [¡r (T ¡ ¿ )] ST =F¿ ]
= E Q [exp [¡r (T ¡ ¿ )] M T =F ¿ ]
On s’applique dans les deux paragraphes suivants à relever les analogies avec
le modèle à une période et commenter les di¤érences.
3.3
Analogies avec le modèle discret à une période
² Dans les deux cadres la construction de ce portefeuille répliquant mène à
la mise en relief d’une probabilté risque neutre sous laquelle les prix de
l’actif sans risque, l’actif risqué et l’actif C une fois discounté sont des
martinguales.
² Dans les deux cadres la probabilité risque neutre est équivalente à la probabilité historique
25
3.4
Di¤érences
² Les opportunités d’arbitrage sont dé…nies ici à partir de portefeuille ne
contenant que les actifs de base, restriction que nous n’avions pas en temps
discret. La conséquence est important dans le cadre discret le théorème
d’évaluation parle du "prix" de l’actif dérivé alors qu’en temps continu on
parle de "prix d’arbitrage"
² La stratégie de couverture n’est plus statique mais dynamique : le portefeuille répliquant est construit lors de la vente ou de l’achat au temps t
de l’actif C mais il subira au cours du temps des réarrangements. Il est
très important de noter que dire que la statégie mise en place est auto…nançante. Ceci signi…e que les réarrangements de portefeuille au cours du
temps se font à coût nul.
² Nous n’avons pas montré l’équivalence (2). Nous avons simplement montré
que l’AOA implique que il existe une mesure Q équivalente à P sous laquelle le prix des actifs de base et le prix d’arbitrage de certains (du fait de
la condition sur la fonction h) sur actifs dérivés, une fois discountés, sont
martingales. Démontrer la réciproque de cette implication est malaisé: elle
ne peut être démontrée qu’à condition de restreindre la classe des stratégies de trading (® ¿ ; ¯ ¿ )¿ qui peuvent former les opportunités d’arbitrage,
par exemple en se restreignant aux stratégies de trading dont la valeur est
bornée inférieurement.
3.5
Formules Black et Sholes
Identi…cation des coe¢cients du portefeuille répliquant, calcul du prix BS et du
delta :TD cours 3
3.5.1
Prix du call
le prix du call est donné par
C BS (t; T ; r; St ; K; ¾) = S tN (d1 ) ¡ exp¡ r(T ¡t) KN (d2 )
avec
µ
¶
1 2
ln (St =K) + r + ¾
(T ¡ t)
2
² d1 =
p
¾ T ¡t
µ
¶
1
ln (St =K) + r ¡ ¾ 2 (T ¡ t)
p
2
² d2 = d1 ¡ ¾ T ¡ t =
p
¾ T ¡t
² t est la date de valorisation de l’option
² T est la date d’exercice de l’option
26
Figure 15: valeurs numériques utilisés dans les 4 …gures suivantes
strike
discount
vol
maturité (T-t)
5
0,9
10%
10
Figure 16: prix d’un call
call
5
4
prix
3
2
prix du call
1
prix du call à maturité
0
-1
0
5
10
niveau du sous-jacent
² T ¡ t est la maturité résiduelle de l’option
² K est le strike de l’option
² St est la valeur de l’action en t
² ¾ est la volatilité du sous-jacent
Introduisons les notions suivantes
²
@C
est appelé delta de l’option. Cette valeur comme nous le verrons
@St
dans le paragraphe suivant sert au trader à monter son portefeuille de
couverture. Dans le cas d’un call
@C
= N (d1)
@St
²
@C
est appelé théta de l’option
@t
27
Figure 17: delta d’un call
delta comme fonction du sous jacent
1,2
1
delta
0,8
0,6
delta
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
sous-jacent
²
3.5.2
@2C
est appelé gamma de l’option
@St2
Prix du put
Le prix du put est donné par
P BS (t; T ; r; S t; K; ¾) = exp ¡r( T ¡ t) KN (¡d2 ) ¡ St N (¡d1 )
et son delta par
3.5.3
@P
= ¡N (¡d1 )
@St
Prix forward d’un actif
On supposera dans cette section que le taux repo est égal au taux sans risque.
On se place dans la situation d’une banque s’engageant à t à vendre en T un
actif S au prix P f . On a vu que dans la première partie du cours que pour
déterminer P f la banque doit monter une stratégie à base d’actif sans risque et
d’actif risqué qui lui délivre les ‡ux futurs tels que réprésenter …gure 20.
Pour cela, la banque achète en t l’actif S au prix St et …nance cet achat par
un emprunt d’un montant St sur la durée (T-t). L’opération est donc neutre
en t, la banque se portant acquéreur de l’actif en empruntant. En T elle aura
dans son portefeuille l’actif S et devra rembouser S t ¤ expr( T ¡ t)(emprunt au
taux sans risque r). En T elle aura donc dans son portefeuille l’actif que pourra
céder à son client en contrepartie de Pf qui, somme qui permettra à la banque
de rembourser son emprunt. D’où P f = S t ¤ expr( T ¡ t). Le raisonnement est en
tout point équivalent au raisonnement tenu dans la première partie du cours. 2
28
Figure 18: prix d’un put
put
4
3,5
3
prix
2,5
2
prix du put
prix du put à maturité
1,5
1
0,5
0
0
2
4
6
8
10
-0,5
niveau du sous-jacent
Figure 19: delta d’un put
delta du put
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-0,2
delta
-0,4
-0,6
delta
-0,8
-1
-1,2
sous-jacent
Figure 20: Vente forward par la banque de l’actif risqué S
T
t
Pf
actif
29
Figure 21: cash settlement du contrat forward
T
t
Pf
ST
di¤érences toutefois : 1) on raisonne sur une situation inverse, car le client est
ici acheteur à terme de l’actif; 2) le ’repurchase agreement’ est remplacé ici par
un simple achat …nancé par l’actif sans rique. Dans la réalité des marchés, il
faudrait prendre en compte ce décalage de taux de …nancement/emprunt.
Une autre façon de valoriser la valeur forward de l’actif c’est de considérer
que du point de vue du client et de la banque un ’physical settlement’ de son
contrat forward , c’est à dire avec livraison e¤ective de l’actif est équivalent à
un cash settlement du contrat ou en grand T sont échangés deux ‡ux de cash,
l’un d’un montant P f , l’autre d’un montant ST (cf …gure 21).
Or la banque n’accepte de rentrer dans une telle transaction que si et seulement si le prix vu en t de ces ‡ux futurs est 0. Soit si et seulement si
£
¤
E Q exp [¡r (T ¡ t)] P f =F t = E Q [exp [¡r (T ¡ t)] ST =F t]
ou encore
P f = St ¤ exp r(T ¡t)
3.5.4
Prix BS du call et du put comme fonction du prix forward de
l’actif.
Les formules de valorisation peuvent aussi s’exprimer en fonction du prix forward
de l’actif. On a dans le cas du call:
¡
¢
£
¤
C t; T ; r; StT ; K; ¾ = exp¡ r(T ¡t) StT N (d1 ) ¡ KN (d2 )
(8)
avec
¡
¢
ln StT =K +
² d1 =
p
¾ T
¡
¢
ln StT =K +
² d2 =
p
¾ T
1 2
¾ (T ¡ t)
2
¡t
1 2
¾ (T ¡ t)
2
¡t
30
² STt = St expr(T ¡t) : prix forward de l’actif
3.5.5
Volatilité BS implicite et smile
Pour une date de maturité T donnée sont côtés sur le marché un certain nombre
de call et de put pour di¤érents niveaux de strike. Or les cotations ne sont pas
données en prix mais en terme de volatilité BS, dite "volatilité implicite". Si
l’on note fB S (¾) la fonction telle que :
fB S (¾) = CB S (t; T ; r; S; K; ¾)
la relation entre les prix P K et la volatilite implicite ¾ BS
¾ BS
ou
implicite
£
f BS ¾ BS
implicite
(K ) s’écrit :
¡1
(K) = f BS
(P K )
implicite
¤
(K ) = PK
Or sur de nombreux marchés on s’aperçoit la volatilité implicite dépend
de K. Ce phénomène est appelé "smile" du fait de la forme de la fonction
¾ B S implicite (K). Nous en donnons une exemple numérique.sur la …gure 22. Un
tel phénomène vient contredire l’hypothèse de di¤usion que nous avions donnée
à savoir que sous la probabilité historique on a :
dS ¿
= ¹d¿ + ¾dW P
S¿
dM ¿
= rd¿
M¿
avec des coe¢cients ¹; r et ¾ non stochastiques. Le marché continue d’adhérer
à la formalisation BS, sait qu’elle est fausse et apporte des corrections qui se
traduisent par l’apparition de smile.
Ce phénomène est très présent sur le marché des actions, sur le marché des
changes mais aussi sur le marché des taux d’intérêt.
3.6
3.6.1
Valorisation d’autres options exotiques (les calculs qui
suivent font en partie l’objet de TD)
Digitale sur le sous jacent S
1ère méthode
Le payo¤ d’une digitale maturant en T et de strike K est donné par:
1fST > Kg
On note D¿ le prix de cette digitale au temps ¿ . En application du théorème
de valorisation on a
£
¤
Dt = E Q exp ¡r(T ¡t) ¤1 fS T >K g =Ft
31
Figure 22: Smile
spot
110
T-t
2
discount
0,9
vol
strike
vol de marché (vol BS implicite)
prix du marché
prix BS calculé avec la vol ATM
90
15,30
29,72
29,18
95
13,60
25,33
24,91
100
12,40
21,09
20,84
105
11,70
17,14
17,06
110
11,50
13,64
13,64
115
11,80
10,81
10,65
120
12,60
8,78
8,11
130
15,7
6,92
4,38
vol BS implicite
vol de marché (vol BS implicite)
16,00 13,6
15,3
14,00
12,00
10,00
85
12,4
105
11,7
11,5
vol de marché (vol
BS implicite)
125
strike
soit
Dt = exp¡ r(T ¡t) Pr obaQ [ST > K=F t ]
or
dS¿
= rd¿ + ¾dW Q
S¿
et donc
µ
Q
¶
³
´
1 2
ST = St exp r ¡ ¾ (T ¡ t) + ¾ WTQ ¡ W tQ
2
Q
avec WT ¡ W t à @ (0; T ¡ t) : Ainsi
·
µ
¶
¸
³
´
1
Pr obaQ [ST > K=F t] = Pr obaQ St exp r ¡ ¾ 2 (T ¡ t) + ¾ W TQ ¡ WtQ > K=F t
2
³ ´ ¡
2
3
¢
Q
Q
ln SKt ¡ r ¡ 12 ¾ 2 (T ¡ t)
W
¡
W
T
t
= Pr obaQ 4 p
>
p
=Ft 5
T ¡t
¾ T ¡t
0 ³ ´ ¡
1
¢
ln SKt ¡ r ¡ 12 ¾ 2 (T ¡ t)
A
= 1¡N@
p
¾ T¡t
Ã
!
¡S¢ ¡
¢
ln K
+ r ¡ 12 ¾ 2 (T ¡ t)
p
= 1¡N ¡
¾ T ¡t
=
N (d)
32
Conclusion
3.6.2
Dt
avec
=
exp¡r( T ¡ t) N (d)
d
=
S
1 2
ln ( K
¾ ) (T ¡ t)
)+( r¡
p 2
¾ T ¡t
Digitale sur le sous jacent S
2ème méthode
Il est possible de valoriser la digitale en remarquant que
+
1fST >K g = ¡
@ (ST ¡ K )
@K
ou la dérivée est ici à prendre au sens des distributions. On a alors
h
i
Dt = E Q exp¡r (T ¡t) ¤1fST > Kg =F t
"
#
+
¡r(T ¡t)
Q @ (ST ¡ K )
= ¡ exp
E
=Ft
@K
Or
E
Q
"
# Z
+
+
+1
@ (ST ¡ K)
@ (S ¡ K)
=F t =
g (S) dS
@K
@K
¡1
où g est la densité de S en T sachant Ft . g ne dépendant pas de K, on peut
écrire
"
#
Z +1
+
@
Q @ (S T ¡ K)
E
=Ft
=
(S ¡ K) + g (S) dS
@K
@K ¡ 1
i
@ Qh
+
=
E (S ¡ K) =F t
@K
et donc
Dt
ii
@ h Qh
+
E exp ¡r(T ¡t) ¤ (S T ¡ K) =F t
@K
@C t
= ¡
@K
= ¡
où Ct est le prix d’un call maturant en T et de strike K. Ainsi dans le cadre
d’une valorisation par formule BS:
¡r( T ¡ t)
t
Dt = ¡ @C
N (d2 )
@ K = exp
3.6.3
Digitale sur le sous jacent S 3ème méthode : portefeuille
réplicant et valorisation en présence de smile
En fait la seconde approche n’est pas à considérer que d’un point purement
calculatoire. En e¤et elle auusi la traduction mathématique de la stratégie de
33
Figure 23: Call Spread
payoff du call spread de notionnel 1 pour K=5 et
eps =0.5
0,6
0,5
0,4
payoff du call
spread de
notionnel 1
0,3
0,2
0,1
0
-0,1 0
5
10
hedge statique que le trader va mettre en place pour couvrir l’achat/la vente
d’une digitale. Pour le comprendre construisons un portefeuille constitué par
l’achat d’un call de strike K ¡ "2 et la vente d’un call de strike K + 2" . Le payo¤
à maturité de ce portefeuille est représenté par la …gure 23. En prenant 1" pour
notionnel de ce portefeuille répliquant on obtient un payo¤ proche de la digitale.
Ceci est représenté par la …gure 24. Le prix du portefeuille répliquant est
V t (") =
³
1h ³
"´
" ´i
Ct St ; K ¡
¡ C t S t; K +
"
2
2
Or ce portefeuille répliquant n’est véritablement répliquant que lorsque " tend
vers 0. On a donc
@Ct
Dt = lim V t (") = ¡
"!+ 1
@K
soit le résultat obtenu précédemment.
En présence de smile, il ne faut pas oublier que la volatilité dépend ausi du
smile. On a alors
·
¸
@C t
@Ct @¾ B S implicite
Dt = ¡
+
@K
@¾
@K
Le phénomène est illustrée par la …gure 25.
34
Figure 24: Call Spread et Digitale
payoff de la digitale et de son
portefeuille répliquant
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2 0
payoff du call
spread de
notionnel 1/eps
digitale
5
10
Figure 25: illustration de l’impact du smile sur lle prix une digitale
forward
100
T-t
2
discount
0,9
vol
strike
vol de marché (vol BS implicite)
prix du marché
prix BS calculé avec la vol ATM forward
prix de la digitale avec vol ATM forward
prix de la digitale avec vol smilée des calls
prix de la digitale par couverture statique
vol implicite de la digitale
80
15,20
19,34
18,49
84,9
13,53
15,31
14,67
85
13,50
15,23
14,60
85,1
13,47
15,15
14,52
90
12,30
11,48
11,12
95
11,60
8,26
8,17
100
11,40
5,78
5,78
105
11,70
4,09
3,95
110
12,50
3,10
2,60
114,9
13,77
2,62
1,67
115
13,80
2,61
1,66
115,1
13,83
2,61
1,64
0,813
0,742
0,743
0,699
0,741
0,698
0,792
9,25
0,739
0,696
0,645
0,628
0,535
0,532
0,421
0,421
0,316
0,318
0,226
0,239
0,156
0,188
0,155
0,187
0,057
6,60
0,153
0,186
volatilité
smile
16,00
15,00
14,00
13,00
12,00
11,00
10,00
vol
13,5291
80
85
90
95
100
105
110
115
forward du $/Yen
35
120
125
15,60
0,102
0,157
3.6.4
TD calcul du delta BS
On a
=
@C
@St
h
h
ii
+
@ E Q exp ¡r(T ¡t) ¤ (ST ¡ K) =F t
=
·
@ E
exp ¡r(T ¡t)
@St
·³
Q
¡
St exp r ¡
1 2
2¾
¢
(T ¡ t) + ¾
@St
³
Q
WT
¡
Q
Wt
´
¡K
´+
=F t
or
·
@ E
=
@
@St
=
Z
Q
·³
St exp
Z +1 µ
+1
¡1
¡1
@
@S t
h¡
r¡
St exp
"µ
·µ
St exp
1 2
2¾
¢
(T ¡ t) + ¾
@St
³
Q
WT
¡
Q
Wt
´i
¡K
´+
=Ft
¸¸
¸
¶+
p
1 2
r ¡ ¾ (T ¡ t) + ¾x T ¡ t ¡ K
g (x) dx
2
·µ
¶
¶
¸
¶+ #
p
1 2
r ¡ ¾ (T ¡ t) + ¾x T ¡ t ¡ K
g (x) dx
2
avec g (x) la densité de la loi normale.
Ainsi :
36
¸¸
@C
exp r(T ¡t)
@St
=
"µ
Z +1
·µ
¶
¸
¶+ #
p
@
1 2
St exp r ¡ ¾ (T ¡ t) + ¾x T ¡ t ¡ K
g (x) dx
2
¡1 @St
=
·µ
¶
¸
Z +1
p
1 2
exp r ¡ ¾ (T ¡ t) + ¾x T ¡ t 1f S t exp[(r¡ 1 ¾2 )(T ¡t)+¾ xp T ¡ t]> Kg g (x) dx
2
2
¡1
=
·µ
¶
¸ Z +1
h p
i
1 2
exp
r ¡ ¾ (T ¡ t) ln(K=St)¡(r¡ 1 ¾2) (T ¡t) exp ¾x T ¡ t ¤ g (x) dx
2
p 2
¾
=
exp [r (T ¡ t)]
Z
exp [r (T ¡ t)]
Z
=
T ¡t
+1
·µ
¶
¸
p
1 2
¡ ¾ (T ¡ t) + ¾x T ¡ t ¤ g (x) dx
2
(
)
exp
(
)
g (x) dx
2
ln(K=St )¡ r¡ 1
2 ¾ (T ¡t)
p
¾ T¡t
+1
ln(K=St )¡ r+ 1 ¾ 2 (T ¡t)
2
p
¾ T ¡t
soit
@C
@St
=
Z
+1
(
)
2
ln(K=St)¡ r+ 1
2 ¾ (T ¡t)
p
¾ T ¡t
g (x) dx
= 1 ¡ N (¡d1 )
= N (d1 )
3.6.5
Option barrière
Nous nous intéresserons ici à la valorisation d’un "Down and In Call" ou "DIC"
maturant en T de strike K et de niveau de barrière H. Un DIC est un call qui ne
s’active que si entre la date de valorisation et la date de maturité le sous jacent
est passé sous le niveau de la barrière. Le payo¤ d’un DIC peut s’écrire:
(ST ¡ K )+ 1½
inf S¿ <H
¿ ²[t;T ]
¾
Nous traiterons ici le cas où K < H:Notons Dic¿ la valeur au temps ¿ 2 [t; T ]
du DIC.
Le théorème de valorisation2 nous permet de dire que :
2 Le théorème de valorisation ne mentionnait que les payo¤s du type h (S ) . Le théorème
T
s’applique aussi aux payo¤s Z où Z est une variable positive FT ¡mesurable telle que
E Q (Z=Ft ) e xiste. FT est ici la …ltration engendrée par le prix de l’actif sous jacent S, soit,
dans notre contexte où ¹ r et ¾ sont non stochastiques, la …ltration engendrée par le brownien
WQ
37
Dict = E Q
Ã
avec sous Q
+
exp¡ r(T ¡t) (ST ¡ K) 1 ½
dS¿
S¿
=
inf S ¿ <H
¿²[t;T ]
¾ =F
t
!
rd¿ + ¾dW Q
Pour alléger les notations de…nissons l’ensemble A de la façon suivante:
½
¾
def
A (S; H) =
inf S¿ < H
¿ ²[t; T ]
On a :
Dict
=
=
=
³
´
+
exp ¡r( T ¡ t) E Q (S T ¡ K) 1A(S;H) =Ft
¡
¢
exp ¡r( T ¡ t) E Q (ST ¡ K ) 1 fS T >K g 1 A(S;H ) =F t
·
¡
¢ ¸
EQ S
¡r( T ¡ t)
T 1fST >Kg 1A(S;H) =Ft ¢
¡
exp
¡E Q K 1fST >K g 1A(S;H) =Ft
Exprimons S T , 1 fS T >K g et 1 A(S;H ) en fonction de W Q
·µ
¶
³
´¸
1 2
Q
Q
ST = St exp
r ¡ ¾ (T ¡ t) + ¾ WT ¡ W t
2
fST > Kg
=
½
=
WTQ
¶
¾
³
´¸
1
r ¡ ¾ 2 (T ¡ t) + ¾ WTQ ¡ W tQ
>K
2
³ ´ ¡
¢
ln SKt ¡ r ¡ 12 ¾ 2 (T ¡ t)
Q
¡ Wt >
¾
St exp
·µ
que l’on peut écrire
avec
n
o
fST > Kg = W TQ ¡ WtQ > K Q
KQ =
ln
³
K
St
´
¡
¢
¡ r ¡ 12 ¾ 2 (T ¡ t)
¾
de même
A (S; H) =
=
½
½
inf S¿ < H
¿ ²[t;T ]
¾
¾
inf W ¿Q ¡ WtQ < H Q (¿ )
¿ ²[t;T ]
38
avec
H Q (¿ ) =
ln
³
H
St
´
¡
¢
¡ r ¡ 12 ¾ 2 (T ¡ ¿ )
¾
On remarque alors que si H Q (¿ ) et K Q sont parfaitement connu au temps t,
H Q (¿ ) a l’inconvenient de dépendre de ¿ . Cette piste de calcul n’est pas la
bonne.
¡
¢
Changement de probabilité Le calcul de E Q ST 1fST >K g 1A( S;H )=F t et de
¡
¢
E Q K ¤ 1 fS T >K g 1 A(S;H ) =F t serait en fait bien plus aisé si l’on se plaçait sous
une proba L telle que:
S¿ = St exp ¾W ¿L
En e¤et, dans ce cas on a
avec K L =
ln
³
K
St
¾
´
©
ª
fST > K g = WTL ¡ W tL > K L
et
A (S; H) = inf
¿ ²[t;T ]
avec H L =
ln
³
H
St
´
©
W ¿L ¡ WtL < H L
ª
:
¾
Soit donc la mesure L telle que
r ¡ 12 ¾ 2 Q 1 r ¡ 12 ¾ 2
dL
= exp(¡
WT ¡
T)
dQ
¾
2
¾
. En appliquant le théorème de Girsanov on a :
dS¿
S¿
et
=
1 2
2 ¾ d¿
+ ¾dW L
r ¡ 12 ¾ 2 L 1
dL
= exp(
WT ¡
dQ
¾
2
avec
Q
W tL = W t ¡
Pour la suite on notera m =
r¡ 1
¾2
2
¾
39
µ
r ¡ 12 ¾ 2
¾
r ¡ 12 ¾ 2
t
¾
¶2
T)
¡
¢
calcul de E Q K ¤ 1fST >K g 1fTH <T g =F t
¡
¢
E Q K1 fS T < T g 1 A(S;H) =Ft
=
³
´
L dQ
E
K
¤
1
1
=F
t
fS
>Kg
A(S;H)
T
dL
³
´
E L dQ
=F
t
dL
=
³
´
KE L exp(mW TL ¡ 12 m 2 T ) ¤ 1 fW L¡W L> KLg 1A(S;H) =Ft
T
t
¡
¢
E L exp(mWTL ¡ 12 m2 T )=Ft
Or
E
et
L
µ
exp(mWTL
1
¡ m 2 T )=F t
2
¶
1
= exp(mW tL ¡ m 2 t)
2
³
´
E L exp(mWTL ¡ 12 m2 T ) ¤ 1f W L¡ W L>K Lg 1 fT H< T g =F t
T
t
=
³
´
¡
¢
E L exp(m WTL ¡ W tL ¡ 12 m 2 (T ¡ t)) ¤ 1 fW L¡W L> KLg 1fTH< T g
¤ exp(mW tL ¡ 12 m 2 t)
T
t
et donc
¡
¢
E Q K1 fS T < T g 1 A(S;H) =Ft
=
³
´
KE L exp(mW TL ¡ 12 m 2 T ) ¤ 1 fW L¡W L> KLg 1A(S;H) =Ft
T
t
¡
¢
E L exp(mWTL ¡ 12 m2 T )=Ft
=
³
´
¡
¢
KE L exp(m W TL ¡ WtL ¡ 12 m2 (T ¡ t)) ¤ 1 f W L¡W L>K Lg 1 A(S;H ) =F t
t
T
Ã=
!
¡
¢
¡ 1 2
¢ L
exp(m W TL ¡ WtL )
K exp ¡ 2 m (T ¡ t) E
1f W L ¡W L> KLg 1 A(S;H) =Ft
T
t
avec la dernière étape du calcul consiste à évaluer
³
´
¡
¢
E L exp(m WTL ¡ W tL ) ¤ 1 f W L¡W L>K Lg 1 A(S;H ) =F t
T
t
Remarquons tout d’abord que B¿ = W ¿L ¡ W tL est un brownien sur [t; T ] issu
de 0 en t.
40
Figure 26: Brownien passant sous la barrière et …nissant au dessus
diffusion du brownien entre t et T
0,6
niveau du brownien
0,4
0,2
brownien
0
-0,2 0
5
10
strike
15
barrière
-0,4
brownien réfléchi
-0,6
-0,8
-1
temps
Figure 27:
³
´
¡
¢
E L exp(m W TL ¡ WtL ) ¤ 1 fW L¡W L>KLg 1A( S;H )=F t
T
t
Ã
!
= EL
=
=
Z
Z
exp(mBT ) ¤ 1fB¿ >K Lg 1 ½
inf B¿ < H L
[t;T ]
+1
¡1
H
exp(mb) ¤ 1fB¿ >K Lg Pr ob
L
exp(mb) Pr ob
KL
+
Z
+1
HL
L
µ
L
µ
¾ =F
t
BT 2 [b + db] ; inf B¿ < H
[t;T ]
BT 2 [b + db] ; inf B¿ < H
L
[t;T ]
¶
L
¶
µ
¶
L
L
exp(mb) Pr ob B T 2 [b + db] ; inf B¿ < H
[t;T ]
£
¤
Pour b 2 K L ; H L
µ
¶
µ
¶
L
L
L
L
Pr ob
BT 2 [b + db] ; inf B¿ < H
= Pr ob
BT 2 [b + db] ; inf B¿ < H
[t ;T ]
[t;T ]
L
L
car si en T on a BT < H alors on sait que la barrière
£ H a été
¤ franchie. Par
ailleurs, le principe de réfexion nous donne Pour b 2 H L ; +1
µ
¶
¡
£
¤¢
L
L
Pr ob
BT 2 [b + db] ; inf B ¿ < H
= Pr ob L BT 2 2H L ¡ b + db
[t;T ]
Pour une illustration du calcul qui suit et du principe de ré‡exion que nous
venons d’utiliser, se référer à la …gure 27.
41
Ainsi
Z
HL
KL
=
Z
HL
KL
=
=
=
=
=
=
=
[t;T ]
exp(mb) Pr obL (BT 2 [b + db])
¶
b2
p
exp(mb) exp ¡
db
2 (T ¡ t)
2¦ (T ¡ t) K L
Ã
!
2
Z L
2
exp( m ( T2 ¡ t) ) H
(b ¡ m (T ¡ t))
p
exp ¡
db
2 (T ¡ t)
2¦ (T ¡ t) KL
2
µ
¶
Z L
exp( m ( T2 ¡ t) ) H ¡m(T ¡t)
¡y 2
p
exp
dy
T¡t
2¦ (T ¡ t) KL¡ m(T ¡t)
· µ L
¶
µ L
¶¸
m 2 (T ¡ t)
H ¡ m (T ¡ t)
K ¡ m (T ¡ t)
p
p
exp(
) N
¡N
2
T ¡t
T ¡t
1
Par ailleurs
Z +1
=
µ
¶
exp(mb) Pr obL B T 2 [b + db] ; inf B¿ < H L
Z
µ
HL
µ
¶
L
exp(mb) Pr ob BT 2 [b + db] ; inf B¿ < H
[t;T ]
HL
à ¡
¢2 !
Z +1
2H L ¡ b
1
p
exp(mb) exp ¡
db
2 (T ¡ t)
2¦ (T ¡ t) H L
à ¡
¢2 !
Z +1
b ¡ 2H L
1
p
exp(mb) exp ¡
db
2 (T ¡ t)
2¦ (T ¡ t) H L
à ¡
£
¤¢2 !
Z
m 2(T ¡t)
exp(
+ 2H L m) +1
b ¡ 2H L + m (T ¡ t)
2
p
exp ¡
db
2 (T ¡ t)
2¦ (T ¡ t)
HL
2
µ
¶
Z
exp( m (T2 ¡t) + 2H L m) +1
y2
p
exp ¡
dy
2 (T ¡ t)
2¦ (T ¡ t)
H L ¡ 2H L ¡ m(T ¡t)
L
soit en introduisant la cumulée de la loi normale :
µ
¶
Z +1
L
L
exp(mb) Pr ob BT 2 [b + db] ; inf B¿ < H
[t;T ]
HL
µ
µ
¶¶
2
m (T ¡ t)
m (T ¡ t) + H L
L
= exp(
+ 2H m) 1 ¡ N ¡
p
2
T ¡t
µ
¶
L
m2 (T ¡ t)
m
(T
¡
t)
+
H
L
= exp(
+ 2H m)N
p
2
T ¡t
conclusion
42
¡
¢
E Q K ¤ 1fST >K g 1A(S;H) =Ft
2
h= ³ L
´
³ L
´i
3
m2 (T ¡ t)
H ¡
K ¡m(
T ¡ t)
pm(T ¡t) ¡ N
p
)
N
+
¡ 1 2
¢ exp(
2
T¡t
T ¡t
³
´
5
K exp ¡ 2 m (T ¡ t) 4
2
HL
exp( m (T2 ¡t) + 2H L m)N m(Tp¡t)+
T ¡t
2
K4
N
³
´= ³ L
´ 3
K ¡m(T ¡t)
p
¡N
+
T ¡t
5
¢ ³ m(T ¡t)+H L ´
p
exp 2H m N
T ¡t
H L ¡m( T ¡ t)
p
T ¡t
¡ L
¡
¢
calcul de E Q ST ¤ 1 fS T > Kg 1 fT H<T g =Ft
fectuer le calcul sous la proba L.
4
Le calcul est similaire : il faut ef-
Construction de la stratégie : approche du
trading
Lorsque qu’une salle des marchés achète ou vend un actif dérivé, elle met immédiatement en place une stratégie de couverture. Son objectif n’est pas de
parier sur le ‡ux qu’elle aura à payer ou à recevoir en T. Au contraire elle investit la totalité de la prime reçue (dans le cas ou elle vend l’actif dérivé) ou
respectivement elle …nance son achat (dans le cas où elle achète l’actif) dans
un portefeuille qui à maturité lui délivrera des ‡ux équivalents à ceux qu’elle
recevra/versera dans le cadre de son actif dérivé. Le trader construit donc un
portefeuille global de valeur nulle qui inclut l’actif et sa couverture, exact inverse
du portefeuille répliquant, et maintient ce portefeuille global de façon qu’en T
sa valeur en soit est nulle également. L’objectif du trader est en fait plus fort :
il est de maintenir la valeur de son portefeuille à 0 pour tout ¿ 2 [t; T ] car son
portefeuille de couverture doit être dynamiquement parfait. Nous allons voir
qu’un tel ob jectif n’est atteint que lorsque le prix de l’option véri…e BS.
On note ¦¿ la valeur du portefeuille en ¿ et l’on se place ici dans le cas d’un
trader ayant acheté l’actif dérivé.
En ¿ on a:
¦¿ = C¿ + ® ¿ M¿ + ¯ ¿ S¿ = 0
(9)
Entre ¿ et ¿ + ¢¿ le tradeur laisse dériver son portefeuille. Il le recomposera
à coût nul (stratégie auto…nançante) en ¿ + ¢¿ puis le laissera dériver entre
¿ + ¢¿ et ¿ + 2¢¿ etc...
Développons
¢¦¿ = ¦¿ +¢¿ ¡ ¦¿
en utilisant par Ito et l’équation auto…naçante (7).
43
¢¦¿
=
¢ (C ¿ + ®¿ M ¿ + ¯ ¿ S¿ )
=
¢C¿ + ® ¿ ¢M ¿ + ¯ ¿ ¢S¿
avec
² ¢M¿ = rM¿ ¢¿
² ¢C¿ =
@C¿
¢¿ +
@¿
1
2
2
(S¿ ¾)
@ 2 C¿
@C¿
¢¿ +
¢S¿
2
@S
@S
soit
¢¦¿ =
2
@C¿
1
@C ¿
2 @ C¿
¢¿ + (S¿ ¾)
¢¿ +
¢S¿ + ® ¿ rM ¿ ¢¿ + ¯ ¿ ¢S¿ (10)
@¿
2
@S 2
@S
Par ailleurs (9) implique
®¿ M ¿ = ¡ (C¿ + ¯ ¿ S¿ )
et donc (10) devient
¢¦¿ =
@C ¿
1
@2 C ¿
@C ¿
¢¿ + (S¿ ¾)2
¢¿ +
¢S¿ ¡ r¢¿ (C + ¯ ¿ S¿ ) + ¯ ¿ ¢S¿
2
@¿
2
@S
@S
Pour se débarrasser du risque que l’évolution de S fait courrir à son portefeuille, le trader a neutralisé les termes devant ¢S¿ et donc au temps ¿ il a
@C ¿
choisi ¯ ¿ = ¡
. En conséquence
@S
¢¦¿ =
@C ¿
¢¿ +
@¿
1
2
(S¿ ¾) 2
@ 2C¿
¢¿ + r
@S 2
µ
@C ¿
S¿ ¡ C¿
@S
¶
¢¿
(11)
Or l’edp BS est :
0=
@C¿
+r
@¿
µ
@C¿
S¿ ¡ C ¿
@S
¶
+
1
@ 2C¿
(S¿ ¾) 2
2
@S 2
d’où si l’edp BS est véri…é par le prix on a bien :
¢¦¿ = 0
Interprétons l’équation (11) terme par terme :
²
@C¿
¢¿ est la dérive due au théta : toute chose égale par ailleurs, l’option
@¿
perd (dans le cas d’un call par exemple) ou gagne de la valeur lorsque le
temps passe c’est à dire lorsque la maturité résiduelle de l’option baisse.
Ce phénomène est illustré par la …gure 28
44
Figure 28: Valeur temps
évolution de la valeur temps
5
4,5
4
valeur du call
3,5
3
maturité résiduelle 10 ans
2,5
maturité résiduelle 5 ans
2
maturité résiduelle 0 ans
1,5
1
0,5
0
-0,5 0
2
4
6
8
10
sous-jacent
Figure 29: Achat d’un call et construction de sa couverture
strike
discount
vol
maturité (T-t)
spot
5,5
5
0,9
10%
10
prix du call
1,25
delta
0,79
(-1)*delta*spot
-4,32
¶
@C
S¿ ¡ C ¢¿ est le coût/rendement du …nancement du call et des
@S
actions : prenons l’exemple où le trader a acheté un call sur actions. Pour
@C
se couvrir il vend
actions (on reviendra sur cette vente à découvert
@S
dans le prochain paragraphe). Les éléments chi¤rés sont donnés dans la
…gure 29.La vente des actions rapporte 4,32 tandis que l’achat du call
nécessite l’emprunt de 1,25. Au total la salle des marchés
doit placer
µ
¶
@C¿
sur son compte rémunéré au taux sans risque 4,32-1,25 =
S¿ ¡ C¿
@S
somme qui placée sur un temps ¢¿ lui rapportera (4; 32 ¡ 1; 25) ¤ r ¤ ¢¿
² r
²
µ
@ 2 C¿
¢¿ est le gain en "convexité" du portefeuille ou dérive due
@S 2
@ 2 C¿
au gamma de l’option. Ce gain est à prendre au sens large : si
est
@S 2
positif ce gain est positif, sinon celui ci est négatif et ce gain est une perte.
1
2
(S ¿ ¾)2
45
Figure 30: Valeur du call et du portefeuille répliquant en fonction du niveau du
sous-jacent
call et portefeuille répliquant pour un niveau de S à 5.5
5
4,5
prix
4
3,5
3
2,5
2
1,5
prix du call
prix du call à maturité
1
0,5
0
-0,5 0
valeur du portefeuille répliquant
2
4
6
8
10
niveau du sous-jacent
Nous illustrons ce gain en convexité par les …gures 30 et 31. On voit sur la
…gure 31 que le portefeuille global n’est pas sensible au premier ordre au
déplacement du sous jacent (dérivé première nulle : on dit qu’il est "delta
neutre"). Ce n’est pas une surprise car le portefeuille a été construit dans
cette optique. En revanche il est sensible au second ordre et la variation
de valeur du portefeuille sera toujours du même signe, que le choc sur S
soit positif ou négatif. En pratique, le trader laisse son portefeuille "faire
son gamma" puis se "réhédge" de façon à toujours rester "delta neutre".
.
4.1
Vente à découvert
Revenons sur la vente à découvert µ
que le trader a ¶e¤ectué pour couvrir son
@C ¿
achat du call. Pour vendre ces 0,79 =
= ¡¯ ¿ action le trader doit les
@S
emprunter et pour cela rentre dans une opération de repo qui lui permet de les
emprunter entre ¿ et ¿ + ¢¿ : Il combine cette opération repo avec la vente spot
des actions : l’opération résultante est une vente à terme. Le tout est illustré
par la …gure 32
Valorisons cette position en ¿ puis en ¿ + ¢¿ . Pour simpli…er on admettra
que le taux court et le taux repo sont égaux soit
r = rrepo
On note ¦1¿ la valeur en ¿ de cette position et ¦1¿ + ¢¿ sa valeur en ¿ + ¢¿ . On
a ¦1¿ = 0 par dé…nition de la vente à terme de l’action. En revanche en ¿ + ¢¿
46
Figure 31: Valeur du portefeuille global en fonction du niveau du sous jacent
portefeuille : call + couverture
2
valeur du portefeuille global
1,5
1
portefeuille : call + couverture
0,5
0
0
2
4
6
8
10
-0,5
niveau du sous jacent
cette position est valorisée par
2
S¿ ¤ (1 + r ¤ ¢¿ )
@C¿ 6
¡
1
6
µ
¦¿ +¢¿ =
@S 4
S¿ + ¢¿
(‡ux certain : prix à terme de l’action)
pour rendre l’action le trader
doit en acheter une au prix prévalent en ¿ + ¢¿
Notons ¢¦1¿ = ¦1¿ +¢¿ ¡ ¦1¿
on a :
@C ¿
¢¦1¿ =
[S¿ ¤ (1 + r ¤ ¢¿ ) ¡ S¿ +¢¿ ]
@S
soit
@C¿
¢¦1¿ =
[S ¿ ¤ r ¤ ¢¿ ¡ ¢S ¿ ]
@S
Reconsidérons maintenant le reste du portefeuille global que notre trader
avait constitué : l’achat d’un call et le …nancement de cet achat. En ¿ cette
partie du portefeuille vaut 0 par construction:
¦2¿
C¿ (le call) ¡ C ¿ (endettement sur compte à taux sansrisque)
=
=
0
En ¿ + ¢¿ on a :
¦2¿ + dt
=
C¿ +¢¿ (le call)
¡
C¿ (1 + r ¤ ¢¿ )(…nancement sur compte à taux sans risque)
47
3
7
¶ 7
5
Figure 32: vente à découvert
t
t +dt
Opération de
“repo”
St (1+r repodt)
St
St
+
Vente “spot”
de l’actif
=
St (1+r repodt)
48
Figure 33: Données chi¤rées pour un put
strike
discount
vol
maturité (T-t)
spot
5,5
5
0,9
10%
10
prix du put
1,25
delta
-0,21
(-1)*delta*spot
1,17
et donc
¢¦2¿ = ¢C¿ ¡ C ¿ (r ¤ ¢¿ )
On obtient alors sur la globalité du portefeuille et en appliquant Ito:
¢¦¿
= ¢¦2¿ + ¢¦2¿
·
µ
¶
¸
@C¿
@C ¿
1
@ 2 C¿
=
+r
S¿ ¡ C ¿ + (S ¿ ¾)2
¢¿
@¿
@S
2
@S 2
et donc bien l’équation (11).
TD : achat d’un put ;Montrer que sous AOA le prix d’un put est donné par
Pt = exp¡r( T ¡ t) K ¡ St + C t
par mise en place d’un portefeuille de couverture statique contenant l’actif sans
risque, l’action et un call. Etude du portefeuille de couverture dynamique avec
les paramètres chi¤rés donnés dans la …gure 33 :
5
5.1
Formule BS pour un sous-jacent versant des
dividendes
Actions
Nous allons désormais nous placer dans le cas où le sous-jacent, une action, verse
des dividendes. Nous allons considérer pour simpli…er que ces dividendes sont
connus et qu’ils peuvent être représentés par un taux de rendement instantané
±. Autrement dit une action de valeur S ¿ entre ¿ et ¿ + d¿ rapporte
±S¿ d¿
à son détenteur. Notre objectif est de calculer la valeur d’une option sur cet actif.
Nous nous plaçons toujours dans la situation d’un trader qui achète une option
sur action. Le trader construit un portefeuille contenant l’option, des actions
et leur …nancement au taux sans risque. Pour établir l’équation BS nous allons
49
procéder en adoptant une démarche de trading :nous allons chercher l’edp BS
que doit suivre le prix de l’option pour que le portefeuille global soit de valeur
nulle à tout temps ¿ :
La détention d’action versant des dividendes implique que la stratégie de
couverture n’est plus auto…nançante mais intègre la reception de ces dividendes
: lorsque le trader "se réhedge" il peut compter sur l’apport des dividendes
perçus. L’équation suivie par (®¿ ; ¯ ¿ ) n’est plus (6) mais devient :
Z
® ¿ M¿ +¯ ¿ S¿ = ®t Mt +¯ t St +
t
¿
Z
® sdM s +
t
¿
¯ s dSs +
Z
|
¿
t
±¯ s Ss ds
{z
}
d iv ide n d e s p erç u s d u ran t la p é rio d e
ou encore sous une forme plus concise:
d (®s Ms + ¯ s Ss ) = ® s dMs + ¯ sdSs + ±¯ s Ssds
(12)
(13)
On note ¦¿ la valeur du portefeuille en ¿ et l’on se place ici dans le cas d’un
trader ayant acheté l’actif dérivé.
En ¿ on a:
¦¿ = C¿ + ® ¿ M¿ + ¯ ¿ S¿ = 0
En appliquant (7) et Ito ¢¦¿ s’écrit désormais:
¢¦¿
=
2
@C ¿
1
@C ¿
2 @ C¿
¢¿ + (S¿ ¾)
¢¿ +
¢S¿
2
@¿
2
@S
@S
+® ¿ rM ¿ ¢¿ + ¯ ¿ ¢S¿ + ±¯ ¿ S¿ ¢¿
on a toujours
®¿ M ¿ = ¡ (C¿ + ¯ ¿ S¿ )
et donc
¢¦¿
=
@C¿
1
@ 2 C¿
@C ¿
¢¿ + (S¿ ¾)2
¢¿ +
¢S¿
@¿
2
@S 2
@S
¡r¢¿ (C¿ + ¯ ¿ S¿ ) + ¯ ¿ ¢S¿ + ±¯ ¿ S¿ ¢¿
(14)
Pour neutraliser son portefeuille aux chocs ¢S¿ le trader choisit toujours ¯ ¿ =
@C ¿
¡
: L’équation (14) devient alors
@S
¢¦¿
=
2
@C
1
2 @ C¿
¢¿ + (S¿ ¾)
¢¿ ¡
2
@¿ µ
2
¶@S
@C ¿
@C¿
r¢¿ C¿ ¡
S¿ ¡ ±
S ¿ ¢¿
@S
@S
l’edp que doit suivre le prix de l’option est donc :
2
@C
1
@C
2 @ C
+ (S¾)
¡ rC¿ + (r ¡ ±)
S=0
2
@¿
2
@S
@S
50
(15)
5.1.1
Résolution de l’EDP de valorisation d’un call sur action
Enoncé du TD
En e¤ectuant le changement de variable suivant
½
X = S ¤ exp ¡±(T ¡¿ )
¿ = ¿
résoudre l’edp (15) avec la condition limite
+
C (S; T ) = (S ¡ K)
(16)
Montrer alors que le prix d’un call sur actions versant des dividendes est donné
par :
h
i
+
C (S t; t) = E Q exp¡ r(T ¡t) (ST ¡ K) =Ft
avec sous Q:
dS¿
= (r ¡ q) d¿ + ¾dW Q
S¿
Solution
On dé…nit la fonction F par :
F (X; ¿ ) = C (S; ¿ )
Réécrivons le système formé par l’edp (15) et la condition terminale (16) en
fonction de F et X.
On a
²
@C
@F @X
@F @¿
@F
@F
=
+
= ±X
+
@¿
@X @¿
@¿ @¿
@X
@¿
@C
@F @X
@F @¿
@F
=
+
= exp¡ ±(T ¡¿ )
+0
@S
@X @S
@¿ @S
@X
µ
¶
µ
¶
¡ ±(T ¡¿ ) @F
¡ ±(T ¡¿ ) @F
@
exp
@
exp
@2C
@X @X
@X @¿
@2 F
²
=
+
= exp¡ 2±(T ¡¿ )
2
@S
@X
@S
@¿
@S
@X 2
et
²
+
² C (S; T ) = F (X; T ) = (X ¡ K)
L’edp (15) devient:
@C
@2C
+ 12 (S¾)2
¡ rC ¿
@¿
@S 2
@C
+ (r ¡ ±)
S
@S
=
=
=
=
¡
¢2
@F
@F
@2F
+
+ 12 X¾ exp± (T ¡¿ ) ¤ exp¡ 2±(T ¡¿ )
@X
@¿
@X 2
¡± (T ¡ ¿ ) @F
±( T ¡ ¿ )
+ (r ¡ ±) exp
X exp
@X
2
@F
@F
@ F
@F
2
±X
+
+ 12 (X¾) ¤
+ (r ¡ ±)
X
2
@X
@¿
@X
@X
2
@F
@ F
@F
2
+ 12 (X¾) ¤
+r
X
@¿
@X 2
@X
0
±X
51
et la condition terminale étant donné par
+
F (X; T ) = (X ¡ K)
On reconnait l’edp BS classique. On a donc
h
i
F (Xt; t) = E Q exp¡r (T ¡t) (XT ¡ K)+ =Ft
avec sous Q
dX¿
= rd¿ + ¾dW Q
X¿
ou encore en e¤ectuant un changement de variable
h
i
+
C (S t; t) = E Q exp¡ r(T ¡t) (ST ¡ K) =Ft
avec, en appliquant Ito, sous Q
dS¿
S¿
5.2
= (r ¡ ±) d¿ + ¾dW Q
Change
Si nous avons placé cette section sur la valorisation des options de change dans
le chapitre des options sur sous jacent versant des dividendes c’est parce que les
analogies sont très fortes entre les options sur actions et les options de change.
Plaçons nous dans le cas d’options d’achat/vente de dollar en euro. Le sousjacent de l’option est le dollar et le prix en euro d’un dollar sera noté X¿ .
Pour se couvrir ces opérations les tarders achètent ou vendent des dollars et les
placent sur l’actif sans risque de l’économie américaine. Si l’on note re le taux
court rémunérant le placement sans risque de l’économie américaine, on peut
écrire que la détention d’un dollar entre ¿ et ¿ + d¿ rapporte, exprimé en devise
domestique:
re X¿ d¿
Economiquement on peut considérer que les dollars sont des titres de propriété sur l’économie américaine, et donc en quelque sorte des actions sur cette
économie, et qu’à ce titre il verse des dividendes au taux re .A partir de ce point
la gestion du portefeuille de trading est strictement équivalente à celle décrite
dans la section précédente.On a donc pour le prix d’un call sur dollar :
h
i
+
C = E Q exp ¡r(T ¡t) (XT ¡ K) =F t
avec sous Q:
dX¿
= (r ¡ re ) d¿ + ¾dW Q
X¿
et donc
C (t; T ; r; re ; X; K; ¾) = X exp ¡r
e
( T ¡ t)
avec
52
N (d1 ) ¡ exp ¡r(T ¡t) K N (d2 )
² X la valeur du taux de change en t
µ
¶
1
ln (X=K) + r ¡ re + ¾ 2 (T ¡ t)
2
² d1 =
p
¾ T ¡t
µ
¶
1 2
e
ln (X=K ) + r ¡ r ¡ ¾ (T ¡ t)
p
2
p
² d2 = d1 ¡ ¾ T ¡ t =
¾ T ¡t
La formule peut aussi s’écrire en fonction du taux de change forward
e
exp¡r (T ¡t)
exp ¡r(T ¡t)
h
i
¡
¢
C t; T ; r; r e; XtT ; K; ¾ = exp¡r (T ¡t) XtT N (d1 ) ¡ exp ¡r(T ¡t) K N (d2 )
XtT = X ¤
6
Théorème de valorisation dans le cas multidimensionnel et avec coe¢cients de di¤usion
stochastiques
Soit un marché composé de d+1 actifs.
² un actif sans risque dont la di¤usion sous la probabilité historique P est
donnée par
dM¿
= r¿ d¿
M¿
² d actifs risqués qui sous P ont la di¤usion suivante :
d
X
dS¿i
i
P
=
¹
d¿
+
¾ i;j
¿
¿ dWj
S¿i
j=1
ou avec des notations vectorielles
¡
! ¡¡¡!
dS¿i
= ¹i¿ d¿ + ¾ i¿ T r :dW P
i
S¿
¡ P
¢
avec W = W 1 ; :::; W jP :::; WdP brownien d-dimmensionnel. On note F ¿
la …ltration naturelle associée à W . On suppose par ailleurs que
² r; ¹ et ¾ sont mesurables, F¿ ¡adaptés, uniformément bornés sur [t; T ] ¤ -;
r est positif.
² La matrice ¾ ¿ est inversible, son inverse est borné pour tout ¿ 2 [t; T ] ; ¾ ¿
est prévisible.
53
³
´
¡ ¢
¡ ¢
² une stratégie auto…naçante est le d+1-uplet ¼ i 0· i· d = ¼ 0 ; ¼ i 1·i·d de
processus F¿ adaptés et tels que si l’on note ¡
¼!
¿ le vecteur formé des d
¡
!
¡
!
¡
!
0
dernières coordonnées de ¼ et X = ¼ M + ¼ T r :S la valeur en ¿ de
¿
la stratégie on ait
6.1
¿
¿
¿
¿
¡
!
dX¿ = ¼ 0¿ dM ¿ + ¡
¼!¿ T r :dS¿
Théorème
Dans le marché tel que dé…nit précédemment on demontre que :
² 9! probabilité Q équivalente à P telle
d
X
dS¿i
Q
= r¿ d¿ +
¾ i;¿ j dW j
i
S¿
j=1
soit avec des notations vectorielles
¡
! ¡¡¡!
dS¿i
= r¿ d¿ + ¾ i¿ T r:dW Q
i
S¿
h
i
RT
² quelque soit Z variable FT -mesurable et telle que E Q exp¡ t rsds Z=F t alors
il existe une stratégie auto…nançante fondée sur les actifs de base (actif
sans risque et les d actifs risqués) qui …nance Z
² et dont la valeur pour tout ¿ 2 [t; T ] est donnée par:
h
i
RT
C ¿ = E Q exp ¡ ¿ rsds Z=F ¿
² la di¤usion de C¿ sous P peut s’écrire
¡
!
¡¡¡!
dC¿
C Tr
= ¹C
:dW P
¿ d¿ + ¾ ¿
C¿
¡! ¡
!
!
¡
C
avec ¹C
¿ = r¿ + ¾ ¿ : ¸ ¿ avec ¸ ¿ vecteur de prime de risque indépendant
de l’actif C.
6.1.1
Démonstration
h
!
¡
!i
! ¡r ¡
¡
!
1 ¡
² on pose ¸ ¿ = ¾ ¡
:
¹
¿ 1 : Les hypothèses faites sur ¾ ¿ , ¹¿ et r¿
¿
¿
!
¡
impliquent que ¸ ¿ est borné. On peut alors appliquer le théorème de
Girsanov multidimentionnel qui montre qu’il existe une unique probabilité
Q équivalente à P sous laquelle on a :
54
d
X
dS¿i
= r¿ d¿ +
¾ i;¿ j dW jQ
i
S¿
j=1
³
´
Q
avec dW j
brownien sous Q.
j
² sous cette probabilité Q les stratégies auto…naçantes véri…ent :
dX¿
¡
!
= ¼ 0¿ dM¿ + ¡
¼!¿ T r :dS ¿
Xi= d
= ¼ 0¿ dM¿ +
¼ i¿ ¤ dS¿i
i= 1
= ¼ 0¿ r¿ M¿ d¿ +
Xi=d
i=1
¼ i¿ S¿i r¿ d¿ +
h ¡¡! i
¡
!
= X¿ r¿ d¿ + µ ¿ T r : ¾ ¿ :dW Q
¯
¯
¼1 ¤ S 1
¯
¯
¼2 ¤ S 2
! ¯¯
¡
avec µ = ¯
:::
¯ ¼ d¡1 ¤ S d¡ 1
¯
¯
¼d ¤ S d
puis en posant
on obtient :
soit encore :
R(¿ ) = exp¡
R
¿
t
Xi=d
i=1
2
¼ i¿ S¿i 4
d
X
j=1
3
Q5
¾ i;j
¿ dWj
rs ds
! h ¡¡! i
¡
d (X¿ R(¿ )) = R(¿ )µ¿ T r : ¾ ¿ :dW Q
X¿ R(¿ ) = Xt R(t) +
Z
¿
t
! h ¡¡! i
¡
R(¿ )µ¿ T r : ¾ ¿ :dW Q
h
i
RT
² on pose N ¿ = E Q exp¡ t rs ds Z=F¿ . N ¿ est une martingale.sous Q.
D’après le théorème de représentation des martingales il existe un procesR¿ ¡
¡
!
! ¡¡!
sus h ¿ tel que N ¿ = N t + t h¿ T r :dW Q . On pose alors
£ T r ¤ ¡1 ¡
!
¡
!
¾
h¿
µ¿ = ¿
R(¿ )
h ¡¡! i
RT
R¿
!
¡
et l’on obtient : N¿ = Nt + t R(¿ )µ ¿ T r : ¾ ¿ :dW Q avec NT = exp ¡ t rsds Z.
On conclut en posant
55
8
8i 2 f1; 2; ::; dg
>
>
>
>
>
>
>
< ¼i
et
>
>
>
>
>
>
>
: ¼ 0¿
=
=
µi
Si
N ¿ ¡ R(¿ )
Xd
1
¼ i Si
R(¿ )M¿
et en véri…ant que la stratégie obtenue est e¤ectivement auto…nançante et
que sa valeur est X¿ avec
h
i
RT
X¿ = E Q exp ¡ ¿ rsds Z=F¿
6.1.2
rappel
Le théorème de représentation des martingales qui a été utilisé ici est une extension du théorème classique. Nous rappellerons ici l’énoncé.de cette extension (Cf
Marchés Financiers en temps continu, Rose-Anne Dana et Monique Jeanblanc,
p153)
Soit (Bs )t¸0 un P-mouvement brownien, soit Ft = ¾ (Bs ; s · t) sa …ltration.Soit Lt une densité de Girsanov s’écrivant
µZ t
Z
¶
1 t 2
Lt = exp
h(s)dBs ¡
h (s)ds
2 0
0
Rt
fs = Bs ¡ h(s)ds est un Q-mouvement brownien.
avec h bornée. On sait que B
0 ´
³
fs ; s · t n’est pas égale à Ft . Cependant on
En général, la …ltration Fet = ¾ B
peut montrer que le théorème de représentation prévisible des martingales est
encore véri…é sous Q:
Rt
fs , où Á est un processus
Toute Q ¡ F t martingale continue s’écrit 0 Á(s)dB
prévisible satisfaisant :
Z t
Á2 (s)ds < +1 P ¡ p:s: (ou P ¡ p:s:)
0
6.2
Formule BS avec taux d’intérêt stochastique
On se place à nouveau dans la con…guration d’un call sur un actif ne versant
pas de dividendes. Nous allons calculer la formule BS lorsque le taux court est
stochastique. Supposons que dans notre monde multidimensionnel nous avons
l’actif sans risque M, l’actif risqué et le zéro-coupon maturant en T. D’après le
théorème de valorisation précédent nous avons
h
i
RT
C t = E Q exp¡ t rsds (ST ¡ K) + =F t
Avec sous Q:
56
(17)
dS¿
¡¡!
= r¿ d¿ + ¡
¾!s dW Q
S¿
¡¡!Q
dB ¿
= r¿ d¿ + ¡
¾!
B dW
B¿
dM ¿
= r¿ d¿
M¿
(18)
avec donc, cette fois,
r¿ stochastique:
R¿
Notons ¯ ¿ = exp 0 rs ds :En appliquant Ito on montre facilement que:
d S¯¿
¿
S¿
¯¿
¿
dB
¯
¿
B¿
¯¿
¡¡!
=¡
¾!s dW Q
¡¡!
=¡
¾!
B dW
Posons maintenant :
L¿ =
(19)
B¿ 1
¯ ¿ B0
(19) implique que L¿ est une martingale sous Q strictement positive. Par
ailleurs Lt = E Q (LT =F 0) = 1:LT peut donc s’interpréter comme une densité de
T
T
Radon Nycodym dQ
dQ caractérisant une probabilité Q dite probabilité forward
neutre associée à la maturité T. Par ailleurs on remarque que:
¿
dB
dL¿
¡¡!Q
¯
= B¿¿ = ¡
¾!
B dW
L¿
¯
¿
et donc
L¿ = exp
·Z
¿
t
¡¡!Q 1
¡
¾!
¡
B dW
2
Z
¿
t
¸
2
k¡
¾!
k
ds
B
Ainsi en appliquant le théorème de Girsanov on a
¡! T
¡¡!
dW¿ Q = dW ¿ Q ¡ ¡
¾!
B d¿
¡! T
¡! T
avec dW ¿ Q brownien sous Q T . L¿ s’écrit également en fonction de dW¿ Q
·Z ¿
¸
Z
¡¡!Q 1 ¿ ¡! 2
¡
!
L¿ = exp
¾ B dW +
k¾ B k ds
2 t
t
57
S¿
¯
M¿
et ¿ ainsi que
sont martinguales sous
B¿
B¿
B¿
Montrons maintenant que
QT :
T
EQ
µ
S¿
=Fs
B¿
¶
¶
S¿
=Fs
B
³ T¿ ´
dQ
Q
E
=Fs
dQ
µ
¶
B ¿ 1 S¿
Q
E
=F s
¯ B B
µ¿ 0 ¿ ¶
B¿ 1
EQ
=F s
¯ ¿ B0
µ
¶
1 Q S¿
E
=F s
B0
¯
µ ¿
¶
1 Q B¿
E
=F s
B0
¯¿
Ss
B¿
EQ
=
=
=
=
µ
dQT
dQ
¯¿
M¿
ainsi que
sont également martinB¿
B¿
T
gales sous Q . On en déduit alors rapidement :
Un calcul similaire nous montre que
d SB¿¿
S¿
B¿
¡
! T
!
!
= [¡
¾S¡¡
¾ B ] dW Q
(20)
ainsi que
¯¿
dB
¿
¯¿
B¿
¡
!Q T
= ¡¡
¾!
B dW
Reformulons notre équation de valorisation (17)
h
i
RT
Ct = E Q exp¡ t rsds (ST ¡ K) + =F t
h
i
RT
T
+
dQ
¡ t rs ds
E Q dQ
exp
(S
¡
K)
=F
T
T
t
h
i
=
T
dQ
Q
E
=Ft
dQT
Calculons les deux termes de ce ratio. Au nominateur :
58
(21)
E
=
=
=
QT
T
EQ
·
R
dQ
+
¡ tT rs ds
exp
(ST ¡ K) =Ft
dQT
·
¸
R
1
+
¡ tT rs ds
exp
(S T ¡ K) =F t
LT
2
¸
3
R
7
T 6
1
+
¡ tT rs ds
EQ 6
(ST ¡ K ) =Ft 7
4 BT 1 exp
5
¯ T B0
h
i
T
B0 E Q (ST ¡ K )+ =Ft
en remarquant que BT = 1:Au dénominateur :
·
¸
dQ
QT
E
=F t
dQ T
·
¸
1
QT
= E
=Ft
LT
2
3
7
T 6
1
7
= EQ 6
=F
t
4 BT 1
5
¯ T B0
·
¸
¯T
QT
= B 0E
=Ft
BT
d’après l’équation (21)
T
EQ
d’où
·
¸
¯T
¯
=Ft = t
BT
Bt
EQ
=
T
·
dQ
=Ft
dQT
¯t
¤ B0
Bt
¸
ainsi :
Ct
=
=
=
h
i
RT
E Q exp¡ t rsds (ST ¡ K)+ =Ft
h
i
T
+
BtE Q (ST ¡ K) =Ft
"µ
#
¶+
ST
QT
BtE
¡K
=Ft
BT
59
(22)
S¿
que l’on peut résoudre avec la connaissance de la di¤usion de B
sousQ T qui
¿
!
¡
!
¡
nous est justement donnée par (20) . Si l’on suppose que ¾ S ¡ ¾ B n’est pas
stochastique on obtient
·
¸
St
C t = Bt
N (d1) ¡ KN (d2 )
Bt
avec
³
´ 1
ln SBtt =K + ¾ 2 (T ¡ t)
p 2
² d1 =
¾ T ¡t
p
² d2 = d1 ¡ ¾ T ¡ t
!
!
² ¾ = k¡
¾S ¡¡
¾Bk
Soit si l’on pose S¿T =
avec
S¿
B¿
£
¤
C t = Bt STt N (d1 ) ¡ KN (d2 )
¡
¢ 1
ln StT =K + ¾ 2 (T ¡ t)
² d1 =
p 2
¾ T ¡t
p
² d2 = d1 ¡ ¾ T ¡ t
Cette formule est à rapprocher de la formule de valorisation BS exprimée
en fonction du prix forward de l’actif que nous avions établi dans le cadre des
taux non stochastiques (cf equation 8). Nous allons montrer dans le paragraphe
suivant que dans le cadre du modèle BS à taux d’intérêt stochastique StT =
St
est e¤ectivement le prix forward en t de l’actif S pour un contrat forward
Bt
maturant en T.
6.3
Prix forward d’un actif
On se replace dans le cadre du paragraphe ’Prix forward d’un actif’ de la section
’Théorème de valorisation dans un cadre monodimensionnel et avec coe¢cients
de di¤usion non stochastiques’. Il avait été mentionné que le prix forward en t
d’un actif pour un contrat forward maturant en T est tel que le prix en t des
‡ux en T induits (cf …gure 34) par le contrat forward est 0. Soit, en notant P f
ce prix forward :
h
i
h
i
RT
RT
E Q exp ¡ t rsds P f =Ft = E Q exp¡ t rs ds ST =F t
et donc
Pf =
St
B (t; T )
60
Figure 34: Flux induits en T par un contrat de vente forward en cash settlement
T
t
Pf
ST
où B (t; T ) est le prix en t du zéro-coupon maturant en T.
Part IV
Modèle de smile
La présence de smile sur les marchés des taux, des actions et du change ont
poussé les opérateurs à trouver des processus de di¤usion des sous-jacents qui
leur permettent d’expliquer le phénomène de smile. L’objectif est double : il
s’agit de pouvoir donner un prix à des payo¤s où la réplication statique n’est
pas enviseageable mais aussi de mieux se couvrir. Nous alons étudier 3 modèles
à smile : le modèle log-décalé, qui comme on le verra peut s’interpréter comme
une combinaison linéaire d’un modèle normal et d’un modèle log-normal, le
modèle ’Dupire’ à volatilité locale dépendant du temps et du niveau du sous
jacent et en…n le modèle SABR où la vol dépend du sous-jacent mais également
d’un paramètre stochastique non corrélé avec le sous jacent.
Pour un appronfondissement la lecture des articles suivants est recommandées:
² A theory of Volatility, Antoine Savine
² Towards a Theory of Volatility Trading, Peter Carr, Dilp Madan
² Managing Smile Risk , Patrick S. Hagan, Deep Kumar, Andrew S. Lesniiwsky, Diana E. Woodward
² A Risk Neutral Stochastic Volatility Model, Yingzi Zhu, Marco Avellaneda
² Pricing and Hedging with Smile, Bruno Dupire
61
7
Modèle log-décalé
On se place sous la probabilité forward neutre Q T associé à la maturité T.
Sous cette probabilité le prix forward de l’actif est martingale. La di¤usion du
sous-jacent s’écrit de la manière suivante :
dST¿
T
= ¾dW Q
S¿T + m
(23)
avec m paramètre constant.
Soit encore
¡ ¢
T
dS¿T
= ¾ loc S¿T dW Q
T
S¿
avec
¡ ¢
ST + m
¾ loc S¿T = ¾ ¤ ¿ T
S¿
7.1
Valorisation d’un call.
On se place dans le cadre du paragraphe ’Formule BS avec taux d’intérêt stochastique’ et l’on reprend le calcul de valorisation du call à partir de l’équation
(22). On pose
L¿ = S¿T + m
On a :
² Lt = StT + m
² LT = STT + m
dL¿
T
= ¾dW Q
L¿
h¡
i
h
i
¢+
T
T
+
² Ct = B tE Q
STT ¡ K =F t = B tE Q (LT ¡ (K + m)) =Ft
²
et donc:
Ct
avec
= Bt [Lt N (d1 ) ¡ K N (d2 )]
£¡
¢
¤
= Bt StT + m ¤ N (d1 ) ¡ K N (d2 )
µ
¶
S Tt + m
1
ln
+ ¾ 2 (T ¡ t)
K +m
2
² d1 =
p
¾ T ¡t
p
² d2 = d1 ¡ ¾ T ¡ t
62
7.1.1
Lien avec le modèle de taux Ho and Lee
Nous sommes en t. On cherche à valoriser un cap sur taux µM maturant en T.
On se place dans le cadre ’pre …xing post payment, c’est à dire que que payo¤
du cap …xe en T mais le payment est e¤ectué en T + µ On note C ¿ la valeur
du cap en ¿ . On a :
Ct
h
RT
= E Q exp ¡ t rsds ¤ (y T ¡ K) ¤ B (T ; T + µ)
h
i
R T +µ
= E Q exp ¡ t rs ds ¤ (y T ¡ K) =Ft
= B (t; T + µ) E Q
T+µ
[(y T ¡ K)
=F t
i
=F t]
Le taux µM en T est donné par :
·
1
1
µ B (T ; T + µ)
Posons
soit yT =
1
= B (T ; T + µ)
1 + µyT
¸
¡1
y T¿
·
¸
1
B (¿ ; T )
=
¡1
µ B (¿ ; T + µ)
(il s’agit du taux forward). On a
² y¿T = yT
²
dy T¿
=
1 + µy¿T
0
d@
1
B (¿ ; T )
A
B (¿ ; T + µ)
B (¿ ; T )
B (¿ ; T + µ)
Dans le cadre du modèle Ho and Lee les prix zéro-coupon suivent sous la
probabilité risque neutre la di¤usion :
dB (¿ ; T )
= r¿ d¿ + ¾ H L ¤ (T ¡ ¿ )dW Q
B (¿ ; T )
On montre aisément en utilisant des raisonnements analogues à ceux développés
B (¿ ; T )
dans le paragraphe ’Formule BS avec taux d’intérêt stochastique’ que
B (¿ ; T + µ)
est une martingale sous QT +µ . On en déduit que sous Q T + µ on a :
B (¿ ; T )
T +µ
B (¿ ; T + µ)
= ¡¾ HL ¤ µ ¤ dW Q
B (¿ ; T )
B (¿ ; T + µ)
d
63
et donc
dy T¿
T +µ
= ¡¾ H L ¤ µ ¤ dW Q
T
1 + µy ¿
soit encore
7.1.2
dy T¿
T +µ
= ¡¾ HL ¤ µ2 ¤ dW Q
T
1=µ + y¿
Remarques et exemples numériques
Remarque 1
par:
Une bonne approximation des volatilités implicites est donnée
¶
3
StT + K
µ T
¶
¾ loc
¡
¢
6
¡
¢2 7
St + K
1
2
¾ BS S Tt ; K = ¾ loc
¤6
1+
¤
µ T
¶ ¤ S Tt ¡ K 7
4
5
2
24
St + K
¾ loc
2
(24)
2
Remarque 2
00
µ
L’équation de di¤usion (23) peut également s’écrire:
T
T
dS¿T = qe
¾ dW Q + (1 ¡ q) S¿T ¾edW Q
avec m = qe
¾ et (1 ¡ q) e
¾ = ¾.
Exemples numériques
8
cf …gures 35 et 36.
Modèle à volatilité locale non paramétrique :
modèle dit de ’Dupire’
8.1
Formule de Tanaka
La formule de Tanaka est une extension du lemme d’Itô que l’on applique aux
distributions. Soit f (t; x) une fonction et X un processus d’Itô qui s’écrit
dXt = ¹t dt + ¾ tdW t
On a :
df (t; Xt ) =
où
@f (t; Xt)
@f (t; Xt )
1 @ 2 f (t; Xt ) 2
dt +
dXt +
¾ t dt
@t
@Xt
2
@Xt2
@f (t; Xt)
@ 2 f (t; Xt)
et
sont à prendre, si nécessaire, au sens des distributions
@Xt
@Xt2
64
Figure 35: Log décalée : modèle de taux Ho & Lee
St
T-t
discount
vol
m
volbar
5% strike
2 prix
0,9 BS implied vol
0,2% proxy (ATM)
4 proxy
16%
3,50%
4,00%
4,50%
5,00%
5,50%
6,00%
1,396%
1,008%
0,675%
0,411%
0,225%
0,109%
19,276% 18,088% 17,096% 16,230% 15,473% 14,801%
16,20%
19,22%
18,05%
17,06%
16,20%
15,45%
14,79%
6,50%
7,00%
7,50%
0,046%
0,017%
0,005%
14,202% 13,665% 13,191%
14,19%
13,66%
13,17%
strike
smile Ho&Lee
20,0%
19,0%
18,0%
17,0%
16,0%
15,0%
14,0%
13,0%
3,00%
vols implicites
4,00%
5,00%
6,00%
7,00%
8,00%
vol implicite BS
taux à maturité
densités log-normale et log decalée H&L
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0,00%
H&L
Log normale à
variance égale
2,00%
4,00%
6,00%
8,00% 10,00%
densité
65
Figure 36: Log décalée
St
T-t
discount
vol
m
volbar
5% strike
2 prix
0,9 BS implied vol
3,0% proxy (ATM)
0,1 proxy
9%
3,50%
1,351%
10,150%
4,00%
0,912%
9,709%
4,50%
0,518%
9,324%
10,13%
9,69%
9,32%
5,00%
0,228%
8,998%
9,00%
9,00%
5,50%
0,073%
8,710%
6,00%
0,017%
8,462%
6,50%
0,003%
8,253%
7,00%
0,000%
8,065%
7,50%
0,000%
7,876%
8,72%
8,47%
8,25%
8,05%
7,86%
smile Log décalée
strike
11,0%
10,0%
vols implicites
9,0%
8,0%
7,0%
3,00%
4,00%
5,00%
6,00%
7,00%
8,00%
vol implicite BS
densités log-normale et log decalée
70
taux à maturité
60
50
40
Log décalée
30
20
Log normale à variance
égale
10
0
-102%
3%
4%
5%
6%
densité
66
7%
8%
8.2
Application
8.2.1
Equation de Focker-Plank
On prend f (t; Xt ) = ±x (Xt ) et
dXt = ¹(t; Xt)dt + ¾(t; Xt )dW t
On obtient :
·
¸
0
1 00
2
d±x (Xt ) = ±x (Xt ) ¹(t; Xt ) + ± x (Xt ) ¾ t dt + ±x (Xt ) ¾(t; Xt )dWt
2
0
équation à laquelle on applique l’opérateur Espérance :
·
¸
@'t (x) ¹(t; x) 1 @ 2 ' t (x) ¾ 2 (t; Xt)
d' t (x) =
+
dt
@x
2
@x 2
et donc
@' t (x) ¹(t; x)
1 @2 ' t (x) ¾ 2 (t; Xt )
+
@x
2
@x 2
soit l’équation de Focker-Plank régissant la densité du processus Xt
' t (x) =
8.2.2
EDP suivi par le prix des calls et équation de la vol locale
+
On prend f (t; Xt ) = (Xt ¡ K) et
dXt = ¹(t; Xt)dt + ¾(t; Xt )dW t
L’application de la formule de Tanaka nous donne :
1
d (Xt ¡ K)+ = 1 fX t>K g dXt + ±K (Xt) ¾ 2 (t; Xt)dt
2
soit, en appliquant l’opérateur espérance :
+
dE (Xt ¡ K ) =
1
' (K) ¾ 2(t; K )dt
2 t
On note C(t; K) le prix au temps 0 d’un call de strike K maturant en t. En
supposant les taux à zéro on a C (t; K) = E (Xt ¡ K)+ . L’équation précédante
s’écrit :
@C(t; K)
1
= 't (K) ¾ 2 (t; K)
@t
2
En utilisant le fait que
@2 C (t; K)
' t (K) =
@K 2
on obtient :
v
u @C (t; K)
u
u
@t
¾(t; K) = u
t2 @2 C (t; K)
@K 2
67
Figure 37: Smile SABR 1
smile SABR
Forward 5,5%-6,5%-7,5% SigmaBeta 1,6% Beta 0,5 Alpha 30% rho -25%
20%
smile SABR Fwd 5,5%
15%
smile SABR Fwd 6,5%
smile SABR Fwd 7,5%
10%
5%
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10% 11%
smile SABR
Forward 5,5% SigmaBeta 2% Beta 0,5 Alpha 30% rho -25%
25%
20%
15%
smile SABR
10%
5%
0%
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
smile SABR
Forward 5,5% SigmaBeta 1,6% Beta 0,3 Alpha 30% rho -25%
40%
30%
20%
smile SABR
10%
0%
0%
9
2%
4%
6%
8%
10%
12%
Modèle SABR (Sigma Alpha Beta Rho)
Le modèle SABR propose de ne pas réduire la stochasticité de la volatilité lo cale
à la seule dépendance de cette volatilité au sous jacent et ajoute une source de
bruit supplémentaire. Le forward suit la di¤usion suivante :
² dF = F ¯ ¾ ¯ dW 1
² d¾ ¯ = ®¾ ¯ dW 2
®
² dW 1 dW 2 = ½
L’impact des paramètres sur la forme des smiles implicites est illustré par
les …gures 37 et 38.
Une augmentation du paramètre ¾ ¯ induit une translation du smile vers le
haut. Une diminution du paramètre ¯ accroit le ’skew’ de même qu’une diminution du paramètre ½. En…n une augmentation du paramètre ®, la volatilité de la
volatilité ¾ ¯ accroit la convexité du smile. L’a jout d’une dimension stochastique
pour la volatilité permet donc d’atteindre des smiles convexes qui n’étaient pas
68
Figure 38: Smile SABR 2
smile SABR
Forward 5,5% SigmaBeta 1,6% Beta 0,5 Alpha 40% rho -25%
25%
20%
15%
smile SABR
10%
5%
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
smile SABR
Forward 5,5% SigmaBeta 1,6% Beta 0,5 Alpha 30% rho -40%
25%
20%
15%
smile SABR
10%
5%
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
accesibles sous des modèles du type ’log-décalé’. Mais ce que permet surtout
l’utilisation du SABR c’est un hedge plus compatible avec la dynamique du
smile. Comme on peut l’a vu en TD à partir d’une analyse simple de la formule
(24) pour le modèle log-décalé, l’évolution du forward, à paramètre m inchangé,
fait évoluer le smile d’une façon qui peut être incompatible avec l’évolution réelle
du smile de marché et induire un delta hedge moins e¢cace qu’un delta hedge
évalué à partir d’un simple modèle BS.
69