TD 4. La loi normale

ISTIL, Tronc commun de première année
Introduction aux méthodes probabilistes et statistiques
TD 4. La loi normale
Exercice 1 aléatoire
Montrer que si
1
σ (X
Z=
− m)
Soient deux réels
X
est une variable aléatoire de loi normale
suit une loi normale centrée réduite
=
=
=
changement de variable :
u=
(x−m)
σ
b
Z
=
a
Exercice 2 u2 1
√ exp −
du
2
2π
suit une loi normale centrée réduite
Soit
N (0, 1).
h
i
1
P a ≤ (X − m) ≤ b
σ
h
i
P m + σa ≤ X ≤ m + σb
Z m+σb
(x − m)2 1
√ exp −
dx
2σ 2
m+σa σ 2π
P [a ≤ Z ≤ b]
Z
alors la variable
a < b,
P [a ≤ Z ≤ b]
autrement dit,
N (m, σ),
X
N (0, 1).
une variable aléatoire de loi normale
−0.52], P [−1 < X < 1].
Trouver
u
tel que
N (0, 1).
Calculer
P [X ≤ 1.62], P [X ≥
P [X ≤ u] = 0.334.
P [X ≤ 1.62] = 0.9474
Comme
X
et
−X
ont même loi,
P [X ≥ −0.52]
= P [−X ≤ 0.52] = P [X ≤ 0.52] = 0.6985
= P [X < 1] − P [X < −1] = P [X < 1] − P [−X > 1]
P [−1 < X < 1]
= P [X < 1] − P [X > 1] = 2.P [X < 1] − 1 = 0.6826
On lit sur la table des fractiles :
Exercice 3 u = −0.4289.
La largeur (en cm) d'une fente dans une pièce fabriquée en aluminium est distribuée
selon une loi normale de paramètres
étant
2, 000 ± 0, 012.
m = 2 et σ = 0, 012. Les limites de tolérance sont données comme
Quel sera le pourcentage de pièces défectueuses ?
Le pourcentage de pièces défectueuses est :
p
1 − P [2 − 0, 012 ≤ X ≤ 2 + 0, 012]
h
i
X −2
= 1−P −1≤
≤1
0, 012
= 1 − P [−1 ≤ Y ≤ 1] où Y de loi N (0, 1)
=
=
Exercice 4 Soit X
2(1 − P [Y ≤ 1]) = 0, 3174
une variable aléatoire gaussienne. On sait que :
P [X ≤ 3] = 0, 5517
Déterminer la moyenne et l'écart-type de
et
X.
1
P [X ≥ 7] = 0, 0166
Soit
X
N (m, σ).
de loi
0, 5517 = P [X ≤ 3] = P
où
U
est de loi normale
N (0, 1).
h
hX − m
3 − mi
3 − mi
=P Y ≤
≤
σ
σ
σ
D'après les tables,
P [Y ≤ 0, 13] = 0, 5517
la fonction de répartition de la loi normale est bijective, donc
et on peut remarquer que
(3 − m)/σ = 0, 13.
De même,
h
h
7 − mi
7 − mi
0, 0166 = P [X ≥ 7] = P Y ≥
=1−P Y ≤
σ
σ
et alors
d'où
(7 − m)/σ = 2, 13.
Exercice 5 On trouve
h
7 − mi
= 0, 9834
P Y ≤
σ
facilement, σ = 2 et m = 2, 74.
Dans un usine d'emballage, un automate remplit des paquets de café de 250g. On
sait que l'automate verse en fait une quantité de café variable, régie par une loi normale de moyenne
réglable et d'écart-type 3. Quelle doit être la moyenne théorique choisie pour que 90% des clients
achètent bien au moins 250g de café ?
On cherche
m
tel que
0, 90 = P [X ≥ 250] = P
avec
Y
de loi
N (0, 1).
−1, 2816] = 0, 10
hX − m
h
250 − m i
250 − m i
≥
=P Y ≥
3
3
3
On lit dans la table de l'inverse de la fonction de répartition que
et donc
P [Y ≤
m = 253, 84.
Exercice 6 Dans ce problème, les durées des trajets sont supposées de loi normale.
1) Un directeur de société habite dans la ville A. Il part de chez lui à 8h45 et se rend en voiture à son
bureau qui ouvre à 9h. La durée de son trajet est, en moyenne, de 13 minutes, avec un écart-type de
3 minutes. Quelle est la probabilité que le directeur arrive en retard ?
2) La secrétaire du directeur habite en A, elle va au bureau avec le train de 8h32 ; elle descend à la
station B. Elle prend ensuite le bus qui part de B à 8h50 (sans attendre le train), pour aller de B à
son bureau. La durée du trajet en train a pour moyenne 16 minutes, pour écart-type 2 minutes, et la
durée du trajet en bus a pour moyenne 9 minutes et pour écart-type 1 minute. Les durées de trajet
en train et en bus sont indépendantes. Quelle est la probabilité que la secrétaire arrive à l'heure ?
3) Quelle est la probabilité pour que le directeur ou la secrétaire (c'est-à-dire l'un au moins des deux)
arrive à l'heure, les durées des trajets du directeur ou de la secrétaire étant supposées indépendantes ?
Soit
Soit
RD
TD
le temps de trajet du directeur,
celui de la secrétaire,
l'événement le directeur est en retard et
1)
P [RD ] = P [TD ≥ 15] =
P [ TD 3−13
2)
P [RS ] = P [(T ≥ 18)
(T < 18
ou
lité puis indépendance. Et
3)
TS
RS
T
celui du train,
B
celui du bus.
la secrétaire est en retard.
≥
15−13
3 ]
et
B ≥ 10)] = P [T ≥ 18] + P [T < 18]P [B ≥ 10]
= 1 − P [Y ≤ 0, 67] = 1 − 0, 7486 = 0, 2514.
P [RS ] = 0, 2922.
P [RD ∪ RS ] = 1 − P [RD ∩ RS ] = 1 − 0, 2514 × 0, 2922 = 0, 929.
2
par incompatibi-
Exercice 7 Une enquête marketing a pour but de vérier si les cibles potentielles seraient tentées
par un nouveau produit. Il a été montré que 56% des gens sont favorables au nouveau produit. Pour
aller plus loin, on interroge à nouveau 200 personnes. Quelle est la loi du nombre de clients potentiels
parmi les 200 ? Par quelle loi peut-on l'approcher ? Calculer
P [X > 100]
et
P [100 ≤ X ≤ 150].
On souhaite maintenant demander des précisions à un grand nombre de personnes favorables au
produit, mettons 100 personnes. Déterminer la taille de l'échantillon de personnes à interroger pour
que notre échantillon contienne au moins 100 personnes favorables, avec une probabilité supérieure ou
égale à 95%.
1) Schéma de Bernoulli : une épreuve consiste à interroger une personne. Elle est favorable au
produit = SUCCÈS, sinon ECHEC. La probabilité d'un succès vaut toujours
X=
épreuves sont indépendantes. Alors
B(200; 0, 56),
Or
n = 200 ≥ 20, np ≥ 5
N (112, 7, 02).
et
et les
n = 200
nbr de clients potentiels = nbr de SUCCÈS suit une loi
200
k
k = 0, 1, ..., 200, P [X = k] =
c'est-à-dire, pour
p = 0, 56
n(1 − p) ≥ 5.
0, 56k 0, 44200−k .
Donc on peut approcher la loi de
X
par la loi normale
On calcule :
P [X > 100] = 1 − P [X ≤ 100] = 1 − P [Y ≤ −1, 71] = P [Y ≤ 1, 71] = 0, 9564.
P [100 ≤ X ≤ 150] = P [X ≤ 150] − P [X ≤ 99] = P [Y ≤ 5, 41] − P [Y ≤ −1, 85] = 1 − P [Y ≤ −1, 85] =
P [Y ≤ 1, 85] = 0, 9678.
2) Soit
n
la taille de l'échantillon. Le nombre
√
N (n.0, 56; n.0, 56.0, 44).
loi normale
100−n.0,56
√
n.0,56.0,44
= 1, 6449
Exercice 8 X
de personnes favorables dans cet échantillon suit une
Et on veut
et nalement on trouve
0, 95 = P [X ≥ 100] = P [Y ≥
n = 200.
On prélève indépendamment et avec remise
deux sous-populations
A
et
A
c
100−n.0,56
√
]. D'où
n.0,56.0,44
de proportions respectives
n
individus d'une population séparée en
p
et
1−p
(clients importants ou petits
clients par exemple).
1. Soit
K
loi de
le nombre d'individus de la sous-population
A
présents dans l'échantillon. Quelle est la
K?
2. Notons
F = K/n
la fréquence empirique de la catégorie
A.
Donner l'espérance et la variance de
F.
3. Quel est le comportement de
F
quand
n
devient grand ?
4. On considère un échantillon de 400 clients d'un organisme de placement nancier. Les clients de
cet organisme, dans leur ensemble, se répartissent ainsi : 20% possèdent de gros portefeuilles, les
autres ne détenant que des portefeuilles modestes. Quelle est la probabilité que la proportion
de gros clients dans l'échantillon soit comprise entre
que
F
soit inférieure à
15% ?
7%
et
23% ?
F
Quelle est la probabilité pour
Dans l'agence de Lyon (qui compte 400 clients), seuls
15%
des
clients sont de gros clients. Est-ce acceptable par le siège ?
1) Schéma de Bernoulli : on prend un individu au hasard, il est dans
répète cette épreuve
Ainsi,
K
n
2) En fait,
K=
i=1
sinon ECHEC. On
fois de manière indépendante et la probabilité d'un SUCCES vaut toujours
suit une loi binomiale
Pn
A=SUCCÈS,
Yi
E[F ] =
où les
n
X
B(n; p).
Yi
sont de loi de Bernoulli de paramètre
E[Yi ]/n = p,
Var(F ) =
i=1
n
X
p.
On trouve aisément,
Var(Yi )/n2 = p(1 − p)/n
i=1
qF
3) D'après la loi des grands nombres,
loi tendre vers une loi normale
p.
N (p,
tend vers
p(1−p)
).
n
3
p
et d'après le théorème central limite,
F
voit sa
4) Application numérique avec
P [0, 07 ≤ F ≤ 0, 23]
n = 400
et
p = 0, 2.
h 0, 07 − 0, 2
F − 0, 2
0, 23 − 0, 2 i
= P p
≤p
≤p
0, 2 × 0, 8/400
0, 2 × 0, 8/400
0, 2 × 0, 8/400
= P [−6, 5 ≤ Y ≤ 1, 5] où Y de loi N (0, 1)
= P [Y ≤ 1, 5] = 0, 9332
P [F ≥ 0, 2]
P [F ≤ 0, 15]
=
0, 5
= P [Y ≤ −2, 5] = 1 − P [Y ≤ 2, 5] = 0, 0062
Donc pour obtenir des résultats aussi peu probables, soit ils n'ont pas de chance, soit ils sont très
mauvais...
Exercice 9 Soit X
la densité de
E(1). Calculer P [X ≤ 2] et P [X > 0.5]. Déterminer
une v.a. de loi exponentielle
Y = 3X .
De quelle loi s'agit-il ?
On sait que la densité de
X
est
f (x) = exp(−x)
sur
R+
et
0
sur
R− .
Ainsi,
2
Z
P [X ≤ 2] =
exp(−x)dx = 1 − exp(−2) = 0.8647
0
Z
+∞
P [X > 0.5] =
exp(−x)dx = exp(−0.5) = 0.6065
0.5
Soit
a > 0.
On eectue le changement de variable
y = 3x
Z
P [Y ≤ a] = P [3X ≤ a] = P [X ≤ a/3] =
:
a/3
Z
exp(−x)dx =
0
La densité de
Y
est donc
exp(−y/3)/3
et la loi de Y est la loi
4
0
E(1/3).
a
1
exp(−y/3)dy
3