Dérivation Primitives

Cours de Terminale STI2D
Giorgio Chuck VISCA
27 septembre 2013
Dérivation
Primitives
1
Table des matières
I La dérivation
3
I
3
3
Rappels
I.1 exemple graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II fonction dérivée, formules de calcul
II.1 définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2 dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3 opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . .
II.4 composée et dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.4.1 théorème initial (non exigible) . . . . . . . . . . . . . . . .
II.4.2 conséquences : d’autres formules de dérivation à connaître
II.4.3 exemples de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
4
4
5
5
5
5
5
III applications de la dérivation et compléments
III.1 étude des variations . . . . . . . . . . . . .
III.2 compléments . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2.1 écriture différentielle . . . . . . . .
III.2.2 dérivées successives . . . . . . . .
III.2.3 notion d’équation différentielle . .
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6
6
6
6
6
6
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II Les primitives
6
IV Définition et propriétés
IV.1 définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2 primitive passant par un point donné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.3 illustration graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
7
V Méthodes de calculs
V.1 primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.2 règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
9
9
I RAPPELS
Première partie
La dérivation
I Rappels
f ′ (a) s’appelle le nombre dérivé d’une fonction f en un point A d’abscisse a (ou nombre dérivé en a).
Il correspond graphiquement au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a,
c’est à dire de la droite qui approxime au mieux la fonction autour de a
2
1
−3
−2
−1
O
−1
est représentée ici la tangente à la courbe en 1
1
2
Sa pente vaut +2, donc f ′ (1) = 2
•
Nous avons donc :f (1) = −1 et f ′ (1) = 2
−2
−3
On rappelle par ailleurs que l’équation réduite de la tangente en a à la courbe représentative d’une
fonction f dérivable en a est donnée par y = f ′ (a)(x − a) + f (a)
I.1 exemple graphique
•
2
1
•
−3
−2
−1
O
1
•
•
−1
•
2
−2
•
−3
3
Giorgio
II FONCTION DÉRIVÉE, FORMULES DE CALCUL
On a représenté ci-dessus la fonction f définie sur [−2.5; 3] par :
f (x) =
1.
2.
3.
4.
1 3 1 2
7
x − x − 2x +
3
2
6
Déterminer par le calcul les images de −2, −1, 1 et 2, puis vérifier la cohérence sur le graphique.
Résoudre graphiquement les équations f (x) = −1 et f (x) = 0
Donner le tableau de signe de f (x) sur [−2.5; 3]
Complèter alors le tableau suivant :
x
f (x)
f ′ (x)
−2
−1
+1
+2
5. Donner une équation des tangentes T−2 , T−1 , T1 et T2 , aux points de la courbe d’abscisses respectives :
−2, −1, 1 et 2.
6. Résoudre graphiquement l’équation f ′ (x) = 0
7. Donner le signe de f ′ (x) sur [−2.5; 3]., puis faire un tableau commun où apparaissent les variations de f
et le signe de f ′ (x)
II fonction dérivée, formules de calcul
II.1 définition
On rappelle que f est dérivable sur un intervalle I, lorsqu’elle est dérivable en tout point de I. L’ensemble D où f est dérivable est appelé ensemble de dérivabilité de f
On défini ensuite sur I la fonction dérivée de f notée f ′ .
II.2 dérivées des fonctions usuelles
fonction f
domaine Df
f (x) = a
R
f ′ (x) = 0
R
f (x) = ax + b
R
f ′ (x) = a
R
f (x) = xn , où n est un entier relatif 6= −1
R ou R∗
f ′ (x) = nxn−1
R ou R∗
R∗
−
1
, où n est un entier naturel non nul
xn
R∗
f ′ (x) = −
√
x
[0; +∞[
1
f ′ (x) = √
2 x
]0; +∞[
f (x) = sin x
R
f ′ (x) = cos x
R
f (x) = cos x
R
f ′ (x) = − sin x
R
f (x) =
4
1
x2
domaine Df′
1
x
f (x) =
f (x) =
fonction dérivée f’
R∗
n
xn+1
R∗
Giorgio
II.3 opérations sur les fonctions dérivables
II FONCTION DÉRIVÉE, FORMULES DE CALCUL
II.3 opérations sur les fonctions dérivables
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I, et soit k un réel quelconque on a :
formules de dérivation
(u + v)′ = u′ + v ′ ;
ensembles de validité
sur I
(ku)′ = ku′
sur I
(uv)′ = u′ v + v ′ u
′
1
v′
=− 2 ;
v
v
u ′
v
=
u′ v − v ′ u
v2
sur tout intervalle de I où v 6= 0
✂ ...........................................................................................................
II.4 composée et dérivée
II.4.1 théorème initial (non exigible)
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et g une fonction définie et dérivable sur un
intervalle J, telle que g(J) ⊂ I, alors la fonction h = f ◦ g est dérivable sur J et pour tout x de J on a :
h′ (x) = (f ◦ g)′ (x) = g′ (x) × f ′ ◦ g(x)
en gros (f ◦ g)′ = g′ × f ′ ◦ g
II.4.2 conséquences : d’autres formules de dérivation à connaître
✦S OIT u UNE
I,
: (un )′ = nu′ un−1
FONCTION DÉFINIE ET DÉRIVABLE SUR
POUR TOUT ENTIER RELATIF
n ON
A
.....(avec comme condition suplémentaire que u ne s’annule jamais sur I quand n est négatif)
✦S OIT u UNE
ON A ALORS
I , ET TELLE QUE u > 0 SUR I ,
√
u′
: ( u)′ = √
2 u
✦ SOIT u UNE
ON A ALORS
FONCTION DÉFINIE ET DÉRIVABLE SUR
FONCTION DÉFINIE ET DÉRIVABLE SUR
I,
(sin u) = u cos u et (cos u) = −u sin u
′
′
′
′
✦
✦
II.4.3 exemples de calculs
Calculer la dérivée des fonctions suivantes dérivée
1. f (x) = sin x2 + 3x + 1
p
2. g(t) = 3t4 + 2t2 + 1
3. h(x) = (2x2 + 3x − 1)5
4. i(x) = (sin(3x + 5))6
5
Giorgio
III APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION ET COMPLÉMENTS
III applications de la dérivation et compléments
III.1 étude des variations
Soit f définie et dérivable sur un intervalle I
✦ Si pour tout x de I on a f ′ (x) > 0 alors f est strictement croissante sur I
✦ Si pour tout x de I on a f ′ (x) < 0 alors f est strictement décroissante sur I
✦ Si pour tout x de I on a f ′ (x) = 0, alors f est constante sur I.
III.2 compléments
III.2.1 écriture différentielle
df
est l’écriture différentielle de f ′ (x)..........
dx
par exemple si l’on pose x(t) = 2t3 + 3t − 1, où la variable est ici t et la fonction est x, on aura x′ (t) =
6t2 + 3.....
dx
= 6t2 + 3.
avec l’écriture différentielle on note
dt
la notation
écrire la dérivée des fonctions suivantes en utilisant l’écriture différentielle :
3t + 1
2t − 2
sin t
2. x(t) =
cos t
3. f (x) =
1. f (t) =
√
x sin x
4. g(v) = v 3 − 4v 2 + 7v − 5
III.2.2 dérivées successives
La dérivée seconde d’une fonction f est la dérivée de sa dérivée.....on la note f ′′
La dérivée troisième de f est la dérivée de sa dérivée seconde.......on la note f ′′′
etc...............................
Pour n entier naturel,on note alors f (n) , la dérivée n-ème de la fonction f ...
✂ ...........................................................................................................
III.2.3 notion d’équation différentielle
Nous allons ici évoquer une des notions essentielles de l’année en analyse : la notion d’équation différentielle.
π
On note f (t) = cos t ; g(t) = sin t ; et h(t) = cos(t + ).
4
1. calculer les dérivées secondes de f , g et h.
2. donner une relation entre chaque fonction et leur dérivée seconde
3. trouver une autre fonction vérifiant cette propriété
4. existe-t’il une fonction k définie par k(t) = A cos t, où A est une constante réelle,
telle que k(0) = 2 ?
5. trouver une fonction égale à sa dérivée
6
Giorgio
IV DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS
Deuxième partie
Les primitives
IV Définition et propriétés
✦ Soit f la fonction définie sur R par : f (x) =
1
.
1 + x2
1
. On
1 + x2
ne connait pas explicitement F , mais on peut tracer sa courbe à l’aide de la méthode d’euler par exemple.
Cette fonction est donc telle que F ′ (x) = f (x) : On dit alors que F est une primitive de f sur R.
On note F une fonction définie sur R vérifiant la propriété différentielle suivante : F ′ (x) =
✦ Un autre exemple : on pose F (x) = x3 + x + 1 et G(x) = x3 + x + 15428963 .
On pose par ailleurs f (x) = 3x2 + 1. Vous constatez aisément que ∀x ∈ R, F ′ (x) = G′ (x) = f (x).
F et G sont alors des primitives de f sur R.
IV.1 définition
soit f une fonction définie sur un intervalle Df .
On appelle PRIMITIVE de la fonction f ,une fonction F définie sur Df ,
et qui a pour dérivée la fonction f ....., ainsi ∀x ∈ Df , F ′ (x) = f (x).
Sur l’exemple précédent, F est alors une primitive de f ,......oui mais G aussi en est une !
Ainsi, une fonction admet non pas une primitive, mais des primitives, en effet :
si F et G sont des primitives d’une même fonction f sur Df ,alors :
∀x ∈ Df , F (x) = G(x) + k, k ∈ R , (ainsi les primitives d’une même fonction sont toutes égales,
mais à une constante additive près ...)
ainsi si F est une primitive de f , toutes les primitives de f ,
sont les fonctions x → F (x) + k,mais il en est une et une seule dont la courbe passe par un point donné...
IV.2 primitive passant par un point donné
Il existe une unique primitive F de f vérifiant F (x0 ) = y0 , i.e telle que CF passe par le point
de coordonnées (x0 , y0 ), où x0 et y0 sont deux réels donnés,avec x0 ∈ Df .
IV.3 illustration graphique
La figure ci-dessous représente les primitives de la fonction f (x) = x2 − x − 2, c’est à dire les fonctions F
1
1
définies par : F (x) = x3 − x2 − 2x + k.
3
2
On constate graphiquement qu’il n’y en a qu’une qui passe par le point A(−1, 4) par exemple.
D’où l’unicité de la primitive passant par un point donné.
7
Giorgio
V MÉTHODES DE CALCULS
A
•
4
3
2
1
−2
−1
O
1
2
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
V Méthodes de calculs
Les règles de calculs données dans ce qui va suivre, sont obtenues grâce aux formules de dérivations qu’il
faut tout simplement adapter et "lire à l’envers" ,en effet :
′
1
u′
– on a
= − 2 donc ..................est une primitive de.....................
u
u
√ ′
u′
– on a
u = √ donc ......................est une primitive de .....................
2 u
de la même façon , on en déduit les formules de calculs des primitives suivantes :
8
Giorgio
V.1 primitives des fonctions usuelles
V MÉTHODES DE CALCULS
V.1 primitives des fonctions usuelles
Tableau des primitives des fonctions usuelles
la fonctionf
a pour primitives
les fonctions F
f (x) = a
sur R
F (x) = ax + k
f (x) = x
sur R
F (x) =
f (x) =
1
x2
sur ] − ∞, 0[ ou sur
]0, +∞[
f (x) = xn , n ∈ Z \ {−1}
x2
+k
2
F (x) = −
sur R ou sur R∗+ ou sur
F (x) =
R∗−
1
+k
x
1
xn+1 + k
n+1
sur ]0, +∞[
√
F (x) = 2 x + k
f (x) = sin(x)
sur R
F (x) = −cos(x) + k
f (x) = cos(x)
sur R
F (x) = sin(x) + k
i π πh
sur − ,
2 2
F (x) = tan(x) + k
1
f (x) = √
x
f (x) = 1 + tan2 (x) =
1
cos2 (x)
V.2 règles de calculs
les règles de calculs de primitives sont données par les formules suivantes :
fonctions f
primitives F
f =u+v
F =U +V +k
f = λu, avec λ ∈ R
F = λU + k
f = u′ u
F =
f = u′ un , n ∈ Z \ {−1}
1 2
u +k
2
1
un+1 + k
n+1
1
F (x) = − cos(ax + b)
a
1
F (x) = sin(ax + b)
a
F =
f (x) = sin(ax + b) avec a 6= 0
f (x) = cos(ax + b) avec a 6= 0
9
Giorgio