cours triangle rectangle et cercle circonscrit

4ème
Cours : triangle rectangle et cercle circonscrit
1. Propriétés
a)
Triangle rectangle et cercle circonscrit
Propriété 1 : Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son
hypoténuse.
Remarque : Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son
hypoténuse.
Donnée
Conclusion
B
B
Propriété 1
A
A
C
Le triangle ABC est rectangle en A
b)
O
C
Le cercle circonscrit au
triangle ABC a pour diamètre
l’hypoténuse [BC].
O est le milieu de [BC].
Triangle rectangle et médiane
Propriété 2 : Si un triangle est rectangle alors la médiane relative à son hypoténuse a pour
longueur la moitié de celle de l’hypoténuse.
Donnée
Conclusion
B
B
O
Propriété 2
A
C
Le triangle ABC est rectangle en A
A
C
La médiane [AO] relative à l’hypoténuse
[BC] a pour longueur la moitié de celle de
1
l’hypoténuse : OA = BC.
2
1
4ème
Cours : triangle rectangle et cercle circonscrit
2. Propriétés réciproques
a)
Triangle inscrit et triangle rectangle
Propriété 3 : Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses côtés,
alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce côté.
Donnée
Conclusion
B
B
Propriété 3
O
O
A
A
C
Le triangle ABC est inscrit dans le cercle
de diamètre [BC].
b)
C
Le triangle ABC est rectangle en A.
Médiane et triangle rectangle
Propriété 4 : Si la médiane relative à un côté d’un triangle a pour longueur la moitié de celle de
ce côté, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce côté.
Donnée
Conclusion
B
B
Propriété 3
O
O
A
A
C
C
Dans le triangle ABC, la médiane [OA]
a pour longueur la moitié de celle du côté [BC].
1
OA = BC
2
Le triangle ABC est rectangle en A
2