solution de (1). - Institut de Mathématiques de Toulouse

L IMITE A SYMPTOTIQUE
DES ÉQUATIONS DE B OLTZMANN À CHAMP FORT :
S OLUTION E NTROPIQUE
Hédia CHAKER
L ABORATOIRE DE M OD ÉLISATION M ATH ÉMATIQUE ET N UM ÉRIQUE
DANS LES S CIENCES DE L’I NG ÉNIEUR
E COLE N ATIONALE D ’I NG ÉNIEUR DE T UNIS , T UNISIE
Naoufel Ben Abdallah,
L ABORATOIRE MIP DE L’U NIVERSIT É PAUL -S ABATIER DE TOULOUSE .
Christian Schmeiser,
I NSTITUTE OF A NALYSIS AND S CIENTIFIC C OMPUTING ,
V IENNA U NIVERSITY OF T ECHNOLOGY .
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( '
)
'
*
-
/
.
+
1 0/
.
,
*
+
n
J
X

dX



 dt (s) = V (s)
∂t n(t, x) + divJ(n)(t, x) = 0
↑
∂t F (t, x, ε) + divJ(F )(t, x, ε) = 0
↑



 m dV (s) = −F (s, X(s))
dt
f (t, x, v)
v
d
dt f
(t, X(t), V (t)) = Q(f )X(t),V (t)
V
v0
Limite Asymptotique de l’équation de Boltzmann à champ fort
• Domaine infini
Passage du modèle microscopique au modèle macroscopique.
The high field asymptotics for degenerate semiconductors,
Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, Vol 11, (2001), pp. 1253-1272 (N. Ben Abdallah, HC).
• Problème de couches limites
Passage des conditions aux limites de l’équation microscopique à l’équation macroscopique.
The high field asymptotics for degenerate semiconductors : Initial and boundary layer analysis
Asymptotic Analysis Vol 37,N2 (2004), pp. 143-174 (N. Ben Abdallah, HC).
• Problème de choc
solution choc pour le problème macroscopique de la densité.
The high field asymptotics for fermionic Boltzman equation : Entropy solutions ans kinetic shock
profiles
Collaboration :Christian Schmeiser, Institute of Analysis and Scientific Computing, Vienna University
of Technology .
Collaboration : Naoufel Ben Abdallah, Laboratoire MIP de l’Université Paul-Sabatier de Toulouse.
Q(f ε)(k) =
1
∂tf ε + v(k).∇x f ε + (E(t, x).∇k f ε −Q(f ε)) = 0
ε

f ε(0, x, k) = fIni(x, k)
R
I n×R
I n


Z
B
0
n
0
E.∇k f0 − Q(f0 ) = 0
E.∇k f1 − Lf0 (f1 ) = −(∂tf0 + v.∇xf0)
∂tn + divxJ(n, E) = 0 ; RR+ × ω
n(0, x) = nIni(x) ; x ∈ R
I n
0
o
σ(k, k ) f ε(k )(1 − f ε(k))M (k) − f ε(k)(1 − f ε(k ))M (k ) dk0
fε = f0 + εf1 + ε2 f2 + ...
0
1
∂tfε + v(k).∇x fε + (E(t, x).∇k fε −Q(fε)) = 0
ε

fε(0, x, k) = fIni(x, k)
R
I n×R
I n


Q(fε )(k) =
Z
0
B
n
0
E.∇k f0 − Q(f0 ) = 0
E.∇k f1 − Lf0 (f1 ) = −(∂tf0 + v.∇xf0)
I n
∂tn + divxJ(n, E) = 0 ; RR+ × R
n(0, x) = nIni(x) ; x ∈ R
I n
0
o
σ(k, k ) fε(k )(1 − fε(k))M (k) − fε(k)(1 − fε(k ))M (k ) dk0
fε = f0 + εf1 + ε2 f2 + ...
0
1
∂tfε + v(k).∇x fε + (E(t, x).∇k fε −Q(fε)) = 0
ε

fε(0, x, k) = fIni(x, k)
R
I n×R
I n


Q(fε )(k) =
Z
0
B
n
0
fε = f0+εf1 +ε2f2 + ...
E.∇k f0 − Q(f0 ) = 0
E.∇k f1 − Lf0 (f1 ) = −(∂tf0 + v.∇xf0)
I n
∂tn + divxJ(n, E) = 0 ; RR+ × R
n(0, x) = nIni(x) ; x ∈ R
I n
0
o
σ(k, k ) fε(k )(1 − fε(k))M (k) − fε(k)(1 − fε(k ))M (k ) dk0
⇓
0
1
∂tfε + v(k).∇x fε + (E(t, x).∇k fε −Q(fε)) = 0
ε

fε(0, x, k) = fIni(x, k)
R
I n×R
I n


Q(fε )(k) =
Z
0
B
n
0
fε = f0+εf1 +ε2f2 + ...
E.∇k f0 − Q(f0 ) = 0
E.∇k f1 − Lf0 (f1 ) = −(∂tf0 + v.∇xf0)
I n
∂tn + divxJ(n, E) = 0 ; RR+ × R
n(0, x) = nIni(x) ; x ∈ R
I n
0
o
σ(k, k ) fε(k )(1 − fε(k))M (k) − fε(k)(1 − fε(k ))M (k ) dk0
⇓
0

1



∂
f
+
v(k).∇
f
+
(E(t, x).∇k fε −Q(fε)) = 0
x ε
 t ε
ε
n
f
(0,
x,
k)
=
f
(x,
k)
ω
×
R
I

ε
Ini


 f (t, x, k) = f
R
I + × Γ−
ε
Inc (t, x, k)
Z
n
o
0
0
0
0
Q(fε )(k) =
σ(k, k ) fε(k )(1 − fε(k))M (k) − fε(k)(1 − fε(k ))M (k ) dk0
B
⇓
fε = f0+εf1 +ε2f2 + ...
E.∇k f0 − Q(f0 ) = 0
⇓
E.∇k f1 − Lf0 (f1 ) = −(∂tf0 + v.∇xf0 )
∂tn + divxJ(n, E) = 0 ; RR+ × ω
n(0, x) = nIni(x) ; x ∈ ω
n(0, x) = nInc(x) ; R
I +×ω
1
∂tfε + v(k).∇x fε + (E(t, x).∇k fε −Q(fε)) = 0
ε

fε(0, x, k) = fIni(x, k)
R
I n×R
I n


Q(fε )(k) =
Z
B
n
o
0
0
0
0
σ(k, k ) fε(k )(1 − fε(k))M (k) − fε(k)(1 − fε(k ))M (k ) dk0
⇓
fε = f0+εf1 +ε2f2 + ...
E.∇k f0 − Q(f0 ) = 0
⇓
(
E.∇k f1 − Lf0 (f1 ) = −(∂tf0 + v.∇xf0 )
∂tn + divxJ(n, E) = 0
n(0, x) = nIni(x)
R
I +×R
I n
x∈R
I n
Existence de la solution limite

 E.∇
k f − Q(f ) = 0
Z
(1)

f (k)dk = n
B
Théorème Soit E un vecteur fixé dans R
I d . Alors, pour chaque n ∈ R
I +, il existe une
unique fonction f ∈ L1 (B) telle que E.∂k f ∈ L1(B), 0 ≤ f ≤ 1 solution de (1).
Cette unique solution est notée par f = F (n, E).

+
d
1,0
R
I
×R
I
→ R
I Z × L (B)


HE =
(n, f )
7→ ( f (k)dk − n, E.∇k f − Q(f ))
B

HE (n, f ) = (0, 0)
F. Poupaud, Runaway phenomena and fluid approximation under high fields in semiconductor kinetic theory, Z. Angew. Math.
Mech. 72,(1992), pp. 359-372.

 E.∇
k f − Q(f ) = 0
Z
(1)

f (k)dk = n
B
Théorème Soit E un vecteur fixé dans R
I d . Alors, pour chaque n ∈ R
I +, il existe une
unique fonction f ∈ L1 (B) telle que E.∇k f ∈ L1(B), 0 ≤ f ≤ 1 solution de (1).
Cette unique solution est notée par f = F (n, E).

+
d
1,0
R
I
×R
I
→ R
I Z × L (B)


HE =
(n, f )
7→ ( f (k)dk − n, E.∇k f − Q(f ))
B

HE (n, f ) = (0, 0)
F. Poupaud, Runaway phenomena and fluid approximation under high fields in semiconductor kinetic theory, Z. Angew. Math.
Mech. 72,(1992), pp. 359-372.

 E.∇
k f − Q(f ) = 0
Z
(1)

f (k)dk = n
B
Théorème Soit E un vecteur fixé dans R
I d . Alors, pour chaque n ∈ R
I +, il existe une
unique fonction f ∈ L1 (B) telle que E.∇k f ∈ L1(B), 0 ≤ f ≤ 1 solution de (1).
Cette unique solution est notée par f = F (n, E).

+
d
1,0
R
I
×R
I
→ R
I Z × L (B)


HE =
(n, f )
7→ ( f (k)dk − n, E.∇k f − Q(f ))
B

HE (n, f ) = (0, 0)
F. Poupaud, Runaway phenomena and fluid approximation under high fields in semiconductor kinetic theory, Z. Angew. Math.
Mech. 72,(1992), pp. 359-372.

 E.∇
k f − Q(f ) = 0
Z

f (k)dk = n
B
(1)
Théorème Soit E un vecteur fixé dans R
I d . Alors, pour chaque n ∈ R
I +, il existe une
unique fonction f ∈ L1 (B) telle que E.∇k f ∈ L1(B), 0 ≤ f ≤ 1 solution de (1).
Cette unique solution est notée par f = F (n, E).

HE = 
R
I + × DE
(n, f )
→ R
I Z × L1,0(B)
7→ (
n
B
f (k)dk − n, E.∇k f − Q(f ))
1
1
DE = f ∈ L (B); E.∇k f ∈ L (B)


o
HE (n, f ) = (0, 0)
F. Poupaud, Runaway phenomena and fluid approximation under high fields in semiconductor kinetic theory, Z. Angew. Math.
Mech. 72,(1992), pp. 359-372.
Solution choc
x = y(t) + η
y(t)
y(t)
t
ng (t, y(t))
nd (t, y(t))
F (ng (t, y(t)), E)
F (nd (t, y(t)), E)
η
x
Solution choc
x = y(t) + η
y(t)
y(t)
t
ng (t, y(t))
nd (t, y(t))
F (ng (t, y(t)), E)
F (nd (t, y(t)), E)
η
(v − u(t, y(t))) ·
x
∂g
∂g
+E·
= Q(g)
∂η
∂v
g(t, η, v) → F (ng (t, y(t), E) quand η → −∞
g(t, η, v) → F (nd (t, y(t), E) quand η → +∞
Existence du profil de choc
∂g
∂g
I ×R
I ,
+E·
= Q(g), on R
∂η
∂v
lim g(η, v) = F (n1 , E)(v),
(v − u) ·
η→−∞
lim g(η, v) = F (n2 , E)(v).
η→+∞
(1)
(2)
(3)
Théorème Let be n∗ ∈ R
I + such that j is is a strictly convex function with respect to n
on [0, n∗].
) For a solution of (10)- (12) to exist, u has to be given by the Rankine Hugoniot formula
j(n2, E) − j(n1, E)
u=
.
n2 − n 1
i) Assume n1 ≥ n2 ( entropic shock). Then,u being given as above, (10)- (12) has a
unique solution up to a translation with respect to η.
ii) If n2 ≥ n1 ( non entropic shock), (10)- (12) has no solution.
∂g
∂g
(v − u) ·
I ×R
I ,
+E·
= Q(g), on R
∂η
∂v
lim g(η, v) = F (n1 , E)(v),
η→−∞
lim g(η, v) = F (n2 , E)(v).
η→+∞
(4)
(5)
(6)
Théorème
Soit n∗ ∈ R
I + tel que j est une fonction strictement convexe par rapport à n sur [0, n∗].
) Pour qu une solution de (10)- (12) existe, u doit vérifier la condition de Rankine
Hugoniot
u=
j(n2, E) − j(n1, E)
.
n2 − n 1
i) Assume n1 ≥ n2 ( entropic shock). Then,u being given as above, (10)- (12) has a
unique solution up to a translation with respect to η.
ii) If n2 ≥ n1 ( non entropic shock), (10)- (12) has no solution.
∂g
∂g
+E·
= Q(g), on R
I ×R
I ,
∂η
∂v
lim g(η, v) = F (n1 , E)(v),
(v − u) ·
η→−∞
lim g(η, v) = F (n2 , E)(v).
η→+∞
(7)
(8)
(9)
Théorème Soit n∗ ∈ R
I + tel que j est une fonction strictement convexe par rapport à
n sur [0, n∗].
) Pour qu une solution de (10)- (12) existe, u doit vérifier la condition de Rankine
Hugoniot
j(n2, E) − j(n1, E)
u=
.
n2 − n 1
i) Supposons n1 ≥ n2 ( choc entropique). Alors, pour la valeur de u donné au dessus,
(10)- (12) a une unique solution à une translation de η près.
ii) If n2 ≥ n1 ( non entropic shock), (10)- (12) has no solution.
∂g
∂g
+E·
= Q(g), on R
I ×R
I ,
∂η
∂v
lim g(η, v) = F (n1 , E)(v),
(v − u) ·
η→−∞
lim g(η, v) = F (n2 , E)(v).
η→+∞
(10)
(11)
(12)
Théorème Soit n∗ ∈ R
I + tel que j est une fonction strictement convexe par rapport à
n sur [0, n∗].
) Pour qu une solution de (10)- (12) existe, u doit vérifier la condition de Rankine
Hugoniot
j(n2, E) − j(n1, E)
u=
.
n2 − n 1
i) Supposons n1 ≥ n2 ( choc entropique). Alors, pour la valeur de u donné au dessus,
(10)- (12) a une unique solution à une translation de η près .
ii) Si n2 ≥ n1 ( choc non entropique), (10)- (12) n a pas de solution.
Condition d admissibilité
j(n, E) − j(n1, E)
− u ≥ 0,
n − n1
for all n ∈]n2, n1[
j(n), E) − j(n2, E)
− u ≤ 0,
n − n2
for all n ∈]n2, n1[
n = ϕ(g, v)
⇔
g = F (n)(v)
négalité d entropie
D(f ) =
Z
(Q(f ) − E.∂v f )ϕ(f , v)dv ≤ 0
D(f ) = 0
−D(f ) ≥ C(f )
Z
⇔
f = F (ρ, E)
(f (v) − F (ρ)(v))2M (v)dv
∂f (Φ(g, v) = ϕ(g, v)
∂η
Z
(v − u)Φ(f, v)dv =
Z
(Q(f ) − E.∂v f )ϕ(f, v)dv ≥ 0
n = ϕ(g, v)
⇔
g = F (n)(v)
négalité d entropie
D(f ) =
Z
(Q(f ) − E.∂v f )ϕ(f , v)dv ≤ 0
D(f ) = 0
−D(f ) ≥ C(f )
Z
⇔
f = F (ρ, E)
(f (v) − F (ρ)(v))2M (v)dv
∂f (Φ(g, v)) = ϕ(g, v)
∂η
Z
(v − u)Φ(g, v)dv =
Z
(Q(g) − E.∂v g)ϕ(g, v)dv ≤ 0
⇔
n1 ≥ n 2
n = ϕ(g, v)
⇔
g = F (n)(v)
négalité d entropie
D(f ) =
Z
(Q(f ) − E.∂v f )ϕ(f , v)dv ≤ 0
D(f ) = 0
−D(f ) ≥ C(f )
Z
⇔
f = F (ρ, E)
(f (v) − F (ρ)(v))2M (v)dv
∂f (Φ(g, v)) = ϕ(g, v)
∂η
Z
(v − u)Φ(g, v)dv =
Z
(Q(g) − E.∂v g)ϕ(g, v)dv ≤ 0
⇔
n1 ≥ n 2
(v − u) ·
∂f
∂fL
+ E · L = Q(fL),
∂η
∂v
fL(−L, v) = F (n1)(v),
v − u > 0,
fL(L, v) = F (n2 )(v),
v − u < 0.
Lemme Le problème (??) a une unique solution fL dans A où A est défini par
Z
1
A = f ∈ L ([−L, L] × R
I ); F (n2))(v) ≤ f (η, v) ≤ F (n1)(v) .
+∞
F (n1)dv+
0
Z
0
fL(−L, v)dv ≥
−∞
Z
+∞
F (n1)dv+
0
Z
0
F (n2)dv ≥
−∞
Z
∞
fL(L, v)dv+
0
η k = η Lk
Z
fL(η Lk , v)dv =
Z +∞
0
F (n1)dv +
Z 0
−∞
F (n2)dv
Z
0
F (n2))dv
−∞
∂fL
∂fL
(v − u) ·
+E·
= Q(fL),
∂η
∂v
fL(−L, v) = F (n1)(v),
v − u > 0,
fL(L, v) = F (n2 )(v),
v − u < 0.
Lemme Ce problème a une unique solution fL dans A où A est défini par
Z
A = f ∈ L1([−L, L] × R
I ); F (n2)(v) ≤ f (η, v) ≤ F (n1)(v) .
+∞
F (n1)dv+
0
Z
0
fL(−L, v)dv ≥
−∞
Z
+∞
F (n1)dv+
0
Z
0
F (n2)dv ≥
−∞
Z
∞
fL(L, v)dv+
0
η k = η Lk
Z
fL(η Lk , v)dv =
Z +∞
0
F (n1)dv +
Z 0
−∞
F (n2)dv
Z
0
F (n2))dv
−∞
∂fL
∂fL
(v − u) ·
+E·
= Q(fL),
∂η
∂v
fL(−L, v) = F (n1)(v),
v − u > 0,
fL(L, v) = F (n2 )(v),
v − u < 0.
Lemme Ce problème a une unique solution fL dans A où A est défini par
Z
A = f ∈ L1([−L, L] × R
I ); F (n2)(v) ≤ f (η, v) ≤ F (n1)(v) .
+∞
F (n1)dv+
u
Z
u
fL(−L, v)dv ≥
−∞
Z
+∞
F (n1)dv+
u
Z
u
F (n2)dv ≥
−∞
Z
∞
fL(L, v)dv+
u
η k = η Lk
Z
fL(η Lk , v)dv =
Z +∞
0
F (n1)dv +
Z 0
−∞
F (n2)dv
Z
u
F (n2))dv
−∞
∂fL
∂fL
(v − u) ·
+E·
= Q(fL),
∂η
∂v
fL(−L, v) = F (n1)(v),
v − u > 0,
fL(L, v) = F (n2 )(v),
v − u < 0.
Lemme Ce problème a une unique solution fL dans A où A est défini par
Z
A = f ∈ L1([−L, L] × R
I ); F (n2)(v) ≤ f (η, v) ≤ F (n1)(v) .
+∞
F (n1)dv+
u
Z
u
fL(−L, v)dv ≥
−∞
Z
+∞
F (n1)dv+
u
Z
u
F (n2)dv ≥
−∞
Z
∞
fL(L, v)dv+
u
η k = η Lk
Z
fL(η Lk , v)dv =
Z +∞
u
F (n1)dv +
Z u
−∞
F (n2)dv
Z
u
F (n2))dv
−∞
fk (η, v) = fL1k (η + ηk , v)
n∗1,2 =
Z
fk (0, v)dv =
fk → f
Z
f (0, v)dv =
Z +∞
u
F (n1 )dv +
Z u
−∞
F (n2 )dv
in L∞(IR × R
I ) weak ∗
Z +∞
u
F (n1 )dv +
Z u
−∞
F (n2 )dv
fk (η, v) = fL1k (η + ηk , v)
n∗1,2 =
Z
fk (0, v)dv =
fk → f
Z
f (0, v)dv =
Z +∞
u
F (n1 )dv +
Z u
−∞
F (n2 )dv
in L∞(IR × R
I ) weak ∗
Z +∞
u
F (n1 )dv +
Z u
−∞
F (n2 )dv
fk (η, v) = fL1k (η + ηk , v)
n∗1,2 =
Z
fk (0, v)dv =
fk → f
Z
f (0, v)dv =
Z +∞
u
F (n1 )dv +
Z u
−∞
F (n2 )dv
in L∞(IR × R
I ) weak ∗
Z +∞
u
F (n1 )dv +
Z u
−∞
F (n2 )dv
Lemme
)
−Lk − ηk
tend vers
−∞
quand
k→∞
Lk − η k
tend vers
+∞
quand
k→∞
i) Il existe deux suites µk et νk et deux valeurs n et n tels que
lim
f (νk , ·) = F (n, E),
v − p.p.
lim
f (µk , ·) = F (n, E),
v − p.p.
νk →−∞
µk →+∞
Lemme
Soit νk la suite telle que
lim
νk →+∞
f (νk , v) = F (n2 )(v),
v − a.e.
Pour tout 0 < a < ∞, pour tout ν˜k ∈]νk − a, νk + a[,
lim
ν˜k →+∞
f (ν˜k , v) = F (n2)(v),
v − p.p...
convergence vers la solution entropique
Théorème
Supposons que fini satisfait
0 ≤ fini(x, v) ≤ F (n2 ) < 1,
∇x fini ∈ L1(IRd × R
I d ).
(13)
Alors le probleme a une unique solution fε tele que 0 ≤ fε ≤ F (n2 ) < 1 . Cette
solution satisfait
fε → f ,
ρε =
Z
L2 (0, T, L2(IRd × R
I d ))
fεdv → ρ,
p
Lq (0, T, Lx,loc(IRd ))
f = F (ρ)
a)
∂tρ + ∇x · j(ρ) = 0 ,
(14)
b)
∂tX(ρ) + ∇x · G(ρ) ≤ 0
où
X(ρ) =
Z ρ
0
χ(n)dn
avec χ est une fonction de classe C 1 dependant de n et strictement croissante.
G0(ρ) = χ(ρ)j 0(ρ)
c) La fonction ρ est l’unique solution entropique .
négalité d entropie
−
Z
(Q(f ) − E.∂v f )χ(ϕ(f , v))dv ≤ C(f )
Z
(f (v) − F (nf )(v))2M (v)dv
(15)