UNIVERSITE DU LITTORAL CˆOTE D`OPALE - LMPA

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UNIVERSITE DU LITTORAL CÔTE D’OPALE
LABORATOIRE DE MATHEMATIQUES PURES ET
APPLIQUEES JOSEPH LIOUVILLE
Habilitation à Diriger des Recherches
Titre : Généralisations non linéaires du spectre et applications à
quelques EDP elliptiques
Auteur : Mabel CUESTA
ANNEE ACADEMIQUE 2004-2005
Composition du jury :
Prof. Catherine BANDLE (rapporteur), Université de Bâle, Suisse
Prof. Joachim von BELOW (directeur de recherche),ULCO
Prof. Paul DEURING (membre du jury),ULCO
Prof. Jean-Pierre GOSSEZ (membre du jury), Université Libre de Bruxelles, Belgique
Prof. Serge NICAISE (membre du jury) Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis
Prof. Joan de SOLA-MORALES (rapporteur) Universitat Politeècnica de Catalunya, Espagne
Prof. Michel WILLEM (rapporteur) UCL Louvain-la-Neuve, Belgique
Généralisations non linéaires du spectre et applications
à quelques EDP elliptiques
Mabel Cuesta
Cette thèse d’habilitation présente une sélection de mes résultats mathématiques après
ma thèse de doctorat. Son sujet principal est l’étude de quelques généralisations non
linéaires du spectre pour les opérateurs différentiels laplacien et p-laplacien (cf. le spectre
de Fučik) et leurs applications à l’étude de problèmes aux limites pour des EDO et des
EDP non linéaires.
Après une présentation du spectre de Fučik pour le laplacien et de quelques exemples
numériques, je présente dans la section 1 une caractérisation variationnelle de la première
courbe non triviale de ce spectre.
Un axe fondamental de ma recherche a été précisément la résolution des problèmes
semilinéaires par des méthodes variationnelles, dont le spectre de Fučik n’est qu’un modèle
simplifié. Les théorèmes de points critiques existants (théorème du col de la montagne, du
point-selle et d’autres) ont été adaptés ces dernières années à des fonctionnelles définies
sur des variétés de classe C 1 , qui est le contexte naturel par exemple pour les problèmes
spectraux liés au p-laplacien. Ma contribution dans cette direction est présentée dans la
section 2.
La section 3 rassemble quelques résultats, peut-être pas assez connus, sur le spectre
de Fučik du p-laplacien en dimension 1 et sur les pseudo-valeurs propres d’une classe
d’opérateurs non homogènes, connus par le nom de φ-laplacien. Ce type d’opérateurs apparaissent dans des problèmes issus de la géométrie différentielle, notamment lorsqu’on se
place en dimensions supérieures N > 1. L’inclusion de cette section dans ce mémoire est
justifiée par un souci d’une meilleure compréhension générale des sections 4 et 7.
La section 4 est consacrée à l’étude du spectre du p-laplacien. J’y présente, en premier
lieu, des résultats sur la première courbe non triviale du spectre de Fučik, sur l’existence
d’une infinité de branches contenues dans ce spectre et sur les propriétés nodales des
fonctions propres associées aux points de la première courbe non triviale. En second lieu,
je considère un problème aux valeurs propres asymétriques avec des poids et je donne un
résultat d’existence d’une valeur propre non principale.
L’introduction des poids dans les problèmes aux valeurs propres nous a amené à introduire la notion de spectre de Fučik fonctionnel que nous allons étudier dans la section 5,
dans le cas du laplacien. Un résultat quantitatif est présenté ici sur ce nouveau spectre.
Les sections 6,7 et 8 concernent des applications du spectre de Fučik (resp. des pseudovaleurs propres) aux problèmes de résonance et de non-résonance liés au laplacien et au p1
laplacien (resp. le φ-laplacien). Ces résultats représentent un deuxième axe de mon activité
de recherche, aussi important en volume que le premier. Dans chacun de ces deux axes,
j’indiquerai ci-dessous, respectivement aux sous-sections 4.5 et 8.2, dans quelles directions
j’oriente mes recherches futures.
La plupart des résultats de cette thèse ont été le fruit de plusieurs collaborations avec
M. Arias et J. Campos (Univ. Granada, Espagne), J.P. Gossez (ULB, Bruxelles, Belgique),
D. de Figueiredo (UNICAMP, Campinas, Brésil), P.N. Srikanthn (Univ. Bangalore, Inde),
D. Costa (Univ. Las Vegas, Etats Unis), M. Garcia-Huidobro (Univ. Católica de Santiago,
Chili) et P. P. Omari (Univ. Trieste, Italie).
Enfin, pour mémoire, je cite mes travaux sur le principe de comparaison fort pour
le p-laplacien [Cu-Ta1, Cu-Ta2] effectués en collaboration avec P. Takáč (Univ. Rostock,
Allemagne). Dans ces travaux on explore le problème de la monotonie stricte du p-laplacien
en dimension N ≥ 1 et nous fournissons des réponses positives et négatives à cette question.
Egalement je cite ici mon travail sur les sous et sur-solutions pour le p-laplacien [Cu3] dans
lequel on donne un résultat d’existence de solutions maximales et minimales.
L’étude de ces propriétés qualitatives de l’opérateur p-laplacien constitue le troisième
axe de mes recherches. Malgré l’intêret évident du sujet de ces travaux ils ne me semblent
pas liés directement au sujet de cette thèse, donc je ne les résumerai pas ici.
Table des matières
1. Le spectre de Fučik Σ du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. A quoi Σ ressemble-t-il ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Caractérisation variationnelle de la première courbe non triviale C2 de Σ . . . . . 7
2. Une théorie de points critiques sur les variétés de classe C 1 . . . . . . . . . . . . . 10
2.1. Un principe de min-max du type col de la montagne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Un principe de min-max pour des fonctionnelles impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Minima stricts et ensembles de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Problèmes spectraux en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1. Le cas du p-laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2. Pseudo-valeurs propres d’un opérateur non homogène de la forme (φ(u0 ))0 . . . . 15
3.3. Une généralisation des inégalités d’Opial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4. Problèmes aux valeurs propres pour le p-laplacien en dimension N > 1 . 19
4.1. Le spectre du p-laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2. La première courbe non triviale C2,p du spectre de Fučik Σp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3. Existence d’une infinité de courbes dans Σp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4. Une propriété nodale des fonctions propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5. Problèmes asymétriques avec poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.6. Le spectre de Fučik avec poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5. Le spectre de Fučik fonctionnel : l’approche analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2
5.1. Transversalité et différentiabilité stricte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2. Le spectre de Fučik fonctionnel est d’intérieur vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6. Résultats de résonance pour l’opérateur laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.1. Résonance par rapport à C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2. Un problème superlinéaire et résonnant par rapport à λ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7. Résultats de non-résonance en dimension 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.1. Non-résonance sous C2,p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.2. Non-résonance entre deux pseudo-valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8. Existence et multiplicité pour des problèmes avec poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.1. Résultats sous la première valeur propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.2. Résultats sous la première courbe non triviale du spectre de Fučik . . . . . . . . . . . 47
Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Liste des articles joints à cette thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Les références des articles joints à cette thèse seront numerotées. Par exemple la citation
[Ar-Ca-Cu-Go1, [1]] correspond à la référence [1] dans la liste.
1
Le spectre de Fučik Σ du laplacien
Soit Ω un domaine borné de RN . Considérons le problème elliptique
−∆u = αu+ − βu− dans Ω,
(1.1)
u = 0 sur ∂Ω.
Le spectre de Fučik est défini comme l’ensemble
def
Σ = {(α, β) ∈ R2 : ∃u ∈ H01 (Ω), u 6≡ 0 est solution de (1.1)}.
Les couples (α, β) ∈ Σ sont appelés points du spectre de Fučik ou demi-valeurs propres. Les
solutions u 6≡ 0 correspondantes souvent sont appelées solutions propres généralisées.
Notons par σ l’ensemble des valeurs propres de (−∆, H01 (Ω)). Il est bien connu que σ
est composé d’une suite de nombres positifs tendant vers +∞ et que chaque valeur propre
est de multiplicité géométrique finie. Notons par 0 < λ1 < λ2 ≤ λ3 ≤ . . . les valeurs propres
répétées suivant leur multiplicité géométrique. Rappelons que la première valeur propre est
simple et admet une fonction propre ϕ1 > 0 dans Ω. En utilisant cette dernière propriété
on peut montrer facilement que les droites {λ1 } × R et R × {λ1 } appartiennent à Σ. Ces
deux droites sont appelées la partie triviale de Σ. De plus, la caractérisation variationnelle
classique de Rayleigh de λ1
R
|∇u|2 dx
RΩ
λ1 =
inf
|u|2 dx
u∈H01 (Ω),u6=0
Ω
entraı̂ne que Σ \ ({λ1 } × R ∪ R × {λ1 }) ⊂ {(α, β) ∈ R2 : α > λ1 , β > λ1 }.
3
1.1
A quoi Σ ressemble-t-il ?
Nous allons voir quelques exemples où l’on peut déterminer en tout ou en partie le
spectre Σ. Dans ces exemples on obtient des courbes dans R2 du type hyperbolique,
symétriques par rapport à la diagonale et passant par les points (λk , λk ).
Comme dans la suite nous allons considérer plusieurs ouverts Ω, nous noterons Σ par
Σ(Ω).
Exemple 1.1. Le spectre de Fučik en dimension 1 (cf. [Fu])
Soit Ω = (0, 1). Le problème (1.1) s’écrit
−u00 (t) = αu+ (t) − βu− (t) dans (0, 1),
u(0) = u(1) = 0.
Les valeurs propres de (−u00 , H01 (0, 1)) sont les valeurs de la suite λk := k 2 π 2 , k ∈ N∗
et les fonctions propres correspondantes sont les multiples de vk (t) := sin(kπt). Supposons
maintenant que u est une fonction propre généralisée qui change de signe, associée à (α, β).
Comme les zéros de u sont simples, la fonction possède un nombre fini de régions nodales (c.à-d., d’intervalles maximaux où u 6= 0). La mesure de chaque région nodale peut se calculer
comme suit. Si u ≥ 0 dans (0, l1 ), par √
exemple, alors −u00 (t) = αu et u(0) = u(l1 ) = 0.
Par conséquent l1 = √πα et u(t) = a sin αt pour un certain a ∈ R+ . Si u ≤ 0 dans (0, l2 )
√
par exemple alors −u00 (t) = βu, u(l2 ) = u(0) = 0 et donc l2 = √πβ et u(t) = b sin βt pour
un b ∈ R+ . Si u possède n régions nodales positives et p régions nodales négatives alors
|n − p| = 1, 0 et la somme des longueurs est nl1 + pl2 = 1. On trouve alors l’identité :
π
π
n √ + p √ = 1.
α
β
En prenant tous les couples (n, p) ∈ (N∗ )2 tels que |n − p| = 1, 0 on obtient que la partie
non triviale de Σ(0, 1) est composée de la suite de courbes
π
π
C2k = {(α, β) : k √ + k √ = 1},
α
β
π
π
1
C2k+1
= {(α, β) : (k + 1) √ + k √ = 1},
α
β
π
π
2
= {(α, β) : k √ + (k + 1) √ = 1}.
C2k+1
α
β
Exemple 1.2. Le spectre de Fučik dans un rectangle (cf. [Cu4])
+
Soit P = ΠN
i=1 (0, ci ), ci ∈ R∗ . Il est bien connu que l’on peut déterminer les valeurs
1
propres de (−∆, H0 (P )) par une
de séparation de variables. La suite des valeurs
PN technique
π2 2
propres est donnée par λn = i=1 c2 ni pour tout n = (n1 , . . . , nN ) ∈ N∗ N et les fonctions
i
ni π
propres correspondantes sont les multiples de φn (x) = ΠN
i=1 sin( ci xi ) où x = (x1 , . . . , xN ).
4
Remarquons que l’on peut bien avoir λn = λm pour n 6= m. De plus, il suit de la théorie de
Fourier, que l’ensemble de ces fonctions propres forme une famille complète orthogonale de
H01 (P ) et par conséquent il n’y a pas d’autres valeurs propres différentes des λn trouvées
ci-haut.
Nous pouvons également trouver des points du spectre de Fučik en séparant les variables
des éventuelles solutions u de (1.1). Introduisons l’ensemble
def
Σs (P ) = {(α, β) ∈ Σ(P ) : ∃u 6≡ 0 à variables séparées solution de (1.1)}.
Pour déterminer Σs (P ) on fixe d’abord i ∈ {1, . . . , N } et on remarque que si (α, β) ∈
Σ(0, ci ), avec fonction propre généralisée v = v(xi ), alors
(α +
N
X
π2
j6=i
c2j
,β +
N
X
π2
j6=i
c2j
) ∈ Σs (P ),
π
avec fonction propre généralisée u(x) = v(xi )ΠN
j6=i sin( cj xj ). Dans [Cu4] nous avons prouvé,
dans le cas de la dimension N = 2, que l’on peut déterminer ainsi tout l’ensemble Σs (P ).
Plus précisément
Théorème 1.1. [Cu4] Soit N = 2 et (α, β) ∈ Σs ((0, c1 ) × (0, c2 )) avec fonction propre
u(x, y) = v(x)ξ(y). Alors une des trois possibilités suivantes a lieu :
(i) v est de signe constant et (α −
π2
c21
,β −
π2
)
c21
∈ Σ(0, c2 ).
(ii) ξ est de signe constant et (α −
π2
c22
,β −
π2
)
c22
∈ Σ(0, c1 ).
(iii) α = β = λn pour un n ∈ (N∗ )2 .
Esquisse de la démonstration. Supposons que v et ξ changent de signe et prenons des
intervalles maximaux [a, a + p1 ], [b, b + n1 ], [c, c + p2 ], [d, d + n2 ] tels que
(1.2)
v(x) > 0
ξ(y) > 0
dans (a, a + p1 ),
dans (c, c + p2 ),
v(x) < 0
ξ(y) < 0
dans (b, b + n1 );
dans (d, d + n2 ).
Dans [a, a + p1 ] × [c, c + p2 ] l’équation (1.1) peut s’écrire
−ξ 00 (y)v(x) − ξ(y)v 00 (x) = αv(x)ξ(y)
donc
ξ 00
−v 00 − αv
=
= const.
v
ξ
2
De cette deuxième identité on déduit const = − πp2 et de la première α + const =
conséquent α =
π2
p21
+
π2
p22
2
π2
.
p21
Par
. En considérant l’équation (1.1) dans [b, b + n1 ] × [d, d + n2 ] on
2
2
2
π2
+ πn2 , puis dans [a, a + p1 ] × [d, d + n2 ], β = πp2 + πn2 ,
n21
2
1
2
2
2
= πn2 + πp2 . Donc p1 = n1 , p2 = n2 et par conséquent
1
2
déduit de la même manière que α =
et dans [b, b + n1 ] × [c, c + p2 ], β
α = β.
5
La détermination de l’ensemble Σs (P ) dans le cas N > 2 est à ma connaissance un
problème ouvert.
A quoi√ressemble l’ensemble Σs (P ) lorsque N = 2 ? Considérons par exemple le rectangle (0, 2) × (0, 4) dans R2 . Les 5 premières valeurs propres sont
λ(1,1) =
3π 2
17π 2
9π 2
, λ(1,2) =
, λ(1,3) =
,
16
4
16
3π 2
33π 2
λ(1,4) =
, λ(1,5) =
= λ(2,1) .
2
16
√
2) × (0, 4)), c.-à.-d., les droites {λ(1,1) } × R et R × {λ
La partie triviale de Σ((0,
√
√(1,1) }
s
s
appartiennent à Σ ((0, 2) × (0, 4)). Les équations des 6 premières courbes de Σ ((0, 2) ×
(0, 4)) sont les suivantes :
C(1,2)
1
C(1,3)
2
C(1,3)
C(1,4)
1
C(1,5)
2
C(1,5)
C(2,1)
= {(α +
= {(α +
= {(α +
= {(α +
= {(α +
= {(α +
= {(α +
π2
,β
2
2
π
,β
2
π2
,β
2
π2
,β
2
2
π
,β
2
π2
,β
2
π2
,β
16
+
+
+
+
+
+
+
π2
)
2
2
π
)
2
π2
)
2
π2
)
2
2
π
)
2
π2
)
2
π2
)
16
:
:
:
:
:
:
:
√π
α
2π
√
α
√π
α
2π
√
α
3π
√
α
2π
√
α
√π
α
+
+
+
+
+
+
+
√π
β
√π
β
2π
√
β
2π
√
β
2π
√
β
3π
√
β
√π
β
= 4},
= 4},
= 4},
= 4},
= 4},
= 4},
√
= 2}.
i
indique qu’elle contient le point (λ(n1 ,n2 ) , λ(n1 ,n2 ) ).
L’indice (n1 , n2 ) de la courbe C(n
1 ,n2 )
Il est intéresssant de signaler qu’il a 3 courbes passant par le même point (λ(1,5) , λ(1,5) )
et qu’il existe aussi des intersections en dehors de la diagonale entre différentes courbes du
spectre. L’existence de plus de deux courbes de Σ(P ) émanant d’un même point fût observé
par la première fois par [Mar-Mar] tandis que l’intersection entre différentes courbes fût
signalé par [Cu4]. Ces phénomènes de bifurcation on été récemment étudiés, également
dans le cas d’un rectangle, dans [Ho-Re] où l’on montre aussi que Σ(P ) 6= Σs (P ) par une
combinaison de méthodes numériques et analytiques.
Exemple 1.3. Le spectre d Fučik radial (cf. [Ar-Ca])
Soit Ω = B(0, 1) la boule unité de RN . Les solutions radiales de (1.1) u(x) = v(|x|) =
v(r) satisfont à l’équation
v 00 +
N −1 0
v + αv + − βv − = 0 dans (0, 1),
r
v(1) = 0, lim sup |v(r)| < ∞.
r→0
On note par Σr (B(0, 1)) (resp. σ r (B(0, 1))) le spectre de Fučik radial (resp. le spectre
radial) de (−∆, H01 (B(0, 1))).
Rappelons que le spectre du laplacien dans une boule peut être complètement déterminé
en utilisant la théorie de Fourier. Par exemple en dimension N = 2 on obtient que les fonctions propres sont les multiples des fonctions un,s (r, θ) = Jn (j(n,s) r)ei nθ avec s = 1, 2, . . . ,
6
n ∈ Z et j(n,s) le s-ième zéro de la fonction de Bessel Jn . La valeur propre correspondante
2
est j(n,s)
. Pour rappel la fonction Jn satisfait l’équation
1
v 00 + v 0 + v = 0,
r
lim sup |v(r)| < ∞.
r→0
2
sont simples et radiales tandis que
On remarquera que si n = 0 les valeurs propres j(0,s)
2
2
pour n 6= 0, j(n,s) est une valeur propre double non radiale, c.-à-d., σ r (B(0, 1)) = {j(0,s)
:
2
2
2
2
s ∈ N}. On sait aussi que λ1 = j(0,1) < λ2 = j(1,1) < λ3 = j(2,1) < λ4 = j(0,2) .
Le spectre de Fučik radial en dimension N > 1 a été complètement déterminé par
[Ar-Ca] par une technique de tir analogue au cas N = 1 de l’exemple 1.1. Rapidement
leurs résultats pour N = 2 sont les suivants. Si u est une solution radiale de (1.1) associée
à (α, β) avec par exemple u(0+ ) > 0 et ne s’annulant qu’une seule fois dans (0, 1) en un
point, posons t1 , alors v(r) = u(|x|) satisfait à
1
v 00 + v 0 + av = 0; r ∈ (0, +∞),
r
√
j(0,1)
avec a = α et par conséquent v(r) = c1 J0 ( αr) sur (0, t1 ) et t1 = √
. De plus v =
α
c2 w(·, β, t1 ) sur (t1 , 1) où w(·, a, s) est la solution de (1.3) avec conditions initiales w(s, a, s) =
0, w0 (s, a, s) = 1. Si l’on définit Φa (s) := min{t > s : v(t, a, s) = 0} alors on a que
j(0,1)
j(0,1)
j
√ ) =
Φβ ( √
) = 1. Si v s’annulle deux fois dans (0, 1) alors Φα ◦Φβ ( √
) = 1 ou Φβ ◦Φα ( (0,1)
α
α
β
1 suivant si u(0+ ) > 0 ou u(0+ ) < 0. Par cette méthode on conclut que (α, β) ∈ Σr (B(0, 1))
si et seulement si il existe n ∈ N tel que une des 4 possibilités ci-dessous est vérifiée :

j(0,1)
1

(α, β) := (Φα ◦ Φβ )n ( √
R2n
) = 1,

α


(0,1)
 R1 (α, β) := Φ ◦ (Φ ◦ Φ )n ( j√
) = 1,
β
α
β
2n+1
α
j(0,1)
n
2

R2n (α, β) := (Φβ ◦ Φα ) ( √β ) = 1,



 R2 (α, β) := Φ ◦ (Φ ◦ Φ )n ( j(0,1)
√ ) = 1.
(1.3)
2n+1
α
β
α
β
L’étude des propriétés analytiques de Φα permettent de conclure que les courbes Cij :=
{(α, β) ∈ R2 : Rij (α, β) = 1} sont continues, strictement décroissantes avec un comportement asymptotique comme dans le cas N = 1.
Pour N = 3 le spectre de Fučik radial peut être facilement calculé moyennant le
changement de variable w(r) = rv(r) puisque w satisfait dans ce cas-là à l’équation
−w00 = αw+ − βw− dans (0, 1), w(0) = w(1) = 0.
1.2
Caractérisation variationnelle de la première courbe non
triviale C2 de Σ
Il est bien connu que les valeurs propres du laplacien peuvent s’exprimer comme les
valeurs critiques de la fonctionnelle E : H01 (Ω) → R de classe C ∞ définie par
Z
E(u) :=
|∇u|2 dx
Ω
7
restreinte à la variété de classe C ∞ ,
S := {u ∈
H01 (Ω)
Z
:
|u|2 dx = 1}.
Ω
Un résultat classique de Courant-Hilbert affirme que, pour tout n ∈ N∗ ,
(1.4)
λn = min max E(u)
H∈Hn u∈H∩S
où Hn est la famille de sous-espaces de H01 (Ω) de dimension n. Les applications de la caractérisation variationnelle (1.4) sont multiples dans la résolution des problèmes elliptiques
sémilinéaires. Une question largement ouverte est celle de la nature variationnelle des valeurs α et (ou) β d’un point (α, β) ∈ Σ. Vue la nature non linéaire du spectre de Fučik il
semble raisonnable d’essayer de généraliser d’autres formules min-max différentes de (1.4)
des valeurs λn . En voici quelques unes :
λn = minA∈Gn maxu∈A E(u);
(1.5)
def
Gn = {A ⊂ S : γ(A) ≥ n},
def
λn = minf ∈Sn maxu∈f (S n−1 ) E(u);
Sn = {f ∈ C(S n−1 , S), : f est impaire },
λn = minf ∈Sn+ maxu∈f (S+n−1 ) E(u);
Sn+ = {C(S+n−1 , S) : f|∂Sn−1 est impaire}.
def
+
Ici γ désigne le genre de Krasnoselski ; S n−1 la sphère unité de Rn et S+n−1 l’hemisphère
supérieur de S n−1 . Remarquons que Sn et Sn+ possèdent les mêmes fonctions et que si
f ∈ Sn alors f (S n−1 ) ∈ Gn .
En 1988 Gallouet et Kavian [Ga-Kav, Kav] et [Ru] ont réussit à montrer l’existence
d’au moins deux courbes (pas nécessairement différentes) de Σ passant par chaque point
(λk , λk ) et contenues dans le rectangle [λk−1 , λk+1 ]2 . Leur méthode consistait à perturber
la fonctionnelle E(u) dans la dernière caractérisation min-max de λn dans (1.5). Plus tard,
dans [Cu-Go] nous avons caractérisé, par une méthode tout à fait différente, la première
courbe non triviale de Σ passant par (λ2 , λ2 ) dans le cas N = 1. Notre méthode a été
utilisée ensuite par [deFi-Go1] pour construire une courbe passant par (λ2 , λ2 ) dans le cas
N > 1. A différence du résultat de [Kav], les propriétés de cette courbe sont bien mises en
évidence dans [deFi-Go1], notamment le fait d’être la première courbe non triviale de Σ et
d’être asymptotique à la droite {λ1 } × R.
En détail le résultat est le suivant
Théorème 1.2. [Cu1, deFi-Go1] Soit Ω ⊂ RN un domaine borné. Il existe une courbe
C2 = {(α(s), β(s)) : s ∈ R+ } contenue dans Σ, symétrique par rapport à la diagonale,
strictement décroissante, lipschitzienne et telle que
lim α(s) = lim β(s) = +∞,
s→0
s→+∞
lim β(s) = lim α(s) = λ1 .
s→0
s→+∞
De plus C2 est la première courbe non triviale de Σ dans le sens que dans le segment
((λ1 , λ1 ), (α(s), β(s))) il n’y a pas de points de Σ.
8
Esquisse de la démonstration. La preuve est basée sur la relation d’orthogonalité suivante : si u est une fonction propre associé à (α, β) ∈ Σ alors, en multipliant l’équation de
(1.1) par ϕ1 et en intégrant on obtient
Z
Z
+
(∗) (α − λ1 ) u ϕ1 dx − (β − λ1 ) u− ϕ1 dx = 0.
Ω
Ω
Également, en multipliant par u on obtient
Z
Z
Z
Z
2
2
+ 2
|∇u| dx − λ1 |u| dx = (α − λ1 ) (u ) dx + (β − λ1 ) (u− )2 dx.
(∗∗)
Ω
Ω
Ω
Ω
β−λ1
Cette dernière relation suggère de choisir, pour un paramètre µ = α−λ
, la fonctionnelle
1
R
R
2
2
1
Φ(u) := Ω |∇u| dx − λ1 Ω |u| dx, u ∈ H0 (Ω), restreinte à la variété de classe C 1 S(µ) :=
R
R
{u ∈ H01 (Ω) : Ω (u+ )2 dx + µ Ω (u− )2 dx = 1}. Posons Φ̃ := Φ|S(µ) . Il est trivial que λ
est une valeur critique de Φ̃ ⇔ ∃u ∈ S(µ) telle que (λ + λ1 , λµ + λ1 ) ∈ Σ. Un point
critique de Φ̃ peut être obtenu par minimisation sur leRsous-ensemble Rdes fonctions de
S(µ) comme suit. Posons λ(µ) := inf{Φ̃(u) : u ∈ S(µ), Ω u+ ϕ1 dx − µ Ω u− ϕ1 dx = 0}.
Remarquez que lorsque µ = 1 on obtient λ(1) = λ2 − λ1 grâce à l’inegalité de Wirtinger
(voir remarque ci-bas). Par un argument simple de compacité on voit que l’infimum dans
la définition de λ(µ) est atteint. Puis par une technique de multiplicateurs de Lagrange
avec contraintes convexes (à noter que la condition (*) n’est pas différentiable en u !) on
montre que l’équation d’Euler-Lagrange associée à l’infimum λ(µ) est l’équation (1.1) avec
α = λ(µ) + λ1 et β = λ(µ)µ + λ1 .
Il est clair que λ(µ) est la première valeur critique de Φ̃ car toute autre valeur critique
satisfait aux relations (*) et (**).
Remarque 1.1. Soit (α, β) ∈ C2 . Notons par M(α,β) l’ensemble
Z
Z
def
1
+
(1.6)
M(α,β) = {u ∈ H0 (Ω) : (α − λ1 ) u ϕ1 dx − (β − λ1 ) u− ϕ1 dx = 0}
Ω
Ω
Il suit de la preuve ci-dessus que
Z
Z
Z
2
2
(1.7)
|∇u| dx ≥ α u+ dx + β u2− dx
Ω
Ω
∀ u ∈ M(α,β)
Ω
De plus l’égalité dans (1.7) est atteinte pour les fonctions propres généralisées associées à
(α, β).
Cette inégalité généralise l’inégalité de Wirtinger
Z
Z
Z
2
2
1
(1.8)
|∇u| dx ≥ λ2 u dx
∀ u ∈ H0 (Ω), uϕ1 dx = 0.
Ω
Ω
Ω
On verra dans le section 6 comment le cône M(α,β) va remplacer le sous-ensenble des
fonctions orthogonales à ϕ1 dans quelques démontrations de résultats de non-résonance.
9
2
Une théorie de points critiques sur les variétés de
classe C 1
Soit X un espace de Banach et Φ, G : X → R deux fonctionnelles de classe C 1 .
Supposons que 1 est une valeur régulière de G et posons M = {u ∈ X : G(u) = 1}.
M est une variété de classe C 1 contenue et modelée sur X. Un élément u ∈ M est
un point critique de la restriction de Φ sur M si et seulement si dΦ(u)|Tu M = 0 où
Tu M := {v ∈ X : < G0 (u), v >= 0} est l’espace tangent à M en u. La valeur c = Φ(u) est
appelée valeur critique de la restriction Φ̃ de Φ sur M .
Comme nous avons vu dans la section 1.2, les formules min-max des valeurs propres
du laplacien dans H01 (Ω), ainsi que la définition des valeurs (α, β) de la première courbe
non triviale C2 de Σ, sont des exemples de formulation de valeurs critiques d’une fonctionnelle restreinte sur une variété. Notre but est de présenter deux principes de min-max,
le Théorème 2.1 et le Théorème 2.2, pour trouver de points quasi-critiques de Φ̃. Une
condition de compacité du type Palais-Smale entraı̂nera l’existence de points critiques.
L’approche standard pour prouver ce type de résultat consiste à prouver un lemme de
déformation sur M . Ces déformations suivent en général les lignes intégrales d’un champ
pseudo-gradient de Φ̃. Comme la construction des lignes intégrales nécessite que le champ de
vecteurs soit localement lipschitzien, il semble alors nécessaire que M soit au moins de classe
C 1,1 (cf. par example [St]). Dans le cas où M est seulement de classe C 1 la construction
d’une déformation est plus délicate, voir par example dans [Bo], [Gh] et [Cor-Degi-Ma].
Dans [Cu6, [5]] nous avons donné une démonstration alternative basée sur le principe
d’Ekeland [Ek]. Notre approche est valable pour des espaces X qui sont uniformément
convexes, ce qui n’est pas une restriction pour les applications qu’on envisage où X =
W01,p (Ω) ou Lp (Ω) pour 1 < p < ∞.
Dans la dernière sous-section nous verrons comment il est également possible d’obtenir
des points critiques par minimisation sur des ensembles de niveau de Φ̃.
2.1
Un principe de min-max du type col de la montagne
Soit X un espace uniformément convexe, φ, G, M et φ̃ comme ci-dessus. La norme de
la dérivée en u ∈ M de la restriction Φ̃ de Φ à M est définie comme
||Φ̃ 0 (u)||∗ := ||dΦ(u)||(Tu M )∗ .
Théorème 2.1. [Cu6, [5]] Soit K un espace métrique compact, K0 ⊂ K une partie fermée
et h0 ∈ C(K0 , M ) donnée. Considérons la famille Γ = {h ∈ C(K, M ) : h|K0 = h0 }.
Supposons que Γ 6= ∅ et que la condition suivante est satisfaite
(2.1)
max J(h0 (z)) < max Φ(h(z))
z∈K0
z∈K
10
pour tout h ∈ Γ. On définit c := inf max Φ(h(z)) et supposons que c > −∞. Soit > 0 et
h∈Γ
z∈K
h ∈ Γ tels que
(2.2)
max Φ(h(z)) < c +
z∈K
2
.
2
Alors il existe u ∈ M tel que

2
 c ≤ Φ(u) ≤ c + 2 ,
dist(u, h(K)) ≤ ,

||Φ̃ 0 (u)||∗ ≤ .
(2.3)
Esquisse de la démonstration. On adapte la preuve de la Proposition 5.4 de [deFi] au cas
d’une fonctionnelle restreinte à une variété. En grandes lignes on considère les fonctionnelles
continues suivantes : Θ : C(K, R) → R définie par Θ(x) := maxz∈K x(z) et Ψ : Γ → R
définie par Ψ(f ) := Θ(Φ ◦ f ). Ψ est bornée inférieurement et inf Ψ(f ) = c. Par le principe
f ∈Γ
d’Ekeland il existe f0 ∈ Γ tel que
(a) c ≤ Ψ(f0 ) ≤ Ψ(h),
(b) ||f0 − h||X,∞ ≤ et
(c) Ψ(f0 ) < Ψ(g) + ||f0 − g||X,∞ pour tout g 6= f0 , g ∈ Γ.
Le reste de la démonstration consiste à prouver qu’il existe un z̄ ∈ K tel que Φ(f0 (z̄)) =
Ψ(f0 ) et ||Φ̃ 0 (f0 (z̄))||∗ ≤ . La conclusion (2.3) est alors vérifiée pour u = f0 (z̄).
On procède comme suit. Pour u ∈ M on introduit Pu l’application de X sur Tu M
J(dG(u))
où J : X ∗ 7→ X est l’opérateur de dualité. Soit
définie par Pu (v) := v − hdG(u), vi ||dG(u)||
2
X∗
Λ0 := {l ∈ C(K, X) : l|K0 ≡ 0}. Si f ∈ Γ et l ∈ Λ0 alors Pf (l)(z) := Pf (z) (l(z)) ∈ Tf (z) M .
On applique (c) à un chemin γ : (−r0 , r0 ) → C(K, M ) de classe C 1 tel que γ(0) = f et
γ 0 (0) = Pf (l). Il suit des propriétés élémentaires de la sous-différentielle d’une fonctionnelle
convexe que
sup
min hµ, hdΦ(f0 ), Pf0 (l)ii ≤ ||Pf0 (l)||X,∞ .
l∈Λ0 µ∈∂Θ(Φ◦f0 )
Par le théorème de min-max de Ky Fan-Von Neumann
sup
min
l∈Λ0 µ∈∂Θ(Φ◦f0 )
hµ, hdΦ(f0 ), Pf0 (l)ii =
min
sup hµ, hdΦ(f0 ), Pf0 (l)ii,
µ∈∂Θ(Φ◦f0 ) l∈B∩Λ0
où B = {l ∈ C(K, X) : ||Pf (l)||X,∞ ≤ 1}. Puis, comme supp µ ⊂ {z ∈ K : Φ(f0 (z)) =
Θ(Φ(f0 (z)))}, par (2.1) on déduit que supp µ ∩ K0 = ∅ et donc
min
sup hµ, hdΦ(f0 ), Pf0 (l)ii =
µ∈∂Θ(Φ◦f0 ) l∈B∩Λ0
min
suphµ, hdΦ(f0 ), Pf0 (l)ii.
µ∈∂Θ(Φ◦f0 ) l∈B
Finalement par des arguments de compacité (∂Θ(Φ ◦ f0 ) est compact) et en sachant que
hµ, 1I i = 1 on obtient
min
suphµ, hdΦ(f0 ), Pf0 (l)ii =
µ∈∂Θ(Φ◦f0 ) l∈B
min
µ∈∂Θ(Φ◦f0 )
11
hµ, suphdΦ(f0 ), Pf0 (l)ii =
l∈B
min
µ∈∂Θ(Φ◦f0 )
hµ, ||Φ̃ 0 (f0 (·))||∗ i = ||Φ̃ 0 (f0 (z̄))||∗
pour un z̄ ∈ K, d’où le résultat.
Rappelons que Φ satisfait la condition de Palais-Smale sur M au niveau c (abrev.
(P S)c,M ) si toute suite un ∈ M telle que lim Φ(un ) = c et lim ||Φ̃ 0 (un )||∗ = 0 possède une
n→∞
n→∞
partielle convergente. On dira que Φ satisfait la condition (P S)M si (P S)c,M est satisfaite
en tout niveau c ∈ R. La preuve de la proposition suivante est immédiate.
Proposition 2.1. [Cu6, [5]] Soit Φ, Γ et c comme dans le Théorème 2.1 et supposons que
les hypothèses du Théorème 2.1 sont vérifiées. Si Φ satisfait (P S)c,M alors il existe u ∈ M
tel que Φ(u) = c et Φ̃ 0 (u) = 0.
Rappelons que le résultat classique du théorème du col de Rabinowitz [Ra] correspond
à l’enoncé de la Proposition 2.1 avec M = X, K = [−1, 1] et K0 = {−1, 1}.
2.2
Un principe de min-max pour des fonctionnelles paires
Supposons que G est pair donc en particulier −M = M . Pour tout k ∈ N on pose
Sk,M := {h ∈ C(S k , M ) : h est impaire }.
On peut adapter sans difficultés majeures la démonstration du Théorème 2.1 aux fonctions
paires pour prouver le résultat suivant
Théorème 2.2. [Cu6, [5]] Soit Φ ∈ C 1 (X, R) paire. Pour k ∈ N∗ fixé on définit
d := inf max Φ(h(z))
h∈Sk,M z∈S k
et supposons que d ∈ R. Soient > 0 et h ∈ Sk,M tels que
(2.4)
max Φ(h(z)) < d +
z∈S k
2
.
2
Alors il existe u ∈ M tel que
(2.5)

2
 d ≤ Φ(u) ≤ d + 2 ,
dist(u, h(S k )) ≤ ,

||Φ̃ 0 (u)||∗ ≤ .
Comme conséquence de ce théorème on a la proposition suivante
Proposition 2.2. [Cu6, [5]] Soient Φ et d comme dans le Théorème 2.2. Si Φ satisfait la
condition (P S)d,M alors il existe u ∈ M tel que Φ(u) = d et Φ̃ 0 (u) = 0.
12
Remarque 2.1. Il est possible de donner une version un peu différente du Théorème 2.1 :
Théorème 2.3. [Ar-Ca-Cu-Go4] Soit K un espace métrique compact, K0 ⊂ K une partie
fermée et h0 ∈ C(K0 , M ) donnée. Considérons la famille Γ = {h ∈ C(K, M ) : h|K0 = h0 }.
Supposons que Γ 6= ∅ et que la condition suivante soit satisfaite
max J(h0 (z)) < max Φ(h(z))
(2.6)
z∈K
z∈K0
pour tout h ∈ Γ. Posons c := inf max Φ(h(z)) et supposons que c > −∞. Soit > 0 et
h∈Γ
z∈K
h ∈ Γ tels que
(2.7)
max Φ(h(z)) < c +
z∈K
2
.
2
Alors pour tout λ > 0 il existe u ∈ M tel que

2
 c ≤ Φ(u) ≤ c + 2 ,
(2.8)
dist(u, h(K)) ≤ λ,

||Φ̃ 0 (u)||∗ ≤ λ .
La preuve de ce théorème suit les mêmes lignes que celle du Théorème 2.1 sauf pour le
début de la démonstration où, au lieu d’utiliser la version simplifiée du principe d’Ekeland
pour obtenir (a), (b) et (c), on appliquera la version forte de ce principe (cf. [deFi, Ek])
pour obtenir, pour tout λ > 0, l’existence d’un f0 ∈ Γ satisfaisant (a),
(b’) ||f0 − h||X,∞ ≤ λ et
(c’) Ψ(f0 ) < Ψ(g) + λ ||f0 − g||X,∞ pour tout g 6= f0 , g ∈ Γ.
Le Théorème 2.3 a l’avantage de mieux s’adapter à une condition de (PS) du type
Cerami. On dit que Φ satisfait la condition de Palais-Smale de Cerami sur M au niveau c
(abrev. (P SC)c,M ) si toute suite un ∈ M telle que
(C)
lim Φ(un ) = c et lim (1 + ||un ||)||Φ̃ 0 (un )||∗ = 0
n→∞
n→∞
possède une partielle convergente. On a alors la proposition suivante.
Proposition 2.3. [Ar-Ca-Cu-Go4] Soit Φ, Γ et c comme dans le Théorème 2.1 et supposons
que les hypothèses du Théorème 2.3 sont vérifiées. Si Φ satisfait (P SC)c,M alors il existe
u ∈ M tel que Φ(u) = c et Φ̃ 0 (u) = 0.
On pourrait aussi donner une version “forte” du Théorème 2.2 mais nous ne le ferons
pas ici.
2.3
Minima stricts et ensembles de niveau
Supposons que K = [−1, 1] et K0 = {−1, 1}. Dans beaucoup d’applications la condition
géométrique (2.1) est une conséquence du fait que h0 (−1) ou h0 (1) est un minimum local
strict de Φ̃. Plus précisément on a
13
Lemme 2.1. [Cu-deFi-Go1, [6]] Soient X, G, M, Φ et φ̃. Soit u0 un minimum local strict
de Φ̃, c.-à.-d., il existe 0 > 0 tel que Φ̃(u0 ) < Φ̃(u) pour tout u ∈ M tel que 0 < ||u−u0 ||X <
0 . Supposons que Φ̃ satisfait la condition (P S)M . Alors pour tout 0 < < 0 ,
(2.9)
Φ̃(u0 ) < inf{Φ̃(u) : u ∈ M et ||u − u0 ||X = }.
Esquisse de la démonstration. La preuve de ce résultat est une adaptation d’un résultat
analogue sans contrainte dû à [deFi]. On suppose par contradiction qu’il existe tel que
0 < < 0 et une suite uk ∈ M with ||uk − u0 ||X = et Φ̃(uk ) ≤ Φ̃(u0 ) + 1/2k 2 . Posons
C := {u ∈ M : − δ ≤ ||u − u0 ||X ≤ + δ}
avec δ > 0 telle que 0 < −δ and +δ < 0 . Il est clair que inf{Φ̃(u) : u ∈ C} = Φ̃(u0 ). Par le
principe variationnel d’Ekeland appliqué à Φ̃ sur C on obtient l’existence d’une suite vk ∈ C
telle que (a) Φ̃(vk ) ≤ Φ̃(uk ), (b) ||vk −uk ||X ≤ 1/k, et (c) Φ̃(vk ) ≤ Φ̃(u)+ k1 ||u−vk ||X ∀u ∈
C. On montre sans difficulté que vk est une suite de (PS) dans M . On a alors, pour une suite
partielle, que vk → v dans X. Comme v ∈ C alors ||v − u0 ||X ≤ et de plus Φ̃(v) = Φ̃(u0 ),
une contradiction.
Nous donnons finalement un résultat sur l’existence de points critiques contenus dans
les composantes connexes des ensembles de niveau de Φ̃.
Lemme 2.2. [Cu-deFi-Go1, [6]] Supposons que φ̃ est bornée inférieurement sur M et
satisfait la condition (P S)M . Soit r ∈ R. Considérons l’ensemble
O := {u ∈ M : Φ̃(u) < r}.
Alors toute composante connexe non vide O1 de O contient un point critique de φ̃.
Esquisse de la démonstration. Considérons d = inf{Φ̃(u) : u ∈ Ō1 }. Si l’infimum est
atteint en un point u0 ∈ Ō1 alors Φ̃(u0 ) = d < r et u0 ∈ O. Comme ∂O1 ∩ O est vide
(puisque les composantes sont maximales) alors il est impossible que u0 ∈ ∂O1 . On a donc
u0 ∈ O1 et par conséquent u0 est un point critique de Φ̃.
Pour montrer que l’infimum d est atteint on prend une suite minimisante un ∈ O1 avec
Φ̃(un ) ≤ d + 2n1 2 . Par le principe d’Ekeland appliqué à Φ̃ sur Ō1 il existe une suite de (PS)
vn ∈ Ō1 avec ||vn − un ||X ≤ 1/n. On conclut que vn possède une sous-suite convergente
dans Ō1 et donc l’infimum d est atteint.
3
Problèmes spectraux en dimension 1
Dans ce section nous allons généraliser la notion de spectre à deux classes d’opérateurs
différentiels du second ordre qui ne sont pas linéaires : l’opérateur p−laplacien (homogène)
et l’opérateur φ−laplacien (non homogène). Nous nous restreindrons au cas de la dimension
1 ; les problèmes spectraux pour le p−laplacien en dimension N > 1 seront traités dans la
section 4.
14
3.1
Le cas du p-laplacien
Soit Ω = (0, 1). Les valeurs propres du p-laplacien dans W01,p (0, 1) sont les valeurs λ
pour lesquelles il existe une solution u ∈ W01,p (0, 1), u 6= 0 de l’équation
(3.1)
−(|u0 |p−2 u0 )0 = λ|u|p−2 u dans (0, 1),
u(0) = u(1) = 0.
Notons par σp (0, 1) l’ensemble des valeurs propres. Il est facile de voir (cf. [Dr]) que l’ensemble σp (0, 1) est composé de la suite de nombres réels positifs λn,p := (nπp )p , n ≥ 1, où
R1
πp := 2(p − 1)1/p 0 (1−sdsp )1/p . Plus précisément, en multipliant (3.1) par u0 on trouve la red
lation (*) ((p − 1)|u0 |p + λ|u|p ) = 0. Supposons, sans perte de généralité, que u0 (0) = 1.
dt
|u|p 1/p
Il suit de (*) que (p − 1)|u0 |p + λ|u|p = p − 1 où encore |u0 | = (1 − λ p−1
) . Supposons que
u ne s’annulle pas dans (0, 1). Par des résultats d’unicité du problème de Cauchy associé
au p−laplacien on déduit que u(t) = u(1 − t) pour tout t ∈ (0, 1) et donc u0 (1/2) = 0. Par
(*) on a que u(1/2) = ( p−1
)1/p . En intégrant sur (0, 1/2)
λ
Z
1/2 =
0
( p−1
)1/p
λ
du
(1 −
|u|p 1/p
λ p−1
)
=λ
−1/p
1/p
1
Z
(p − 1)
0
dz
,
(1 − |z|p )1/p
1
et donc λ1/p = πp , c.-à-d., λ1,p := (πp ) p . Si u s’annulle une fois dans (0, 1), par symétrie
u0 (1/4) = u0 (3/4) = 0 et par un argument similaire on trouvera λ1/p = 2πp , c.-à-d., λ = λ2,p .
La suite λn,p est donc déterminée par cette technique.
def
Considérons maintenant le problème du spectre de Fučik. On définit Σp (0, 1) = {(α, β) ∈
R × R : ∃u ∈ W01,p (0, 1), u 6≡ 0 solution de (3.2)} où
(3.2)
−(|u0 |p−2 u0 )0 = α(u+ )p−1 − β(u− )p−1 dans (0, 1),
u(0) = u(1) = 0.
L’ensemble Σp (0, 1) peut être déterminé en utilisant la même technique que ci-dessus, c.à-d., en considérant le nombre de régions nodales des solutions de (3.2). On trouve que
Σp (0, 1) est composé de deux droites R × {λ1,p } et {λ1,p } × R et de la suite de courbes
C2k,p = {(α, β) ∈ R∗+ × R∗+ : k
πp
πp
+ k 1/p = 1},
1/p
α
β
πp
πp
+ k 1/p = 1},
1/p
α
β
πp
+ (k + 1) 1/p = 1}.
β
1
C2k+1,p
= {(α, β) ∈ R∗+ × R∗+ : (k + 1)
2
C2k+1,p
= {(α, β) ∈ R∗+ × R∗+ : k
3.2
πp
α1/p
Pseudo-valeurs propres d’un opérateur non homogène de la
forme (φ(u0 ))0
Considérons la classe d’opérateurs différentiels de second ordre de la forme (φ(u0 ))0 où
φ : R 7→ R est un homéomorphisme impair et strictement croissant. Considérons l’ouvert
15
Ω = (0, 1). Il semble naturel de généraliser le problème aux valeurs propres pour (φ(u0 ))0
avec, par exemple, des conditions de Dirichlet sur le bord, comme le problème suivant de
paramètre Λ :
(3.3)
−(φ(u0 ))0 = Λφ(u) dans (0, 1),
u(0) = u(1) = 0.
La valeur Λ est une valeur propre s’il existe une fonction non triviale de (3.3), c.-à-d., une
fonction u ∈ C01 [0, 1] := {u ∈ C 1 ([0, 1]) : u(0) = u(1) = 0} telle que φ(u0 ) est absolument
continue et satisfait l’équation de (3.3) p.p.t dans (0, 1).
Comme nous avons fait pour le p-laplacien, il est possible de donner des conditions
sur les valeurs propres Λ en termes de l’opérateur du temps, le “time-mapping”, associé à
l’équation (3.3). A différence du cas homogène, nous ne pouvons pas supposer que u0 (0) = 1
car les multiples des fonctions propres ne sont pas en général des solutions de l’équation.
Cela complique un peu les calculs, comment on va voir.
Considérons le système équivalent à l’équation de (3.3) d’inconnues (u, y)
0
u (t) = φ−1 (y(t))
(3.4)
y 0 (t) = −Λφ(u(t)).
Notons par z(t) = (u(t), y(t)) la solution de (3.4) telle que z(0) = (0, φ(u0 (0)). Cette
solution z est définie de manière unique dans R et satisfait à la relation ci-dessous pour
tout t ∈ R
ΛΦ(u(t)) + Φ∗ (y(t)) = Φ∗ (φ(u0 (0))
Rx
Rx
où Φ(x) := 0 φ(t) dt et Φ∗ (x) := 0 φ−1 (t) dt. Posons tmax > 0 le premier point de
maximum de u dans (0, ∞) et R = u(tmax ). Alors y(t) > 0 pour tout t ∈ (0, tmax ) et
y 0 (tmax ) = 0. Il s’en suit que u0 (t) > 0 sur (0, tmax ) et l’on a, en intégrant (3.5),
Z R
du
.
tmax =
−1
−1 ◦ Φ (Λ(Φ(R) − Φ(u)))
∗
0 φ
(3.5)
L’opérateur de time-mapping pour l’équation aux valeurs propres (3.3) est défini pour
toutes les valeurs Λ, R > 0 comme
Z R
du
(3.6)
τ (Λ, R) :=
.
−1
−1 ◦ Φ (Λ(Φ(R) − Φ(u)))
∗
0 φ
En utilisant que Φ et Φ∗ sont des fonctions paires, il n’est pas difficile de voir que tmax
est également le temps nécessaire pour u pour descendre d’une valeur maximale R jusqu’à
0. Alors Λ est une valeur propre de (3.3) si et seulement si il existe k ∈ N et R > 0 tels
que 2kτ (Λ, R) = 1. Cependant il n’est pas clair que pour un k ∈ N donné (resp. R > 0)
il existe R > 0 (resp. k ∈ N ) satisfaisant cette dernière égalité. Ce problème motiva les
auteurs [Ga-Ma-Za2] à introduire la notion de pseudo-valeur propre comme suit. On définit
les fonctions
τ+ (Λ) := lim sup τ (Λ, R), τ− (Λ) := lim inf τ (λ, R).
R→∞
R→∞
On a les propriétés suivantes.
16
Proposition 3.1. [Ga-Ma-Za2]
(i) 0 < τ− (Λ) ≤ τ+ (Λ) < ∞ pour tout Λ > 0. Les fonctions τ± (Λ) sont croissantes.
(ii) Supposons la condition (φ1 ) : lim inf s→∞
τ+ et τ− sont continues sur (0, ∞).
φ(σs)
φ(s)
(iii) Supposons la condition (φ2 ) : lim sups→∞
> 1 pour tout σ > 1. Alors les fonctions
φ(σs)
φ(s)
< ∞ pour tout σ > 1. Alors on a
lim τ± (Λ) = ∞ et v lim τ± (Λ) = 0.
Λ→0
Λ→∞
Pour tout n ∈ N on définit les pseudo-valeurs propres de (3.3) par
n
1o
def
,
=
sup
Λ
>
0;
τ
(Λ)
>
Λ−
−
n
2n
n
1o
def
=
inf
Λ
>
0;
τ
(Λ)
<
Λ+
.
+
n
2n
±
−
+
Clairement 0 < Λ±
1 < Λ2 < . . . , et Λn ≤ Λn pour tout n ∈ N. Il est important de signaler
que le problème (3.3) n’a pas forcément une solution non triviale pour les valeurs Λ±
n . La
caractéristique principale des pseudo-valeurs propres est que l’ensemble des solutions de
−
∞
(3.3) pour un Λ ∈ (Λ+
n , Λn+1 ) est borné dans L en contraste avec le cas où φ est homogène,
où borné se traduit par trivial. Plus précisément
Lemme 3.1. [Ga-Ma-Za2] Soit φ satisfaisant aux conditions (φ1 ) et (φ2 ) de la Proposition 3.1. Alors
1
1
et τ+ (Λ) <
pour tout Λ > Λ+
(i) τ+ (Λ+
n.
n) =
2n
2n
1
1
(ii) τ− (Λ−
et τ− (Λ) >
pour tout Λ < Λ−
n.
n) =
2n
2n
−
−
+
Supposons que pour n ≥ 1 on a Λ+
n < Λn+1 et soit Λ ∈ (Λn , Λn+1 ). Alors
(iii) pour tout > 0 il existe R∗ > 0 tel que pour tout R > R∗ on a
1
1
+ < τ± (Λ, R) <
− .
2(n + 1)
2n
En particulier toute solution u de (3.3) satisfait ||u||∞ ≤ R∗ .
−
Remarque 3.1. Lorsque l’inégalité Λ+
n < Λn+1 a lieu on dit qu’il existe un trou entre les
−
pseudo-valeurs propres et que l’intervale (Λ+
n , Λn+1 ) est non résonnant. Nous traiterons des
questions sur la non-résonance dans la section 7.
L’existence d’une infinité de trous peut être démontrée dans le cas où φ est homogène
φ(σs)
existe pour tout σ > 0. Dans ce cas il existe p > 1
à l’infini, c.-à.-d., lorsque lim
s→∞ φ(s)
−
tel que lims→∞ φ(σs)/φ(s) = σ p−1 pour tout σ > 0 et de plus Λ+
n = Λn =
[Ga-Ub]). Deux exemples de fonctions homogènes à l’infini sont
φ(s) := |s|p−2 s(log(1 + |s|))q ,
17
p > 1, q ≥ 0
p
nπp
(cf.
et
φ(s) =
log(1 + |s|δ )
sign(s),
log(1 + |s|1−γ )
φ(0) = 0, δ > 0, γ > 1.
Finalement le spectre de Fučik pour l’opérateur φ(u0 )0 peut être défini comme l’ensemble
des couples (α, β) ∈ R2 tels qu’il existe une solution non triviale de
(3.7)
−(φ(u0 ))0 = αφ(u+ ) − βφ(u− ) dans (0, 1),
u(0) = u(1) = 0.
Pour simplifier supposons que les fonctions τ+ et τ− coı̈ncident (c’est notamment le cas si
φ est homogène à l’infini). Alors on peut définir le spectre de Fučik comme l’ensemble des
couples (α, β) tel qu’il existe k ∈ N avec
kτ+ (α) + kτ+ (β) = 1.
Comme application de la Proposition 3.1 on a que ce spectre n’est pas trivial. Une étude
des propriétés de ce spectre est faite dans [Ga-Ub].
3.3
Une généralisation des inégalités d’Opial
Dans la section 9.2 nous aurons besoin des estimations suivantes sur le time-mapping
d’une fonction g : R → R continue. Elles ont étés montrées par Opial [Op1, Op2] dans le
cas φ = g = Id. Nous supposerons ici que
lim g(s)sign(s) = ∞
(g)
|s|→∞
et considérons le problème suivant
−(φ(u0 ))0 = g(u) dans (0, 1).
Rs
Posons G(s) := 0 g(ρ)dρ. Par la condition (g) il existe d1 ∈ R+ tel que G est strictement croissante sur (d1 , ∞) et strictement décroissante sur (−∞, −d1 ). Comme g n’est pas
nécessairement une fonction impaire on introduit la fonction h : (d1 , ∞) → (−∞, −d1 )
définie par la propriété G(c) = G(h(c)). h est strictement décroissante. Signalons que si g
est impaire alors h(c) = −c.
Comme nous l’avions fait pour g = φ, il est possible d’associer à l’équation ci-dessus
un opérateur de time-mapping comme suit
Z R
du
def
τ (g, R) =
,
−1
−1 ◦ Φ (G(R) − G(u))
∗
0 φ
def
Z
0
τ̃ (g, R) =
h(R)
du
φ−1 ◦
Φ−1
∗ (G(R)
18
− G(u))
,
définis pour toutes les valeurs R > d1 . Finalement on définit
def
def
τ+ (g) = lim sup τ (g, R), τ̃+ (g) = lim sup τ̃ (g, R),
R→∞
R→∞
def
def
τ− (g) = lim inf τ (g, R), τ̃− (g) = lim inf τ̃ (g, R).
R→∞
R→∞
Lemme 3.2. [Cu-Ga, [9]] Supposons que φ satisfait aux hypothèses (φ1 ) et (φ2 ). Soit
g : R → R une fonction continue satisfaisant (g). Alors pour α ∈ R+
0 = [0, +∞), on a
G(s)
(i) si lim inf
≤ α alors τ+ (g) ≥ τ− (α),
s→∞ Φ(s)
G(s)
(ii) si lim sup
≥ α alors τ− (g) ≤ τ+ (α),
s→∞ Φ(s)
g(s)
≤ α alors τ− (g) ≥ τ− (α).
(iii) si lim sup
s→∞ φ(s)
g(s)
(iv) si lim inf
≥ α alors τ+ (g) ≤ τ+ (α).
s→∞ φ(s)
Résultats analogues pour τ̃± lorsque s → −∞.
Esquisse de la démonstration. Nous allons seulement donner l’idée de la preuve de (i).
Les autres cas sont analogues. Prenons un L > α et posons ϕ(s) := LΦ(s) − G(s) Comme
ϕ(0) = 0 et lim sup ϕ(s) = ∞ il existe une suite strictement croissante cn allant vers ∞
s→∞
telle que ϕ(s) < ϕ(cn ) pour tout s ∈ [0, cn ). Donc G(cn ) − G(s) < L(Φ(cn ) − Φ(s)) pour
tout s ∈ [0, cn ). En appliquant φ−1 ◦ Φ−1
∗ et en intégrant sur (0, cn ) on trouve
Z cn
Z cn
ds
ds
<
.
−1
−1
−1
−1
φ ◦ Φ∗ (L(Φ(cn ) − Φ(s)))
φ ◦ Φ∗ (G(cn ) − G(s))
0
0
Par conséquent lim sup τ (g, R) ≥ τ− (L) pour tout L > α. En faisant L & α et en utilisant
R→∞
la continuité de τ± (·) on obtient le résultat souhaité.
4
Problèmes aux valeurs propres pour le p-laplacien
en dimension N > 1
Soit p > 1 , Ω un domaine
dans RN , N ≥ 1 et W01,pR(Ω) l’espace de Sobolev usuel
R borné
p
muni de la norme ||u|| := ( Ω |∇u|p dx)1/p . Posons ||u||p := ( Ω |u|p dx)1/p . Soit p0 := p−1
et
1,p
1,p
−1,p0
−1,p0
W
(Ω) l’espace dual de W0 (Ω). L’opérateur p−laplacien ∆p : W0 (Ω) → W
(Ω)
def
est défini par ∆p u = div(|∇u|p−2 ∇u). Pour p = 2 le p-laplacian coı̈ncide avec le laplacien
usuel.
Dans cette section nous allons étudier plusieurs problèmes aux valeurs propres concernant l’opérateur p−laplacien. Dans la sous-section 4.1 nous rapellerons quelques résultats
19
du spectre usuel. Dans les sous-sections 4.2 et 4.3 nous considérerons le problème du spectre
de Fučik pour lequel nous donnons quelques résultats partiels. Dans la sous-section 4.4 nous
verrons une propriété nodale des fonctions propres généralisées associées aux points de la
première courbe non triviale de ce spectre. Dans la sous-section 4.5 nous considérerons le
problème asymétrique des valeurs propres avec poids. Comme application nous introduisons dans la sous-section 4.6 le spectre de Fučik avec poids.
4.1
Le spectre du p-laplacien
Le spectre du p-laplacien dans W01,p (Ω) est défini comme l’ensemble σp des λ ∈ R tels
qu’il existe u ∈ W01,p (Ω) solution non-triviale de
−∆p (u) = λ|u|p−2 u dans Ω,
(4.1)
u = 0 sur ∂Ω.
Nous avons vu dans le cas N = 1 que σp peut être facilement déterminé par une méthode
de tir, cf. section 3. Pour la dimension N > 1 il n’existe pas une description complète de
cet ensemble. On sait que σp est un sous-ensemble fermé de R∗+ et que la première valeur
propre, notée λ1,p , satisfait
Z
Z
1,p
p
(4.2)
λ1,p = min{ |∇u| : u ∈ W0 (Ω) et
|u|p = 1}.
Ω
Ω
Il est connu que λ1,p est > 0, simple etRqu’elle admet une fonction propre ϕ1,p ∈ W01,p (Ω) ∩
C 1 (Ω), avec ϕ1,p (x) > 0 dans Ω et Ω ϕp1,p dx = 1. De plus λ1,p est isolée dans σp et
toute fonction propre associée à une valeur propre différente de λ1,p change de signe. Les
références sont [An1] pour les Ω réguliers et [Lin] dans le cas général. Le fait que λ1,p est
isolée dans le spectre nous permet de définir la deuxième valeur propre comme
def
λ2,p = min{λ ∈ σp : λ > λ1,p }.
(4.3)
Concernant le problème de l’existence d’autres valeurs propres différentes de λ1,p nous
allons voir rapidement qu’il est possible de construire par des méthodes variationnelles
deux suites de valeurs propres
(qui peuvent se superposer) allant vers l’infini. Considérons la
R
fonctionnelle Ep (u) := Ω |∇u|p dx restreinte à la variété Sp := {u ∈ W01,p (Ω) : kukp = 1}.
Posons Ẽp = Ep |S . Les valeurs propres de −∆p dans W01,p (Ω) peuvent alors être vues comme
les valeurs critiques de Ẽp .
Nous pouvons généraliser au p-laplacien quelques formules min-max vues dans (1.5)
pour construire de nouvelles valeurs propres. Une première suite de valeurs du p-laplacien
peut être obtenue par la méthode de Ljusternik-Schnirelman : pour tout k ∈ N∗ on définit
la valeur
def
(4.4)
µk,p =
inf sup Ep (u),
A∈Gk,p u∈A
def
où Gk,p = {A ⊂ Sp ; A est compact, symétrique, γ(A) ≥ k} et γ désigne ici le genre de
Krasnoselskii dans W01,p (Ω). Alors on sait que µk,p est une valeur propre de −∆p dans
20
W01 (Ω), que 0 < µ1,p ≤ µ2,p ≤ · · · → +∞ et que µi,p = λi,p pour i = 1, 2. Ce dernier
résultat est dû à [An-Ts].
Plus tard [Dr-Ro] ont montré l’existence d’une deuxième suite de valeurs propres
par généralisation de la deuxième formule de min-max de (1.5). Ils introduisent la suite
(νk,p )k∈N∗ définie par
(4.5)
def
νk,p = inf
max Ep (h(z))
h∈Sk,p z∈S k−1
où S k désigne la sphère unité de Rk+1 et Sk,p := {f ∈ C(S k−1 , Sp ) : f est impaire }. On a
également νk,p ≥ µk,p , 0 < ν1,p < ν2,p ≤ · · · → +∞ et νi,p = λi,p pour i = 1, 2. Quelle est
la relation entre les valeurs propres µk,p , νk,p et λk,p lorsque N = 1 ? La réponse est donnée
dans [Cu4] :
Proposition 4.1. [Cu4] Supposons que N = 1 et Ω = (0, 1). Alors pour tout p > 1 et
k ∈ N∗ ,
µk,p = λk,p = νk,p .
Esquisse de la démonstration. Par un résultat de la théorie de Ljsternik-Schnirelman
toutes les valeurs propres µk,p sont différentes puisque toutes les valeurs propres de
−(|u0 |p−2 u0 )0 dans W01,p (0, 1) sont simples. Par conséquent λk,p ≤ µk,p pour tout k. Pour
montrer l’inégalité dans l’autre sens prenons v ∈ Sp une fonction propre associée à λk,p
et soient I1 , I2 , . . . Ik les intervalles de (0, 1) où v a signe constant, chacun de longueur k1 .
Posons vi (t) = v(t) si t ∈ Ii , vi (t) = 0 sinon. Considérons l’application h : S k−1 → Sp
définie par
k
X
2
1/p
h(z1 , z2 , . . . , zk ) = k
|zi | p−1 zi vi .
i=1
Comme h(S k−1 ) ∈ Gk,p alors µk,p ≤ maxz∈S k−1 Ep (u) = λk,p d’où λk,p = µk,p . Pour montrer
la deuxième égalité on utilisera que, pour l’application h précédente, h ∈ Sk,p et donc
µk,p ≤ λk,p = µk,p . Puis comme µk,p ≤ νk,p on conclut.
4.2
La première courbe non triviale C2,p du spectre de Fučik Σp
Posons Σp l’ensemble des couples (α, β) ∈ R2 tels que le problème
(4.6)
−∆p u = αu+
p−1
− βu−
p−1
dans Ω, u = 0 sur ∂Ω
possède une solution non triviale u ∈ W01,p (0, 1). Σp contient la diagonale de σp × σp et les
lignes λ1,p × R and R × λ1,p . On note Σ∗p = Σp \ λ1,p × R ∪ R × λ1,p .
Dans [Cu-deFi-Go1, [6]] nous avons entamé l’étude de Σ∗p dans le cas général 1 < p <
∞, N ≥ 1. Dans ce travail nous avons construit une courbe dans Σp passant par (λ2,p , λ2,p )
et qui est la première courbe non triviale de Σp . La construction de cette courbe diffère
complètement de celle établie dans le Théorème 1.2 dans le cas linéaire p = 2. Ici on utilise
21
le théorème du col de la montagne et plus précisément la version de ce théorème sur une
variété de classe C 1 , cf. Théorème 2.1. Le résultat est le suivant. Considérons, pour tout
s ∈ R la fonctionnelle de classe C 1 sur W01,p (Ω)
Z
Z
p
p
Es,p (u) :=
|∇u| − s u+
Ω
Ω
et la variété Sp := {u ∈ W01,p (Ω) : Ω |u|p dx = 1}. Notons que Sp est de classe C 1
lorsque 1 < p < 2 et de classe [p] lorsque p > 2. Une application directe du théorème des
multiplicateurs de Lagrange entraı̂ne que λ est une valeur critique de la restriction Ẽs,p de
Es,p sur Sp si et seulement si (λ + s, λ) ∈ Σp . On déterminera ainsi les points (α, β) du
spectre de Fučik qui sont sur la droite β = α − s. Notons par ϕ1,p la première fonction
propre positive de −∆p contenue dans Sp . Il est facile voir que ϕ1,p (resp. −ϕ1,p ) est un
point critique de Ẽs,p avec valeur critique correspondante λ1,p −s (resp. λ1,p ). On obtient de
cette manière deux points du spectre de Fučik qui sont resp. (λ1,p , λ1,p −s) et (λ1,p +s, λ1,p ).
Ces points coı̈ncident avec les intersections de la droite β = α − s avec les droites λ1,p × R
et R × λ1,p .
Une nouvelle valeur critique de Ẽs,P peut être obtenue comme suit.
R
Théorème 4.1. [Cu-deFi-Go1, [6]] Soit Γ = {γ ∈ C([−1, +1], Sp ) : γ(−1) = −ϕ1,p et
γ(1) = ϕ1,p }. Pour tout s ≥ 0 on définit
(4.7)
c(s) = inf
max
γ∈Γ u∈γ[−1,+1]
Ẽs,p (u).
Alors
(i) c(s) est une valeur critique de Ẽs,p .
(ii) c(s) > max{Ẽs,p (−ϕ1,p ), Ẽs,p (ϕ1,p )} = λ1,p .
(iii) Le point (s + c(s), c(s)) est le premier point non trivial de Σp sur la droite β = α − s.
En procédant de cette manière pour chaque s ≥ 0, puis en considérant les points
symétriques par rapport à la diagonale, on obtient une courbe non triviale C2,p dans Σp .
Esquisse de la démonstration. (i) et (ii). On démontre que c(s) est une valeur critique
de Ẽs,p en vérifiant les hypothèses de la Proposition 2.1. La condition géométrique (2.1)
suit du fait que −ϕ1,p (resp. ϕ1,p ) est un minimum local strict (resp. global) de Ẽs,p . En
effet
Z
Es,p (ϕ1,p ) = λ1,p − s <
|u|p dx − s = Es,p (u)
Ω
pour tout u ∈ Sp , u 6= ϕ1,p , donc ϕ1,p est un minimum global strict. De plus si −ϕ1,p n’etait
pas un minimum local strict alors pour tout n ∈ N il aurait un un ∈ Sp tel que
Es,p (un ) ≤ Es,p (−ϕ1,p ) = λ1,p ,
22
un 6= ϕ1,p et lim un = −ϕ1,p .
n→∞
R
Remarquons que un doit
changer
de
signe
autrement
E
(u
)
=
|∇un |p dx > λ1,p . D’une
s,p
n
Ω
R
+ p
|∇u | dx
part en prenant rn = RΩ +np
on a
|un | dx
Ω
Z
Z
p
+ p
Es,p (un ) ≥ (rn − s) |un | dx + λ1,p |u−
n | dx.
Ω
Ω
Puis comme Es,p (un ) ≤ λ1,p on en déduit que rn − λ1,p ≤ λ1,p . D’autre part on montre
u+
n
que limn→∞ rn = +∞ car limn→∞ |un > 0| = 0 (si par l’absurde wn := R
1 était
p
( Ω u+
n dx)
bornée dans W01,p (Ω) alors, moyennant Rune sous-suite, il existerait 0 ≤ w ∈ Lp (Ω) tel
que limn→∞ wn = w dans Lp (Ω), d’où Ω |w|p dx = 1 et w 6= 0 en contradiction avec
limn→∞ |un > 0| = 0).
(iii) On suppose par contradiction l’existence d’un point de la forme (s + µ, µ) dans Σp
avec λ1,p < µ < c(s) tel que µ soit valeur critique de Ẽs,p et on construit un chemin γ ∈ Γ
sur lequel Ẽs,p reste ≤ µ, ce qui contredira la définition de c(s). Pour faire cela, soit u ∈ Sp
une solution de (4.6) correspondant à α = s + µ, β = µ. Nécessairement u change de signe
dans Ω car µ > λ1,p . On utilisera dans notre construction le chemin
u1 (t) = (tu + (1 − t)u+ )/||tu + (1 − t)u+ ||p
qui va de u à u+ /||u+ ||p , ainsi que les chemins u2 (t) et u3 (t) qui sont définis de manière
analogue et qui vont respectivement de u+ /||u+ ||p à u− /||u− ||p et de −u− /||u− ||p à u. Un
calcul simple utilisant (4.6) montre que Ẽs,p reste sur chacun de ces chemins ≤ µ. Pour
construire le chemin γ, on commence par aller de u à u− /||u− ||p en suivant successivement
u1 (t) puis u2 (t). Le niveau atteint par Ẽs,p en u− /||u− ||p est µ − s. En utilisant le fait
que u− /||u− ||p n’est pas critique et en appliquant le lemme (2.2) avec r = µ − s, on peut
construire un chemin u4 (t) allant de u− /||u− ||p à ϕ1,p ou à −ϕ1,p et restant à des niveaux
≤ µ − s. Supposons pour fixer les idées que c’est ϕ1,p qui est atteint de cette façon. Comme
|Ẽs,p (v) − Ẽs (−v)| ≤ s ∀v ∈ S, le chemin −u4 (t) reste à des niveaux ≤ (µ − s) + s = µ
et permet de repartir de −ϕ1,p vers −u− /||u− ||p . On revient alors à u en suivant u3 (t). On
obtient finalement ainsi un chemin γ avec les propriétés souhaitées.
En particulier, quand s = 0, on déduit que
Corollaire 4.1.
Z
(4.8)
λ2,p = inf
max
γ∈Γ u∈γ[−1,+1]
|∇u|p ,
Ω
Cette formule fournit une nouvelle caractérisation variationnelle de λ2,p un peu meilleure
que celle obtenue par [An-Ts] comme λ1,p = µ2,p car on a toujours c(0) ≥ µ2,p .
Il est possible de montrer sans beaucoup de difficulté que la courbe C2,p est continue et
strictement décroissante au sens que 0 ≤ s < s0 implique s+c(s) < s0 +c(s0 ) et c(s) > c(s0 ).
Concernant le comportement à l’infini de C2,p , on a le résultat suivant.
23
Proposition 4.2. [Ar-Ca-Cu-Go1, [1]] On suppose, lorsque p > N , qu’il existe un point
satisfaisant la condition de la boule intérieure par rapport à Ω (c.-à-d., un point régulier
de ∂Ω). Alors lim c(s) = λ1,p .
s→+∞
Esquisse de la démonstration. On montre d’abord qu’il existe ϕ ∈ W01,p (Ω) telle que
inf{r ∈ R : ϕ(x) ≤ rϕ1,p (x) p.p.t x ∈ Ω} = −∞ comme suit : si 1 < p ≤ N on prend ϕ une
fonction quelconque non bornée (on sait que ϕ1,p est bornée !) et si p > N on prend ϕ avec
dérivée normale infinie en un point régulier de ∂Ω (la dérivée normale de ϕ1,p est finie en
un point régulier !). Si par l’absurde il existe δ > 0 tel que max Ẽs,p (u) ≥ λ1,p + δ ∀γ ∈
u∈γ[−1,1]
vt
où vt = tϕ1,p + (1 − |t|)ϕ, ; t ∈ [−1, 1) on
Γ, ∀s ≥ 0 en prenant le chemin γ(t) =
|vt |p
aurait, pour le point ts où le maximum de Ẽs,p ◦ γ est atteint,
Z
Z
Z
p
+ p
|∇vts | dx − s (vts ) dx ≥ (λ1,p + δ)( |vts |p dx) ∀s ≥ 0.
Ω
Ω
Ω
En faisant s →
ts → t̃ ∈ [−1, 1]R et comme (vts )s≥0 reste borné dans W01,p (Ω) on
R +∞,
en déduit que Ω (vt+s )p dx → 0 et donc Ω |vt̃+ |p dx = 0. Donc, par le choix
R de ϕ, t̃ p= −1,
+
vts → −ϕR1,p et par passage à la limite dans l’inégalité ci-dessus, on a Ω |∇ϕ1,p | dx ≥
(λ1,p + δ)( Ω |ϕ1,p |p dx), une contradiction.
Remarque 4.1. Il s’est avéré dans la suite de nos recherches que l’hypothèse sur Ω de
la Proposition 4.1 n’est pas nécessaire. En effet, l’ensemble des points réguliers de ∂Ω est
dense quel que soit Ω un domaine ouvert de RN . Nous utiliserons ce résultat dans la section
4.4.
4.3
Existence d’une infinité de branches dans Σp
Nous avons montré dans [Cu4] l’existence d’une suite de courbes contenues dans Σp et
passant par les points de la forme (νk,p , νk,p ) définis dans (4.5). Un résultat analogue a été
trouvé par [Mi-Pi] par une méthode variationnelle différente. On ne sait pas si ces deux
suites de courbes coı̈ncident.
Notre résultat généralise partiellement pour p 6= 2 le résultat de O. Kavian dont nous
avons deja parlé dans le paragraphe 1.2. Il s’agit de définir des valeurs critiques du type minmax de la fonctionnelle Ẽs,p en considérant des images continues sur Sp des hemisphères
+
S+n , n ∈ N et qui sont impaires sur le bord de Sn+ . Notons cet ensemble par Sn,p
:
+
Sn,p
:= {f ∈ C(S+n−1 , Sp ) : f|
N −1
∂S+
est impaire}
Théorème 4.2. [Cu4] Soit k ∈ N∗ tel que νk,p < νk+1,p et choisissons 0 < < νk+1,p − νk,p .
Alors il existe une fonction continue décroissante d : [0, νk+1,p − νk,p − ] →]νk,p , +∞] telle
que la courbe
Ck+1,p := {(d(s) + s, d(s)) : 0 ≤ s ≤ νk+1,p − νk,p − }
est contenue dans Σp . De plus νk+1,p ≤ d(0).
24
Esquisse de la démonstration. On démontre d’abord νk,p = inf h∈S + maxu∈h(S k−1 ) Ep (u)
k,p
+
pour tout k ≥ 2. Ceci est évident si l’on pense à étendre de façon impaire une fonction
+
de Sk,p
sur toute la sphère S k−1 et l’on utilise que Ep est une fonctionnelle paire. Puis on
prend le min-max sur la famille d’applications Sk,p dans l’inégalité suivante pour t = 0
(valable pour tout u ∈ Sp )
(4.9)
Et,p (u) − s ≤ Ep,s (u) ≤ Et,p (u) ∀t ≤ s ≤ t + δ.
En utilisant la caractérisation variationnelle de νk,p on obtient
νk,p − s ≤ ak,p (s) := inf
max Es,p (u) ≤ νk,p .
h∈Sk,p u∈h(S k−1 )
et également pour νk+1,p nous avons
νk+1,p − s ≤ bk+1,p (s) :=
inf
max Es,p (u) ≤ νk+1,p .
+
k)
u∈h(S+
h∈Sk+1,p
Choisissons un h0 ∈ Sk−1,p tel que
(4.10)
max
u∈h0 (S k−1 )
Ep (u) < νk,p + et appliquons le Théorème 2.2 avec J = Es,p , M = Sp , K = S+k , K0 = S k−1 et h0
satisfaisant (4.10). Notons par Γ la famille des fonctions continues définies sur K = S+k
+
à valeurs dans Sp qui coı̈ncident avec h0 sur K0 = S k−1 . En particulier Γ ⊂ Sk+1,p
et
la condition géométrique (2.1) suit de (4.9), (4.10) et du choix de et s. On conclut
que d(s) := inf h∈Γ maxu∈h(S+k ) Es,p (u) est une valeur critique de Ẽs,p et on a, pour tout
s ∈ [0, νk+1,p − νk,p − ],
(∗) νk,p + ≤ νk+1,p − s ≤ bk+1,p (s) ≤ d(s).
De cette dernière inégalité on obtient, pour s = 0, que d(0) ≥ bk+1,p (0) = νk+1,p . La
continuité de d(s) suit de (4.9), de (∗) et du fait crucial que h0 ne dépend pas de s.
Remarque 4.2. D’une façon analogue nous pouvons
définir Rune autre fonction, appelons-la
R
p
e(s), en utilisant la fonctionnelle Fs,p (u) := Ω |∇u| dx − s Ω (u− )p dx. On obtient alors un
nouveau point (e(s), s + e(s)) de Σp et une nouvelle courbe
C̃k+1,p := {(e(s), e(s) + S) : 0 ≤ s ≤ νk+1,p − νk,p − }.
Remarque 4.3. Dans [Kav] on montre, pour p = 2, que la fonction d(s) peut être définie sur
[0, λk−1 − λk ) et que d(0) = λk+1 . La première affirmation résulte en choisissant dans (4.10)
un h0 ∈ Sk tel que maxu∈h0 (S k−1 ) E(u) = λk . Une telle application h0 peut être construite
avec des fonctions propres linéarement indépendantes associées aux valeurs propres ≤ λk .
La condition géométrique est alors vérifiée pour tout s ∈ [0, λk−1 − λk ) grâce à que (*) est
vérifié avec = 0. Puis on montre que d(0) ≤ λk+1 en considérant l’application h : S+k 7→ S
h(z, xk+1 ) =
(1 − x2k+1 )1/2 h0 (z) + xk+1 ϕ
|(1 − x2k+1 )1/2 h0 (z) + xk+1 ϕ|2
25
avec ϕ une fonction propre associée à λk+1 . Pour une telle application maxu∈h(S k )+ E(u) ≤
λk+1 et donc d(0) ≤ λk+1 .
Signalons finalement que, puisque lim νk,p = +∞, il existe une infinité de k tels que
k→+∞
νk,p < νk+1,p et par conséquent, il existe une infinité de branches dans Σp données par le
Théorème 4.2.
4.4
Une propriété nodale des fonctions propres
Dans [Cu-deFi-Go2, [7]] nous avons obtenu une extension partielle pour le p-laplacien
du théorème de Courant sur les domaines nodaux. Rappelons qu’un domaine nodal d’une
fonction u ∈ C(Ω) est une composante connexe de l’ensemble {x ∈ Ω : u(x) 6= 0}. Le
théorème de Courant (cf. [Cou-Hi, Pl] ) affirme que si λ1 < λ2 ≤ λ3 ≤ . . . → +∞ désigne
la suite des les valeurs propres de −∆ sur H01 (Ω), où Ω est un domaine borné de Rn , alors
toute fonction propre associée à λk admet au plus k domaines nodaux.
Ce théorème a été partiellement étendu au p-laplacien par Anane-Tsouli [An-Ts] comme
suit. Soit µ1,p < µ2,p ≤ µ3,p ≤ . . . → +∞ la suite des valeurs propres de −∆p sur W01,p (Ω)
obtenue par la méthode de Ljusternik-Schnirelman et soit µ une valeur propre < µk,p . Alors
le nombre de domaines nodaux d’une fonction propre associée à µ est inférieur à k.
Notre travail concerne la deuxième valeur propre λ2,p . Dans le cas linéaire p = 2, le
théorème de Courant implique que le nombre de domaines nodaux d’une fonction propre
associée à λ2 est exactement 2. Dans le cas non linéaire, le résultat précédent de [An-Ts]
implique que le nombre de domaines nodaux d’une fonction propre associée à λ2,p est ≥ 2 et
≤ 2 + m − 1, où m est la multiplicité de Ljusternik-Schnirelman de λ2,p (c’est-à-dire λ1,p <
λ2,p = µ3,p = . . . = µ2+m−1,p < µ2+m,p ). Nous avons démontré dans [Cu-deFi-Go2, [7]] que,
comme dans le cas linéaire, le nombre de domaines nodaux d’une fonction propre associée
à λ2,p est exactement 2.
Plus généralement nous considérons la première courbe non triviale C2,p du spectre de
Fučik Σp du p-laplacien. Nous montrons que si u est une fonction propre généralisée associée
à un point (α, β) de cette première courbe non triviale, alors u admet exactement deux
domaines nodaux. Signalons que toute fonction propre généralisée u ∈ W01,p (Ω) appartient à
L∞ (Ω)∩C 1 (Ω) (cf. [An2] pour les estimations L∞ et [DiBe] pour les résultats de régularité.).
Théorème 4.3. [Cu-deFi-Go2, [7]] Soit u une solution non triviale de (4.6) pour (α, β) ∈
C2,p . Alors u admet exactement 2 domaines nodaux. En particulier une fonction propre
associée à λ2,p admet exactement 2 régions nodales.
La démonstration usuelle du théorème de Courant utilise que les fonctions propres u
du laplacien satisfont la propriété |{x ∈ Ω : u(x) = 0}| = 0. Cette propriété est connue
comme propriété de continuation unique. La validité éventuelle de cette dernière propriété
pour le p-laplacien est une question largement ouverte. Notre démonstration est basée sur
la caractérisation variationnelle de la première courbe non triviale du spectre de Fučik et
utilise de façon essentielle le principe du maximum de Hopf pour le p-laplacien.
26
Esquisse de la démonstration. Posons s = α − β, supposons que s > 0 et rappelons
que (α, β) = (s + c(s), c(s)) où c(s) a été défini dans (4.7). Soit Ω1 (resp. Ω2 ) une région
nodale où u > 0 (resp. u < 0). Supposons par contradiction qu’il existe une troisième
région nodale Ω3 où, par exemple, u > 0. Nous montrons d’abord qu’il existe un ouvert
connexe Ω̃2 ⊂ Ω, tel que Ω̃2 ' Ω2 , Ω̃2 est disjoint soit avec Ω1 soit avec Ω3 . Ce résultat est
crucial dans la démonstration du théorème. On distingue deux cas : (i) ∂Ω2 ∩ Ω n’est pas
inclu dans ∂Ω1 ∩ Ω et (ii) ∂Ω2 ∩ Ω ⊂ ∂Ω1 ∩ Ω. Dans le cas (i), on prend x ∈ ∂Ω2 ∩ Ω tel que
x 6∈ ∂Ω1 et > 0 tel que B(x, ) ⊂ Ω et B(x, ) ∩ Ω1 = ∅. L’ensemble Ω̃2 = Ω2 ∪ B(x, )
est alors disjoint avec Ω1 et on a la conclusion. Dans le cas (ii) considérons la fonction u
sur Ω2 , qui est C 1 , < 0 et satisfait −∆p u ≤ 0 dans le sens faible. Soit z ∈ ∂Ω2 ∩ Ω tel que
z satisfait à la condition de la boule intérieure par rapport à Ω2 (ce type de points sont
denses dans le bord d’un ouvert). Par le principe du maximum de Hopf ∂u/∂n(z) > 0, où
n est la dérivée normale extérieure au point z. En particulier une des dérivées partielles de
∂u
(z) 6= 0. Par le théorème de la fonction inverse il
u en z est non nulle. Supposons que ∂n
existe un un voisinage ouvert U de z, une boule V dans RN et un difféomorphisme Φ de U
dans V tels que u = 0 sur Φ−1 (V 0 ), u > 0 sur Φ−1 (V + ) et u < 0 sur Φ−1 (V − ), où V 0 (resp.
V + , V − ) := {y ∈ V : yN = 0 (resp. > 0, < 0)}. De plus U = Φ−1 (V 0 )∪Φ−1 (V + )∪Φ−1 (V − ).
Comme z ∈ ∂Ω1 ∩ Ω et Φ−1 (V + ) est un ouvert connexe alors Ω1 ⊃ Φ−1 (V + ). Par le même
argument on prouve que Ω2 ⊃ Φ−1 (V − ). Par conséquent z 6∈ ∂Ω3 et on conclut comme
dans le cas (i) pour trouver Ω̃2 disjoint avec Ω3 .
Dans l’étape suivante on contruit une fonction v ∈ W01,p (Ω) qui change de signe et
satisfait
Z
Z
Z
Z
+ p
+ p
− p
|∇v | / (v ) < α et
|∇v | / (v − )p < β.
Ω
Ω
Ω
Ω
Pour cela on suppose par exemple que Ω̃2 et Ω1 sont disjoints et on utilise que λ1 (Ω1 ) = α
et λ1 (Ω̃2 ) < λ1 (Ω2 ) = β, où λ1 (O) est la première valeur propre de −∆p dans W01,p (O). En
˜
diminuant un peu Ω̃2 et en agrandissant Ω1 de façon à trouver deux ensembles disjoints Ω̃
2
˜
et Ω̃ , tels que λ (Ω̃ ) < β et λ (Ω̃ ) < α. Cette construction utilise la dépendence continue
1
1
2
1
1
de λ1 (O) par rapport à O. La fonction v cherchée v est obtenue en prenant v = v1 − v2 ,
˜ ) d’une fonction propre
où v1 (resp. v2 ) est l’extension par zero en dehors de Ω̃1 (resp. Ω̃
2
˜
positive associée à λ1 (Ω̃1 ) (resp. λ1 (Ω̃2 )). On utilise v pour définir un chemin γ ∈ Γ tel
que maxu∈γ J˜s (u) < β. comme nous avions fait dans la preuve de (iii) du Théorème 4.1.
Comme β = c(s), on obtient une contradiction avec la définition min-max de c(s).
4.5
Problèmes asymétriques avec poids
Considérons le problème aux valeurs propres asymétrique de paramètre λ
(4.11)
−∆p u = λ(m(x)(u+ )p−1 − n(x)(u− )p−1 ) dans Ω;
27
u = 0 sur ∂Ω,
avec poids m(x) et n(x) qui peuvent changer de signe et qui appartiennent à la classe de
fonctions L
(4.12)
L := ∪s> N Ls+ (Ω) si 1 < p ≤ N,
p
L := L1+ (Ω)
si p > N,
où Ls+ (Ω) = {m ∈ Ls (Ω) : m+ 6≡ 0}.
Le problème aux valeurs propres (4.11) présente tout d’abord comme difficulté le
manque de symétrie du terme du potentiel. Si l’on pense par exemple à appliquer la théorie
de points critiques de Ljusternik-Schnirelmann ou le Théorème 2.2 de la section 2, on a
besoin de la parité des opérateurs qui interviennent dans l’équation. En fait il n’est nullement évident que le problème ci-dessus ait une suite de valeurs propres et des résultats
négatifs dans cette direction ont été donnés par [Al-Go].
Dans [Cu5, [4]] nous avons consideré d’abord le cas symétrique m = n,
(4.13)
−∆p u = λm|u|p−2 u dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω,
où m est dans la classe L. Il est possible de définir une première valeur propre positive pour
le poids m par
Z
nZ
o
1,p
p
p
(4.14)
λ1 (m) := inf
|∇u| dx : u ∈ W0 (Ω) et
m |u| dx = 1
Ω
Ω
(nous avons ici supprimé l’indice “p” dans la définition de λ1 (m)). Nous avons montré que
les résultats de la section 4.1 (isolation, simplicité) se généralisent sans problème à λ1 (m)
ainsi que l’existence d’une suite de valeurs propres du type Ljusternik-Schnirelmann pour
(4.13). Le cas avec m borné avait été traité par [An1], lorsque m est positif et non borné
par [Ag-Pe, Dr] et lorsque m est indéfini non borné par [All-Hu, Sz-Wi]. Il faut toutefois
savoir que, pour des poids m dans la classe L, les fonctions propres du problème (4.13)
ne sont pas en général de classe C 1 mais seulement de classe C α pour un α ∈ (0, 1). Ce
manque de régularité pose quelques problèmes techniques que nous ne discutérons pas ici.
Les premiers pas dans l’étude de (4.11) ont étés donnés par [Ar-Ca-Cu-Go1, [1]].
On peut montrer sans difficulté que λ1 (m) et λ1 (n) sont les seules valeurs propres positives principales de (4.11) et que toute autre valeur propre positive est supérieure au
max{λ1 (m), λ1 (n)}. Notre principal résultat consiste en la construction d’une valeur propre
positive non principale, valeur propre qui se révélera être la première valeur propre de (4.11)
ayant cette propriété. Cette valeur propre joue dans les problèmes asymétriques un rôle
analogue à celui de la seconde valeur propre des problèmes symétriques.
La construction deRcette nouvelle valeur propre se fait comme suit. Considérons la
fonctionnelleR Ep (u) = Ω |∇u|p et sa restriction Ẽp à la variété Mm,n := {u ∈ W01,p (Ω) :
Bm,n (u) := Ω (m(u+ )p + n(u− )p ) = 1}. Les valeurs propres positives de (4.11) sont exactement les valeurs critiques de Ẽp .
Théorème 4.4. [Ar-Ca-Cu-Go1,
R [1]] Soit ϕm > 0 (resp.
R ϕn ) la fonction propre associée
à λ1 (m) (resp. λ1 (n)) telle que Ω m|ϕm |p dx = 1 (resp. Ω n|ϕn |p dx = 1). Considérons la
28
famille Γ := {γ ∈ C([−1, +1], Mm,n ) : γ(−1) = ϕm et γ(+1) = −ϕn }. Alors
(4.15)
c(m, n) := inf
max
γ∈Γ u∈γ[−1,+1]
Ẽp (u)
est une valeur critique de Ẽp et c(m, n) > max{λ1 (m), λ1 (n)}. Les premières valeurs
propres positives de (4.11) sont exactement
min{λ1 (m), λ1 (n)} ≤ max{λ1 (m), λ1 (n)} < c(m, n).
Esquisse de la démonstration. On commence par montrer que ϕm et −ϕn sont des
minima locaux stricts de Ẽp , puis on utilise le théorème du col sur une variété C 1 pour
montrer que c(m, n) est une valeur critique de Ẽp > max{λ1 (m), λ1 (n)}.
Pour montrer que c(m, n) est la première valeur propre positive non principale on
suppose par contradiction qu’il existe λ valeur propre vérifiant max{λ1 (m), λ1 (n)} < λ <
c(m, n). On construit un chemin γ ∈ Γ sur lequel Ẽp reste ≤ λ, ce qui contredira (4.15).
Pour cela, soit u ∈ Mm,n une solution de (4.11) correspondant à λ. On se déplace d’abord
de u à v := u+ /(Bm,n (u+ ))1/p par une espèce de combinaison convexe sur la variété Mm,n
(comme dans la preuve du Théorème 4.1) tout en restant au niveau λ. On descend ensuite
par un chemin constitué de fonctions ≥ 0 jusqu’à une fonction v1 qui vérifie Ẽp (v1 ) < λ.
La construction ici utilise le fait que v n’est pas point critique de la restriction de Ep à
la variété Mm,m ainsi que l’observation que |w| ∈ Mm,m si w ∈ Mm,m . Pour poursuivre à
partir de v1 , on construit d’abord un poids n̂ tel que λ1 (n̂) > λ et n̂ ≤ m ; il s’ensuit que
le seul point critique dans O := {u ∈ Mm,n̂ : Ep (u) < λ} de la restriction de Ep à Mm,n̂
est ϕm . On applique alors le lemme 2.2 à l’ensemble O, ce qui fournit un chemin ν dans
O allant de v1 à ϕm . On se ramène ensuite à un chemin de v1 à ϕm dans la variété initiale
Mm,n en normalisant le chemin |ν|, et on vérifie enfin que ce nouveau chemin reste aussi
à des niveaux inférieurs à λ. Une construction analogue de u vers −ϕn conduit finalement
au chemin cherché.
La valeur c(m, n) jouit de plusieurs propriétés : (i) c(·, ·) dépend continûment de
(m, n) ∈ Lr × Lr ; (ii) c(·, ·) estR monotone au sens suivant : si m ≤ m̃ et n ≤ ñ alors
c(m, n) ≥ c(m̃, ñ) ; (iii) si de plus (m̃−m)(u+ )p +(ñ−n)(u− )p > 0 pour une fonction propre
u associée à c(m, n) alors c(m, n) > c(m̃, ñ) ; (iv) si 0 < s < s̃ alors c(sm, n) > c(s̃m, n) et
c(m, sn) > c(m, s̃n). La propriété la plus intéressante est (iii). Remarquons qu’en général
la monotonie stricte des valeurs propres est liée à la propriété de continuation unique des
opérateurs de l’équation, cf. [deFi-Go2] dans le cas du laplacien. Dans ce cas-là, la condition m ≤ m̃, n ≤ ñ et m 6= m̃, n 6= ñ est suffisante pour avoir c(m, n) > c(m̃, ñ).
Plus récemment [Ar-Ca-Cu-Go4] nous avons considéré le problème (4.11) sous des
conditions de Neumann sur le bord d’un domaine régulier, au lieu des conditions de Dirichlet.
Nous avons réussi
R
R à montrer un analogue du Théorème 4.4 en utilisant, suivant
si Ω m dx = 0 (et/ou Ω n dx = 0), la version forte du théorème du col sur une variété
C 1 (cf. Proposition 2.4) qui est plus adaptée à la condition de Palais-Smale de Cerami.
En effet, nous pouvons montrer que la fonctionnelle associée à notre problème satisfait ce
condition-là pour tout p > 1 mais nous ne savons pas si elle satisfait la condition usuelle
de Palais-Smale pour p 6= 2. Ce travail est en cours de rédaction.
29
4.6
Le spectre de Fučik avec poids
Soient m, n dans la classe L. Le spectre de Fučik avec poids m, n est défini comme
l’ensemble Σ(m, n) des (α, β) ∈ R2 tels que
(4.16)
−∆p u = αm(x)(u+ )p−1 − βn(x)(u− )p−1 dans Ω, u = 0 sur ∂Ω
admet une solution non triviale u. On désignera par Σ∗ (m, n) l’ensemble Σ(m, n) privé des
droites λ1 (m) × R et R × λ1 (n).
Il suit facilement du Théorème 4.4 que pour chaque s > 0, la droite β = sα intersecte
∗
Σ ∩ (R+ × R+ ) et que le premier point d’intersection est donné par α(s) = c(m, sn) et
β(s) = sα(s). En laissant varier s, on obtient de cette façon une première courbe non
triviale C2,(m,n) dans Σ∗ ∩ (R+ × R+ ). Les propriétés de c(m, n) entraı̂nent que cette courbe
est continue, strictement décroissante, avec des asymptotes α∞ × R et R × β∞ . Les niveaux
de ces asymptotes sont donnés par la proposition suivante :
Proposition 4.3.
(i) Si p ≤ N , alors α∞ = λ1 (m) et β∞ = λ1 (n).
(ii) Si p > N , alors α∞ = λ1 (m) si le support de n+ intersecte ∂Ω ; α∞ > λ1 (m) si le
support de n+ est compact dans Ω.
Un résultat analogue peut être obtenu pour β∞ en faisant intervenir le support de m+ .
Esquisse de la démonstration. On commence par montrer que α∞ = ᾱ et β∞ = β̄ où
Z
Z
Z
1,p
+ p
+ p
ᾱ := inf{ |∇u | : u ∈ W0 (Ω),
m(u ) = 1 et
n(u− )p > 0},
Ω
Z
β̄ := inf{
Ω
|∇u− |p : u ∈ W01,p (Ω),
Z
Ω
Ω
Ω
n(u− )p = 1 et
Z
m(u+ )p > 0}.
Ω
En effetR si (α, β) ∈ CR2,(m,n) et u est une fonction propre généralisée associée à (α, β)
alors α Ω m(u+ )p = Ω |∇u+ |p > 0 et par conséquent α ≥ ᾱ ou encore α∞ ≥ ᾱ. Si
R
R
par l’absurde
α∞ > ᾱ alors il existe u ∈ W01,p (Ω) tel que Ω m(u+ )p = 1, ΩR n(u− )p > 0
R
+ p
et ᾱ ≤ Ω |∇u+ |p < α∞ . Comme α∞ ≤ α(s) R= c(m, sn)R ∀s > 0 alors
| <
R Ω |∇u
− p
− p
+ p
c(m, sn) ∀s > 0. On choisit alors s > 0 tel que Ω |∇uR | / Ω sn(u ) = Ω |∇u | et on
construit un chemin de ϕm à −ϕn restant au niveau ≤ Ω |∇uR+ |p comme nous l’avions fait
dans la preuve de Théorème 4.4. Par conséquent c(m, sn) ≤ Ω |∇u+ |p , une contradiction.
Pour montrer (i) on montre l’existence de fonctions admissibles dans la définition de ᾱ
convergeant vers ϕm . On s’inspire ici des travaux de [deFi-Go2], [Ar-Ca-Go], [Go-Go-Pa] :
on “creuse un trou” autour d’un point x0 du (supp n+ ) ∩ Ω dans le but d’introduire une
partie négative adéquate dans le graphe de ϕm .
Pour montrer (ii), dans le cas où p > N et le support de n+ intersecte ∂Ω, on introduit
une partie négative à ϕm proche de ∂Ω . Dans le cas où le support de n+ est un compact de
Ω on suppose par contradiction que ᾱ = λ1 (m) et on prend uk une suite minimisante dans
1,p
la définition de ᾱ. Quitte à prendre une sous-suite, u+
k converge faiblement dans W0 (Ω)
30
R
et Rfortement dans C(Ω̄) vers une fonction 0 ≥ v ∈ W01,p (Ω) qui satisfait Ω |∇v|p ≤ λ1 (m)
et Ω mv p = 1. Donc v = ϕm . Comme ϕm ≥ > 0 sur le supp n+ , il s’en Rsuit que u+
k ≥ /2
−
− p
+
+
sur supp n pour k grand. On aura alors uk = 0 sur supp n , et donc Ω n(uk ) = 0, en
contradiction avec le fait que uk est admissible dans la définition de ᾱ.
5
Le spectre de Fučik fonctionnel : l’approche analytique
Dans les sections précédentes nous avons construit des points du spectre de Fučik par
des méthodes variationnelles, que se soit pour l’opérateur laplacien ou p-laplacien. Dans les
deux cas, nous avons vu, parmi d’autres résultats, que Σp contient des courbes symétriques
passant par les points de la diagonale de R2 .
Une question naturelle est de savoir si le spectre de Fučik est composé seulement de
courbes (comme dans le cas N = 1) ou si, au contraire, il contient des ensembles de mesure
non nulle, comme par exemple des ouverts. Pour cette étude qualitative du spectre on
utilise une approche analytique qui consiste à formuler Σ comme l’ensemble de zéros de la
dérivée d’une fonctionnelle différentiable puis à appliquer des résultats de transversalité à
cette fonctionnelle. Par exemple considérons le spectre de Fučik du laplacien dans H01 (Ω)
et la fonctionnelle H : R × R × H01 (Ω) 7→ H01 (Ω) donné par H(α, β, u) = u − G(αu+ − βu− )
où G : H −1 (Ω) 7→ H01 (Ω) est l’opérateur de Green défini par G(f ) = u ⇔ −∆u = f dans
Ω, u = 0 sur ∂Ω. Avec cette notation Σ est l’ensemble des (α, β) ∈ R2 tel qu’il existe
u ∈ H01 (Ω) \ {0} tel que Hu0 (α, β, u) = 0. Nous allons expliquer dans cette section quelles
sont les difficultés dans l’application des résultats de transversalité à cette fonctionnelle
H qui font que, malheuresement, on ne puisse pas conclure que Σ◦ = ∅ pour un domaine
Ω arbitraire. Plusieurs travaux sur cette question donnent une réponse générique soit par
rapport au domaine, soit par rapport aux coefficients lorsqu’on considère des opérateurs
différentiels elliptiques de second ordre plus généraux, cf. [Da, Pi, Ry].
Dans le travail [Ar-Ca-Cu-Go3, [2]] nous avons montré que si, au lieu de prendre les
paramètres (α, β) dans la définition de Σ, on prenait des poids (m(x), n(x)) alors il est
possible de donner une réponse à la question de l’ouvert, quel que soit le domaine Ω. Plus
précisément nous avons considéré le problème homogène
−∆u = m(x)u+ − n(x)u− dans Ω,
(5.1)
u = 0 sur ∂Ω
où m et n appartienent à Lr (Ω) pour un r fixé tel que r > N/2 si N ≥ 2, r = 1 si N = 1.
Le spectre de Fučik fonctionnel de −∆ sur H01 (Ω) est alors défini comme l’ensemble
def
Σf = {(m, n) ∈ Lr (Ω) × Lr (Ω) : (5.1) possède une solution non triviale u}.
Le spectre fonctionnel Σf peut être vu comme une généralisation du spectre de Fučik.
Par le Théorème 4.4 l’ensemble Σf n’est pas un ensemble trivial. Dans ce chapitre nous
montrerons que Σf est d’intérieur vide, cf. Théorème 5.1. Signalons que ce résultat ne
donne aucune information sur Σ.
31
5.1
Transversalité et différentiabilité stricte
Le complémentaire des ensembles d’intérieur vide sont des ensembles denses. La proposition suivante donne des conditions suffisantes pour qu’un ensemble R défini par une
fonctionnelle F soit résiduel. Un ensemble résiduel est une intersection dénombrable d’ouverts denses. Par le théorème de Baire, un ensemble résiduel dans un espace métrique
complet est dense.
Proposition 5.1. [Ar-Ca-Cu-Go3, [2]] Soient X, Y, E trois espaces de Banach, X et Y
séparables, U ⊂ Y un ouvert non vide, et F : X × U → E une application continue.
Supposons que pour tout (x0 , y0 ) ∈ F −1 (0) on a :
(i) F est strictement différentiable en (x0 , y0 ),
(ii) la dérivée partielle de Fy0 (x0 , y0 ) : Y → E est Fredholm d’index 0,
(iii) la dérivée F 0 (x0 , y0 ) : X × Y → E est surjective.
Alors l’ensemble
R := {x ∈ X : Fy0 (x, y) : Y → E est un isomorphisme ∀y ∈ U satisfaisant F (x, y) = 0}
est résiduel dans X.
Rappellons qu’une application F comme ci-dessus est strictement différentiable en z0 =
(x0 , y0 ) si et seulement si il existe une application linéaire continue L : X × Y → E telle
que pour tout > 0 il existe δ > 0 tel que
(5.2)
||F (z1 ) − F (z2 ) − L(z1 − z2 )||E ≤ ||z1 − z2 ||X×Y
pour tout z1 et z2 dans X × Y satisfaisant ||z1 − z0 ||X×Y et ||z2 − z0 ||X×Y < δ. Il est clair
que F est alors Fréchet différentiable en (x0 , y0 ), avec F 0 (x0 , y0 ) = L.
Esquisse de la démonstration. La preuve de cette proposition est une conséquence de
la version suivante du théorème de Smale-Sard (cf. [Ab-Ma-Ra]) :
Soit M une variété 1 fermé de classe C 1 modelée sur un espace de Banach séparable et
f : M → N une application C 1 de Fredholm avec indice égal à 0. Alors
R0 := {n ∈ N : df (z) est surjective pour tout z ∈ f −1 (n)}
est un sous-ensemble résiduel de N .
Dans notre cas M = f −1 (0) ⊂ X × U, N = X et f = P |F −1 (0) : F −1 (0) → X,
où P : X × Y → X est la projection sur X. Dans ce cas R0 = R car pour tout point
(x0 , y0 ) ∈ X × U tel que F (x0 , y0 ) = 0, df (x0 , y0 ) est surjective si et seulement si Fy0 (x0 , y0 )
est surjective si et seulement si Fy0 (x0 , y0 ) est injective (puisqu’elle est de Fredholm d’indice
0).
1
Dans la version originale M est une variété de Lindelöf. Or M ⊂ X × Y est fermé et les espaces X, Y
sont séparables, le théorème de Lindelöf entraı̂ne que F −1 (0) est une variété de Lindelöf.
32
Pour montrer que que F −1 (0) est une variété de classe C 1 on utilise le lemme 1 de [Da]
avec Z = X × Y . Nous donnons dans [Ar-Ca-Cu-Go3, [2]] une démonstration alternative
de ce lemme. Il suffit de vérifier (b) pour tout z0 ∈ F −1 (0). Comme Fy0 (z0 ) : Y → E est
de Fredholm d’indice 0, nous pouvons écrire Y = Y1 ⊕ Y2 , E = E1 ⊕ E2 , où Y1 , Y2 ⊂ Y ,
E1 , E2 ⊂ E sont des sous-espaces fermés, Y1 = Ker Fy0 (z0 ), E1 = Im Fy0 (z0 ) et dim Y1 =
dim E2 (= k). Par (iii) il existe S ⊂ X × Y de dimension k tel que F 0 (z0 )(S) = E2 . Alors
on montre que X × Y = ({0} × Y2 ) ⊕ S ⊕ Ker F 0 (z0 ) ce qui prouve (b).
Pour montrer que f = P |F −1 (0) : F −1 (0) → X est de Fredholm de classe C 1 d’indice 0,
on remarque que Ker df (z0 ) est de dimension finie par (ii) ; que Im df (z0 ) est de codimension
finie car X = Im df (z0 ) ⊕ P (S), avec dimP1 (S) = dim S = k (puisque P est injective sur
S) et que Im df (z0 ) est fermé parce que Fy0 (z0 ) est fermé par (ii).
2
5.2
Le spectre de Fučik fonctionnel est d’intérieur vide
Une application de la Proposition 5.1 est le théorème suivant :
Théorème 5.1. [Ar-Ca-Cu-Go3, [2]] L’ensemble Σf de Lr (Ω)×Lr (Ω) est d’interieur vide.
Esquisse de la démonstration. On applique la Proposition 5.1 avec X = Lr (Ω) × Lr (Ω),
Y = H01 (Ω), U = H01 (Ω) \ {0}, E = H01 (Ω), et F donné par
F : Lr (Ω) × Lr (Ω) × H01 (Ω) → H01 (Ω) : (m, n, u) → u − G(mu+ − nu− ),
où G : H −1 (Ω) → H01 (Ω) est l’opérateur de Green. Dans ce cas Lr (Ω) × Lr (Ω) \ Σf = R
car si (m0 , n0 , u0 ) est une solution de (5.1) avec u0 6≡ 0, alors
−
Fu0 (m0 , n0 , u0 )(u0 ) = F 0 (m0 , n0 , u0 )(0, 0, u0 ) = u0 − G(m0 u+
0 − n0 u0 ) = 0,
et donc Fu0 (m0 , n0 , u0 ) ne serait pas un isomorphisme, c.-à-d., (m0 , n0 , u0 ) 6∈ R.
(i) F est strictement différentiable en tout point (m0 , n0 , u0 ) ∈ Lr (Ω) × Lr (Ω) × H01 (Ω) tel
que |u0 = 0| = 0, et sa différentielle est F 0 (m0 , n0 , u0 ) : (m, n, u) → u − G(s0 (x)u + mu+
0 −
−
nu0 ), où
m0 (x) sur {u0 > 0}
(5.3)
s0 (x) =
n0 (x) sur {u0 < 0}.
Comme toute solution u 6≡ 0 de (5.1) est telle que |u = 0| = 0 par la propriété de
continuation unique, alors F est strictement différentiable en tout (m0 , n0 , u0 ) ∈ F −1 (0).
(ii) Le fait que Fu0 (m0 , n0 , u0 ) : H01 (Ω) → H01 (Ω) est de Fredholm d’indice 0 pour tout
(m0 , n0 , u0 ) solution de (5.1) avec u0 6≡ 0 suit du fait que Fu0 (m0 , n0 , u0 )(v) = v−G(s0 v) ∀v ∈
H01 (Ω) est une perturbation compacte de l’identité.
2
Le résultat de [Da] est le suivant : Soit Z, E deux espaces de Banach, W ⊂ Z un ouvert et F : W → E
une application. Supposons que pour tout z ∈ F −1 (0), on a : (a) F est strictement différentiable en z,
(b) Ker F 0 (z) possède un complémentaire topologique dans Z et (c) F 0 (z) : Z → E est surjective. Alors
F −1 (0) ⊂ Z est une variété de classe C 1 .
33
(iii) On vérifie finalement que F 0 (m0 , n0 , u0 ) : Lr (Ω) × Lr (Ω) × H01 (Ω) → H01 (Ω) est
surjective pour tout (m0 , n0 , u0 ) solution de (5.1) avec u0 6≡ 0. Pour cela on constate
d’abord que Im F 0 (m0 , n0 , u0 ) est fermé puisque Im F 0 (m0 , n0 , u0 ) ⊃ Im Fu0 (m0 , n0 , u0 ) et
Im Fu0 (m0 , n0 , u0 ) est un sous-espace fermé de codimension finie. Ensuite on montre que
[Im F 0 (m0 , n0 , u0 )]⊥ = {0}. En effet si w ∈ H01 (Ω) appartient à [Im F 0 (m0 , n0 , u0 )]⊥ alors
Z
−
∇w · ∇(u − G(s0 u + mu+
∀(m, n, u) ∈ Lr (Ω) × Lr (Ω) × H01 (Ω).
(5.4)
0 − nu0 )) dx = 0,
Ω
R
−
r
En prenant u =
0
on
obtient
∇w · ∇G(mu+
0 − nu0 ) dx = 0 pour tout (m, n) ∈ L (Ω) ×
Ω
R
−
+
r
r
Lr (Ω), c.-à-d. Ω w(mu+
0 − nu0 ) dx = 0 pour tout (m, n) ∈ L (Ω) × L (Ω). Donc wu0 ≡
wu−
0 ≡ 0 et, par la propriété de continuation unique, w ≡ 0.
Remarque 5.1. Sauf pour la surjectivité de F 0 (m0 , n0 , u0 ), la démonstration du Théorème 5.1
reste vraie si l’on remplace Lr (Ω) × Lr (Ω) par R × R, c.-à-d. lorsqu’on prend m et n
constantes. En ce qui concerne la surjectivité de F 0 (m0 , n0 , u0 ) avec m0 , n0 ∈ R et u0 solution de (5.1), u0 6≡ 0, on peut seulement déduire de (5.4) que w ∈ Im F 0 (m0 , n0 , u0 )]⊥ si et
seulement si

 −∆w = s0 w in Ω,
w = 0 on ∂Ω,
(5.5)
R
 R
−
wu+
0 = Ω wu0 = 0.
Ω
Il n’est pas difficile de trouver des domaines Ω, des constantes m, m et des solutions u0
de (5.1) tels que l’équation (5.5) possède une solution w non triviale. Par exemple pour
Ω = B(0, 1), m0 = n0 = λ2 et u0 = u0 (r, θ) une fonction propre associée à λ2 , alors
w = u0 (r, θ + π/2) satisfait (5.5).
Remarque 5.2. Remarquons que si l’on impose aux constantes m, n que
dim{w ∈ H01 : −∆w = s0 w} = 1,
pour tout u0 solution de (5.1) et avec s0 défini dans (5.3) (ce qui équivaut à demander
que {w ∈ H01 (Ω) : −∆w = s0 w} = Ru0 ), alors w ≡ 0 est l’unique solution de (5.5) et
par conséquent F 0 (m0 , n0 , u0 ) est surjective. Cette dernière condition a été utilisée, entre
autres, par [Po], [Da], [Pi],[Ry] pour établir des propriétés du type générique de Σ.
6
Résultats de résonance pour l’operateur laplacien
Nous présentons dans cette section deux résultats de résonance. Le premier résultat
concerne la résonance par rapport à un point de la première courbe non triviale C2 du spectre
de Fučik. Ce travail a été le fruit d’une collaboration avec D. Costa [Cos-Cu, [3]] où nous
avons obtenu l’un des premiers résultats de résonance par rapport à la première courbe
non triviale du spectre de Fučik. Les conditions de résonance que nous avons considérées
sont un peu plus générales que celles de Landesman-Lazer et incluent les hypothèses sur
34
la non-quadricité à l’infini introduites par le premier auteur dans des travaux antérieurs.
Notre approche est variationnelle et fait intervenir la construction de la première courbe
non triviale du spectre de la sous-section 1.2.
Le deuxième résultat traite la résolution d’un problème superlinéaire et résonnant par
rapport à la première valeur propre. Ce travail á été fait récemment en collaboration avec D.
de Figueiredo et P.N. Srikanth [Cu-deFi-Sr, [8]] et notre contribution a été l’amélioration
de l’exposant du terme superlinéaire pour lequel le problème est résoluble.
6.1
Résonance par rapport à C2
Considérons le problème
(6.1)
−∆u = αu+ − βu− + g(x, u) dans Ω;
u = 0 sur ∂Ω,
avec (α, β) ∈ C2 . Nous
R s supposerons que le problème est résonnant dans le sens que la
primitive G(x, s) = 0 g(x, σ)dσ satisfait
2G(x, s)
= 0 unif. p.p.t. x ∈ Ω .
|s|→∞
s2
(6.2)
lim
Si l’on pense déjà au cas β = α = λ2 et g(x, s) = g(s) + h(x) h ∈ L∞ (Ω) avec g(s)
tel que les limites g(±∞) = lim g(s) satisfont une des conditions suivantes du type
s→±∞
Landesman-Lazer

 ±g(±∞) > 0,
où

±g(±∞) < 0,
g(−∞) < g(s) < g(+∞)
g(+∞) < g(s) < g(−∞),
il est clair qu’il faut imposer de nouvelles hypothèses à g afin de permettre la résolution
de (6.1). Nous supposerons ici que G(x, s) est non quadratique à l’infini dans le sens que
soit (NQ)+ où (NQ)− est vérifié :
(NQ)±
lim [sg(x, s) − 2G(x, s)] = ±∞ unif. p.p.t x ∈ Ω.
|s|→∞
Ces conditions sont plus faibles que celles du type Landesman-Lazer mentionnées ci-dessus.
Le résultat que nous avons obtenu dans [Cos-Cu, [3]] est le suivant :
Théorème 6.1. [Cos-Cu, [3]]. Supposons que g : Ω × R → R est une fonction de Carathéodory avec croissance sous-critique, c.-à-d., |g(x, s)| ≤ ao |s|p−1 +bo p.p.t x ∈ Ω, s ∈ R
avec a0 , b0 > 0 et 1 ≤ p < 2∗ . Soit (α, β) ∈ C2 et supposons (6.2) et (NQ)+ . Alors le
problème (6.1) possède au moins une solution u ∈ H01 (Ω).
Esquisse de la démonstration. Considérons la fonctionnelle I : H01 (Ω) → R de classe C 1
définie par
Z
Z
1
2
2
2
I(u) =
(|∇u| − αu+ − βu− )dx − G(x, u)dx = q(u) − N (u).
2 Ω
Ω
35
I est anticoercive sur le sous-espace engendré par ϕ1 dû au fait que, par (6.2), on peut
trouver ε > 0 et C > 0 tels que 2G(x, s) ≥ −εs2 − C ∀ s ∈ R et donc, si 0 < ε <
2
min{α − λ1 , β − λ1 }, I(u) ≤ 21 t2 (λ1 − α) + εt2 + C2 |Ω| → −∞ lorsque t → ±∞.
On montre aussi que I est bornée inférieurement sur le cône M(α,β) ⊂ H01 (Ω) défini
dans (1.1). Remarquons que la propriété (1.7) est équivalente à l’estimation q(u) ≥ 0
∀ u ∈ M(α,β) . D’autre part l’hypotèse (NQ)+ entraı̂ne que lim|s|→∞ G(x, s) = −∞ unif.
p.p.t. x ∈ Ω, donc N (u) ≤ D|Ω| ∀ u ∈ H01 (Ω) et I(u) = q(u) − N (u) ≥ −D|Ω| ∀ u ∈
M(α,β) .
Finalement on vérifie que I satisfait la condition de Palais-Smale de Cerami. Dans notre
cas, par les conditions de croissance sur g, il suffit de vérifier que les suites satisfaisant
la condition (C) (voir sous-section 2.2) sont bornées. En effet si par l’absurde il existe
un ∈ H01 (Ω) telle que I(un ) → c, kI 0 (un )k(1 + kun k) → 0 et kun k → ∞ alors d’une part
Z
lim
(g(x, un )un − 2G(x, un ))dx = lim (2I(un ) − (I 0 (un ), un )) = 2c
n→∞
n→∞
Ω
et d’autre part, comme sur un ensemble Ω0 ⊂ Ω, |Ω0 | > 0, |un (x)| → +∞ p.p.t. x ∈ Ω0 ,
on obtient par (NQ)+
lim inf [g(x, un (x))un (x) − 2G(x, un (x))] = +∞
n→∞
p.p.t. x ∈ Ω0 .
Comme g est de croissance sous-critique, g(x, un )un (x) − 2G(x, un (x)) ≥ −M p.p.t. x ∈ Ω,
pour un M > 0 et on conclut que
R
lim inf n→∞ Ω (g(x,Run )un − 2G(x, un ))dx
≥ lim inf n→∞ Ω0 (g(x, un )un − 2G(x, un ))dx − M |Ω\Ω0 | = ∞ ,
une contradiction.
Une solution du problème (6.1) est alors obtenue par une version du théorème du col
adaptée à la condition de PS de Cerami (cf. Proposition 2.3 dans le cas d’une variété).
précisément on considère la famille Λ = {h ∈ C([−1, 1], H01 (Ω)) : h(±1) = ±T φ1 }, avec
T > 0 étant choisi de telle façon que
inf
u∈M(α,β)
I(u) > max{I(T φ1 ), I(−T φ1 )}.
La condition géométrique est alors vérifiée étant donné que
Z
Z
β − λ1
β − λ1
h(1)− )φ1 dx
(h(−1)+ −
h(−1)− )φ1 dx < 0
(h(1)+ −
α − λ1
α − λ1
Ω
Ω
R
β−λ1
et donc, par continuité, il existe t ∈] − 1, 1[ tel que Ω (h(t)+ − α−λ
h(t)− )φ1 dx = 0, c.-à-d.,
1
h(t) ∈ M(α,β) .
Lorsqu’on suppose la condition (NQ)− au lieu de (NQ)+ , la fonctionnelle I est anticoercive sur le demi-espace Rφ1 ⊕ R+ v où v est une solution non triviale arbitraire de (6.1).
36
Sauf pour le cas de dimension N = 1, l’ensemble des fonctions propres généralisées associées aux points de C2 n’est pas déterminé. Cette information est nécessaire pour décrire
la géométrie de la fonctionnelle I afin de trouver des points critiques par un théorème du
type point-selle ou similaire. Dans notre travail [Cos-Cu, [3]] nous avons prouvé un résultat
analogue au Théorème 6.1 avec (NQ)− au lieu de (NQ)+ , pour le problème à une dimension
avec conditions au bord périodiques où l’on connait une caractérisation variationnelle de
tout le spectre de Fučik due à [deFi-Ru]. Nous n’en parlerons pas ici.
6.2
Un problème superlinéaire et résonnant par rapport à λ1
Considérons le problème elliptique superlinéaire suivant
(6.3)
−∆u = λ1 u + (u+ )p + f (x) dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
Nous supposerons que Ω est un domaine borné de RN avec un bord régulier, N ≥ 3, p > 1
et f (x) 6≡ 0 une fonction de Lr (Ω) pour un r > N fixé.
Une condition nécessaire sur f pour la résolution de (6.3)
peut être Robtenue en multiR
+ p
pliant l’équation
par
ϕ
et
en
intégrant
sur
Ω.
On
obtient
f
ϕ
1
1 dx = − Ω (u ) ϕ1 dx ≤ 0.
Ω
R
Le cas Ω f ϕ1 dx = 0 conduit au problème trivial
−∆u = λ1 u + f (x) dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω
et u ≤ 0.
Pour résoudre ce problème on prend la solution u1 ⊥ϕ1 de −∆u = λ1 u + f (x) puis on
choisit u =Ru1 − tϕ1 avec t > 0 suffisamment grand pour que u ≤ 0.
Le cas Ω f ϕ1 dx < 0 a été étudié par plusieurs auteurs. Par exemple dans [Kan-Or]
on obtient la résolubilité de (6.3) sous la contrainte 1 < p < NN−1 . Dans notre travail
[Cu-deFi-Sr, [8]] nous avons amélioré cette contrainte :
R
Théorème 6.2. [Cu-deFi-Sr, [8]] Supposons que f satisfait à la condition Ω f ϕ1 dx < 0
+1
et que 1 < p < N
. Alors (6.3) possède au moins une solution dans H 2,r (Ω) ∩ H01 (Ω).
N −1
La preuve de ce théorème utilise des arguments topologiques pour lesquels on a besoin
des bornes a-priori des solutions de (6.3). Ces bornes sont obtenues grâce à une inégalité
du type Hardy-Sobolev qui est cruciale dans l’obtention de nos estimations.
Esquisse de la démonstration. On considère l’application Tf : C01 (Ω) → C01 (Ω) défine
par Tf (u) = (−∆)−1 (λ1 u + (u+ )p + f ). Les points fixes de Tf sont les solutions de (6.3).
L’existence d’un point fixe est assurée par la théorie du degré si on montre que d(Id −
Tf , BC01 (Ω) (0, R), 0) 6= 0 où d désigne le degré de Leray-Schauder. Pour cela on montre
d’abord une estimation a-priori des solutions de (6.3) de la forme
(6.4)
kukC01 (Ω) ≤ ρ(kf kr ),
où ρ : R+ → R+ est une fontion continue croissante telle que ρ(0) = 0 et kf kr désigne la
1
1 p−1
alors toute solution
norme Lr de f . En prenant ensuite < 1 telle que ρ() < ( λ2 −λ
)
p
37
1
1 p−1
)
=: R0 et le problème linéarisé en
u0 de (6.3) avec |f |r < satisfait kukC01 (Ω) < ( λ2 −λ
p
u0
p−1
−∆v = [λ1 + p(u+
]v dans Ω, v = 0 sur ∂Ω
0)
p−1
n’aura pas de solution non triviale car λ1 < λ1 + p(u+
< λ2 . Par conséquent u0 est
0 (x))
une solution non dégénérée d’indice de Morse égal à 1. De plus il y a seulement un nombre
fini de solutions de (6.3) dans BC01 (Ω) (0, R) pour tout R > R0 et d(Id−Tf , BC01 (Ω) (0, R), 0) =
P0
−1 6= 0. Il n’est pas difficile de voir que si on prend f1 = −(tϕ1 )p avec 0 < t < ( kϕp kr )1/p
1
alors u0 = tϕ1 est une solution de (6.3) et le résultat précedént sur l’indice est alors valable.
Finalement en considérant l’homotopie
−∆u = λ1 u + (u+ )p + (1 − τ )f + τ f1 dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω
avec 0 ≤ τ ≤ 1, par (6.4) les solutions de cette homotopie sont uniforméments bornées dans
C01 (Ω) et donc, pour R assez grand, d(Id−Tf , BC01 (Ω) (0, R), 0) = d(Id−Tf1 , BC01 (Ω) (0, R), 0) 6=
0 et on conclut la preuve du théorème.
L’estimation (6.4) est donc cruciale
dans cette approche. Elle est obtenue en décomposant
R
les solutions u en u = tϕ1 +v avec Ω vϕ1 dx = 0. La composante t peut être majorée comme
suit
Z
Z
Z
−
+
u ϕ1 dx − u ϕ1 dx ≤ C( (u+ )p ϕ1 dx)1/p ≤ Ckf k1/p
t=
r .
Ω
Ω
Ω
1/p
C|f |r ,
Si t > 0 alors |t| ≤
donc il suffit de trouver une estimation de v. Si t < 0 alors on
utilise le principe du maximum de Hopf pour dire que ϕ1 appartient à l’intérieur du cône
des fonctions positives de C01 (Ω), c.-à-d., il existe > 0 telle que si
v ∈ BC01 (Ω) (ϕ1 , ) ⇒ v > 0 dans Ω et
Par conséquent
−v
t
=
−u
t
∂v
< 0 sur ∂Ω.
∂n
+ ϕ1 6∈ BC01 (Ω) (ϕ1 , ) (car ( −u
)− =
t
−u+
t
6= 0), c.-à-d.,
1
|t| ≤ kvkC01 (Ω) .
Dans les deux cas, t > 0 ou t < 0, on se ramène donc à une estimation de kvkC01 (Ω) . Comme
R
R
par (6.3) (1 − λλ21 )kvk2 ≤ Ckf kr kvk + | Ω (u+ )p vdx|, il suffit de montrer que | Ω (u+ )p vdx| =
O(kvkδ ), pour un 0 < δ < 2, lorsque kvk → +∞ et d’utiliser la théorie de laR régularité
pour obtenir des estimations de la norme kvkC01 (Ω) . L’estimation de l’intégrale Ω (u+ )p vdx
est obtenue grâce à l’inégalité de Hardy-Sobolev suivante, que nous ne démontrons pas ici :
+2
Soit 1 < p ≤ N
. Il existe C = C(p, Ω), α ∈ [0, 1), δ ∈ (1, 2∗ ] tels que, pour toute paire
N −2
1
u, v ∈ H0 (Ω), |u| ≤ v p.p.t., on a
Z
Z
Z
p
p
α
|u| v dx ≤ C( |u| ϕ1 dx) ( |∇v|2 dx)δ/2 .
Ω
Si de plus p <
N +1
N −1
Ω
Ω
alors α ∈ (0, 1) et δ ∈ (1, 2).
38
Un axe de mes recherches actuelles est l’étude de problèmes résonnants superlinéaires
dans le cas de la dimension N = 2. Signalons que nous avions supposé dans cette section
que N ≥ 3, dimension pour laquelle l’exposant critique est 2∗ = N2N
. Il est bien connu que
−2
pour N = 2 la croissance du terme non linéaire dans une équation comme 6.1 peut être du
δ
type eu pour δ < 2. Nous travaillons actuellement dans la résolution du problème
−∆u = λ1 u + g(u) + f (x) dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω,
δ
avec g(u) = (u+ )p , p > 1, puis nous traiterons le cas g(u) = eu avec δ < 2.
7
Résultats de non-résonance en dimension 1
Nous allons présenter dans cette section deux résultats de non-résonance : le premier
concernant l’opérateur p-laplacien et le second l’opérateur φ-laplacien. Nos démonstrations
sont basées dans la théorie du degré et des estimations a-priori des solutions obtenues à
l’aide de l’opérateur de “time-mapping” associé à chaque problème. Les démonstrations des
deux théorèmes principaux, Théorème 7.1 et Théorème 7.2, sont assez techniques. Nous
invitons les lecteurs intéressés à consulter les articles [Cu-Go-Om, [10]] et [Cu-Ga, [9]]
pour compléter les démonstrations.
7.1
Non-résonance sous C2,p
Considérons le problème :
(7.1)
−(|u0 |p−2 u0 )0 = f (u) + e(t) dans (0, 1),
u(0) = u(1) = 0
Rs
avec p ∈ (1, +∞), f : R → R continue et e ∈ L∞ (0, 1). Posons F (s) = 0 f (ξ) dξ.
Il est bien connu que lorsque f satisfait à la condition du type Hammerstein
lim sup
s→±∞
pF (s)
< λ1,p .
|s|p
on a la résolution de (7.1), quel que soit le terme forçant e. Cette condition a été affaiblie
par exemple par [Fe-Om-Za] dans le cas p = 2, puis par [Man-Za], dans le cas p 6= 2, par
la condition
pF (s)
< λ1,p .
lim inf
s→±∞
|s|p
Il est naturel de se demander si une condition similaire à droite de λ1,p est suffisante pour
la résolution de (7.1). Nous avons établi dans [Cu-Go-Om, [10]] le théorème suivant :
Théorème 7.1. [Cu-Go-Om, [10]] Soit (µ, ν) un point de la première courbe C2,p de
Σp (0, 1) et supposons que
(h1 )
lim f (s)sgn(s) = +∞,
s→±∞
39
(h2 )
lim sup
s→±∞
(h3 )
lim sup
s→+∞
f (s)
≤µ
|s|p−2 s
pF (s)
> λ1,p ,
|s|p
et
lim sup
s→−∞
f (s)
≤ ν,
|s|p−2 s
pF (s)
pF (s)
<µ
ou
lim inf
< ν.
p
s→+∞
s→−∞
|s|
|s|p
Alors pour toute fonction e ∈ L∞ (0, 1), le problème (7.1) possède au moins une solution.
(h4 )
lim inf
que
Esquisse de la démonstration. L’idée est de construire un couple (α, β) de sous et sursolutions avec β ≤ α et d’adapter un résultat de de Coster-Henrard [deCo-He] sur l’existence de solutions sous la présence d’un couple de sous et sur-solutions mal ordonnées.
Précisément pour ce couple (α, β) on définit l’homotopie
−(|u0 |p−2 u0 )0 = (1 − ρ)(f (u) + e(t)) + ρk(t, u) dans (0, 1);
u(0) = u(1) = 0,
où k(t, s) = f (α(t)) + a|s|p−2 s + η si s ≥ α(t), k(s, t) = f (β(t)) + a|s|p−2 s − η si s ≤ β(t)
et k(s, t) = combinaison linéaire si β(t) < s < α(t). ; avec ρ ∈ [0, 1], λ1 < a < min{µ, ν} et
η > 0 suffisamment grand. On montre, par des arguments assez techniques, que la condition
(h3 ) entraı̂ne des estimations a-priori sur le maximum et le minimum des solutions u de
cette homotopie telles que β(t0 ) < u(t0 ) < α(t0 ) pour au moins un t0 ∈ (0, 1). Donc
deg(I − T0 , U, 0) = deg(I − T1 , U, 0) où Tρ : C01 [0, 1] 7→ C01 [0, 1] est l’opérateur associé à
l’homotopie et U est un ouvert de la forme
U := u ∈ C01 [0, 1] | min(u − α) < 0 < max(u − β), A < min u, max u < B, ||u0 ||∞ < C .
Pour conclure on introduit une deuxième homotopie
−(|u0 |p−2 u0 )0 = ρk(t, u) + (1 − ρ)a|u|p−2 u dans (0, 1) u(0) = u(1) = 0,
ρ ∈ [0, 1], et on montre que toutes ses solutions sont bornées dans C01 [0, 1] par une constante
D, d’où
deg(I − T1 , U, 0) = deg(I − S1 , B(0, D), 0) = deg(I − S0 , B(0, D), 0) = −1
où nous avons noté par Sρ l’opérateur associé à cette dernière homotopie.
La construction de la sous-solution α se fait comme suit. Les hypothèses (h1 ) et (h2 )
1/p
entraı̂nent l’existence d’une suite dn → +∞ et d’une constante K > λ1,p tels que
p(G(dn ) − G(s)) ≥ K p (dpn − sp )
pour tout 0 ≤ s ≤ dn
Rs
où G(s) = 0 g(ρ) dρ et g(s) = f (s) − kek∞ . Soit c0 > 0 tel que g(s) > 0 pour tout s > c0 .
Considérons le problème aux valeurs initiales
−(|u0 |p−2 u0 )0 = g(u);
u(0) = dn , u0 (0) = 0.
40
Soit un la solution (maximale) définie sur l’intervalle [0, ω[. Soit σ tel que u(σ) = c0 et
τ tel que u(τ ) = 0. En utilisant l’opérateur de time map (cf. sous-section 3.1) on obtient
l’estimation suivante de σ
Z
Z dn
1/p
λ1,p
ds
ds
1
p − 1 1/p dn
1
1/p
)
(p
−
1)
(<
).
σ≤(
≤
≤
p
1/p
p 1/p
p
K
2K
2
c0 (G(dn ) − G(s))
c0 (dn − s )
Remarquons que puisque p−1
|u0 (σ)|p = G(dn ) − G(c0 ), en prenant dn assez grand on peut
p
faire u0 (σ) suffisamment petit pour que τ < 21 . La sous-solution αn est alors construite
comme suit

pour 0 ≤ t ≤ τ,
 u(τ − t)
dn
pour τ < t < 1 − τ,
α(t) =

u(t − 1 + τ ) pour 1 − τ ≤ t ≤ 1,
On construit une sur-solution β < 0 d’une façon analogue.
7.2
Non-résonance entre deux pseudo-valeurs propres
On s’intéresse maintenant à la résolution du problème
(7.2)
−(φ(u0 ))0 = f (u) + e(t); dans (0, 1),
u(0) = u(1) = 0,
où φ : R 7→ R est un homéomorphisme impair et croissant, f ∈ C(R), et e ∈ L∞ (0, 1).
L’opérateur du second ordre −(φ(u0 ))0 a été étudié dans la section 3.2 où nous avons
introduit la notion de pseudo-valeur propre. Nous supposerons dans cette section que φ
satisfait les conditions (φ1 ) et (φ2 ) (cf. Proposition 3.1).
On cherche donc des conditions sur f afin que (7.2) ait des solutions quel que soit
le terme e. Ce problème a été consideré entre autres par [Ga-Ma-Za1, Ga-Ma-Za2] qui
montrent que la condition du type Dolph suivante : pour un n ∈ N∗ il existe A, B ∈ R et
s0 ∈ R+ tels que
f (s)
≤ B < Λ−
∀|s| ≥ s0 ,
Λ+
n+1
n < A ≤
φ(s)
est suffisante pour assurer la résolution de (7.2) quel que soit e ∈ L∞ (0, 1). Dans notre
travail [Cu-Ga, [9]] nous avons affaibli l’hypothèse ci-dessus dans la direction suivie par
[Fe-Om-Za] et [Cu-Go-Om, [10]] et comme nous avions
R xfait dans la sous-section
R x précédente.
Notre résultat est le suivant. Rappelons que Φ(x) = 0 φ(t) dt et F (x) = 0 f (t) dt.
−
Théorème 7.2. [Cu-Ga, [9]] Supposons qu’il existe m ∈ N, m ≥ 2 tel que Λ+
m < Λm+1 .
Supposons que φ et f satisfont
(7.3)
Λ+
m ≤ lim inf
s→±∞
f (s)
f (s)
≤ lim sup
≤ Λ−
m+1 ,
φ(s)
φ(s)
s→±∞
41
et la condition de non-résonance
Λ+
m < lim sup
s→+∞
F (s)
,
Φ(s)
(7.4)
Λ+
m < lim sup
F (s)
,
Φ(s)
ou Λ−
m+1 > lim inf
F (s)
,
Φ(s)
ou
s→−∞
et
Λ−
m+1 > lim inf
s→−∞
F (s)
,
Φ(s)
s→+∞
Alors le problème (7.2) possède au moins une solution.
Dans le cas m = 1 et m = 0 les hypothèses sont un peu différentes (voir dans
[Cu-Ga, [9]]).
Esquisse de la démonstration. Considérons l’espace C01 [0, 1] avec sa norme usuelle et
l’opérateur K : L1 (0, 1) → C01 [0, 1], K(h) := u où u est l’unique solution de −(φ(u0 ))0 =
h, u(0) = u(1) = 0. Considérons l’homotopie
(Pλ )
− (φ(u0 ))0 = λf (u) + (1 − λ)aφ(u) + λe(t), t ∈ (0, 1),
u(0) = u(1) = 0.
−
avec a ∈ (Λ+
m , Λm+1 ). Le problème (Pλ ) est équivalent au problème de point fixe u =
K ◦ Fλ (u), u ∈ C01 [0, 1], où Fλ est l’opérateur de Nemyckii associé à la partie droite de
(Pλ ). La preuve utilise le théorème de continuation de Mawhin que nous rappelons plus
bas. Nous prouverons les conditions (i1)-(i5) dans les cas X = Z = C01 [0, 1], N = K ◦ Fλ
et pour les fonctionnelles ψ, η : C01 [0, 1] × [0, 1] → R définies par ψ(u, λ) := max u(t), et
t∈[0,1]
Z
1 1 0
u (t)φ(u0 (t)) + (zλ (u(t)) + λe(t))u(t) δ(u(t), φ(u0 (t)))dt,
η(u, λ) :=
π 0
n
o
1
où δ(u, v) := max u2 +v2 , 1 .
Condition (i1). Par (7.3) il existe s0 , α et β tels que αφ(s) ≤ λf (s) + (1 − λ)aφ(s) ≤ βφ(s)
pour tout λ ∈ [0, 1] et pour tout s ≥ s0 et donc |λf (s) + (1 − λ)aφ(s) + λe(t))| ≤ c|φ(s)| +
||e||∞ pour tout (s, λ) ∈ R × [0, 1], et p.p.t t ∈ (0, 1). Par le Lemme 3.1 de la section 3.2,
on a que ||u||∞ ≤ R∗ pour un R∗ > 0. Puis, par un argument standard, on montre qu’il
existe R2 = R2 (R∗ ) tel que ||u0 ||∞ ≤ R2 . Donc Σ0 est borné dans C01 [0, 1].
Condition (i2). C’est une conséquence du théorème de Borsuk-Ulam.
Condition (i3). Soit M > 0 et posons KM = {(u, λ) ∈ Σ : | maxt∈[0,1] |u(t)| ≤ M }. On
montre que KM est un compact en utilisant le théorème d’Ascoli-Arzela.
Condition (i4). Comme u ∈ C01 [0, 1] on a 0 = u(0) ≤ maxt∈[0,1] u(t) = ψ(u, λ). Puis, si la
norme de u est suffisamment grande, δ(u, φ(u0 )) = 1 et (u0 φ(u0 ) + (λf + (1 − λ)aφ + λe)u =
0)
d
arctan( −φ(u
). Si {0 = t1 , t2 , · · · , tn } ⊂ [0, 1) désignent les zéros de u (on peut montrer
dt
u
qu’ils sont simples) alors
Z t2
Z 1
d
−φ(u0 )
d
−φ(u0 )
πη(u, λ) =
arctan(
)dt + · · ·
arctan(
)dt = nπ.
dt
u
u
0
tn dt
42
En particulier η(u, λ) ∈ N∗ .
Condition (i5). On montre d’abord que pour toute paire (k + , k − ) ∈ N2 satisfaisant |k + −
k − | = 0 ou 1, il existe une suite de nombres réels positifs cn , lim cn = ∞ telle que pour
n→∞
tout λ ∈ [0, 1]
(7.5)
1
lim k + τ (λf + (1 − λ)aφ, cn ) + k − τ̃ (λf + (1 − λ)aφ, cn ) 6= .
n→∞
2
L’existence de la suite cn utilise une généralisation des estimations d’Opial vues dans le
Lemme 3.2, adaptées à notre contexte. Plus précisément si on pose k = k + + k − et on
suppose λ = 1, par (7.3), le Lemmes 3.1 et 3.2 on montre que
h
k i
k
,
.
(7.6)
[k + τ− (f ) + k − τ̃− (f ), k + τ+ (f ) + k − τ̃+ (f )] ⊂
2(m + 1) 2m
Si k 6∈ {m, m + 1}, alors on peut prendre n’importe quelle suite {cn } qui tend vers +∞. Si
k = m on utilise (7.4), les Lemmes 3.1 et 3.2 pour montrer que
h
1
m
[k + τ− (f ) + k − τ̃− (f ), k + τ+ (f ) + k − τ̃+ (f )] ∩
,
6= ∅
2(m + 1) 2
et donc il existe au moins une suite cn , cn → ∞ satisfaisant (7.5). Le raisonnement dans
−
+
le cas k = m + 1 est analogue. Lorsque λ ∈ [0, 1), comme a ∈ (Λ+
m , Λm+1 ), on a Λm <
zλ (s)
zλ (s)
lim inf
≤ lim sup
< Λ−
m+1 et donc
s→±∞ φ(s)
s→±∞ φ(s)
k k
,
,
[k + τ− (zλ ) + k − τ̃− (zλ ), k + τ+ (zλ ) + k − τ̃+ (zλ )] ⊂
2(m + 1) 2m
et on reprend le raisonnement comme pour le cas λ = 1.
On conclut la preuve de (i5) en montrant, par des estimations assez fines de l’énergie des
solutions de (Pλ ), que pour toute suite (un , λn ) de solutions de (Pλ ) avec η(un , λn ) = k0 et
maxt∈[0,1] u(t) = cn on a limn→∞ k0+ τ (λn f + (1 − λn )aφ, cn ) + k0− τ̃ (λn f + (1 − λn )aφ, cn ) = 12 ,
une contradiction.
Théorème 7.3. [Maw, Thm. IV.5]). Soient X et Z deux espaces de Banach réels. Soit
L : X → Z un opérateur linéaire de Fredholm d’indice 0 et soit N : X × [0, 1] → Z
un opérateur compact. Posons Σ = {(x, λ) ∈ X × [0, 1]; Lx = N (x, λ)} et Σ0 = {x ∈
X; (x, 0) ∈ Σ}. Supposons que
(i1) Σ0 est borné dans X.
(i2) χ0 := |d(Id − N (·, 0), Ω)| =
6 0 pour un ouvert Ω de X tel que Σ0 ⊂ Ω.
Supposons qu’il existe deux fonctions continues ψ, η : X × [0, 1] → R telles que
(i3) ψ est propre dans Σ.
(i4) Il existe R > 0 et d ≥ 0 tels que pour tout (x, λ) ∈ Σ avec ||x||X ≥ R on a ψ(x, λ) ≥
−d et η(x, λ) ∈ Z.
43
(k)
(i5) Pour tout k ∈ Z il existe une suite de nombres positifs cn
(k)
avec lim cn
n→∞
(k)
et il existe une suite d’indices n∗k ∈ N tel que ψ(x, λ) 6= cn
Σ ∩ η −1 (k) et ∀n ≥ n∗k .
= ∞,
pour tout (x, λ) ∈
Alors l’équation Lx = N (x, 1) possède au moins une solution x ∈ domL.
8
Existence et multiplicité pour les problèmes élliptiques
avec poids
Dans cette section nous allons discuter la résolution d’une classe de problèmes élliptiques
semilinéaires de la forme
(8.1)
−∆p u = f (x, u) dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
Nous avons vu dans la section 7.1 un exemple de conditions ponctuelles sur les limites
f (x, s)/|s|p−2 s et pF (x, s)/|s|p qui entraı̂nent la résolution de (8.1) dans le cas N = 1
et f (x, s) = f (s) + e(x). Nous allons présenter maintenant quelques résultats d’existence
pour (8.1) où l’on va remplacer ces conditions ponctuelles par des conditions qui font
intervenir des poids. Cette approche permet d’améliorer quelques résultats existants dans
la littérature pour (8.1). Plusieurs problèmes de non-résonance faisant intervenir des valeurs
propres avec poids ont été considéres antérieurement par [Fo-Go], [deFi-Ma], [deFi-Mi]. En
particulier le résultat de notre Théorème 8.1 pour p = 2 est dû à [deFi-Ma] et celui du
Théorème 8.2 pour p = 2, avec des hypothéses un peu plus faibles que les nôtres, a été
traité dans [deFi-Mi].
Dans la première sous-section on discutera brièvement le cas où f se trouve par dessous
de la première valeur propre. On verra une extension du résultat classique de Hammerstein
avec des conditions sur la première valeur propre avec poids. Dans la deuxième section nous
traiterons le cas où f se trouve entre les deux premières valeurs propres. Nous utiliserons
ici les résultats de la section 4 concernant la valeur propre c(m, n) pour un problème aux
valeurs propres asymétrique associé à (8.1).
8.1
Résultats sous la première valeur propre
Considérons le problème de Dirichlet (8.1) avec f : Ω × R → R une fonction de Carathéodory satisfaisant la condition
|f (x, s)| ≤ a(x) |s|p−1 + b(x)
0
p.p.t. x ∈ Ω et pour tout s ∈ R avec a ∈ Lr (Ω) et b ∈ Lp (Ω), r > N/p if p ≤ N et r = 1
if p > N . Soit F (x, s) une primitive de f (x, s) et introduisons les fonctions Lr (Ω)
∆± (x) := lim sup p
s→±∞
44
F (x, s)
|s|p
Nous supposerons que les fonctions ∆± ont des parties positives non triviales et que les
limites ci-dessus sont uniformes en x ∈ Ω dans le sens que pour tout > 0 il existe
a ∈ L1 (Ω) tel que
(8.2)
F (x, s) ≤ ∆+ (x)(s+ )p + ∆− (x)(s− )p + |s|p + a (x)
p.p.t x ∈ Ω et pour tout s ∈ R.
Théorème 8.1. [Ar-Ca-Cu-Go1, [1]] Supposons que f satisfait
λ1 (∆+ ) > 1,
λ1 (∆− ) > 1.
(F1 )
Alors (8.1) possède
au moinsR une solution u qui minimise la fonctionnelle Φ(u) : W01,p (Ω) →
R
R, Φ(u) := p1 Ω |∇u|p dx − Ω F (x, u) dx.
Signalons que lorsqu’on considère le problème
−∆p u = λm(x)|u|p−2 u + h dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω
0
avec λ ∈ R, m ∈ Lr (Ω), h ∈ Lp (Ω), et m change de signe, on peut appliquer le
Théorème 8.1 si et seulement si λ−1 (m) < λ < λ1 (m). Nous avons donc affaire dans
cette section à des problèmes de non-résonance entre la première valeur propre négative et
la première valeur propre positive.
Esquisse de la démonstration. Par (8.2)
Z
Z
1
1
p
−
|∇u| dx − a dx.
1−
Φ(u) ≥
p
min{λ1 (∆+ ), λ1 (∆− )} λ1
Ω
Ω
Si > 0 est suffisamemnt petit, l’hypothèse (F1 ) entraı̂ne que Φ est bornée inférieurement et
coercive dans W01,p (Ω). Comme Φ est faiblement semicontinue inférieurement dans W01,p (Ω)
on conclut que Φ atteint son minimum sur W01,p (Ω) en un point u1 . Puis comme Φ est de
classe C 1 (par les condition de croissance de f ) alors u1 est une solution de (8.1).
Le Théorème 8.1 fournit en particulier une solution du problème semilinéaire
(8.3)
−∆u = m(x)u+ − n(x)u− + h dans Ω;
u = 0 sur ∂Ω,
avec m, n ∈ Lr (Ω), r > N2 si N ≥ 2, r = 1 si N = 1 ; h ∈ L2 (Ω) dans le cas λ1 (m) >
1, λ1 (n) > 1. Il est bien connu dans le cas m ≡ n ≡ λ < λ1 que le problème (8.3) possède
une unique solution dans H01 (Ω). Nous allons voir que la présence de poids fait perdre
parfois l’unicité de (8.3).
Proposition 8.1. [Ar-Ca-Cu-Go1, [1]] Supposons que λ1 (max{m, n}) > 1. Alors (8.3)
admet une seule solution.
45
Esquisse de la démonstration. L’existence suit du Théorème 8.1. Si u1 et u2 sont deux
solutions de (8.3) et on pose v = u1 − u2 alors v est solution de −∆v = d(x)v dans Ω, v = 0
sur ∂Ω, avec

+
+
−
−
 m(x)(u1 (x) − u2 (x)) − n(x)(u1 (x) − u2 (x))
si v(x) 6= 0,
d(x) :=
u1 (x) − u2 (x)

min{m(x), n(x)}
si v(x) = 0.
Si d ≤ 0, alors v ≡ 0. Si d+ 6≡ 0, comme d ≤ max{m, n}, alors λ1 (d) ≥ λ1 (max{m, n}) > 1
et 1 n’est pas une valeur propre de −∆ pour le poids d. Par conséquent v ≡ 0.
Proposition 8.2. [Ar-Ca-Cu-Go1, [1]] Supposons que ∂Ω est de classe C 2 . Il existe m, n ∈
C ∞ (Ω̄) avec m, n > 0 dans Ω̄ et
λ1 (m) > 1,
λ1 (n) > 1,
λ1 (max{m, n}) < 1,
tels que, pour un certain h ∈ L2 (Ω), le problème (8.3) admet au moins deux solutions.
Esquisse de la démonstration. Pour construire les poids m, n on commence par prendre
u0 ∈ H 2 (Ω) ∩ C(Ω) une fonction propre de −∆ dans H01 (Ω) qui change de signe (donc
|u0 = 0| = 0). Prenons des boules B+ , B− avec B+ ⊂ {u > 0} et B− ⊂ {u < 0}. On prend
ensuite la fonction constante λ1 et on la décroı̂tre un peu sur B− (resp. B+ ), de façon à
avoir un poids positif m̂ sur C ∞ (Ω̄) (resp. n̂) avec λ1 (m̂) > 1 (resp. λ1 (n̂) > 1). Il est clair
que max{m̂, n̂} ≡ λ1 et donc λ1 (max{m̂, n̂}) = 1. En prenant un δ > 0 suffisamment petit,
on construit m = m̂ + δ et n = n̂ + δ tels que λ1 (m) > 1, λ1 (n) > 1, λ1 (max{m, n}) < 1,
m ≥ n sur {u0 > 0} et n ≥ m sur {u0 < 0}.
−
Soit h := −∆u0 −mu+
de (8.3). Or Ril s’avère
0 +nu0 . Par construction
R u0 est 2une solution
1
+ 2
que u0 n’est pas un minimum global de Ψ(u) := 2 Ω (|∇u| −m(u ) −n(u− )2 ) dx− Ω hu dx,
et donc u0 est différente de la solution fournie par le Théorème 8.1. En effet pour la fonction
propre v associée à λ1 (max{m, n}) posons g(t) := Ψ(u0 +tv). La fonction g est une fonction
de classe C 1 (R) et
Z
Z
0
+
−
g (t) = (∇(u0 + tv)∇v − m(u0 + tv) v + n(u0 + tv) v) dx − hv dx.
Ω
Ω
0
Un calcul élémentaire montre que g (0) = 0 car u0 est une solution de (8.3). De plus comme
|u0 = 0| = 0 on en déduit que g 00 (0) existe et vaut
Z
Z
Z
00
2
2
g (0) =
|∇v| dx −
mv dx −
nv 2 dx.
Ω
u0 >0
u0 <0
Par le choix de m, n, u0 et v on a
Z
Z
Z
00
2
2
g (0) =
|∇v| dx − max{m, n}v dx = [λ1 (max{m, n}) − 1] max{m, n}v 2 dx < 0.
Ω
Ω
Ω
Donc g(t) < g(0) pour |t| > 0 petit, et par conséquent u0 n’est pas un minimum (local) de
Ψ.
46
8.2
Résultats sous la première courbe non triviale du spectre de
Fučik
Considérons le problème (8.1) avec f : Ω × R → R une fonction de Carathéodory
satisfaisant la condition de croissance de la section précédente. Supposons que les fonctions
γ± et Γ± défines par
(8.4)
γ± (x) := lim inf
s→±∞
f (x, s)
f (x, s)
≤
lim
sup
:= Γ± (x)
p−2 s
|s|p−2 s
s→±∞ |s|
n’ont pas de parties positives triviales et
λ1 (γ+ ) ≤ 1,
λ1 (γ− ) ≤ 1,
c(Γ+ , Γ− ) ≥ 1.
(f1 )
Ici c(Γ+ , Γ− ) est la valeur propre associée aux poids (Γ+ , Γ− ) considérée dans la section
4.2. Nous supposerons également que les fonctions δ± et ∆±
(8.5)
δ± (x) := lim inf
s→±∞
pF (x, s)
pF (x, s)
≤ lim sup
:= ∆± (x)
p
|s|
|s|p
s→±∞
ont des parties positives non triviales et
λ1 (δ+ ) < 1,
λ1 (δ− ) < 1,
c(∆+ , ∆− ) > 1.
(F2 )
Théorème 8.2. [Ar-Ca-Cu-Go1, [1]] Supposons (f1 ) et (F2 ). Alors le problème (8.1)
possède au moins une solution u dans W01,p (Ω).
R
Esquisse de la démonstration. Considérons la fonctionnelle Φ(u) := p1 Ω |∇u|p dx −
R
F (x, u) dx. L’idée de la démonstration est de montrer que Φ possède une géométrie du
Ω
type col de montagne. En effet si on considère w+ (resp.R w− ) les fonctions propres
positives
R
p
p
associées à λ1 (δ+ ) (resp. λ1 (δ− )) et normalisées par Ω δ+ w+ = 1 (resp. Ω δ− w−
= 1),
l’hypothèse (F1 ) entraı̂ne que Φ(Rw+ ) → −∞ lorsque R → +∞ et Φ(−Rw− ) → −∞
lorsque R → +∞. On montre ensuite qu’il existe R0 tel que pour tout R ≥ R0 et pour
tout h ∈ HR := {h ∈ C([−1, +1], W01,p (Ω)) : h(1) = Rw+ et h(−1) = −Rw− }, on ait
(8.6)
max
u∈h[−1,+1]
Φ(u) > max{Φ(Rw+ ), Φ(−Rw− )}.
Cela suit du fait que les limites dans (8.5) sont uniformes donc pour tout > 0 il existe
a ∈ L1 (Ω) telle que
Z
Z
Z
1
1
p
+ p
− p
Φ(u) ≥ (1 − ) |∇u| dx −
(∆+ (u ) + ∆− (u ) ) dx − a dx
p
λ1 Ω
p Ω
Ω
et donc pour tout h ∈ HR on a
Z
max
pΦ(u) + p a dx /B∆+ ,∆− (u) ≥ (1 − )c(∆+ , ∆− ) − 1 > 0
u∈h[−1,+1]
λ1
Ω
47
R
si on choisit < (1 − c(∆+1,∆− ) )λ1 . La valeur de R > 0 est alors chosie telle que Ω a dx >
max{Φ(Rw+ ), Φ(−Rw− )} et on a donc (8.6).
Comme cas particulier du Théorème 8.2 nous avons prouvé que le problème semilinéaire
(8.3) admet une solution si l’on suppose λ1 (m) < 1, λ1 (n) < 1 et c(m, n) > 1. Nous allons
maintenant nous intéresser à l’unicité de la solution de (8.3) sous cette dernière hypothèse.
Proposition 8.3. [Ar-Ca-Cu-Go1, [1]] Si min{m, n} a une partie positive non triviale et
de plus
(8.7)
λ1 (min{m, n}) < 1, λ2 (max{m, n}) > 1,
alors (8.3) possède une seule solution.
Esquisse de la démonstration. L’existence d’une solution est assurée par le Théorème
8.2 car
λ2 (max{m, n}) = c(max{m, n}, max{m, n})
et par monotonicité, (8.7) entraı̂ne λ1 (m) < 1, λ1 (n) < 1 et c(m, n) > 1. Supposons que
u1 et u2 sont deux solutions et posons v := u1 − u2 . Alors v est solution de −∆v = d(x)v
dans Ω, v = 0 sur ∂Ω, avec d(x) comme dans la préuve de la Proposition 8.1. Comme
min{m, n} ≤ d ≤ max{m, n}, on a λ1 (d) ≤ λ1 (min{m, n}) < 1 < λ2 (max{m, n}) ≤ λ2 (d)
et par conséquent 1 n’est pas valeur propre de −∆ aved poids d. Donc v ≡ 0.
Dans la proposition suivante nous allons voir une situation dans laquelle on n’a pas
d’unicité lorsque (8.7) est mise en défaut. L’exemple de la Proposition 8.4 nécessite de
poids non constants.
Proposition 8.4. [Ar-Ca-Cu-Go1, [1]] Supposons que ∂Ω est de classe C 2 . Alors il existe
m, n ∈ C ∞ (Ω̄) avec m, n > 0 dans Ω̄,
(8.8)
λ1 (m) < 1, λ1 (n) < 1, λ1 (min{m, n}) > 1, λ2 (max{m, n}) > 1
tels que, pour un h ∈ L2 (Ω), (8.3) possède au moins deux solutions.
Remarquons que l’hypothèse (8.8) est plus faible que (F2 ).
Esquisse de la démonstration. Par un argument analogue à celui de la Proposition 8.1
on montre qu’il existe m, n ∈ C ∞ (Ω̄) avec m, n > 0 dans Ω̄, satisfaisant (8.8), et il existe
u0 ∈ H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω) ∩ C(Ω̄) tel que |u0 = 0| = 0, m ≤ n sur {u0 > 0} et n ≤ m sur
−
2
{u0 < 0}. Prenons h := −∆u0 − mu+
0 + nu0 ∈ L (Ω). Par construction, u0 est une solution
de (8.3) qui est un minimum local strict de la fonctionnelle associée à ce problème :
Z
Z
1
2
+ 2
− 2
Ψ(u) :=
(|∇u| − m(u ) − n(u ) ) dx − hu dx
2 Ω
Ω
sur H01 (Ω). En effet si on suppose par l’absurde que u0 n’est pas un minimum local strict de
Ψ alors il existe une suite uk convergeant vers u0 dans H01 (Ω) avec uk 6= u0 et Ψ(uk ) ≤ Ψ(u0 )
48
pour tout k. Pour une sous-suite, uk → u0 p.p.t. dans Ω et on a
Z
Z
1
1
2
−
2
Ψ(uk ) − Ψ(u0 ) =
|∇uk − ∇u0 | dx −
mS(u+
0 ) + nS(u0 ) (uk − u0 ) dx
2 Ω
2 Ω
Z
(8.9)
1
(mR+ (u0 , uk ) + nR− (u0 , uk )) dx .
−
2 Ω
avec S(x) et R(x) définies comme suit : pour tout x, y ∈ R, on a
(y + )2 − (x+ )2 = 2x+ (y − x) + S(x+ )(y − x)2 + R+ (x, y),
(y − )2 − (x− )2 = −2x− (y − x) + S(x− )(y − x)2 + R− (x, y),
S(t) désigne le signe de t et R+ and R− sont des fonctions telles que R+ (x, y) = 0 si
xy > 0, |R+ (x, y)| ≤ y 2 si xy ≤ 0, R− (x, y) = 0 si xy > 0 et |R− (x, y)| ≤ y 2 si xy ≤ 0. Par
conséquent
Z
Z
Z
2
| mR+ (u0 , uk )| dx ≤
muk dx ≤
m(uk − u0 )2 dx
u0 uk ≤0
Ω
≤ ck ||uk −
u0 uk ≤0
u0 ||2L2q (Ω)
0
où q est choisi tel que 2 < 2q < 2∗ et ck = ||m||∞ |u0 uk ≤ 0|1/q . Comme |u0 = 0| = 0 et
u
R k → u0 p.p.t, |u0 uk ≤ 0| → 0 et donc ck → 0. Une estimation similaire est valable pour
nR− (u0 , uk ) dx. Comme d’autre part par les propriétés de m, n, u0 ,
Ω
Z
Z
+
−
2
(mS(u0 ) + nS(u0 ))(uk − u0 ) dx =
min{m, n}(uk − u0 )2 dx,
Ω
Ω
il suit alors de (8.9) que
Z
1
1
Ψ(uk ) − Ψ(u0 ) ≥
|∇uk − ∇u0 |2 dx
1−
− c̃k
2
λ1 (min{m, n})
Ω
où c̃k → 0. Comme λ1 (min{m, n}) > 1 et uk 6= u0 , on déduit que Ψ(uk ) > Ψ(u0 ) pour k
suffisamment grand, une contradiction.
Finalement on montre que u0 est une solution différente de la solution u1 de (8.3)
trouvée par le théorème du col dans la preuve du Théorème 8.2. En effet
Ψ(u1 ) = inf
max
h∈HR u∈H[−1,+1]
Ψ(u)
et donc il existe une suite de chemins hk ∈ HR tel que
max
u∈hk [−1,+1]
Ψ(u) → Ψ(u1 ) tel que (u1 , hk [−1, +1]) → 0.
49
Pour > 0, < max{||u1 − Rw+ ||, ||u1 − (−Rw− )||}, où Rw+ and −Rw− sont les
fonctions dans la définition de HR , chaque chemin hk pour k grand intersecte {u : ||u−u1 || =
}. Par ailleurs, comme Ψ satisfait la condition de (PS) sur H01 (Ω) et u0 est un minimum
local strict, pour tout > 0 suffisamment petit nous avons
inf{Ψ(u) : ||u − u0 || = } > Ψ(u0 ).
Si par l’absurde u0 = u1 on aurait
max
u∈hk [−1,+1]
en contradiction avec
Ψ(u) ≥ inf{Ψ(u) : ||u − u0 || = } > Ψ(u0 )
max
u∈hk [−1,+1]
Ψ(u) → Ψ(u1 ) = Ψ(u0 ).
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