Thème Limites et continuité

Document Lycées
Atelier N°1
Thème
Limites et continuité
2008-2009
Programme officiel de Terminale S
(extrait du BO hors série du 30
Contenus
Limites
Rappel de la définition de la
limite d’une suite. Extension à
la limite finie ou infinie d’une
fonction en +∞ ou −∞.
Notion de limite finie ou infinie d’une fonction en un réel a.
Théorème ”des gendarmes” pour
les fonctions.
Limites de la somme, du produit,
du quotient de deux suites ou de
deux fonctions ;
limite de la composée de deux
fonctions, de la composée d’une
suite et d’une fonction.
Continuité
Continuité en un point a. Continuité d’une fonction sur un intervalle.
aout 2001)
Modalités de mise en oeuvre
Pour exprimer que f (x) tend vers
L quand x tend vers +∞, on dira
que :”tout intervalle ouvert contenant
L contient toutes les valeurs f (x) pour
x assez grand.”
On montrera qu’une suite croissante
non majorée tend vers l’infini. On
reverra à cette occasion la notion
d’asymptote oblique, en se limitant
aux fonctions se mettant sous la forme
ax + b + h(x), où h tend vers 0 à l’infini.
On montrera sur des exemples que
l’étude sur calculatrice ou au tableur
d’une suite ou d’une fonction permet
de conjecturer des limites qui devront
ensuite être justifiées.
On démontrera ce théorème lorsque la
variable tend vers l’infini. On étendra
ce théorème au cas des limites infinies.
Il s’agit de prolonger le travail fait en première sur les
suites. L’expression ”pour x assez grand” est l’analogue pour
les fonctions de l’expression ”à
partir d’un certain rang” utilisée pour les suites. Pour les
limites en un réel a, aucune
définition n’est exigée : on
reprendra l’approche intuitive
adoptée en classe de première.
Sur un exemple, on fera le lien
entre limite en un réel a et à l’infini. On pourra parler de limite à
droite ou à gauche à l’occasion de
certains exemples. Ces propriétés
seront appliquées comme règles
opératoires.
On complétera les résultats énoncés en
classe de première ; on se bornera à une
justification intuitive (calculatoire ou
graphique).
On définira la continuité de f en
un point a par lima f = f (a) ou
lim0 f (a + h) = f (a)
On illustrera la notion de continuité
sur un intervalle en parlant de tracé
sans lever le crayon. On présentera à
titre de contre-exemple le cas de la
fonction partie entière.
Théorème (dit des valeurs intermédiaires) : ”soient f une
fonction définie et continue sur
un intervalle I et a et b deux réels
dans I. Pour tout réel k compris
entre f (a) et f (b), il existe un
réel c compris entre a et b tel que
f (c) = k”.
Commentaires
Ce théorème pourra être admis ou
démontré à l’aide de suites adjacentes.
On démontrera le corollaire suivant :
”si f est une fonction continue strictement monotone sur [a ;b], alors, pour
tout réel k compris entre f (a) et f (b),
l’équation f (x) = k a une solution
unique dans [a ;b]”. On étendra ce
corollaire au cas où f est définie sur un
intervalle ouvert ou semi-ouvert, borné
ou non, les limites de f aux bornes de
l’intervalle étant supposées connues.
On pourra approcher la solution de
l’équation f (x) = k par dichotomie
ou balayage avec la calculatrice ou au
tableur.
Les fonctions rencontrées en
terminale sont le plus souvent
continues sur leur intervalle
d’étude ; on indiquera clairement
que les fonctions construites à
partir des fonctions polynômes,
trigonométriques,
logarithmes
ou exponentielles sont continues.
Démontrer qu’une fonction est
continue en un point ou sur un
intervalle n’est pas un objectif
du programme.
On conviendra, dans les tableaux de variations, que les
flèches obliques traduisent la
continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle
considéré. Dans la rédaction de
la solution à un problème, une
simple référence au tableau de
variations suffira pour justifier
l’existence et l’unicité d’une
solution d’une équation du type
f (x) = k.
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Extraits de cours
Limites
Définition 1 Soit f une fonction f a pour limite +∞ en +∞ si tout intervalle ouvert ]M ; +∞[
contient tous les f (x) pour x suffisamment grand (c’est à dire pour les x plus grands qu’une valeur A).
Les valeurs de f (x) finissent par dépasser n’importe quel nombre M .
Définition 2 Soit f une fonction f a pour limite +∞ en a si tout intervalle ouvert ]M ; +∞[
contient tous les f (x) pour x suffisamment proche de a (x ∈ ]a − α; a + α[).
Interprétation graphique : La droite d’équation x = a est une asymptote verticale à la courbe.
Exemple : lim+
x7→0
1
= +∞
x2
Théorème 1 Soient f , g et h trois fonctions définies sur I =]b; +∞[, et l un réel.
Si, pour tout x dans I on a : g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) et si g et h ont la même limite l en +∞,
alors
lim f (x) existe et vaut l.
x7→+∞
Preuve : Soit un intervalle ouvert centré en l. Puisque g tend vers l en +∞, il existe un réel A à partir
duquel tous les g(x) seront dans cet intervalle. De même il existe un réel B à partir duquel tous les h(x)
seront dans cet intervalle.
Donc dès que x dépasse max(A, B), et puisque g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
on peut en déduire que les f (x) sont dans l’intervalle ouvert centré en l.
continuité
f est une fonction et I un intervalle inclus dans Df .
Définition 3 Soit a ∈ I, on dit que f est continue en a si f a une limite en a (et cette limite vaut
alors forcément f (a)).
lim f (x) = f (a)
x7→a
Théorème 2
Si f est dérivable en a alors f est continue en a.
f (x) − f (a)
Preuve : Si f est dérivable en a alors son taux d’accroissement en a, T (x) =
a pour limite f 0 (a)
x−a
en a.
Pour x 6= a, T (x)(x − a) = f (x) − f (a) et donc f (x) = f (a) + T (x)(x − a).
Or lim T (x) = f 0 (a) et lim (x − a) = 0 donc lim f (x) = f (a) ce qui prouve la continuité.
x7→a
x7→a
x7→a
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Extrait d’un Devoir surveillé
Partie B
Soit g la fonction définie sur R∗+ par :
g(x) = x + 1 + ln x
1. Etudier les variations de g et calculer ses limites en 0 et en +∞.
2. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique α.
Prouver que 0, 2 < α < 0, 3.
3. En déduire le signe de g sur R∗+ .
Partie C
On considère la fonction f définie sur R+ par :

 f (0) = 0
x ln x
 f (x) =
x+1
si x > 0
On souhaite retrouver les renseignements visibles sur la courbes de f . Cette courbe est fournie en annexe et
sera complétée par tous les renseignements graphiques que vous jugerez nécessaires.
1. Montrer que f est continue en 0.
2. Calculer la limite de f en +∞.
3. Montrer que f (α) = −α.
4. Calculer la dérivée de f et étudier son signe.En déduire le tableau de variations de f .
5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 1. Ce résultat est-il compatible
avec le graphique ?
6. Déterminer la limite en +∞ de f (x) − ln x. Que peut-on en déduire au sujet des courbes de f et de ln ?
Exercices
• Déterminer si elle existe : lim x sin
x→0
x6=0
1
x
3x + cos x
3x + 7
≤ f (x) ≤
. Quelle est la limite de f en +∞ ?
• On sait que pour tout x > 1 on a :
x
x−1
r
−x + 1
• Calculer : lim
x→−∞
x2 + 1
2x + sin x
lim
• Déterminer si elle existe :
x→−∞
x−1
2
x + 3x − 10
• Calculer lim
2 − 9x + 14
x→2
x
x>2
• On considère la fonction f définie sur R \ {4} par : f (x) =
2x2 − 7x − 3
x−4
c
x−4
2. En déduire une asymptote oblique à la courbe en +∞ et −∞
1. Déterminer a, b et c tels que f (x) = ax + b +
3. Etudier la position relative de la courbe et de son asymptote.
• Calculer lim
x→0
x6=0
sin x
x
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Sujets de Bac
• Asie, juin 2008
A - Restitution organisée de connaissances
ex
On suppose connu le résultat suivant : lim
= +∞.
x→+∞ x
Démontrer que : lim xe−x = 0.
x→+∞
B - Etude d’une fonction
On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = (x + 1)e−x On note (C) sa représentation graphique
dans un repère orthonormé (O;~i, ~j) du plan. On prendra 4 cm pour unité graphique.
1. Cette question demande le développement d’une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté
du plan d’étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte
clans la notation.
Etudier les variations de la fonction f et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer
ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible.
2. Tracer la courbe (C). On fera apparaı̂tre les résultats obtenus précédemment.
• Amérique du Sud, novembre 2008
Dans cet exercice, on demande aux candidats d’établir, en suivant la démarche proposée, deux résultats de
cours.
On rappelle que la fonction ln est définie et dérivable sur ]0 ; +∞[, positive sur [1 ; +∞[, et vérifie :


 ln 1 = 0

 Pour tous réels strictement positifs x et y, ln(xy) = ln x + ln y
1
0

Pour tout réel strictement positifx, [ln(x)] =


x

ln(2) ≈ 0, 69 à 10−2 près
√
1. On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par : f (x) = x − ln x
(a) Etudier les variations de f et en déduire que f admet un minimum sur ]0 ; +∞[.
√
ln x
x
(b) En déduire le signe de f puis que, pour tout x > 1, 0 <
<
.
x
x
ln x
= 0.
(c) En déduire que lim
x→+∞ x
2. Soit n un entier naturel non nul.
On considère la fonction fn définie sur ]0 ; +∞[ par : fn (x) =
ln x
1
xn
En utilisant la question 1., déterminer, si elle existe, la limite en +∞ de la fonction fn .
• Amérique du Sud, novembre 2006
Question 1
x
Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction fn définie sur ]0 ; +∞[ par : fn (x) = ln x + − 1
n
1. Déterminer les limites de fn en 0 et en +∞ puis étudier le sens de variations de fn .
2. Montrer que l’équation fn (x) = 0 admet une unique solution dans ]0 ; +∞[. On note αn cette solution.
Montrer qu’elle appartient à l’intervalle [1 ; e].
• Nouvelle Calédonie, décembre 2007
Partie A : question de cours
1. Soit f une fonction réelle définie sur [a ; +∞[. Compléter la phrase suivante :
« On dit que f admet une limite finie ` en +∞ si . . . »
2. Démontrer le théorème « des gendarmes » : soient f, g et h trois fonctions définies sur [a ; +∞[ et ` un
nombre réel. Si g et h ont pour limite commune ` quand x tend vers +∞, et si pour tout x assez grand
g(x) 6 f (x) 6 h(x), alors la limite de f quand x tend vers +∞ est égale à `.
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Extraits de copies
Document Lycées
Atelier N°2
Thème
Equations différentielles
et primitives
2008-2009
Extrait du programme
Certaines propriétés sont considérées comme règles opératoires (par exemple, si deux fonctions
admettent une limite en un point, la limite de leur somme est la somme de leurs limites). Dire
qu’une propriété est utilisée comme règle opératoire signifie qu’on n’est pas tenu d’en justifier
l’usage dans une démonstration ou dans un calcul.
L’étude des suites et fonctions sera motivée par la résolution de problèmes : elle n’est pas une fin en
soi. Ces problèmes pourront être d’origine mathématique, physique, biologique, économique ou
autre et amèneront à des recherches d’extrema, des comparaisons de fonctions, des résolutions
graphiques d’équations ou d’inéquations, etc.
Une bonne maîtrise des fonctions classiques (dérivées, extrema, comportements asymptotiques,
courbes représentatives) est nécessaire ; elle doit permettre une certaine aisance dans les problèmes
qui les mettent en jeu. La notion de continuité est introduite et permet de disposer du langage
nécessaire pour énoncer les théorèmes de façon satisfaisante. L’étude théorique de la continuité des
fonctions classiques est exclue.
Exemple de démonstration
L'existence et l'unicité de la fonction exponentielle
Th : Il existe une seule et unique fonction f, dérivable sur ℝ telle que f'=f et f (0)=1.
Preuve (Terracher TS):
L'existence : On désigne par S(t) l'aire du domaine défini par
1
1x t et 0 y .
t
On interprète S t −S t 0 en terme d'aire, on encadre cette aire
par celle de rectangles de hauteur respective t et t 0 .
1
1 S t −S t 0 1


On en déduit
et donc que S est dérivable et que S ' t = .
t
t
t −t 0
t0
On vérifie ensuite que la fonction inverse de S vérifie nos conditions ce qui prouve
l'existence de l'exponentielle.
L'unicité repose sur le théorème admis : « Si g'=0 Alors g est constante ».
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Exemples d'exercices
Exemple 1
Résolution de l’équation différentielle (1) : y '− 2 y = xe x
1. Résoudre l’équation différentielle (2) : y '− 2 y = 0 , où y désigne une fonction dérivable sur IR.
2. Soient soit u la fonction définie sur IR par u ( x) = − ( x + 1)e x .
a) Montrer que u est solution de l’équation (1).
b) Montrer que v est une solution de (1) si, et seulement si, v – u est solution de (2).
c) En déduire l’ensemble des solutions de (1).
3. Déterminer la solution de l’équation (1) qui s’annule en 0.
Exemple 2
Calculer l’intégrale : I =
∫
2
1
1 − 1t
e d t , puis, à l’aide d’une intégration par parties : J =
t2
∫
2
1
1 − 1t
e dt
t3
Exemple 3
On se propose de calculer I =
∫
2
1
x[ln( x + 1) − ln( x )]dx
x dx ( On pourra chercher deux réels a et b tels que x = a + b )
1+ x
1+ x
1+ x
Calculer I en utilisant une intégration par parties.
1) Calculer J =
2)
∫
2
1
Exemple 4
1
n 1− x
dx
Soit I n =∫ x e
0
1) Montrer que , pour tout x de [0,1],
x n x n e 1−x e x n
1
n
2) Exprimer, en fonction de l'entier n, J n=∫ x dx
0
1
e
In ?
≤ In ≤
3) En déduire que
. Que vaut xlim
→ +∞
n+ 1
n+ 1
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Sujets de BAC
France 2007:
France 2006
- Page 3/4 -
Amérique du Sud 2008
- Page 4/4 -
Document Lycées
Atelier N°3
Thème
Géométrie
2008-2009
Géométrie en terminale S
Programme officiel.
Enseignement obligatoire :
CONTENUS
Produit scalaire dans l’espace
Rappels sur le produit scalaire dans le
plan.
Définition du produit scalaire de deux
vecteurs dans l’espace. Propriétés,
expression en repère orthonormal.
Droites et plans dans l’espace
Caractérisation barycentrique d’une
droite, d’un plan, d’un segment, d’un
triangle.
Représentation paramétrique d’une
droite de l’espace.
Intersection de deux plans, d’une
droite et d’un plan, de trois plans.
Discussion géométrique; discussion
algébrique
MODALITÉS DE MISE EN OEUVRE
COMMENTAIRE S
Expression en repère orthonormal de la
distance d’un point à une droite dans le
plan.
Plan orthogonal à un vecteur passant par
un point. Equation cartésienne en repère
orthonormal. Expression de la distance à
un plan.
Inéquation définissant un demi-espace.
On généralisera aux vecteurs de l’espace la
définition du produit scalaire donnée dans
le plan; à cette occasion, on présentera la
projection orthogonale sur une droite ou
sur un plan.
On reprendra les problèmes d’alignement
et de concours déjà abordés en classe de
première.
On fera clairement apparaître que les
problèmes géométriques considérés ici
sont aussi l’étude des systèmes
d’équations linéaires, que l’on résoudra
algébriquement.
On traitera aussi quelques situations
numériques (issues de l’analyse, de
situations économiques ou autres)
s’y ramenant.
Les élèves doivent aussi savoir qu’une
droite de l’espace peut être représentée par
un système de deux équations linéaires.
Sections de cônes et cylindres illimités
d’axes (Oz) par des plans parallèles aux
plans de coordonnées.
L’objectif est de montrer qu’une fonction
de deux variables peut être représentée par
une surface et que des études de coupes par
des plans permettent leur étude à l’aide des
outils déjà vus pour les fonctions
d’une variable.
Pour les sections de cônes, on pourra faire
le lien avec les hyperboles d’équations
xy=k.
Surfaces d’équation z=x2+y2 ou z=xy
coupées par des plans parallèles de
coordonnées.
On visualisera sur écran les surfaces
aux plans étudiées.
On entraînera à la reconnaissance des
surfaces à partir de coupes parallèles à un
plan, et on associera les visions
géométrique et analytique.
Enseignement de spécialité :
Sections planes de surfaces
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Exemples de TD : (Extrait de Math’x pour les 3 premiers)
TD 1 : Barycentre : constructions et lieux.
Objectif : Utiliser l’homogénéité et l’associativité du barycentre, l’appartenance à un plan, à une droite, à un segment.
On considère un cube ABCDA’B’C’D’, I est le centre de la face A’B’C’D’ et m un réel.
Soit Gm le barycentre des points pondérés (B’ ; m), (C’ ; 4m), (D’ ; m) et (B ; 6 – 6m).
1) a. Justifier l’existence de Gm pour tout réel m.
b. Représenter la figure et placer les points G0 , G1, G0,5 et G2.
2) Montrer que Gm appartient au plan (BA’C’).
3) a. Montrer que pour tout réel m non nul, Gm est le barycentre des points B et G1.
b. Déterminer l’ensemble de points Gm quand m décrit IR .
c. Quel ensemble doit décrire m pour que Gm décrive le segment [BG1] ?
TD2 : Intersections de droites et plans de l’espace.
Objectif : Etudier l’intersection de deux droites, d’une droite et d’un plan par l’utilisation des représentations géométriques.
ABCDEFGH est un cube d’arête égale à 1.
On note I et J les milieux respectifs des segments [AB]
et [CG].
On prend pour repère orthonormal de l’espace le repère
1) a. Reproduire la figure et la compléter au fur et à
mesure.
b. Donner les sommets des huit sommets du cube et des
points I et J.
c. Ecrire une représentation paramétrique des droites
(BH) et (IJ).
d. Etudier l’intersection de ces deux droites.
2) Soit L le point d’intersection du plan (FIJ) et de la droite (BH).
a. Justifier l’existence de réels λ et µ tels que :
Montrer que les coordonnées (x, y, z) du point L sont :
b. En utilisant les questions 1c et 2a, déterminer les coordonnées du point L.
3) a. Ecrire une représentation graphique de la droite (FL).
b. Déterminer les coordonnées du point P, intersection des droites (IJ) et (FL).
c. Montrer que P est le centre de gravité du triangle ABJ.
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TD3 : Produit scalaire et maximum.
Objectif : Optimiser la mesure d’un angle.
ABCDEFGH est un cube d’arête a. M un point de la diagonale [HB].
On souhaite déterminer la position du point M pour que l’angle AMˆ C soit maximum.
1) A l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, réaliser la figure puis émettre une conjecture.
2)
a. Montrer que MA = MC.
3)
a2
ˆ
b. On pose x = AMC . Montrer que
= 1 − cos( x) .
MA 2
a. Déterminer les variations de la fonction x → 1 − cos( x) sur [0; π ] .
b. En déduire que x est maximal lorsque MA est minimale.
Que représente alors le point M sur la droite (HB) pour le point A ?
c. Montrer que x est maximal pour MA 2 =
2a 2
3
d. En déduire la valeur maximale de AMˆ C .
TD4 : Enseignement de spécialité (Collection Indice)
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Exercice type-bac.
Juin 2007 – Liban
Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la
réponse choisie.
Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
  
L’espace est muni d’un repère orthonormal (O; i , j , k ) .
t

 x = 2− 2

On considère la droite (d) dont un système d’équations paramétriques est :  y = 1

3t
 z = 5−
2

( t ∈ IR )
On note A le point de coordonnées (2 ; -1 ; 1), B le point de coordonnées (4 ; -2 ; 2) et C le point de (d) d’abscisse
1.
Proposition 1.

« La droite (d) est parallèle à l’axe (O; j ) »
Proposition 2.
« Le plan (P) d’équation x + 3z – 5 = 0 est le plan passant par A et orthogonal à (d) »
Proposition 3.
« La mesure de l’angle géométrique BAˆ C est de
π
radians. »
3
Soit G le barycentre des points pondérés (A ; -1), (B ; 1) et (C ; 1).
Proposition 4.
« Les segments [AG]et [BC) ont le même milieu. »
Proposition 5.
« La sphère de centre C et passant par B coupe le plan (P) d’équation x + 3z – 5 = 0 .»
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Document Lycées
Atelier N°4
Thème
Les TICE et l ’usage
de la calculatrice
2008-2009
TICE &
Mathématiques
Objectifs, Logiciels &
thèmes
thè
Par
Agnés Lenfant & Mustapha
Rachidi
Février 2009
1
Contenu
z
z
z
z
2
Tice : quels objectifs ?
Comment s'intègre les Tice
en classe ?
Q l logiciels
Quels
l i i l ?
Eléments pour le montage
d’une séquence Tice
2
Terminologie
TICE = Technologies de
l'Information et de la
Communication pour
l'Éducation.
Il s’agit d’actions visant à
introduire les nouvelles
technologies dans
l'enseignement
(TICE=TIC+Education).
(TICE=TIC+Education)
3
3
Quels Objectifs? Extrait du
texte de l'IG de
mathématiques
z
z
L objectif de l'enseignement
L'objectif
l enseignement des
mathématiques est de développer
conjointement et progressivement les
capacités d'expérimentation et de
raisonnement, d'imagination et
d'analyse critique. ….
Par ses spécificités, l'outil
i f
informatique
ti
complète
lèt les
l moyens à
la disposition des enseignants et des
élèves pour mettre en œuvre ces
différents aspects d'une
d une véritable
activité mathématique……
Extrait du texte de l'IGM : "Les technologies de
ll'information
information et de la communication dans
l'enseignement des mathématiques au collège et
au lycée"
4
4
Quels objectifs? Un outil
pédagogique
z La
pratique de l’enseignant
l enseignant lors
des séquences de cours
(visualisation de propriétés,
explications, …)
z Familiariser l’élève avec une
autre façon de travailler les
mathématiques : visualisation
de propriétés
propriétés, conjecture
conjecture,
preuve.
z Familiariser l’élève avec le
travail en autonomie
z Faire acquérir aux élèves des
techniques de travail avec des
logiciels
5
5
Les Tice en classe
z
z
En salle de cours avec un vidéo
projecteur:
j t
z
Aborder les notions difficiles du cours
z
Familiariser les élèves avec un logiciel
En salle informatique :
z
z
z
Approfondir des propriétés du
cours;
Découvrir de nouvelles propriétés;
Conjecturer des résultats.
z Devoirs maison avec une partie utilisant
un logiciel;
z
6
Thèmes
è
de travail en groupe sur des
problèmes ouverts avec utilisation
d’un logiciel.
6
Phases proposées
z
z
z
z
7
Phase 1 – Modélisation du
problème posé Phase 2 –
Expérimentation : Mise en place
avec un logiciel adapté.
Phase 3 – Formulation d’une
conjecture.
Phase 4 – Approfondissement
de la validité de la conjecture
Phase 5 – Validation de la
conjecture par une
démonstration.
7
Quels logiciels?
Tableurs
z
z
z
z
z
z
z
8
OpenOffice (libre)
Excel
Star Office
Pour traiter
Etude des données statistique
Etude des fonctions
Simulation & Probabilité
Etc…
8
Quels logiciels? Logiciels de
géométrie dynamique
z
z
z
z
z
z
z
9
Geogebra (libre)
Geoplan (libre)
Geospce (libre)
Pour traiter
Géométrie
Géométrie dans l’espace
Etudes de fonctions
Etc…
9
Quelques sites utiles
Le site académique
http://www.ac-reims.fr/
(prise en charge de l’élève puis
discipline)
¾ Eduscol
http://eduscol.education.fr/
¾ Educnet
htt // d
http://educnet.education.fr/
t d
ti f /
¾
1
0
10