FICHE n°16 Agrandissements et réductions

3ème DP6h
FICHE n°16
Agrandissements et réductions
I.
Qu’est ce qu’un agrandissement ? une réduction ?
Exemple 1
7,5 3
9 3
6 3
= ;
=
; =
5 2
6 2
4 2
×
3
2
3
de la triangle 1 car les longueurs du triangle 2
2
3
s’obtiennent en multipliant les longueurs du triangle 1 par (qui est plus grand que 1).
2
On dit que le triangle 2 est un agrandissement de rapport
Exemple 2
×
On dit que le carré 3 est une réduction à l’échelle
en multipliant les longueurs du carré 4 par
Définition
3
du carré 4 car les longueurs du carré 3 s’obtiennent
4
3
(qui est plus petit que 1).
4
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k (on dit aussi à l’échelle k), toutes les
longueurs sont multipliées par k.
k=
Remarque
3
4
longueur obtenue après l’agrandissement ou la réduction
longueur sur la figure initiale
Si k < 1, il s’agit d’une réduction ;
Si k > 1, il s’agit d’un agrandissement.
II. Un exemple dans le plan : le théorème de Thalès !
Les deux figures-clé du « Théorème de Thalès » (fiche n°16) :
Avec les données du théorème de Thalès,
on peut conclure que :
Avec les données du théorème de Thalès,
on peut conclure que :
• le triangle TPQ est une réduction du triangle TRS
ou le triangle TRS est un agrandissement du triangle TPQ…
• le triangle DEF est une réduction du triangle GHF
ou le triangle GHF est un agrandissement du triangle DEF…
• le coefficient d’agrandissement est égal à :
TP TQ QP
FE FD ED
=
=
• le coefficient d’agrandissement est égal à :
=
=
TR TS RS
FH FG HG
III. Un exemple dans l’espace : section d’une pyramide ou d’un cône !
Théorème (admis)
La section d’une pyramide ou d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base est une
réduction de la base.
S
S
D’
A’
C’
B’
A’
R’
O’
C
D
O
B
A
Pyramide
A
Cône de révolution
IV. Déterminer l’aire ou le volume d’une réduction ou d’un agrandissement
Propriété
Exemple
Dans un agrandissement (k > 1) ou une réduction (k < 1) de coefficient k,
¤ les longueurs sont multipliées par k ;
¤ les aires sont multipliées par k2 ;
¤ les volumes sont multipliés par k3.
On considère une pyramide de hauteur h = 12cm tel que l’aire de sa base est A = 9 cm2 et de
volume V = 36 cm3. Si on réduit cette pyramide de moitié (k = 0,5), la nouvelle pyramide :
¤ aura une hauteur :
h’ = h × 0,5 = 12 × 0,5 = 6 cm.
¤ aura une base dont l’aire sera : A’ = A × (0,5)2 = A × 0,25 = 9 × 0,25 = 2,25 cm2.
¤ aura un volume :
V’ = V × (0,5)3 = A × 0,125 = 36 × 0,125 = 4,5 cm3.