Chapitre 4

Chapitre 4. Le théorème de Thalès. Agrandissement et réduction
I)
Le théorème de Thalès
Activité historique.
Thalès et la découverte de son théorème
Au Vième siècle avant notre ère, à Milet, ville d’Ionie, naquit Thalès. Certains considèrent qu’il
est le fondateur de la géométrie grecque. Il fut en effet l’un des premiers à énoncer des résultats
généraux concernant des objets mathématiques. Parmi ces résultats, le plus connu porte son
nom : le théorème de Thalès.
Au premier siècle de notre ère, Plutarque a raconté comment Thalès a découvert son théorème.
Découvrons ce mythe grâce à cet extrait du roman de Denis Guedj : Le théorème du perroquet.
« Après quelques jours d’un voyage interrompu par de nombreux arrêts dans les villes bordant le
fleuve, il l’aperçut. Dressée au milieu d’un large plateau, non loin de la rive, la pyramide de
Khéops ! Thalès n’avait jamais rien vu d’aussi imposant. (…)
Ce monument, volontairement démesuré le défiait. Depuis 2000 ans, l’édifice construit pourtant
par la main des hommes restait hors de portée de leur connaissance. (…) La hauteur de la
pyramide était impossible à mesurer. Elle était la construction la plus visible du monde habité et
elle était la seule à ne pouvoir être mesurée ! Thalès voulut relever le défi.(…)
Puisque ma main ne peut effectuer la mesure, ma pensée l’effectuera, se promit-il. Thalès fixa
longuement la pyramide ; il devait se trouver un allié « à la mesure » de son adversaire. Lentement,
son regard alla de son corps à son ombre, de son ombre à son corps, puis se porta sur la
pyramide. Enfin, il leva les yeux, le soleil lançait ses rayons terribles. Thalès venait de trouver
son allié ! (…)
Le soleil ne fait aucune différence entre toutes les choses du monde, il les traite de la même
façon. (…) En traitant semblablement l’homme minuscule et la gigantesque pyramide, le soleil
établit la possibilité de la mesure commune. Thalès [en déduisit] : le rapport que j’entretiens avec
mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne. »
A l’aide du schéma ci-dessous, essayez d’exprimer la dernière phrase du texte en termes
mathématiques.
obtient
Si on place Thalès et la pyramide différemment on
le schéma suivant :
L’idée de Thalès s’exprime alors de la façon suivante :
Le théorème de Thalès
Lorsque dans un triangle ABC : M est un point de [AB] , N est un point de [AC] et (MN)//(BC),
AM AN MN
=
=
alors on a égalité des rapports suivants :
AB AC BC
Exemples
Donner un exemple de rédaction type.
II)
Agrandissement / Réduction
Vocabulaire sur un exemple :
Dans la figure ci-contre, A’ appartient à [OA], B’ appartient à [OB] et (AB) // (A’B’) on dit que :
Le triangle OAB est un agrandissement du triangle OA’B’
Le triangle OA’B’ est une réduction du triangle OAB
Remarque :
Dans l’exemple ci-dessus, les longueurs des côtés de OAB sont proportionnelles aux longueurs
des côtés de OA’B’, ainsi :
Longueur des côtés de OA’B’ OA’ OB’ A’B’
Longueur des côtés de OAB
OA OB AB
Le tableau est un tableau de proportionnalité et son coefficient de proportionnalité est le
coefficient d’agrandissement (dans ce cas).
Propriété
Dans un agrandissement ou une réduction, les mesures des angles, la perpendicularité et le
parallélisme sont conservés.
CE QUE JE DOIS SAVOIR FAIRE :
Connaître mon théorème par coeur
Déterminer les rapports égaux de deux triangles en situation de Thalès
Utiliser le produit en croix pour calculer une longueur
Présenter correctement ma rédaction, sans rien oublier, sans écrire
de bêtises
Calculer un rapport d’agrandissement ou de réduction
Construire l’agrandissement ou la réduction d’une figure
Dire si deux figures sont en situation d’agrandissement ou non
ACQUIS
NON
ACQUIS