Partie 3 - Séquence 3 Recherche d`originaux

Partie 3 - Séquence 3
Recherche d’originaux
Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
I. Généralités
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
I. Généralités
Définition
Si x est un signal causal discret et si (Zx)(z) = X(z) est sa
transformée en z
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
I. Généralités
Définition
Si x est un signal causal discret et si (Zx)(z) = X(z) est sa
transformée en z alors x est appelée original ou transformée en z
inverse de la fonction X. On note (Z−1 X)(n) = x(n).
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
I. Généralités
Définition
Si x est un signal causal discret et si (Zx)(z) = X(z) est sa
transformée en z alors x est appelée original ou transformée en z
inverse de la fonction X. On note (Z−1 X)(n) = x(n).
Exemples
L’original de la fonction z 7→ 1
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
I. Généralités
Définition
Si x est un signal causal discret et si (Zx)(z) = X(z) est sa
transformée en z alors x est appelée original ou transformée en z
inverse de la fonction X. On note (Z−1 X)(n) = x(n).
Exemples
L’original de la fonction z 7→ 1 est la suite de Dirac.
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
I. Généralités
Définition
Si x est un signal causal discret et si (Zx)(z) = X(z) est sa
transformée en z alors x est appelée original ou transformée en z
inverse de la fonction X. On note (Z−1 X)(n) = x(n).
Exemples
L’original de la fonction z 7→ 1 est la suite de Dirac.
1
L’original de la fonction z 7→
z
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
I. Généralités
Définition
Si x est un signal causal discret et si (Zx)(z) = X(z) est sa
transformée en z alors x est appelée original ou transformée en z
inverse de la fonction X. On note (Z−1 X)(n) = x(n).
Exemples
L’original de la fonction z 7→ 1 est la suite de Dirac.
1
L’original de la fonction z 7→ est la suite de Dirac retardée
z
de 1.
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
I. Généralités
Définition
Si x est un signal causal discret et si (Zx)(z) = X(z) est sa
transformée en z alors x est appelée original ou transformée en z
inverse de la fonction X. On note (Z−1 X)(n) = x(n).
Exemples
L’original de la fonction z 7→ 1 est la suite de Dirac.
1
L’original de la fonction z 7→ est la suite de Dirac retardée
z
de 1.
z
L’original de la fonction z 7→
z−1
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
I. Généralités
Définition
Si x est un signal causal discret et si (Zx)(z) = X(z) est sa
transformée en z alors x est appelée original ou transformée en z
inverse de la fonction X. On note (Z−1 X)(n) = x(n).
Exemples
L’original de la fonction z 7→ 1 est la suite de Dirac.
1
L’original de la fonction z 7→ est la suite de Dirac retardée
z
de 1.
z
est le signal échelon unité
L’original de la fonction z 7→
z−1
discret.
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Propriétés
Pour une fonction X, si l’original de X existe alors il est unique.
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Propriétés
Pour une fonction X, si l’original de X existe alors il est unique.
La transformation en z inverse est linéaire,
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Propriétés
Pour une fonction X, si l’original de X existe alors il est unique.
La transformation en z inverse est linéaire, c’est-à-dire que si
X et Y sont deux fonctions admettant un original et si k est
un réel alors
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Propriétés
Pour une fonction X, si l’original de X existe alors il est unique.
La transformation en z inverse est linéaire, c’est-à-dire que si
X et Y sont deux fonctions admettant un original et si k est
un réel alors
(Z−1 (X+Y)) = (Z−1 X)+(Z−1 Y)
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Propriétés
Pour une fonction X, si l’original de X existe alors il est unique.
La transformation en z inverse est linéaire, c’est-à-dire que si
X et Y sont deux fonctions admettant un original et si k est
un réel alors
(Z−1 (X+Y)) = (Z−1 X)+(Z−1 Y)
et
(Z−1 (kX)) = k(Z−1 X)
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Propriétés
Pour une fonction X, si l’original de X existe alors il est unique.
La transformation en z inverse est linéaire, c’est-à-dire que si
X et Y sont deux fonctions admettant un original et si k est
un réel alors
(Z−1 (X+Y)) = (Z−1 X)+(Z−1 Y)
et
(Z−1 (kX)) = k(Z−1 X)
Exemple
Soit X la fonction définie par
X(z) =
z
2z
+
z−1 z−3
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Propriétés
Pour une fonction X, si l’original de X existe alors il est unique.
La transformation en z inverse est linéaire, c’est-à-dire que si
X et Y sont deux fonctions admettant un original et si k est
un réel alors
(Z−1 (X+Y)) = (Z−1 X)+(Z−1 Y)
et
(Z−1 (kX)) = k(Z−1 X)
Exemple
Soit X la fonction définie par
X(z) =
z
2z
+
z−1 z−3
Alors X admet comme original la suite
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Propriétés
Pour une fonction X, si l’original de X existe alors il est unique.
La transformation en z inverse est linéaire, c’est-à-dire que si
X et Y sont deux fonctions admettant un original et si k est
un réel alors
(Z−1 (X+Y)) = (Z−1 X)+(Z−1 Y)
et
(Z−1 (kX)) = k(Z−1 X)
Exemple
Soit X la fonction définie par
X(z) =
z
2z
+
z−1 z−3
Alors X admet comme original la suite x(n) = 2e(n) + 3n e(n).
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
II. Recherche d’originaux
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
II. Recherche d’originaux
Pour rechercher l’original d’une fonction X, l’idée est de
reconnaı̂tre des transformées en z de fonctions usuelles.
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
II. Recherche d’originaux
Pour rechercher l’original d’une fonction X, l’idée est de
reconnaı̂tre des transformées en z de fonctions usuelles. En général,
il faut commencer par transformer l’expression de X,
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
II. Recherche d’originaux
Pour rechercher l’original d’une fonction X, l’idée est de
reconnaı̂tre des transformées en z de fonctions usuelles. En général,
il faut commencer par transformer l’expression de X, pour cela on
utilise en général une décomposition en éléments simples de X(z)
X(z)
X(z)
ou 2 .
ou
z
z
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Exercice 1
Déterminer l’original de la fonction :
X(z) =
1
(z − 2)(z − 3)
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Exercice 1
Déterminer l’original de la fonction :
X(z) =
1
(z − 2)(z − 3)
Solution
On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que
a
b
X(z) =
+
. On a :
x−2 x−3
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Exercice 1
Déterminer l’original de la fonction :
X(z) =
1
(z − 2)(z − 3)
Solution
On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que
a
b
X(z) =
+
. On a :
x−2 x−3
b
a
+
x−2 x−3
=
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Exercice 1
Déterminer l’original de la fonction :
X(z) =
1
(z − 2)(z − 3)
Solution
On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que
a
b
X(z) =
+
. On a :
x−2 x−3
b
a
+
x−2 x−3
=
az − 3a + bz − 2b
(z − 2)(z − 3)
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Exercice 1
Déterminer l’original de la fonction :
X(z) =
1
(z − 2)(z − 3)
Solution
On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que
a
b
X(z) =
+
. On a :
x−2 x−3
b
a
+
x−2 x−3
=
=
az − 3a + bz − 2b
(z − 2)(z − 3)
(a + b)z − 3a − 2b
(z − 2)(z − 3)
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Exercice 1
Déterminer l’original de la fonction :
X(z) =
1
(z − 2)(z − 3)
Solution
On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que
a
b
X(z) =
+
. On a :
x−2 x−3
b
a
+
x−2 x−3
=
=
az − 3a + bz − 2b
(z − 2)(z − 3)
(a + b)z − 3a − 2b
(z − 2)(z − 3)
Par identification des coefficients :
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Exercice 1
Déterminer l’original de la fonction :
X(z) =
1
(z − 2)(z − 3)
Solution
On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que
a
b
X(z) =
+
. On a :
x−2 x−3
b
a
+
x−2 x−3
=
=
az − 3a + bz − 2b
(z − 2)(z − 3)
(a + b)z − 3a − 2b
(z − 2)(z − 3)
Par identification des coefficients :
a+b=0
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Exercice 1
Déterminer l’original de la fonction :
X(z) =
1
(z − 2)(z − 3)
Solution
On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que
a
b
X(z) =
+
. On a :
x−2 x−3
b
a
+
x−2 x−3
=
=
az − 3a + bz − 2b
(z − 2)(z − 3)
(a + b)z − 3a − 2b
(z − 2)(z − 3)
Par identification des coefficients :
a+b=0
−3a − 2b = 1
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Exercice 1
Déterminer l’original de la fonction :
X(z) =
1
(z − 2)(z − 3)
Solution
On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que
a
b
X(z) =
+
. On a :
x−2 x−3
b
a
+
x−2 x−3
=
=
az − 3a + bz − 2b
(z − 2)(z − 3)
(a + b)z − 3a − 2b
(z − 2)(z − 3)
Par identification des coefficients :
b = −a
a+b=0
⇔
−3a − 2b = 1
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Exercice 1
Déterminer l’original de la fonction :
X(z) =
1
(z − 2)(z − 3)
Solution
On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que
a
b
X(z) =
+
. On a :
x−2 x−3
b
a
+
x−2 x−3
=
=
az − 3a + bz − 2b
(z − 2)(z − 3)
(a + b)z − 3a − 2b
(z − 2)(z − 3)
Par identification des coefficients :
b = −a
a+b=0
⇔
a = −1
−3a − 2b = 1
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Exercice 1
Déterminer l’original de la fonction :
X(z) =
1
(z − 2)(z − 3)
Solution
On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que
a
b
X(z) =
+
. On a :
x−2 x−3
b
a
+
x−2 x−3
=
=
az − 3a + bz − 2b
(z − 2)(z − 3)
(a + b)z − 3a − 2b
(z − 2)(z − 3)
Par identification des coefficients :
b = −a
a+b=0
⇔
a = −1
−3a − 2b = 1
⇔
a = −1
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Exercice 1
Déterminer l’original de la fonction :
X(z) =
1
(z − 2)(z − 3)
Solution
On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que
a
b
X(z) =
+
. On a :
x−2 x−3
b
a
+
x−2 x−3
=
=
az − 3a + bz − 2b
(z − 2)(z − 3)
(a + b)z − 3a − 2b
(z − 2)(z − 3)
Par identification des coefficients :
b = −a
a+b=0
⇔
a = −1
−3a − 2b = 1
a = −1
⇔
b=1
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Et donc :
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Et donc :
X(z) =
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Et donc :
X(z) = −
1
z−2
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Et donc :
X(z) = −
1
1
+
z−2 z−3
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Et donc :
1
1
z
z
−1
X(z) = −
+
=z
+
−
z−2 z−3
z−2 z−3
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Et donc :
1
1
z
z
−1
X(z) = −
+
=z
+
−
z−2 z−3
z−2 z−3
Le facteur z−1 correspond à un retard de 1.
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Et donc :
1
1
z
z
−1
X(z) = −
+
=z
+
−
z−2 z−3
z−2 z−3
Le facteur z−1 correspond à un retard de 1. On obtient alors
l’original de X(z) :
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Et donc :
1
1
z
z
−1
X(z) = −
+
=z
+
−
z−2 z−3
z−2 z−3
Le facteur z−1 correspond à un retard de 1. On obtient alors
l’original de X(z) :
x(n) = (−2n−1 + 3n−1 )e(n − 1)
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Et donc :
1
1
z
z
−1
X(z) = −
+
=z
+
−
z−2 z−3
z−2 z−3
Le facteur z−1 correspond à un retard de 1. On obtient alors
l’original de X(z) :
x(n) = (−2n−1 + 3n−1 )e(n − 1)
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Exercice 2
Déterminer l’original de la fonction :
X(z) =
z3 − 3z
(z + 3)(z − 1)2
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Exercice 2
Déterminer l’original de la fonction :
X(z) =
z3 − 3z
(z + 3)(z − 1)2
Solution
Le degré du numérateur étant égal à celui du dénominateur, on
X(z)
décompose
en éléments simples :
z
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Exercice 2
Déterminer l’original de la fonction :
X(z) =
z3 − 3z
(z + 3)(z − 1)2
Solution
Le degré du numérateur étant égal à celui du dénominateur, on
X(z)
décompose
en éléments simples :
z
X(z)
z
=
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Exercice 2
Déterminer l’original de la fonction :
X(z) =
z3 − 3z
(z + 3)(z − 1)2
Solution
Le degré du numérateur étant égal à celui du dénominateur, on
X(z)
décompose
en éléments simples :
z
X(z)
z
=
z2 − 3
(z + 3)(z − 1)2
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Exercice 2
Déterminer l’original de la fonction :
X(z) =
z3 − 3z
(z + 3)(z − 1)2
Solution
Le degré du numérateur étant égal à celui du dénominateur, on
X(z)
décompose
en éléments simples :
z
X(z)
z
=
=
z2 − 3
(z + 3)(z − 1)2
A
B
C
+
+
2
(z − 1)
z−1 z+3
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Après calculs et identification, on obtient :
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Après calculs et identification, on obtient :

1

A = − 2
B = 58


C = 83
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Après calculs et identification, on obtient :

1

A = − 2
B = 58


C = 83
Et donc :
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Après calculs et identification, on obtient :

1

A = − 2
B = 58


C = 83
Et donc :
X(z) = −
1
z
5 z
3 z
+
+
2 (z − 1)2 8 z − 1 8 z + 3
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Après calculs et identification, on obtient :

1

A = − 2
B = 58


C = 83
Et donc :
X(z) = −
1
z
5 z
3 z
+
+
2 (z − 1)2 8 z − 1 8 z + 3
On en déduit l’original de X(z) :
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Après calculs et identification, on obtient :

1

A = − 2
B = 58


C = 83
Et donc :
X(z) = −
1
z
5 z
3 z
+
+
2 (z − 1)2 8 z − 1 8 z + 3
On en déduit l’original de X(z) :
x(n) =
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Après calculs et identification, on obtient :

1

A = − 2
B = 58


C = 83
Et donc :
X(z) = −
1
z
5 z
3 z
+
+
2 (z − 1)2 8 z − 1 8 z + 3
On en déduit l’original de X(z) :
x(n) =
1
− n
2
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Après calculs et identification, on obtient :

1

A = − 2
B = 58


C = 83
Et donc :
X(z) = −
1
z
5 z
3 z
+
+
2 (z − 1)2 8 z − 1 8 z + 3
On en déduit l’original de X(z) :
x(n) =
5
1
− n+
2
8
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Après calculs et identification, on obtient :

1

A = − 2
B = 58


C = 83
Et donc :
X(z) = −
1
z
5 z
3 z
+
+
2 (z − 1)2 8 z − 1 8 z + 3
On en déduit l’original de X(z) :
x(n) =
5 3
1
− n + + (−3)n
2
8 8
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Après calculs et identification, on obtient :

1

A = − 2
B = 58


C = 83
Et donc :
X(z) = −
1
z
5 z
3 z
+
+
2 (z − 1)2 8 z − 1 8 z + 3
On en déduit l’original de X(z) :
x(n) =
5 3
1
n
e(n)
− n + + (−3)
2
8 8
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux
Solution
Après calculs et identification, on obtient :

1

A = − 2
B = 58


C = 83
Et donc :
X(z) = −
1
z
5 z
3 z
+
+
2 (z − 1)2 8 z − 1 8 z + 3
On en déduit l’original de X(z) :
x(n) =
5 3
1
n
e(n)
− n + + (−3)
2
8 8
Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux