eo - exercices sur le calcul de longueur d`arcs de courbe

EO - EXERCICES SUR LE CALCUL DE
LONGUEUR D’ARCS DE COURBE
Exercice 1
Longueur de l’arc de spirale logarithmique défini par r = e−t pour 0 ≤ t ≤ a, puis
limite quand a tend vers +∞
Exercice 2
Longueur de l’astroïde définie par x = cos3 t y = sin3 t
Exercice 3
Longueur de l’arc de courbe d’équation y = ex pour 0 ≤ x ≤ 1
Exercice 4
Longueur de l’arc de courbe d’équation y = x3/2 pour 1 ≤ x ≤ 3
Exercice 5
Longueur de l’arc de chainette d’équation y = ch x pour −1 ≤ x ≤ 1
Exercice 6
Longueur de la cardioïde définie par r = 2(1 − cos t)
Exercice 7
Longueur de la courbe définie par x = 2 cos t − cos(2t) y = 2 sin t − sin(2t)
Exercice 8
Longueur du cercle d’équation polaire r = cos t
Exercice 9
Longueur de la courbe définie par r = | sin t|
Exercice 10
Longueur du segment de droite d’équation polaire r =
0 ≤ t ≤ π/3
2
pour
cos t
Exercice 11
Longueur d’une arche de la cycloïde définie par x = t − sin t y = 1 − cos t
Exercice 12
Longueur de l’arc de courbe d’équation y = ln x pour
Exercice 13
Longueur de l’arc de courbe d’équation y = arcsin (e−x ) pour 0 ≤ x ≤ 1
Exercice 14
Longueur de la première spire de la spirale d’Archimède définie par r = t
√
3≤x≤
Exercice 15
Longueur de l’arc de développante du cercle défini par
x = cos t + t sin t y = sin t − t cos t pour 0 ≤ t ≤ 2π
Exercice 16
Montrer que les deux arcs paramétrés définis par
π
π
x = 2a cos t
r = a sin(2t) (0 ≤ t ≤ ) et
(0 ≤ t ≤ )
y = a sin t
2
2
ont même longueur.
√
8
EO 2
Exercice 17
Longueur de l’arc de parabole d’équation y = x2 pour a ≤ x ≤ b
Exercice 18
Longueur de l’arc de spirale hyperbolique défini par r =
Rappel des formules
courbe paramétrée, pour t compris entre a et b (a<b)
ℓ=
Zb p
x′ (t)2 + y ′ (t)2 dt .
a
courbe d’équation y = f (x), pour x compris entre a et b (a<b)
Zb p
ℓ=
1 + f ′ (t)2 dt .
a
courbe en coordonnées polaires, pour t compris entre a et b (a<b)
ℓ=
Zb p
a
r(t)2 + r ′ (t)2 dt .
1
pour 1 ≤ t ≤ 2
t
EO 3
Corrigé des exercices sur le calcul de longueur d’arcs de courbe
1) On a
r ′ (t) = −e−t ,
donc
r(t)2 + r ′ (t)2 = 2e−2t ,
et par suite
ℓ=
Za √
2e−t dt =
√
2(1 − e−a ) .
0
Cette expression tend vers
√
2 lorsque t tend vers +∞.
2) La courbe est symétrique par rapport aux axes. On obtient un quart de cette courbe lorsque t varie
de 0 à π/2. Par ailleurs
x′ (t) = −3 sin t cos2 t et y ′ (t) = 3 cos t sin2 t .
Donc
x′ (t)2 + y ′ (t)2 = 9(sin2 t cos4 t + sin4 t cos2 t) = 9 sin2 t cos2 t =
Alors
ℓ=4
Zπ/2
3
| sin 2t| dt .
2
0
Mais, sur [ 0, π/2 ] , sin 2t est positif, donc
Zπ/2
− cos 2t π/2
= 6.
ℓ=6
sin 2t dt = 6
2
0
0
3) On a
f ′ (t) = et .
donc
ℓ=
Z1 p
1 + e2t dt .
0
Effectuons le changement de variable
u=
p
1 + e2t .
9
sin2 2t .
4
EO 4
√ √
C’est une fonction strictement croissante et continue, donc une bijection de [ 0, 1 ] sur [ 2, 1 + e2 ] .
On obtient
1
t = ln(u2 − 1) ,
2
donc
u du
.
dt = 2
u −1
Alors
√
Z1+e2 2
u du
ℓ=
.
u2 − 1
√
2
On décompose facilement la fraction rationnelle
1
1
u2
=1+ 2
=1+
2
u −1
u −1
2
1
1
−
u−1 u+1
.
Donc
√ 2
1 u − 1 1+e
ℓ = u + ln
2 u + 1 √2
√
√
p
√
1 + e2 − 1 1
2−1
1
2
=
− ln √
1 + e − 2 + ln √
2
2
2+1
1+e +1 2
p
p
√
√
2
2
=
1 + e − 2 + ln( 1 + e − 1) − 1 − ln( 2 − 1) .
4) On a
√
3 t
,
f (t) =
2
′
donc
ℓ=
Z3 r
1
9t
24
1 + dt =
4
39
"
9t
1+
4
3/2 #3
1
8
=
27
"
27
1+
4
3/2
9
− 1+
4
3/2 #
=
√ i
1 h √
31 31 − 13 13 .
27
5) On a
f ′ (t) = sh t ,
donc
ℓ=
Z1 p
−1
2
1 + sh t dt =
Z1
ch t dt = 2 sh 1 .
−1
6) La courbe est symétrique par rapport à l’axe Ox. On obtient la moitié de cette courbe lorsque t
varie de 0 à π. Par ailleurs,
r ′ (t) = 2 sin t ,
donc
r(t)2 + r ′ (t)2 = 4(1 − cos t)2 + 4 sin2 t = 8(1 − cos t) = 16 sin2
t
.
2
EO 5
On en déduit
Zπ t
ℓ = 2 4 sin dt .
2
0
Mais sin(t/2) est positif sur [ 0, π ] , donc
ℓ=8
Zπ
sin
0
t
t π
dt = 16 − cos
= 16 .
2
2 0
7) La courbe est symétrique par rapport à l’axe Ox. On obtient la moitié de cette courbe lorsque t
varie de 0 à π. Par ailleurs,
x′ (t) = 2(sin(2t) − sin t) et y ′ (t) = 2(cos t − cos(2t)) .
Donc
x′ (t)2 + y ′ (t)2 = 4(2 − 2 sin t sin(2t) − 2 cos t cos(2t)) = 8(1 − cos t) .
On obtient le même résultat que dans 6).
8) La courbe est un cercle. L’équation cartésienne s’obtient facilement
x(t)2 + y(t)2 = r(t)2 = r(t) cos t = x(t) .
ou encore
1
x−
2
2
+ y2 =
1
.
4
C’est donc un cercle de rayon 1/2. Sa longueur vaut ℓ = π.
Si on veut obtenir ce résultat grâce à une intégrale, on remarquera que l’on obtient tout le cercle lorsque
t varie de −π/2 à π/2. Par ailleurs
r(t)2 + r ′ (t)2 = 1 ,
donc
ℓ=
Zπ/2
dt = π .
−π/2
9) La courbe est symétrique par rapport à l’axe Ox. Elle est constituée de deux cercles de rayon 1/2.
Donc ℓ = 2π.
10) La courbe est le morceau
de la droite
√ d’équation cartésienne x = 2, limité par les points d’ordon√
nées 0 et 2 tan π/3 = 2 3. Donc ℓ = 2 3.
Si on veut obtenir ce résultat grâce à une intégrale, on a
r ′ (t) =
2 sin t
,
cos2 t
EO 6
donc
4 sin2 t
4
4
+
=
.
2
4
cos t
cos t
cos4 t
r(t)2 + r ′ (t)2 =
Alors
ℓ=
Zπ/3
0
h
iπ/3
√
2dt
= 2 3.
=
2
tan
t
2
cos t
0
11) On a
x′ (t) = 1 − cos t et y ′ (t) = sin t ,
donc
x′ (t)2 + y ′ (t)2 = 2 − 2 cos t = 4 sin2
t
.
2
L’arche est obtenue lorsque t varie de 0 à 2π Donc
Z2π ℓ = 2 sin
0
Mais sin(t/2) est positif sur [ 0, 2π ] , donc
ℓ=2
Z2π
0
t dt .
2
t
t 2π
sin dt = 4 − cos
= 8.
2
2 0
12) On a
f ′ (t) =
donc
ℓ=
√
3
√
√
√
Z 8r
1
,
t
1+
Z 8√
1
dt =
t2
√
1
+ t2
t
dt =
√
3
En effectuant le changement de variable
u=
p
1 + t2
√ √
qui est une bijection de [ 3, 8 ] sur [ 2, 3 ] , on obtient
ℓ=
Z3
2
Z8
u2 du
.
u2 − 1
3
1 + t2 tdt
√
.
t2
1 + t2
EO 7
En utilisant la décomposition déjà obtenue dans l’exercice 3, on trouve
Z3 ℓ =
1
1+
2
2
1
1
−
u−1 u+1
du
i3
1
u + (ln(u − 1) − ln(u + 1))
2
2
1
= 1 + (ln 2 − ln 4 + ln 3)
2
1
= 1 + (ln 3 − ln 2) .
2
h
=
13) On a
−e−t
,
f ′ (t) = √
1 − e−2t
d’où
1 + f ′ (t)2 =
On obtient donc
e−2t
1
+1=
.
−2t
1−e
1 − e−2t
ℓ=
Z1
√
0
dt
.
1 − e−2t
Effectuons le changement de variable
C’est une bijection de [ 0, 1 ] sur [ 0,
√
u=
p
1 − e−2t .
1 − e−2 ] . On obtient
e−2t = 1 − u2 ,
soit
1
t = − ln(1 − u2 ) ,
2
et donc
dt =
Alors
√
ℓ=
1−e
Z −2
0
d’où
√
1
du
=
1 − u2
2
1−e
Z −2
0
udu
.
1 − u2
1
1
+
1+u 1−u
1 1+u
ln
du =
2 1−u
√1−e−2
0
√
√
p
1 e + e2 − 1
1 1 + 1 − e−2
√
√
= ln
= ln(e + e2 − 1) = argch e .
ℓ = ln
2 1 − 1 − e−2
2 e − e2 − 1
14) On a
r ′ (t) = 1 .
,
EO 8
La longueur de la première spire est obtenue lorsque t varie de 0 à 2π. Donc
ℓ=
Z2π p
1 + t2 dt .
0
Cherchons une primitive de
√
1 + t2 en intégrant par parties. On a
Z
p
t2 dt
1 + t2 dt = t 1 + t2 − √
1 + t2
Z
Z
p
dt
(1 + t2 )dt
√
= t 1 + t2 + √
−
1 + t2
1 + t2
p
= t 1 + t2 + argsh t − I(t) .
I(t) =
On en déduit donc
Z p
I(t) =
Donc
1 p
(t 1 + t2 + argsh t) .
2
ℓ = I(2π) − I(0) = π
15) On a
p
1 + 4π 2 +
1
argsh(2π) .
2
x′ (t) = t cos t et y ′ (t) = t sin t ,
d’où
ℓ=
Z2π
t dt = 2π 2 .
0
16) Pour le premier arc, on a
r ′ (t) = 2a cos 2t .
Il a pour longueur
Zπ/2 p
ℓ1 =
|a| sin2 2t + 4 cos2 2t dt .
0
En effectuant le changement de variable u = 2t, on obtient
|a|
ℓ1 =
2
Zπ p
sin2 u + 4 cos2 u du .
0
Comme la fonction intégrée, est paire et de période π, on a encore
ℓ1 = |a|
Zπ/2p
0
sin2 u + 4 cos2 u du .
EO 9
Enfin, en effectuant le changement de variable t = π/2 − u,
ℓ1 = |a|
Zπ/2p
cos2 t + 4 sin2 t dt .
0
Pour le second arc, on a
x′ (t) = −2a sin t et y ′ (a) = a cos t ,
donc
Zπ/2 p
ℓ2 =
|a| 4 sin2 t + cos2 t dt .
0
On a donc bien
ℓ1 = ℓ2 = |a|
Zπ/2p
1 + 3 sin2 t dt .
0
17) On a
f ′ (t) = 2t ,
donc
ℓ=
Zb p
1 + 4t2 dt .
a
En effectuant le changement de variable u = 2t, on obtient
1
ℓ=
2
Z2b p
1 + u2 du ,
2a
et donc, en utilisant la primitive calculée dans l’exercice 14,
p
1 p
1
ℓ = (I(2b) − I(2a)) = (2b 1 + 4b2 + argsh(2b) − 2a 1 + 4a2 − argsh(2a)) .
2
4
18) On a
r ′ (t) = −
donc
ℓ=
Z2 r
1
1
+ dt =
t2 t4
1
,
t2
Z2
1
t
1
1
Effectuons le changement de variable
u=
r
1+
1
t2
r
1+
1
dt .
t2
EO 10
√
√
qui est une bijection de [ 1, 2 ] sur [ 5/2, 2 ] . On a
u2 − 1 =
soit
t= √
et donc
dt =
On en déduit
1
,
t2
1
u2
−1
,
−udu
.
− 1)3/2
(u2
√
Z5/2 p
ℓ=
u u2 − 1
√
2
√
Z2
u2 du
.
u2 − 1
du
−udu
=
2
(u − 1)3/2 √
5/2
En décomposant comme dans l’exercice 3, on obtient
√
ℓ =
Z2
√
5/2
1
1+
2
1
1
−
u−1 u+1
√2
1
= u + (ln(u − 1) − ln(u + 1)) √
2
5/2
!
√
√
√
√
5 1
2−1
5−2
2−
=
ln √
+
− ln √
2
2
2+1
5+2
√
√
√
√
5
2−
=
+ ln( 2 − 1) − ln( 5 − 2) .
2