Série de révision N°5 - les mathématiques avec Mr Majed Tahri

L-S-S-B-Slimen -Zaghouan
Classe : 4 éme Math
Serie d'exercices revision N0 5
Mr: Tahri Majed
Exercice1
Soit n et a deux entiers naturels non nuls.
1) On suppose que a divise (42n + 37) et a divise (7n + 4). Montrer que a divise 13.
2) En déduire les valeurs possibles de a.
Exercice2
1) Ecrie la division euclidienne de 1 000 par 13.
Soit n un entier naturel.
2) Déterminer, suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de10 3n par 13 .
3) Déterminer, suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de10 3n +1 +
10 3n par 13 .
4) En déduire le reste de la division euclidienne par 13 de 11 000 000 000 000.
5) Quel est le reste de la division euclidienne par13 de 25 ´1015 + 1 .
Exercice3
1) On considère l'équation ( E ): 109x – 226y = 1 ou x et y sont des entiers relatifs
a- Déterminer le pgcd de 109 et 226. Que peut-on en conclure pour l'équation ( E )?
b- Montrer que l'ensemble de solution de ( E) est l'ensemble des couples de forme ( 141 +
226k,68 +109k ), ou k appartient à Z
2) Démontrer que 227 est un nombre premier
Exercice4
1) On considère l'équation ( E) : 17x – 6y = 2, ou x et y sont des entiers
a- Résoudre dans IN2 l'équation 17x = 6y.
b- A l'aide de l'algorithme d'Euclide, déterminer une solution particulière de 17x – 6y = 1.
Montrer que le couple (-1;-3) est une solution particulière de l'équation : 17x-6y = 1, en
déduire une solution particulière de l'équation ( E)
c- En déduire tous les couples de Z2 solution de (E)
d- Montrer que le pgcd des couples solution de ( E) est 1 ou 2
e- Déterminer les couples ( x; y) solution de ( E) dont le pgcd est 2
f- Déterminer le couple ( x0 ; y0 ) solution de ( E) tel que: pgcd(x0 ; y0 ) = 2 et 100
 y0  150
Exercice4
Le but de cet exercice est d'utiliser les solutions d'une équation à deux inconnues entières
puor résoudre un problème dans l'espace.
1) a- Déterminer un couple (x0 ;y0 ) d'entiers relatifs solutions de l'équation: 48x + 35y = 1
On pourra utiliser l'algorithme d'Euclide pour la recherche du PGCD de deux nombres.
b- Déduire de a. tous les couples d'entiers relatifs (x;y) solutions de cette équation.
2) L'espace étant rapporté à un repère orthonormal, on donne le vecteur u de coordonnées
(48;35;24) et le point A de coordonnées (-11;35;-13).
a- Préciser la nature et donner une équation cartésienne de l'ensemble (  ) des points M
de l'espace, de coordonnées (x;y;z) et tel que u . AM = 0.
b- soit (D) la droite intersection de (  ) avec le plan d'équation z = 16.
Déterminer tous les points de (D) dont les coordonnées sont entières et appartiennent à
l'intervalle [-100;100]
En déduire les coordonnèes du point de (D), à coordonnées entiers, situé le plus prée de l'origine.
Exercice6
1) on considère x et y des entires relatifs et l'équation ( E) : 91x+10 y = 1.
a- Enoncer un théorème permettant de justifier l'existence d'une solution à l'équation ( E).
b- Déterminer une solution particulière de ( E ) et en déduire une solution particulière de
l'équation ( E' ) : 91x + 10y = 412.
c- Résoudre ( E' ).
2) Montrer que les nombres entiers An = 32n – 1, ou n est un entier naturel non nul, sont
divisibles par 8 ( une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence).
3) On considère l'équation ( E") : A3 x +A2 y = 3 296.
a- Déterminer les couples d'entiers relatifs (x;y) solution de l'équation ( E").
b- Montrer que ( E") admet pour solution un unique d'entiers naturels. Le déterminer.